HÌNH THANG 1/ Qua giao điểm O của 2 đường chéo của hình thang ABCD ( đáy AB , CD ) vẽ các đường thẳng song song với 2 đáy cắt cạnh bên tại M , N . a/Chứng minh : OM = ON . b/Chứng minh : CDABON 111 += 2/ Từø hai điểm A và B của một đường thẳng , về cùng một phía ta dựng hai đoạn thẳng AA 1 = a , BB 1 = b cùng vuông góc với AB . Chứng minh rằng khi giữ nguyên các đại lượng a và b thì khoảng cách từ giao điểm của AB 1 và A 1 B không phụ thuộc vào vò trí của A và B . 4/ Cho hình thang ABCD ( AB // CD và AB ≠ CD ) . M và N là trung điểm của các đường chéo AC và BD . Kẻ NH ⊥ AD ; MH’ ⊥ BC . Gọi I là giao điểm của MH’ và NH . Chứng minh rằng I cách đều hai điểm C và D . 5/ Trong hình thang ABCD ( AD // BC ) các đường phân giác trong của các góc A và B cắt nhau tại M , các đường phân giác trong của các góc C và D cắt nhau tại N . Chứng minh rằng độ dài đoạn MN bằng nửa hiệu của tổng độ dài hai đáy với tổng độ dài hai cạnh bên . 6/ Các đường chéo của hình thang ngoại tiếp ABCD ( AD // BC ) cắt nhau tại O . Bán kính đường tròn nội tiếp các ∆ AOD ; ∆ AOB ; ∆ BOC ; ∆ COD lần lượt là r 1 , r 2 , r 3 , r 4 . Chứng minh rằng : 4231 1111 rrrr +=+ . HƯỚNG DẪN Giả sử ∆ AOD ; ∆ AOB ; ∆ BOC ; ∆ COD có diện tích và nửa chu vi lần lượt là S 1 , P 1 , S 2 , P 2 , S 3 , P 3 , S 4 , P 4 . Vì S ABC = S BCD ; S BOC chung nên ta có : S 2 = S 4 (1) . 3 2 4 1 . 2 1 . 2 1 . 2 1 . 2 1 S S BKOC BKOA OC OA DHOC DHOA S S ==== ⇒ )2( 3 2 4 1 S S S S = ; P 1 + P 3 = P 2 + P 4 (3) ( Vì ABCD là tứ giác ngoại tiếp ) Từ (1) và ( 2 ) : S 1 .S 3 = S 2 2 = S 4 2 ⇒ 314 .SSS = Do : S = Pr , nên ta có : 4 4 4 2 2 2 3 3 3 1 1 1 ;;; r S p r S p r S p r S p ==== Từ : 4231 1111 rrrr +=+ ⇔ 4 4 2 2 3 3 1 1 S P S P S P S P +=+ ⇔ 4 31 3 3 1 1 S PP S P S P + =+ A D C B O S 1 S 4 S 3 S 2 K H ⇔ )4( . 31 31 3 3 1 1 SS PP S P S P + =+ Mặt khác ∆ OAD ~ ∆ OCD nên : 2 3 2 1 3 1 P P S S = hay 2 3 2 13 1 P PS S = Vì vậy (4) ⇔ 3 2 3 2 13 31 3 3 2 3 2 1 3 1 . . . S P PS PP S P P PS P + =+ ⇔ 3 1 3 31 13 2 3 . P P S PP PS P + = + ⇔ 1 331 3 1 2 3 )( P PPP P P P + =+ ⇔ 1 2 3 33 1 2 3 P P PP P P +=+ ( Đúng ) Vậy ( 4 ) đúng do đó : 4231 1111 rrrr +=+ HÌNH THANG – CỰC TRỊ 1/ a/ Cho AB = 2a . Vẽ về một phía của AB các tia Ax , By vuông góc với AB . Qua trung điểm M của AB vẽ hai đường thẳng thay đổi luôn vuông góc với nhau và cắt Ax , By theo thứ tự tại C , D . Xác đònh vò trí của các điểm C , D sao cho ∆ MCD có diện tích nhỏ nhất và tính diện tích nhỏ nhất đó theo a . HÌNH THANG VUÔNG - DIỆN TÍCH /Cho hình thang vuông ABCD có AB là cạnh đáy nhỏ , CD là cạnh đáy lớn , M là giao điểm của hai đường chéo AC và BD . Biết rằng thang ABCD ngoại tiếp đường tròn bán kính R . Hãy tính diện tích ∆ ADM . HƯỚNG DẪN A E B H M G O D F C Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp hình thang ABCD . Giả sử các góc tại đỉnh A và D vuông . BO , CO là phân giác của góc ABC , BCD ⇒ OB ⊥ OC ⇒ ∆ BOC vuông tại O . Gọi E , F , G , H lần lượt là các điểm tiếp xúc của đường tròn nội tiếp với các cạnh AB , CD , DA , BC của hình thang . Ta có : OH 2 = BH.CH ⇒ FC AE DF EB = . Do đó M nằm trên đoạn EF . Đường cao ứng với đỉnh M của ∆ ADM có độ dài là R và cạnh đáy là 2R , suy ra diện tích tam giác này là R 2 . Do diện tích các ∆ ADM , BCM bằng nhau nên trong trường hợp các góc B , C vuông ta cũng có kết quả tương tự . . 4231 1111 rrrr +=+ HÌNH THANG – CỰC TRỊ 1/ a/ Cho AB = 2a . Vẽ về một phía của AB các tia Ax , By vuông góc với AB . Qua trung điểm M của AB vẽ hai đường thẳng thay đổi luôn vuông góc với nhau. cho ∆ MCD có diện tích nhỏ nhất và tính diện tích nhỏ nhất đó theo a . HÌNH THANG VUÔNG - DIỆN TÍCH /Cho hình thang vuông ABCD có AB là cạnh đáy nhỏ , CD là cạnh đáy lớn , M là giao điểm của. O D F C Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp hình thang ABCD . Giả sử các góc tại đỉnh A và D vuông . BO , CO là phân giác của góc ABC , BCD ⇒ OB ⊥ OC ⇒ ∆ BOC vuông tại O . Gọi E , F , G , H lần