PHẦN I : ĐẶT VẤN ĐỀ I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT. Trong giảng dạy bộ môn toán, việc giúp học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản, biết cách khai thác kiến thức, áp dụng kiến thức giải được nhiều loại toán, nhiều dạng bài tập là hết sức quan trọng, bởi đó là một phương tiện tốt giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy hình thành kĩ năng kĩ xảo trong quá trình giải toán. Môn toán có nhiều dạng bài tập, trong đó dạng toán tìm cực trị (giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất) là những bài toán đi tìm cái lớn nhất, nhỏ nhất, rẻ nhất, đắt nhất, ngắn nhất, dài nhất Qua những bài toán dẫn dắt học sinh có thói quen đi tìm một giải pháp tối ưu cho một công việc cụ thể trong cuộc sống thực tế. Điều đó cho thấy rằng toán cực trị là loại toán rất gần gũi với thực tế và có nhiều ứng dụng trong thực tế hàng ngày. Nó giúp học sinh rèn luyện nếp nghĩ khoa học, luôn mong muốn làm những công việc đạt hiệu quả cao nhất, tốt nhất. Vì vậy, nó góp phần không nhỏ vào việc phát triển trí tuệ, thúc đẩy niềm say mê học toán cho học sinh, đặc biệt là các em học sinh khá giỏi. Toán cực trị được đề cập nhiều trong các loại sách tham khảo, do vậy giáo viên rất khó khăn trong việc sưu tầm và tuyển chọn, và một vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào để học sinh nắm được phương pháp, tư duy suy luận một cách có lô gíc khi giải toán cực trị ? Để góp phần vào việc giải quyết các vấn đề trên, bản thân là giáo viên thường xuyên giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán lớp 8 và lớp 9, tôi mạnh dạn sưu tầm, tuyển chọn một số dạng bài toán cực trị và một số phương pháp giải áp dụng cho từng dạng, hy vọng đem lại một phần thuận lợi cho giáo viên khi thực hiện chuyên đề này trong quá trình giảng dạy cho học sinh cấp trung học cơ sở nói chung và bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, lớp 9 nói riêng. II. NHỮNG YÊU CẦU CẦN THIẾT. 1. Đối với giáo viên. - Sưu tầm tài liệu, đọc, nghiên cứu để hệ thống hoá kiến thức, hệ thống các dạng bài tập về cực trị. - Tìm hiểu sâu về các bài toán cực trị trong nội dung chương trình toán ở bậc trung học cơ sở. - Xây dựng được cơ sở lý thuyết để giải các bài toán cực trị. - Tuyển chọn, phân loại được các dạng bài tập cơ bản và nêu lên các phương pháp chính giải từng dạng bài tập cực trị. - Dự đoán được một số sai sót của học sinh có thể mắc phải và nêu được những điểm cần chú ý khi giải các bài toán cực trị. 2. Đối với học sinh. - Hiểu được bản chất của khái niệm cực trị và nắm được các bước giải của bài toán cực trị. - Có kĩ năng nhận dạng được từng loại toán cực trị, vận dụng linh hoạt và sáng tạo các phương pháp giải toán cực trị vào từng bài tập cụ thể từ đơn giản đến phức tạp. - Thấy được những ứng dụng của toán cực trị trong thực tế. PHẦN II : NỘI DUNG A. MỘT SỐ DẠNG TOÁN CỰC TRỊ TRONG ĐẠI SỐ. I. ĐỊNH NGHĨA VÀ CHÚ Ý. 1. Cho biểu thức f(x). - Giá trị M được gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức f(x) nếu thoả mãn hai điều kiện : + Với mọi x để f(x) xác định thì f(x)  M (M là hằng số) (1) + Tồn tại x0 sao cho f(x0) = M (2) - Giá trị m được gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x) nếu thoả mãn hai điều kiện : + Với mọi x để f(x) xác định thì f(x) ≥ m (m là hằng số) (1’) + Tồn tại x0 sao cho f(x0) = m (2’) 2. Kí hiệu : GTLN của hàm f là M = max f(x) GTLN của hàm f là m = min f(x) 3. Tổng quát chung : Đối với biểu thức chứa nhiều biến ta cũng có định nghĩa tương tự. 4. Các bước tìm cực trị : Từ các định nghĩa trên, thông thường, để tìm GTLN hoặc GTNN ta tiến hành theo 3 bước như sau : - Bước 1 : Xác lập bất đẳng thức dạng : f(x) ≤ M hoặc f(x) ≥ m với M, m là các hằng số. - Bước 2 : Xét xem dấu đẳng thức xảy ra khi nào ? - Bước 3 : Kết luận max hoặc min theo yêu cầu. 5. Chú ý : Nếu chỉ có điều kiện (1) hay (1’) thì chưa thể nói gì về cực trị của một biểu thức. Chẳng hạn, xét biểu thức (x – 1)2 + (x – 3)2 . Mặc dù ta có A ≥ 0, nhưng chưa thể kết luận được minA, vì không tồn tại giá trị nào của x để A = 0. II. CÁC KIẾN THỨC THưỜNG DÙNG. 1. x2  0  x Dấu “=” xảy ra  x = 0 Mở rộng : [f(x)]2n  0 , x  R , n  Z. Khi đó ta có [f(x)]2n + M  M ; -[f (x)]2n + m  m. Dấu “=” xảy ra  f(x) = 0 2. a/ x  0 Dấu “=” xảy ra  x = 0 b/ x + y  x + y Dấu “=” xảy ra  x, y cùng dấu c/ x - y  x - y Dấu “=” xảy ra  x, y cùng dấu vàx >y 3. a/ a2 + b2  2ab ,  a, b. Dấu “=” xảy ra  a = b b/  a > 0, b > 0. Dấu “=” xảy ra  a = b 4. Bất đẳng thức Cô-si a/ Cho 2 số không âm a và b ta có : . Dấu “=” xảy ra  a = b b/ Cho 3 số không âm a, b và c, ta có : . Dấu “=” xảy ra  a = b = c. c/ Tổng quát : Cho n số không âm a1 , a2 , , an , ta có :  . Dấu “=” xảy ra  a1 = a2 = = an 5. Bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki a/ Cho hai cặp số a, b và x, y ta có : (ax + by)2  (a2 + b2) (x2 + y2). Dấu “=” xảy ra  ay = bx b/ Tổng quát : Cho 2n số a1 , a2 , , an , b1 , b2 , , bn, ta có : (a1b1 + a2b2 + + anbn )2  ( a12 + a22 + + an2 ) ( b12 + b22 + bn2 ) Dấu “=” xảy ra  III. MỘT SỐ PHưƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT. 1. Phương pháp nhóm – so sánh. Để tiến hành giải bài toán tìm GTLN, GTNN ta có thể dùng các phép biến đổi đại số để nhóm các số hạng và đưa bất đẳng thức ban đầu về các dạng sau : p = A2 + k ≥ k, p = -B2 + l ≤ l, p = A2 + B2 + m ≥ m, p = A.B2 + n ≥ n với A ≥ 0, p = A.B ≥ k.l với A ≥ k > 0, B ≥ l > 0. Tất nhiên là dấu đẳng thức phải xảy ra trong miền xác định của các biến số. Ngoài ra, đôi khi ta sử dụng các tính chất đồng biến, nghịch biến của hàm số. Chẳng hạn : M ≥ N, a > 1  aM ≥ aN; M ≥ N, 0 < a < 1  aM ≤ aN; A ≥ B > 0, ỏ > 0  Aỏ ≥ Bỏ ; A ≥ B > 0, ỏ < 0  Aỏ ≤ Bỏ . Lưu ý rằng nếu ta sử dụng nhiều bất đẳng thức so sánh thì dấu “=” xảy ra phải mang tính đồng thời ở các đẳng thức đó. Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức : 1/ A = x4 + 4x2 – 3; 2/ B = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1; 3/ C = (x – 1)2 + (x2 – 1)4 + (x3 – 1)6. Giải : 1/ Vì x4, x2 ≥ 0 nên  A ≥ 0 + 0 – 3  A ≥ -3. Dấu “=” xảy ra  x = 0 Vậy minA = -3 khi x = 0 Cách khác : Ta có A = x2(x2 + 4) – 3 ≥ – 3. Dấu “=” xảy ra  x2(x2 + 4) = 0  x = 0 Vậy minA = -3 khi x = 0 2/ Ta có B = (x2 + x + 1)2 = Vì , dấu “=” xảy ra khi x = . Nên minB =  x = . 3/ Dễ thấy C ≥ 0. Dấu “=” xảy ra  (x–1)2= (x2–1)4 = (x3–1)6 = 0  x = 1 Vậy minC = 0, khi x = 1. Ví dụ 2 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M = - x2 + 2x + 6 Giải : Ta có B = - x2 + 2x + 6 = -(x2 – 2x) + 6 = -( x – 1)2 + 7 Vì -( x – 1)2  0 , x  -( x – 1)2 + 7  7. Dấu “=” xảy ra khi x = 1 Vậy max B = 7  x = 1 2. Phương pháp dùng bất đẳng thức. Cũng giống như khi sử dụng các bất đẳng thức khác, có khi ta phải tiến hành việc tách, nhóm, thêm, bớt, chia nhân các số hạng để đưa về dạng có thể áp dụng trực tiếp. Ví dụ : Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức : 1/ A = x ; 2/ B = ; 3/ C = . Giải : 1/ Điều kiện 0 ≤x≤ 1. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm ta được : A = x Dấu “=” xảy ra  x2 = 1 – x2  x2 =  x = ± . Vậy max A = 2/ Điều kiện x ≥ 1, ta có B = Dấu “=” xảy ra  1 = x – 1  x =2. Vậy max B = 3/ Điều kiện x ≥ 1, y ≥ 2, z ≥ 3, ta có : C = = ≤ = Dấu “=” xảy ra  1 = x – 1 ; 2 = y – 2 ; 3 = z – 3  x = 2, y = 4, z = 6. Vậy max C =  x = 2, y = 4, z = 6 IV. NHỮNG DẠNG TOÁN THưỜNG GẶP. Dạng 1 : Cực trị của đa thức dạng tam thức bậc hai. 1. Kiến thức cần thiết. Giả sử cho đa thức f(x) xác định trên R. Sử dụng phương pháp nhóm – so sánh Đưa f(x) về dạng : f(x) = k  (k là hằng số) a/ Nếu f(x) = k + thì min f(x) = k  g(x) = 0 b/ Nếu f(x) = k – thì max f(x) = k  g(x) = 0 Hoặc có thể sử dụng phương pháp dùng bất đẳng thức. 2. Một số ví dụ. Ví dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = x2 – x + 1 Giải : Ta có A = x2 – x + 1 = x2 – 2x. + + = + Vì ≥ 0  x nên + ≥ Dấu “=” xảy ra   Vậy min A =  x = Ví dụ 2 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = - x2 + 4x + 5 Giải : Ta có B = -x2 + 4x + 5 = 9 – (x – 2)2 Vì - (x - 2 )2  0 x nên 9 – (x - 2 )  9 Dấu “=” xảy ra  x – 2 = 0  x = 2 Vậy max B = 9  x = 2 Ví dụ 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : D = (x + 1)2 + (x + 3)2 Giải : Ta có D = 2(x + 2 )2 + 2  2 x Vì: 2(x + 2 )2  0 x  2(x + 2 )2 + 2  2. Dấu "=" xảy ra  x = -2. Vậy min D = 2  x = -2 3. Một số nhận xét. a/ Cho tam thức bậc hai : P = ax2 + bx + c (a ≠ 0) Ta có P = ax2 +bx + c = a(x2 + x) + c (do a  0) = a (x + )2 + c - = a (x + )2 + Đặt = k Do (x + )2  0 nên - Nếu a > 0 thì a.(x + )2  0 do đó P  k  min P = k  x + = 0  x = - - Nếu a < 0 thì a.(x + )2  0 do đó P  k  max P = k  x = - b/ Dựa vào tính chất biến thiên của hàm số là tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) + Khi a > 0 : Parabol quay bề lõm lên phía trên  hàm số có cực tiểu. + Khi a < 0: Parapol quay bề lõm xuống dưới  hàm số có cực đại. - Từ đó ta đi đến kết luận : Mỗi tam thức bậc hai đều có một cực trị (hoặc giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất) 4. Một số bài tập. Tìm GTLN, GTNN (nếu có) của các biểu thức sau : a/ -3x2 + 2x – 45 b/ 5x2 – 8x – 1 Dạng 2 : Cực trị của hàm đa thức nhiều biến. 1. Kiến thức cần thiết. Cho F = F1 + F2 thì : maxF = maxF1 + maxF2. (minF = minF1 + minF2). Trong đó F1, F2 là các biểu thức chứa biến đối lập với nhau hoặc có chứa cùng biến thì cùng đạt GTLN (GTNN) tại một bộ giá trị xác định của biến. Có thể sử dụng cả hai phương pháp trên để giải. 2. Một số ví dụ. Ví dụ 4 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = 5x2 - 12xy + 9y2 - 4x + 4 Giải : Ta có A = x2 - 4x + 4 + 4x2 - 12xy + 9y2 = (x - 2)2 + (2x - 3y)2  A  0, dấu "=" xảy ra   Vậy min A = 0  Ví dụ 5 : a/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : B = x2 + xy + y2 – 3x – 3y + 2009 b/ Tìm giá trị của x; y để biểu thức : N = –a2 – b2 + ab + 2a + 2b đạt giá trị lớn nhất Giải : a/ Ta có B = x2 – 2x + 1 + y2 – 2y +1 + xy – x – y + 1 + 2006 = (x – 1)2 + (y – 1) 2 + xy – x – y + 1 + 2006 = Dấu "=" xảy ra   Vậy min B = 2006  x = y = 1 b/ Ta có: 2N = –2a2 – 2b2 + 2ab + 4a + 4b = –(a – b)2 – (a – 2)2 – (b – 2)2 + 8  8 Dấu "=" xảy ra   a = b = 2 Vậy max N = 4  a = b = 2 Ví dụ 6 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : D = m2 - 4mp + 5p2 + 10m - 22p + 28. Giải : Ta có D = m2 – 4mp + 4p2 + p2 – 2p + 1 + 10m – 20p + 27 = (m – 2p)2 + (p –1)2 + 10(m – 2p) + 27 Đặt m – 2p = t  D = t2 + 10t + (p – 1)2 + 27 = t2 + 10t + 25 + (p – 1)2 + 2 = (t + 5)2 + (p – 1)2 + 2  2 Dấu "=" xảy ra    Vậy min D = 2  3. Một số nhận xét. - Đối với hàm đa thức nhiều biến, học sinh cần phải linh hoạt trong việc tách hạng tử để làm xuất hiện tổng các luỹ thừa bậc chẵn của một biểu thức hay tổng các hằng đẳng thức (a  b)2 như đã trình bày ở ví dụ 4, ví dụ 5. - Ở ví dụ 5, phần b thay cho việc biến đổi N ta biến đổi 2N khi đó bài toán được thực hiện thuận lợi hơn. - Bên cạnh đó, có những tình huống xảy ra như ở ví dụ 6 thì có thể học sinh sẽ lúng túng trong sự xuất hiện của 10(m – 2p). Khi đó dùng phương pháp đổi biến (đặt ẩn phụ) như đã trình bày thì sẽ đưa được bài toán về dạng của ví dụ 5. 4. Một số bài tập. 4.1. Tìm giá trị của x ; y để các biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất : a/ -x2 + 2xy – 4y2 + 2x + 10y + 5 b/ -5x2 – 5y2 + 8x – 6y – 1 4.2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : x2 + 2y2 – 2xy – 4y + 5 4.3. Tìm cặp (x ; y) để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất : x2 + 26y2 – 10xy + 14 – 76y + 56 Dạng 3 : Cực trị của hàm phân thức đại số. 1. Kiến thức cần thiết. + Để giải dạng toán này ta chủ yếu dùng phương pháp tách phần nguyên. + Cho P = với A > 0 thì max P = ; min P = Bằng cách áp dụng tính chất trên ta có thể đưa bài toán tìm cực trị của phân thức về bài toán tìm cực trị của đa thức. 2. Một số ví dụ. Ví dụ 7 : Tìm x  N để đạt giá trị lớn nhất. Giải : Đặt A =  2A = = = 7 + Nhận thấy A lớn nhất  2A lớn nhất  lớn nhất  2x – 3 là số dương nhỏ nhất. Mà x  N nên 2x – 3 dương nhỏ nhất bằng 1  x = 2 Vậy max(2A) = 12  maxA = 6  x = 2. Ví dụ 8 : Tìm x  Z để M = đạt giá trị nhỏ nhất. Giải : Ta có M = = = -1 + Để M nhỏ nhất thì nhỏ nhất  x – 5 là số âm lớn nhất. Mà x  Z nên x – 5 = -1  x = 4 . Vậy min M = -1 – 2 = -3 khi x = 4. Ví dụ 9 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = . Giải : Ta có P = = Nhận thấy P nhỏ nhất  (x – 1)2 + 3 nhỏ nhất. Mà (x – 1)2  0 với  x  (x – 1)2 + 3  3 Do đó (x – 1)2 + 3 đạt GTNN bằng 3  x = 1. Vậy min P =  x = 1. Ví dụ 10 : Tìm GTLN và GTNN của biểu thức Q = . Giải : a/ Ta có Q = = Do  0 với  x  Q  -1 với  x. Dấu “=” xảy ra  x = -2 Vậy min Q = -1  x = -2 b/ Ta có Q = = = Do ≤ 0 với  x  Q ≤ 4. Dấu “=” xảy ra  x = Vậy maxQ = 4  x = Ví dụ 11 : Tìm GTNN của M = . Giải : ĐKXĐ : x ≠ 1 Ta có M = = Đặt y = , khi đó M = 3 – 2y + y2 = (y – 1)2 + 2  2 Dấu “=” xảy ra  y = 1  = 1  x = 2 Vậy min M = 2  x= 2 3. Một số nhận xét. - Khi giải toán cực trị của hàm phân thức, học sinh cần phải biết biến đổi linh hoạt để tách phần nguyên. - Có những biểu thức tồn tại cả GTLN và GTNN như bài toán đã trình bày ở ví dụ 10, cho nên học sinh cần định hướng cách phân tích bài toán để làm xuất hiện những tình huống theo yêu cầu bài toán nêu. 4. Một số bài tập. Tìm GTNN, GTLN(nếu có) của các biểu thức sau : A = ; B = ; C = D = (x  R) Dạng 4 : Cực trị của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối. 1. Kiến thức cần thiết. a/f(x) = f(x) nếu f(x)  0 ; f(x) = - f(x) nếu f(x) < 0 b/f(x) + g(x)  f(x) + g(x). Dấu "=" xảy ra  f(x).g(x)  0 c/f(x) - g(x)  f(x) - g(x). Dấu "=" xảy ra  f(x).g(x)  0 vớif(x)  g(x) d/ Giả sử max f(x) = A, min f(x) = a với f(x) xét trên đoạn [a1 ;b1] + Nếu f(x)  0 ta có max f(x) = max f(x)=A trên [a1 ;b1] min f(x) = minf(x)= a trên [a1 ;b1] + Nếu : max f(x)  0 còn min f(x)  0 trên [a1 ;b1] : Ta có : maxf(x)= max(A ; a) minf(x)= 0 + Nếu f(x) < 0 ta có maxf(x)= - minf(x) trên [a1 ;b1] minf(x) = - maxf(x) trên [a1 ;b1] 2. Một số ví dụ. Ví dụ 12 : Tìm GTLN của A = 2000 – 1999x – 1 Giải : Vì x – 1  0  x  -1999x – 1  0  x Do đó A = 2000 – 1999x – 1  2000  x. Dấu “=” xảy ra  x = 1 Vậy max A = 2000  x = 1. Ví dụ 13 : Tìm GTLN của B = x + 8 – x Giải : Cách 1 : Xét khoảng giá trị của x. a/ Nếu x < 0 thì x = -x và 8 - x = 8 - x khi đó B = 8 - 2x b/ Nếu 0  x  8 thì x = x và  8 - x = 8 - x khi đó B = x + 8 - x = 8 c/ Nếu x > 8 thì x = x và 8 - x = x - 8 khi đó B = x + x - 8 = 2x - 8 So sánh các giá trị của B trong 3 khoảng trên ta có : min B = 8  0  x  8 Cách 2 : Sử dụng bất đẳng thức. f(x) + g(x)  f(x) + g(x). Dấu "=" xảy ra  f(x).g(x)  0 Ta có B = B = x + 8 – x  x + 8 - x= 8 Dấu “=” xảy ra  x(8 - x) ≥ 0  x(x - 8)  0  0  x  8 Vậy min B = 8  0  x  8 Ví dụ 14 : Tìm GTNN của C = x - 2 + x - 5 + 15 Giải : Cách 1 : Xét khoảng giá trị của x. a/ Nếu x < 2 thì x - 2 = 2 - x và x - 5 = 5 - x khi đó C = 2 – x + 5 – x + 15 = 22 – 2x b/ Nếu 2  x  5 thì x – 2 = x – 2 và x – 5 = 5 – x, khi đó C = x - 2 + 5 - x + 15 = 18 c/ Nếu x > 5 thì x – 2 = x – 2 và x – 5 = x – 5, khi đó C = x - 2 + x - 5 + 15 = 2x + 8 So sánh các giá trị của C trong 3 khoảng trên ta có : min C = 18  2  x  5 Cách 2 : Sử dụng bất đẳng thức 1b) đã nêu ở trên. Vì x - 2 + x - 5 = x - 2 + 5 - x x - 2 + 5 - x  = 3 Dấu "=" xảy ra  (x - 2)(5 - x)  0  2  x  5 Do đó : C = x - 2 + x - 5+ 15  3 + 15 = 18 Vậy min C = 18  2  x  5 Ví dụ 15 : Tìm GTNN của M = x + 1 + x + 2 + + x + 99 + x + 100 Giải : Ta có M = x + 1 + -x - 100+ + x + 50 + -x - 50 Vì có x + 1 + -x - 100 x + 1 - x - 100 = 99 dấu "=" xảy ra  -100  x  -1 Tương tự ……. x + 50 + -x - 50  1. Dấu "=" xảy ra  - 51  x  - 50 Do đó M  1 + 3 + + 97 + 99 = 2500. Dấu "=" xảy ra  - 51  x  - 50 Ví dụ 16 : Tìm GTNN của B = x - 1 + x - 2 + x - 3 Giải : Xét C = x - 1 + x - 3 = x - 1 + 3 - x  x - 1 + 3 - x = 2  C = 2  (x - 1)(3 - x)  0  1  x  3 Mặt khác x - 2  0. Dấu "=" xảy ra  x = 2 Do đó B = x - 1 + x - 2 + x - 3  2 + 0 = 2 Dấu "=" xảy ra   x = 2 . Vậy min B = 2  x = 2 3. Một số nhận xét. - Để thực hiện giải bài toán cực trị của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối, học sinh cần nắm được định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số hay 1 biểu thức và linh hoạt vận dụng các tính chất của trị tuyệt đối trong quá trình giải. - Các ví dụ 13, 14 trong phần lời giải của cách 2 và các ví dụ 15, 16 ta đã sử dụng tính chất : "Hai số đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau”, từ đó vận dụng bất đẳng thức 1b để tìm ra lời giải bài toán một cách nhanh chóng. - Với một bài toán cực trị có thể tồn tại nhiều cách giải, chẳng hạn ở ví dụ 16 có thể giải bằng cách khác là xét khoảng giá trị của x để phá dấu giá trị tuyệt đối, song giải pháp này không khoa học như lời giả đã chọn. Do đó học sinh cần phải có sự quan sát, phân tích bài toán để tìm ra hướng đi thích hợp, khoa học. 4. Một số bài tập. Tìm GTNN, GTLN ( nếu có ) của các biểu thức : a) x - 1 + x -2 b) 51 - 4x - 2 c) x - 1 + x - 2 + 2x - 5 d) x - 2 + x - 4+ x - 6 + + x - 102 Số các biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối là lẻ. Dạng 5 : Cực trị của hàm căn thức. Ví dụ 17 : Tìm GTNN của M = (x - 1994)2 + (x - 1995)2 Giải : [...]... thấy, kết quả làm bài cả các em tiến bộ rõ, từ các bước chứng minh, bước suy luận các em có hướng lập luận chặt chẽ, cách áp dụng lý thuyết các em vào giải bài tập rất linh hoạt, nhiều em có phương pháp suy luận tốt, cách giải hay, kĩ năng làm bài nhanh hơn khi chưa dạy chuyên đề, học sinh hứng thú, đam mê tự giải toán và chính các em đã tự đem lại niềm say mê giải toán nói riêng và học toán nói chung... thức nhiều biến Dạng 3 : Cực trị của hàm phân thức đại số Dạng 4 : Cực trị của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối Dạng 5 : Cực trị của hàm căn thức Dạng 6 : Cực trị có điều kiện V SÁNG TẠO BÀI TOÁN CỰC TRỊ VI MỘT SỐ SAI SÓT THưỜNG GẶP KHI GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ B MỘT SỐ DẠNG TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC I NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN II CÁC DẠNG TOÁN THưỜNG GẶP Dạng 1 : Sử dụng bất đẳng thức trong tam giác Dạng... 0  Khi giải toán cực trị dạng phân thức ở một số bài toán cụ thể, học sinh có thể lập luận không chính xác : Ví dụ 2 : Cho x, y là hai số thực thoả mãn x > y và xy = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Học sinh có thể giải như sau : Ta có Do x > y và xy = 1 nên (*)  B đạt GTNN khi  (x - y)2 - 4(x - y) + 4 = 0 (1) Giải phương trình (1) ta được : Nghiệm x = 1 ± ; y = -1 ±  min A = = 3 Lời giải. .. biệt có nhiều em đã tự đặt ra cho mình những bài toán tư ng tự, những bài toán mới rồi cùng các bạn trao đổi, đặc biệt nhiều em sưu tầm sáng tạo nhiều bài toán gắn liền với thực tế D BÀI HỌC KINH NGHIỆM Trong quá trình áp dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy tôi rút ra được một số bài học như sau: - Để học sinh giải tốt các bài toán về cực trị thì người thầy cần hướng dẫn học sinh nắm chắc phương pháp giải. .. dẫn học sinh sử dụng một số bất đẳng thức phụ khác trong quá trình thực hiện ở một số bài toán cụ thể như đã trình bày ở dạng IV III SÁNG TẠO BÀI TOÁN CỰC TRỊ  Cũng như sự sáng tạo bài toán cực trị đại số, việc khai thác kiến thức, sáng tạo ra một bài toán khác từ một bài toán hình học cụ thể đảm bảo sự lô gíc về mặt kiến thức là một vấn đề hết sức cần thiết trong quá trình truyền thụ kiến thức cho học. .. phương trình VI MỘT SỐ SAI SÓT THưỜNG GẶP KHI GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ Trong quá trình giải toán tìm cực trị đại số, học sinh thường mắc sai lầm ở một số trường hợp sau : Ví dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của D = (x + 1)2 + (x + 3)2 Học sinh có thể mắc sai lầm ở chỗ là : Vội vàng kết luận : (x + 1)2  0, (x + 3)2  0  D  0 Từ đó  min D = 0 Điều này không thể xảy ra, vì không tồn tại giá trị của x để cho (x... minN = 2  x = 0 3 Một số nhận xét Với bài toán tìm cực trị của hàm căn thức, trước khi giải học sinh cần lưu ý đặt điều kiện để tồn tại căn thức và nếu bài toán chứa căn dạng A2 thì ta đưa được về dạng hàm chưa dấu giá trị tuyệt đối Có trường hợp ta không thể tìm trực tiếp cực trị của một biểu thức mà đi tìm cực trị của bình phương biểu thức đó cần lưu ý biểu thức đó phải dương 4 Một số bài tập 1)... giải bài toán trên là sai bởi vì biến đổi đến (*) : đã vội vàng kết luận cực trị, trong khi đó không phải là hằng số mà còn phụ thuộc vào biến x, y B MỘT SỐ DẠNG TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC I NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN 1 Lý thuyết chung  Toán cực trị trong hình học phẳng là dạng toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) hoặc giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một đại lượng hình học biến thiên y (độ dài của một đoạn... 2 Đối với học sinh PHẦN II : NỘI DUNG A MỘT SỐ DẠNG TOÁN CỰC TRỊ TRONG ĐẠI SỐ I ĐỊNH NGHĨA VÀ CHÚ Ý II CÁC KIẾN THỨC THưỜNG DÙNG III MỘT SỐ PHưƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 1 Phương pháp nhóm – so sánh 2 Phương pháp dùng bất đẳng thức IV NHỮNG DẠNG TOÁN THưỜNG GẶP Dạng 1 : Cực trị của đa thức dạng tam thức bậc hai Dạng 2 : Cực trị của hàm đa thức nhiều biến Dạng 3 : Cực trị của hàm... dạng để học sinh thực hành - Còn đối với người thầy trong quá trình hướng dẫn học sinh giải bài toán sẽ giúp tự bản thân trau rồi thêm kiến thức đồng thời phát huy cao độ tính tích cực của học sinh trong tiết học E PHẠM VI ÁP DỤNG ĐỀ TÀI Tuy nội dung đề tài chưa sâu sắc song thiết nghĩ với ý định như vậy sẽ giúp cho tất cả học sinh, đặc biệt là học sinh có học lực khá giỏi phát huy tốt tính tích cực . và tuyển chọn, và một vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào để học sinh nắm được phương pháp, tư duy suy luận một cách có lô gíc khi giải toán cực trị ? Để góp phần vào việc giải quyết các vấn. có thể mắc phải và nêu được những điểm cần chú ý khi giải các bài toán cực trị. 2. Đối với học sinh. - Hiểu được bản chất của khái niệm cực trị và nắm được các bước giải của bài toán cực trị. -. 1b để tìm ra lời giải bài toán một cách nhanh chóng. - Với một bài toán cực trị có thể tồn tại nhiều cách giải, chẳng hạn ở ví dụ 16 có thể giải bằng cách khác là xét khoảng giá trị của x để