BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG §1 SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ KHƠNG CHỨA THAM SỐ A TĨM TẮT LÝ THUYẾT Chương trình lớp 10 đề cập đến khái niệm hàm đồng biến, hàm nghịch biến, hàm đơn điệu khoảng Ở đây, không nhắc lại khái niệm mà đề cập đến việc xét biến thiên hàm số cách dùng đạo hàm Quy tắc xét biến thiên đạo hàm Định lý: Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng ( a; b ) Khi • f ' ( x ) > ∀x ∈ ( a; b ) ⇒ f đồng biến ( a; b ) ; • f ' ( x ) < ∀x ∈ ( a; b ) ⇒ f nghịch biến ( a; b ) ; • f ' ( x ) = ∀x ∈ ( a; b ) ⇒ f không đổi ( a; b ) Nhận xét: Từ đinh lý trên, ta thấy việc xét biến thiên hàm số thực chất xét dấu đạo hàm Như ta cần nắm • Quy tắc xét dấu nhị thức bậc nhất; • Quy tắc xét dấu tam thức bậc hai; • Quy tắc xét dấu biểu thức Quy tắc xét dấu biểu thức Giả sử hàm y = g ( x ) không xác định triệt tiêu điểm x1 , x2 , …, xn đôi khác x1 < x2 < L < xn Ký hiệu I khoảng ( −∞; x1 ) , ( x1; x2 ) , …, ( xn−1; xn ) , ( xn ; +∞ ) Khi g liên tục I khơng đổi dấu B MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ Xét biến thiên hàm số y = Giải Ta có TXĐ = ¡ \ { 1} , y ' = x2 − x ( x − 1) x2 − x + x −1 Ta thấy với x ∈ TXĐ, dấu y ' dấu tam thức bậc hai x − x Ta có bảng biến thiên hàm số sau: BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG x −1+ x2 − x + x = +∞ lim f ( x ) = lim = lim , x →+∞ x →+∞ x →+∞ x −1 1− x lim f ( x ) = lim x →−∞ x −1 + x →−∞ lim − f ( x ) = +∞ 1 x → ÷ 2 1− , x x = −∞ , lim + f ( x ) = −∞ 1 x → ÷ 2 Kết luận f đồng biến ( −∞;0 ) ( 2; +∞ ) , nghịch biến ( 0;1) ( 1; ) Ví dụ Xét chiều biến thiên hàm số y = − x Giải Ta có TXĐ = [ −1;1] , y ' = −x − x2 với x ∈ ( −1;1) Do với x ∈ ( −1;1) , y ' trái dấu với x Ta có bảng biến thiên hàm số hình bên Kết luận hàm số đồng biến ( −1;0 ) , nghịch biến ( 0;1) Ví dụ Xét biến thiên hàm số y = − x + + x Giải Ta có TXĐ = [ −1;1] y '( x) = − = ( 1 1− x − 1+ x + = 1− x 1+ x − x2 −x 1− x + 1+ x ) − x2 ∀x ∈ ( −1;1) Do với x ∈ ( −1;1) , y ' trái dấu với Kết luận hàm số đồng biến ( −1;0 ) , x Ta có bảng biến thiên hàm số nghịch biến ( 0;1) hình bên Nhận xét Trong ví dụ trên, việc xét dấu đạo hàm thực quy tắc xét dấu (nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai, đa thức) Trong ví dụ sau, ta xét dấu đạo hàm cách giải bất phương trình BÀI GIẢNG ƠN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG Ví dụ Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số y = x + − x Giải Ta thấy x ∈ TXÑ ⇔ − x ≥ ⇔ x ∈ [ −1;1] Vậy TXÑ = [ −1;1] x y'= 2− = − x2 − x2 − x − x2 , x ∈ ( −1;1) ∀x ∈ ( −1;1) Bảng biến thiên: Ta có y ' ≤ ⇔ − x − x ≤ x ≥  ⇔ − x2 ≤ x ⇔  2 4 ( − x ) ≤ x  ⇔ x≥ y'= ⇔ x =  Kết luận hàm cho đồng biến  −1;     ;1÷ ÷, nghịch biến  5   Ví dụ [ĐHA08] Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số y = 2x + 2x + − x + − x Giải Ta có TXĐ = [ 0;6] y'=  1 −  ( 2x )    +  −  ( x ∈ ( 0;6 ) )  ÷ ( − x )   2x − x   Ta thấy: • y '( 2) = ; Bảng biến thiên • x ∈ ( 0; ) ⇒ x < − x 0 < ( x ) < ( − x )  ⇒ 0 < x < − x   > 4 3  ( 2x) ( − x) ⇒   2x > − x  ⇒ y '( x) > ; Kết luận: hàm số đồng biến ( 0; ) , nghịch biến ( 2;6 ) • Tương tự, ta có y ' ( x ) < ∀x ∈ ( 2;6 ) BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG C BÀI TẬP Bài Xét chiều biến thiên hàm số sau 1) y = −2 x + x − x − ; 2) y = − x − x + 16 x − 31 ; 3 3) y = x − x + x + ; x + x3 − x + ; 5) y = −3 x + 22 x − 51x + 36 x + ; 4) y = 6) y = − x + x + ; 2− x 7) y = ; 1+ x 3x + 8) y = ; 2x + − x2 + 2x − ; x−2 1 10) y = − ; x x−2 3x 11) y = ; x +1 x +1 12) y = ; x 9) y = 13) y = x + + − x ; 14) x2 + x + ; 15) y = x − ; 16) y = x − x ; 17) y = x − + − x ; 18) y = x + + 3 x + + 4 x + + − x + 3 − x + 4 − x ; 19) y = − x − x − − x Bài Chứng minh 1) y = x − đồng biến ( 3; +∞ ) nghịch biến khoảng ( −2;0 ) , ( 0; ) x 3− x 3) y = nghịch biến khoảng xác định 2x +1 2) y = x + x + 3x 4) y = đồng biến khoảng xác định 2x +1 5) y = − x + x + nghịch biến ¡ 6) y = x + cos x đồng biến ¡ D HƯỚNG DẪN HOẶC ĐÁP SỐ Bài 1 Hàm số nghịch biến ¡ ; Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; −4 ) ( 2; +∞ ) , đồng biến ( −4; ) ; Hàm số đồng biến ¡ ; Hàm số 1 1   nghịch biến khoảng ( −∞; −1)  ; ÷, đồng biến khoảng  −1; ÷ 2 2     ( 2; +∞ ) ; Hàm số đồng biến khoảng  −∞; ÷ ( 2;3) , nghịch biến   BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC 1 SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG   3 khoảng  ; ÷ ( 3; +∞ ) ; Hàm số nghịch biến khoảng  −∞; − ÷  ÷ 2       3   ; +∞ ÷ , đồng biến  − ; ÷ ; Hàm số nghịch biến khoảng xác ÷  ÷     định (nghịch biến khoảng ( −∞; −1) ( −1; +∞ ) ); Hàm số đồng biến 3    khoảng xác định (đồng biến khoảng  −∞; − ÷  − ; +∞ ÷ ); Hàm  2   số nghịch biến khoảng ( −∞;0 ) ( 4; +∞ ) , đồng biến khoảng ( 0; ) ( 2; ) ; 10 Hướng dẫn ( x − 1) TXÑ = ¡ \ { 0; 2} , y ' = x2 ( x − 2) Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;0 ) ( 0;1) , đồng biến khoảng ( 1; ) ( 2; +∞ ) 11 Hướng dẫn TXÑ = ¡ , y ′ = ( − x2 (x ) +1 ) Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; −1) ( 1; +∞ ) , đồng biến ( −1;1) 12 Hướng dẫn BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG TXÑ = [ 0; +∞ ) , y ′ = x −1 6x x Hàm số nghịch biến ( 0;1) , đồng biến ( 1; +∞ ) 1  1  13 Hàm số nghịch biến  −2; ÷, đồng biến  ;3 ÷; 14 Hàm số nghịch biến 2     ( −∞; −1) , đồng biến ( −1; +∞ ) ; 15 Hướng dẫn y = x − = ( x − ) ⇒ y'= x−2 x − Hàm số nghịch biến ( −∞; ) , đồng biến ( 2; +∞ ) ; 16 Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;0 ) ( 1; ) , đồng biến khoảng ( 0;1) ( 2; +∞ ) ; 17 Hướng dẫn TXÑ = [ 2;5] ,  1 y′ = −  ( x − 2)     ( − x)  ( x ∈ ( 2;5) ) y' = ⇔ x − = 5− x ⇔ x =  2  >  ÷  ( x − 2) 3   7 x ∈  2; ÷ ⇒   2  2 <  ÷  3  ( − x)   7 Hàm số nghịch đồng  2; ÷, nghịch  2 7  biến  ;5 ÷ 2  7  ⇒ y ' > Tương tự: x ∈  ;5 ÷ ⇒ y ' < 2  18 Hàm số đồng biến ( −3; −1) , nghịch biến ( −1;1) ; 19 Hàm số nghịch biến ( 0;1) , đồng biến ( 1; ) BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG §2 Sự biến thiên hàm số chứa tham số A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Trong tiết học này, ta quan tâm đến vấn đề sau: bậc Sự biến thiên hàm bậc ba, bậc bốn trùng phương, hàm “ bậc ” a) Hàm bậc ba Hàm bậc ba có dạng y = ax3 + bx + cx + d ( a ≠ ) Ta có y ' = 3ax + 2bx + c tam thức bậc hai có ∆ ' = b − 3ac Ta có bảng sau: a + Sự biến thiên y • Đồng biến khoảng ( −∞; x1 ) ( x2 ; +∞ ) ; ∆ + + − − • Nghịch biến khoảng ( x1 ; x2 ) ≤ • Đồng biến ¡ • Nghịch biến khoảng ( −∞; x1 ) ( x2 ; +∞ ) ; + • Đồng biến khoảng ( x1 ; x2 ) ≤ • Nghịch biến ¡ Trong đó, x1 < x2 nghiệm y ' trường hợp y ' có hai nghiệm phân biệt b) Hàm bậc bốn trùng phương Hàm bậc bốn trùng phương có dạng y = ax + bx + c ( a ≠ )  Ta có y ' = 4ax + 2bx = 4ax  x +  a + b ≥0 + − b  ÷ 2a  Sự biến thiên y • y nghịch biến ( −∞;0 ) , đồng biến ( −∞;0 ) ; • Nghịch biến khoảng ( 0; − ( −∞; − ) ) ( • Nghịch biến khoảng ) − 2ba ; +∞ (− ) ) − 2ba ; +∞ • Đồng biến khoảng ( −∞; − − 2ba ) ( 0; − 2ba ( − 2ba • Đồng biến khoảng ( − − 2ba ;0 ) + − 2ba − 2ba ;0 ) − ≤0 • Đồng biến ( −∞;0 ) , nghịch biến ( −∞;0 ) baäc c) Hàm “ bậc ” bậc Hàm “ bậc ” có dạng y = ax + b ( a , c , ad − bc ≠ ) cx + d ad − bc Ta có y ' = cx + d không đổi dấu tập xác định Do đó: ( ) • ad − bc > ⇔ y đồng biến khoảng xác định; • ad − bc < ⇔ y nghịch biến khoảng xác định Điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến khoảng f đồng biến (nghịch biến) ( a; b ) ⇔ f có khoảng đồng biến (nghịch biến) ( a; b ) tập khoảng đồng biến (nghịch biến) B MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ Xét biến thiên hàm số y = x + mx Giải Ta có TXĐ = ¡ , y ' = 12 x + m Ta có hai trường hợp sau • Trường hợp m ≥ ⇒ y ' ≥ ∀x ∈ ¡ ⇒ hàm số đồng biến ¡ m m • Trường hợp m < ⇒ y ' có hai nghiệm phân biệt x1 = − − , x2 = − 12 Bảng biến thiên 12 lim y = −∞ , lim y = +∞ x →−∞ x →+∞ Trong trường hợp này, hàm số đồng  m  m  biến  −∞; − − ÷  − ; +∞ ÷,   12 ÷ 12 ÷      nghịch biến  − −   m m ; − ÷ 12 12 ÷  Ví dụ Tìm m để hàm số y = − x + x + ( 2m + 1) x − 3m + nghịch biến ¡ Giải Ta có y ' = − x + x + 2m + y ' tam thức bậc hai có hệ số x −1 < , ∆ ' = 2m + Do hàm số nghịch biến ¡ ∆' ≤ ⇔ m ≤ − • Chú ý (Điều kiện để tam thức bậc hai có dấu khơng đổi) Xét tam thức bậc hai t ( x ) = ax + bx + c ( a ≠ , ∆ = b − 4ac ) Ta có a > ; ∆ ≤ +) t ( x ) ≥ ∀x ∈ ¡ ⇔  a < ∆ ≤ +) t ( x ) ≤ ∀x ∈ ¡ ⇔  Ví dụ Tìm m để hàm số y = x − ( 2m + 1) x + 6m ( m + 1) x + đồng biến ( 1; ) x = m Giải Ta có y ' = x − ( 2m + 1) x + 6m ( m + 1) y ' = ⇔  x = m +1 lim y = −∞ , lim y = +∞ Bảng biến thiên: x →−∞ x →+∞ Ta thấy hàm số đồng biến ( −∞; m ) ( m + 1; +∞ ) Do hàm số đồng biến ( 1; ) ( 1; ) ⊂ ( −∞; m ) m ≥ ⇔   m ≤ ( 1; ) ⊂ ( m + 1; +∞ )  Ví dụ [ĐHA13] Tìm m để hàm số y = − x + x + 3mx − nghịch biến khoảng ( 0; +∞ ) Giải Ta có y ' = −3x + x + 3m Cách1 y ' tam thức bậc hai có ∆ ' = + 9m • TH1: ∆ ' ≤ ⇔ m ≤ −1 Khi y ' ≤ ∀x ∈ ¡ ⇒ hàm số nghịch biến ¡ nên nghịch biến ( 0; +∞ ) • TH2: ∆' > ⇔ m > −1 x1 = − m + < x2 = + m + Khi đó, y' có hai nghiệm phân biệt P= ≥ 1 + = + + ≥ xyz ( x + y )( y + z )( z + x ) xyz xyz ( x + y )( y + z )( z + x ) 2 + (bdt Cauchy ) xyz xyz ( x + y )( y + z )( z + x) xy + yz + zx ) =1 *xyz ( x + y )( y + z )( z + x) = ( xz + yz )( xy + xz )( yz + xy ) ≤ *xyz = xy yz.zx ≤ ( ≤( xy + yz + zx ) =8 ⇒P≥ 2 3 + = ⇒ MinP = x = y = z = 2 Caùch : Theo bất đẳng thức Cauchy : = xy + yz + zx ≥ 3 xy yz.zx ⇒ xyz ≤ 4 xyz = ≥ ( x + y )( y + z )( z + x) ( xz + yz )( xy + xz )( yz + xy) xyz xyz ≥ = ( xz + yz ) + ( xy + xz ) + ( yz + xy ) [ ] xyz 1 xyz ⇒P≥ + = +( + ) ≥ + = ( Bdt Cauchy ) xyz 2 xyz xyz 2 Bài toán 17 : Cho x,y,z ba số thực dương thay đổi x+y+z = 1.Tìm giá trị lớn biểu thức : P = Giải : Theo bất đẳng thức Cauchy : x yz x + yz + z xy zx + y + zx z + xy x + yz ≥ x yz ⇒ x yz ≤ ( x + yz ) ( x + yz ) x yz ⇒ ≤ = ( x + yz ) x + yz x + yz TT : z xy y zx 1 ≤ ( y + zx ), ≤ ( z + xy ) y + zx z + xy ( x + y + z + xy + yz + zx ) ≤ x+ y y+z z+x (x + y + z + + + )= 2 2 1 ⇒ MaxP = x = y = z = P≤ Bài toán 18 : Cho x,y,z ba số thực dương thay đổi Tìm giá trị lớn biểu thức : P= xyz x+ y+ z + xyz x+ y+z Giaûi : Theo bất đẳng thức Cauchy : t= x + y + z 3 xyz ≥ =3 xyz xyz ⇒P= xyz x+ y+z 8t t 8.3 t 10 + =t+ = +( + )≥ +2 = xyz x+ y+ z t 9 t 9 t ⇒ MinP = 10 khit = ⇔ x = y = z Bài toán 19 : Cho x,y,z ba số thực dương thay đổi x+y+z = 3.Tìm giá trị lớn biểu thức : P= x y (2 + y + x − 2) + y z (2 + z + y − 2) Giaûi : Theo bất đẳng thức Cauchy : + z x(2 + x + z − 2) (1 + y ) + (1 − y + y ) = + y2 4x 4x y ⇒ ≥ = − 2 y (2 + y + x − 2) y (4 y + x) y y + x + y = (1 + y )(1 − y + y ) ≤ 4y TT : ≥ y − z z +y z (2 + z + y − 2) 4z y ≥ − x(2 + x + z − 2) x x + z 1 y y y ⇒ P ≥ ( + + )−( + + )≥ x y z x +z y +x z +y 1 y y y ≥ ( + + )−( + + )= 2 x y z x z y x z2.y 1 1 1 = ( + + )− ( + + )= x y z x y z 1 1 1 = ( + 1) + ( + 1) + ( + 1) − ( + + )−3≥ x y z x y z ≥ 2( 1 1 1 1 + + )− ( + + )−3= ( + + )−3≥ x x y z x y z y z 1 9 ≥ 3 −3= −3≥ −3= 2 x y z x+ y+ z xyz 3 ⇒ MinP = khix = y = z = BT20: Tìm GTLN hàm số: 2x + x3 − 2x + x − + y= x + 3x − Giaûi: 2x + x3 − 2x + x − + y= x + 3x − = x + (9 x − 18)( x + 1) + x + 3x − ≤ ÑK :x ≥ 2 x + (9 x − 18) + ( x + 1) + 3( x + x − 4) = =3 x + 3x − x + 3x −  x + = x − 18  x − x + 19 = 9± ⇔ ⇔x= Dấu “=” xảy  x ≥ x ≥ Bài toán 21 : Cho x, y số thực thay đổi thoả mãn: 2x(1- x) ≥ y(y - 1) Tìm giá trị lớn biểu thức P = x – y + 3xy Giải Ta có: 2x(1 - x) ≥ y(y - 1) ( x + x + y ) ( Bất đẳng thức Cô si – Svac ) ≥ ⇔ 2x + y ≥ x + x + y 2 ( 2x + y ) ⇒ 2x + y ≥ 1+1+1 ( 1) Đặt t = 2x + y (1) thành t2 – 3t ≤ ⇔ 0≤t≤3 Khi : P − = x − y + 3xy − = 1 ( 3x − y + 9xy − ) = ( 3x − 1) ( y + 1) − 8  3 1  =  ( 6x − ) ( y + 1) − 8 2   1   6x + y −  ≤   − 8 = ( 6x + y − ) ( 6x + y + ) (Hằng đẳng thức ÷ 2    24   (a − b) ≥ ⇔ ab ≤ ( = a+b ) ) ( 3t − ) ( 3t + ) ≤ ≤ t ≤ 24 Vậy P ≤ t =  2 2x + y = 2x + y Dấu “ = ” xảy  x = y 6x − = y +  ⇔ x=y=1 Vậy MaxP = x = y = Bài toán 22:Cho a,b,c dương CMR : (ab + bc + ca)([ 1 + + ]≥ 2 (a + b) (b + c) (c + a ) Giải : Do vai trò a,b,c nên ta giả sử : a ≥ b ≥ c Ta chứng minh : 1 + + ≥ + (1) 2 (a + b) (b + c) (c + a ) (b + c)(c + a) 4ab 1 1 (1) ⇔ + − ≥ − 2 (b + c) (c + a ) (b + c )(c + a ) 4ab (a + b) ⇔( ⇔ 1 ( a − b) − ) ≥ b+c c+a 4ab(a + b) ( a − b) ( a − b) ≥ (b + c) (c + a) 4ab( a + b) Do ( a − b) ≥ 0, (c + a) ≤ (a + b) , 4ab ≥ 4b ≥ (b + c) ⇒ ( 2) ⇒ ( 1) Do : (2) 1 1 + + ] ≥ ( ab + bc + ca)([ + ].Ta CM : 2 (a + b) (b + c ) (c + a) 4ab (b + c )(c + a ) (ab + bc + ca )([ + ]≥ (3) 4ab (b + c)(c + a ) ab + bc + ca 2(ab + bc + ca ) (3) ⇔ + ]≥ 4ab (b + c)(c + a ) (ab + bc + ca )([ ⇔ c(a + b) 2[(b + c)(c + a) − c ] + + ]≥ 4ab (b + c)(c + a ) ⇔ c ( a + b) 2c + − ≥ 4ab (b + c)(c + a ) ⇔ c ( a + b) 2c ≥ ⇔ ( a + b)(b + c )(c + a ) ≥ 8abc 4ab (b + c)(c + a ) Theo (4) bất đẳng thức Cô – si (4 ) ⇒ (3 ) (đpcm) Baøi toán 23: Cho x,y,là số thực dương thay đổi x9 + y = Tìm giá x2 y trị nhỏ biểu thức : P = + y x Giải : Do vai trò x,y nên ta dự đoán : MinP=2 x=y = Ta CM : P= x2 y + ≥ ⇔ x + y ≥ xy ⇔ ( x + y )3 ≥ (2 xy )3 y x ⇔ 3( x + y ) ≥ 24 x y ( x3 + y ) (2) ( x + y ) = x + y + x3 y ( x + y ) ⇒ x3 y ( x + y ) = ( x + y )3 − (2) ⇔ 3( x3 + y ) ≥ 8[( x3 + y )3 − 2] ⇔ 3( x + y )4 + 16 ≥ 8( x3 + y )3 (3) Mà : Theo bất đẳng thức Cô – si : 3( x3 + y ) + 16 ≥ 4 ( x + y ) 4 = 8( x + y )3 ⇒ (3) ⇒ (1) ⇒ MinP = x = y = π Bài toán 24: Cho x ∈ (0; ) Tìm giá trị nhỏ hàm số : y = sin x + co t x + co s x + tan x Giải : y = sin x + co t x + co s x + tan x ( y > 0) ⇔ ⇔ y = ( sin x + co t x + co s x + tan x ) ⇔ y = sin x + co s x + (sin x + co t x)(co s x + tan x) = sin x.co s x = sin x + co s x + sin x co s x + sin xco s x + + + sin x.co s x cos x sin x (sin x + co s x) ≥ sin x + co s x + + sin xco s x + + sin x.co s x cos x + sin x B C S Đặt : t = sin x + cos x,1 < t ≤ ⇒ sin x.cos x = t −1 2 t −1 +2 + t +1 = t + + 2(t + 1) = t −1 t −1 cô − si 1 = [( + 1)(t − 1) + ( − 1)(t + 1) + ] + − ( − 1)t + + ≥ t −1 t −1 cô − si ≥ + t − − ( − 1)t + + ≥ + − ( − 1) + + = + 2 π ⇒ Miny = + 2 ⇔ t = ⇔ x = ⇒ y2 = t + Bài toán 25:Cho x,y,z 3số thực khơng âm đơi khác nhau.Tìm giá trị nhỏ biểu thức : p = ( xy + yz + zx)([ 1 + + ] 2 ( x − y ) ( y − z ) ( z − x) Giải : Do vai trò x,y,z nên ta giả sử : z > y > x Đặt : y = x + a y − x = a; z − y = b(a > 0; b > 0) ⇒  z = x + a + b ⇒ P = [ x( x + a) + ( x + a )( x + a + b) + x( x + a + b)][ 1 + 2+ ]= a b ( a + b) 1 + 2+ ]≥ a b ( a + b) 1 a + b a ( a + b) a b a ( a + b) b ≥ a(a + b)[ + + ]= + + = 1+ + + 1− = 2 a b ( a + b) a b a +b a b a +b = [3 x + 2(2a + b) x + a (a + b)][ cô − si a (a + b) b2 = 2+ + b2 a ( a + b) ≥ Dấu” = “ xảy : x = x = x =  ⇔ ⇔ b2  a ( a + b) 2 =  a ( a + b) = b  yz = ( z − y )  b2 a ( a + b)   x = x=0     ⇔  z + ⇔  y = t (t > 0) y =   z = + t    x =   ⇒ MinP = ⇔  y = t (t > 0)  z = + t   2/ Sử dụng hàm số : Bài toán : Cho x,y,z ba số thực không âm thay đổi x+y+z = 1.Tìm giá trị lớn biểu thức : P = xy + yz + zx − xyz Giải : Do vai trò x,y,z nên ta giả sử : x ≤ y x = Min { x; y; z} ⇒  ⇒0≤ x≤ x ≤ z 9x y + z − 9x ⇒ P = yz (1 − ) + x( y + z ) ≤ ( ) ( ) + x(1 − x) = 7 1− x − 9x =( ) ( ) + x(1 − x) = (−9 x3 − x + x + 7) 28 Xét hàm số : 1 (−9 x − x + x + 7),0 ≤ x ≤ 28 ⇒ f / ( x) = (−27 x − x + 5) 28 f / ( x ) = ⇔ x = ; x = − ( L) 1 2 f (0) = ; f ( ) = ⇒ Maxf ( x) = x = 7 f ( x) = Bài toán : Cho x,y,z ba số thực thay đổi thỏa : x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức : P = 2( x + y + z ) − xyz Giải : Vai trò x,y,z nên ta giả sử :  x2 ≥ y  x = max{x , y , z } ⇒  ⇒ x2 ≥ x ≥ z  ⇒ P = x.(2 − yz ) + ( y + z ).2 ≤ x.(2 − yz ) + ( y + z ).2 ≤ ≤ [( x + ( y + z )2 ][4 + (2 − yz ) ] = (9 + yz)(8 − yz + y z ) y + z − x2 = ≤ 3( x ≥ 3) Ta có : yz ≤ 2 Đặt t = yz , t thuộc đoạn [-3 ; ] Khi : P ≤ (9 + 2t )(8 − 4t + t ) Xét hàm số : f (t ) = (9 + 2t )(8 − 4t + t ) = 2t + t − 20t + 72; t ∈ [ −3;3] ⇒ f / (t ) = 6t + 2t − 20 ⇒ f / (t ) = ⇔ t = −2; t = 5 1369 f (−2) = 100; f ( ) = ; f ( −3) = 87; f (3) = 75 27 ⇒ Maxf (t ) = 100 t = −2 ⇒ MaxP = 10 x = 2; y = 2; z = −1 2 y ≥ x  Bài toán : Cho x,y,z hai số thực thay đổi thoûa :   y ≤ −2 x + 3x  (1) (2) Tìm giá trị lớn biểu thức : P = x + y Giải : Từ (1), (2) : x ≤ y ≤ −4 x + x ⇒ x − x ≤ ⇒ ≤ x ≤ (1) ⇒ y ≥ (2) ⇔ y ≤ (−2 x + x) =4x − 12 x + x ⇒ P = x + y ≤ 4x − 12 x3 + 10 x = f ( x) f / ( x) = 16 x − 36 x + 20 x, ≤ x ≤ 324 f (0) = 0, f ( ) = , f (1) = 625 ⇒ P ≤ f ( x) ≤ ⇒ MaxP = x = y = Bài toán : Cho x,y hai số thực thay đổi thỏa : ( x + y )3 +4xy ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P = 3( x + y + x y ) − 2( x + y ) + Giải : Ta có : ( x − y ) ≥ ⇒ ( x + y) ≥ 4xy ⇒ ( x + y)3 +( x + y) ≥ ( x + y)3 +4xy ≥ t +t ≥ (t = x+y) ⇔ (t − 1)(t + 2t + 2) ≥ ⇔ t ≥ ⇔ x + y ≥ P = 3[( x + y ) − x y ] − 2( x + y ) + = 3(u − ( x + y)2 = ) 2 9u ⇒ P ≥ f (u ) = − 2u + 9u ⇒ f / (u ) = − f / (u ) = ⇔ u = (u = x + y ≥ u2 ) − 2u + Lập bảng biến thiên ta : P ≥ f (u ) ≥ 16  t =  ⇒ MinP =  x = y ⇔ x = y = 16 x + y =   x + y + z = Bài toán : Cho x,y,z ba số thực thay đổi thoûa:  2  x +y +z = Tìm giá trị lớn biểu thức : P = x5 + y + z Giải :Ta có: = ( x + y + z ) = x +y +z + x( y + z ) + yz = − x + yz 6 ⇔− ≤ x≤ 3 2 3 2 ⇒ P = x +(y +z )(y +z ) − y z (y + z ) = ⇒ yz = x − ≤ y +z = − x ⇒ x ≤ = x5 +(y +z )[(y +z )(y + z ) − yz (y + z )] − y z (y + z ) = 1 = x5 +(1-x )[ − x(1-x ) + x(x − )] + x(x − ) = (2 x3 − x) 2 Xét hàm số : 6 f ( x) = (2 x − x); − ≤x≤ 3 f / ( x ) = (6 x − 1) f / ( x ) = ⇔ x = ± 6 6 f (− )= f( )=− ; f ( ) = f (− 6 ⇒ P ≤ f ( x) ≤ ⇒ MaxP = khix = 9 6 )= 6 ;y− z = − Bài toán : Cho x,y hai số thực thay đổi thỏa : x ≥ y Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P = x3 − y − 12( x − y ) (1) (2) a = x − y (a ≥ 0) ⇔ x = y + a a a ⇒ P = ( y + a) − y − 12a = 3a[( y + ) − ] + a3 − 12a = a a (a − 4) = 3a ( y + ) + + 2( a − 4) − 32 ≥ −32 Giải : Đặt :  x − y = a  ⇒ MinP = −32 : a = ⇔ x = 2; y = −2  a y + =  3 Bài toán : Cho x,y,z ba số thực dương thay đổi x+y+z = 3.Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P = 3( x + y + z ) − xyz Giải : P = 3[( x + y + z ) − 2( xy + yz + zx )] − xyz = 3[9 − 2( xy + yz + zx )] − xyz = = 27 − x( y + z ) − yz ( x + 3) ≥ 27 − x(3 − x) − ( y + z)2 ( x + 3) = = ( − x3 + 15 x − 27 x − 27) f ( x ) = (− x + 15 x − 27 x − 27), < x < Xét hàm số : ⇒ f / ( x) = (−3x + 30 x − 27) / f ( x) = ⇔ x = Lập bảng biến thiên ta : MinP = ⇔ x = y = z = Bài toán8 : Cho x,y,z ba số thực dương thay đổi thỏa: x +y +z = x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P = + + − ( x + y + z ) Giải : Đặt : t = x + y + z ≤ 3( x + y + z ) ⇒ < t ≤ 1 + + ≥ ⇒ x y z x+ y+z 1 9 P = + + − ( x + y + z) ≥ − ( x + y + z ) = − t = f (t ) x y z x+ y+z t f / (t ) = − − < 0; ∀t ∈ (0; 3] t ⇒ f(t) nghịch biến (0; 3] ⇒ f (t ) ≥ f ( 3) = ⇒ P ≥ f (t ) ≥ f ( 3) = MinP = x = y = z = Baøi : Cho x,y,z ba số không âm thay đổi thỏa x + y + z ≤ Tìm giá trị lớn biểu thức : P = x + xy + xyz Giải : 1 y+z+ 3− x + Cô-si 2 ) ≤ x + x( )2 = P = x + xy ( + z ) ≤ x + x( 2 = (8 x − 56 x + 114 x) = f ( x);0 ≤ x ≤ 16 ⇒ f / ( x) = (24 x − 112 x + 114) 16 27 f / ( x) = ⇔ x = ⇒ f (0) = 0; f (3) = ; f ( ) = 2 9 ⇒ P ≤ f ( x) ≤ ⇒ MaxP = ⇔ x = ; y = 1; z = 2 2 Bài tập tham khảo Bài : Tìm GTLN GTNN hàm số: y= 2x + x3 − 2x + x − + x + 3x − 2 Baøi :Cho x, y >0 x+y=1.Tìm GTNN P= x y + x y 1 Baøi :Cho x,y dương x+y ≤ Tìm Min P bieát : P = x + y + xy + xy Baøi : Cho x,y hai số thực thay đổi thỏa x − xy + y = 12 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức : P = x − xy + y x + 16 y + 13x y − 48 xy Baøi : Cho x,y hai số thực thay đổi thỏa x + y = Tìm giá trị lớn x + xy giá trị nhỏ biểu thức : P = + xy + y Baøi : Cho x,y,z ba số thực thay đổi thỏa x + y + z = Tìm giá trị giá 1 1 trị nhỏ biểu thức : P = x + y + z + xy + yz + zx Bài : Cho x,y,z ba số không âm thay đổi thỏa x + y + z = Tìm giá x y z trị nhỏ biểu thức : P = y + 16 + z + 16 + x3 + 16 (Đs : MinP = ) Bài : Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số : y = − x + x + 12 − − x + x + Baøi : Cho x,y,z laø ba số thực dương thay đổi thỏa x + y + z = Tìm giá trị giá trị nhỏ biểu thức : P = x + y + z + xy + yz + zx Bài 10 : Cho x,y,z làđộ dài ba cạnh tam giác Tìm ø giá trị nhỏ biểu thức : P = 3( x + y + z ) + xyz Baøi 11 : Cho x,y laø hai số dương thay đổi thỏa x3 + y ≤ Tìm giá trị lớn biểu thức : P = 3( x + y ) + x 2013 y 2013 Baøi 12 : Cho x,y,z thuộc [ ; ] x,y,z khác đôi Tìm ø giá trị 1 nhỏ biểu thức : P = ( x − y )2 + ( y − z )2 + ( z − x) cos x Bài 13 : Tìm giá trị nhỏ hàm soá : y = sin x(2 cos x − sin x) Baøi 14 : Cho x,y laø hai số thay đổi thỏa ( x − 4) + ( y − 4)2 + xy ≤ 32 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P = x3 + y + 3( xy − 1)( x + y − 2) Baøi 15 : Cho a ≥ 3, ab ≥ 6, abc ≥ Chứng minh : a + b + c ≥ Baøi 16 : Cho 0