Ph n IV. Không Gian Hilbert và Ph c a toán tầ ổ ủ ử Chapter 3. HILBERT SPACE Gi i thi u: Không gian Hilebert là d ng t ng quát hoá các khái ni m, tínhớ ệ ạ ổ ệ ch t c a không gian Euclide h u h n chi u sang các không gian vô h nấ ủ ữ ạ ề ạ chi u. Không gian Hilbert có các khái ni m tr c giao, góc gi a cácề ệ ự ữ vect là m t nét khá m i m so v i không gian đ nh chu n. Nh v yơ ộ ớ ẽ ớ ị ẩ ờ ậ các đ i t ng c a gi i tích nh dãy s , hàm s có th mô t nh nh ngố ượ ủ ả ư ố ố ể ả ư ữ y u t hình h c. Do đó có th s d ng tr c quan hình h c khi nghiên c uế ố ọ ể ử ụ ự ọ ứ các đ i t ng v a đ c đ c mô t . ố ượ ừ ượ ượ ả Không gian Hilbert là m t tr ng h p riêng c a không gian Banach,ộ ườ ợ ủ là m t d ng không gian h u ích th c s , d thao tác trong các ng d ngộ ạ ữ ự ự ễ ứ ụ c a gi i tích hàm phi tuy n vào v t lý l ng t nói riêng, khoa h c kủ ả ế ậ ượ ử ọ ỹ thu t nói chung. ậ Không gian Hilbert đ c đ t tên c a nhà toán h c ng i đ c tên làượ ặ ủ ọ ườ ứ David Hilbert (1862-1943) ng i đã nghiên c u các đ i t ng này khiườ ứ ố ượ kh o sát ph ng trình tích phân. Bài t p xemả ươ ậ (http://dongphd.blogspot.com) §1 Khái ni m không gian Hilbertệ 1.1 Tích vô h ng.ướ Cho H là không gian vect trên tr ng ơ ườ ( , ).K R C Tích vô h ng xác đ nh trong H là m t ánh x :ướ ị ộ ạ .,. : ( , ) , H H K x y x y < >     < >a tho mãn các đi u ki n sau đâyả ề ệ i. , , , , .x y y x x y H< >=< > ∀  ii. , , , , , , .x y z x z y z x y z H< + > = < > + < > ∀  iii. , , , , , .x y x y x y H K λ λ λ < >= < > ∀ �� iv. , 0, , , 0 0.x x x H x x x< > ∀ < >= =� � � S ố ,x y< > g i là tích vô h ng c a hai véct x và y.ọ ướ ủ ơ C p ặ ( , .,. )H < > đ c g i là không gian ti n Hilbert hay không gian Unita. ượ ọ ề Th ng chúng ta ký hi u không gian Hilbert H thay cho c p ườ ệ ặ ( , .,. )H < > . T đ nh nghĩa tích vô h ng trên ta d dàng suy raừ ị ướ ễ Ths. Tr n Văn S Ch ng III, IV: Lý Thuy t Ph -Toán T Compact, Không Gianầ ự ươ ế ổ ử Hinbert , , , , , , x y x y x y z x y x z λ λ < >= < > < + >=< > + < > v i m i ớ ọ , , , .x y z H K λ � � T đó suy ra tích vô h ng ừ ướ .,.< > là m t d ng song tuy n tính xác đ nhộ ạ ế ị d ng trên H.ươ Các ví d :ụ 1. Ký hi u X=ệ 1 l là t p t t c các dãy s th c ho c ph c ậ ấ ả ố ự ặ ứ ( ) n n x x= tho mãnả 1 | | . n n x  = < +  V i m i ớ ọ ( ) , ( ) n n n n x x y y= = đ nh nghĩaị 1 , . n n n x y x y  = < >=  Khi đó .,.< > là m t tích vô h ng xác đ nh trên X. ộ ướ ị 2. Ký hi u ệ [ , ]a b C là t p các hàm liên t c trên đo n [a, b]. ậ ụ ạ V i m i ớ ọ [ , ] , a b f g C đ nh nghĩa ị , ( ) ( ) b a f g f x g x dx< >=  . Khi đó .,.< > là m t tích vô h ng xác đ nh trên ộ ướ ị [ , ]a b C . 3. Cho ( , , )X µ A là m t không gian đ đo và ộ ộ E  .A . Xét không gian 2 2 ( , ) { : : | | }. E L E f E f d µ µ =    < +  R V i m i ớ ọ 2 , ( , ),f g L E µ  đ nh nghĩaị , . E f g fg d µ < > =  Khi đó .,.< > là m t tích vô h ng xác đ nh trên ộ ướ ị 2 ( , ).L E µ Theorem 1.1.1 Trong không gian ti n Hinbert H, v i m i ề ớ ọ ,x y H ta luôn có 2 | , | , , .x y x x y y< >  < >< > (1.1) D u = x y ra khi và ch khi ấ ả ỉ : .t K y tx∃ =� (1.1) g i là b t đ ng th c Schwarz.ọ ấ ẳ ứ Theorem 1.1.2. N u H là không gian ti n Hilbert thìế ề || || , ,x x x x H= < > ∀  (1.2) xác đ nh m t chu n trên H.ị ộ ẩ Nh v y không gian ti n Hinbert H chính là m t không gian đ nh chu nư ậ ề ộ ị ẩ v i chu n c m sinh t tích vô h ng b i công th c (1.2). T đây các k tớ ẩ ả ừ ướ ở ứ ừ ế Bài gi ng h c ph n Gi i Tích Hàmả ọ ầ ả 230 Ths. Tr n Văn S Ch ng III, IV: Lý Thuy t Ph -Toán T Compact, Không Gianầ ự ươ ế ổ ử Hinbert qu đ c thi t l p t không gian đ nh chu n có th áp d ng đ c choả ượ ế ậ ừ ị ẩ ể ụ ượ không gian ti n Hilbert. ề 1.2 Không gian Hilbert M t không gian ti n Hilbert xem nh không gian đ nh chu n có thộ ề ư ị ẩ ể đ y đ ho c không đ y đ . N u H là không gian ti n Hilbert và đ y đầ ủ ặ ầ ủ ế ề ầ ủ đ i v i chu n c m sinh t tích vô h ng b i công th c (1.2) g i là khôngố ớ ẩ ả ừ ướ ở ứ ọ gian Hilbert. Ví d : Xét l i các ví d 1,2,3 m c 1.1. Ta có X, ụ ạ ụ ụ [ , ]a b C không ph i làả không gian Hilbert v i các chu n t ng ng là ớ ẩ ươ ứ Trong X chu n ẩ 2 1 || || | | , ( ) . n n n x x x x X  = = ∀ =   Trong [ , ]a b C chu n ẩ 1 2 2 [ , ] || || | ( ) | , . b a b a f f x dx f C � � = ∀  � � � �  Riêng 2 ( , )L E µ là không gian Banach v i chu nớ ẩ 1 2 2 2 || || | | , ( , ). E f f d f L E µ µ � � = ∀  � � � �  Nh v y không gian ư ậ 2 ( , )L E µ là m t không gian Hilbert th c. ộ ự Các tính ch t c b nấ ơ ả Theorem 1.3.1 Cho H là không gian ti n Hilbert, ề ( ), ( ) n n x y là hai dãy h i tộ ụ trong H. Khi đó , , . n n n n lim x lim y lim x y< > = < > Nói cách khác tích vô h ng ướ .,.< > là hàm s liên t c trên ố ụ .H H Trong hình bình hành ta luôn có t ng các bình ph ng đ dài 4 c nh b ngổ ươ ộ ạ ằ t ng các bình ph ng đ dài hai đ ng chéo c a hình bình hành. M r ngổ ươ ộ ườ ủ ở ộ k t qu này ta đ c m t k t qu t t h n sauế ả ượ ộ ế ả ố ơ Theorem 1.3.2 Cho H là không gian ti n Hinbert. Khi đóề 2 2 2 2 , , || || || || 2(|| || || || ).x y H x y x y x y∀ + + − = +� (1.3) (1.3) g i là đ ng th c hình bình hành.ọ ẳ ứ Corollarry 1.3.3 Cho H là không gian ti n Hinbert và ề , , .x y z H Ta có đ ngẳ th c Apollonius: ứ 2 2 2 2 1 || || || || 2 || || || || . 2 2 y z x y x z x y z + − + − = − + − Bài gi ng h c ph n Gi i Tích Hàmả ọ ầ ả 231 Ths. Tr n Văn S Ch ng III, IV: Lý Thuy t Ph -Toán T Compact, Không Gianầ ự ươ ế ổ ử Hinbert Theorem 1.3.4 V i m i không gian ti n Hilbert H đ u t n t i m t khôngớ ọ ề ề ồ ạ ộ gian Hinbert H’ ch a H sao cho H là không gian con trù m t trong H’.ứ ậ Ch ng minh: Dùng phép b sung đ y đ c a m t không gian đ nh chu nứ ổ ầ ủ ủ ộ ị ẩ ta đ c m t không gian Banach H’ ch a H sao cho H là không gian đ nhượ ộ ứ ị chu n trù m t trong H’. V i m i ẩ ậ ớ ọ , 'x y H s t n t i các dãy ẽ ồ ạ ( ), ( ) n n x y H sao cho , n n n n x x y y             trong H’. Áp d ng đ ng th c hình bình hành ta cóụ ẳ ứ 2 2 2 2 || || || || 2(|| || || || ). n n n n n n x y x y x y+ + − = + Cho n   ta đ c ượ 2 2 2 2 || || || || 2(|| || || || ).x y x y x y+ + − = + T đó suy ra t n t i m t tích vô h ng trong H’ c m sinh ra chu n c a Hừ ồ ạ ộ ướ ả ẩ ủ và ta có lim , , . n n H H x y x y< > =< > Theorem 1.3.5. Cho S là t p l i đóng khác r ng trong không gian Hilbert Hậ ồ ỗ thì v i m i ớ ọ x H t n t i duy nh t m t ph n t ồ ạ ấ ộ ầ ử s S sao cho || || ( , ) {|| ||: }.x s d x S inf x u u S− = = −  (1.4) Đi m ể s S xác đ nh b i công th c (1.4) g i là đi m chi u c a x lên S. Kýị ở ứ ọ ể ế ủ hi u ệ ( ) S proj x là t p các đi m chi u c a x lên S v i S là t p khác r ng tuỳậ ể ế ủ ớ ậ ỗ ý. N u ế ( ) S proj x ch ch a duy nh t 1 ph n t thì ta nói ỉ ứ ấ ầ ử ( ) S proj x là t p đ n t . ậ ơ ử Theo đ nh lý 1.3.5 n u S là t p l i đóng khác r ng trong H thì v i m iị ế ậ ồ ỗ ớ ọ s S  , ta có ( ) S proj x là t p đ n t .ậ ơ ử M t đi m có th có m t đi m chi u, nhi u đi m chi u và cũng có khiộ ể ể ộ ể ế ề ể ế không có đi m chi u nào. T p không có đi m chi u nào thì ể ế ậ ể ế ( ) . S proj x φ = Quan sát hình sau 1 s 8 s S 4 s 5 s 2 s 6 s 3 s 1 C 9 s 7 s 9 C 7 C Bài gi ng h c ph n Gi i Tích Hàmả ọ ầ ả 232 Ths. Tr n Văn S Ch ng III, IV: Lý Thuy t Ph -Toán T Compact, Không Gianầ ự ươ ế ổ ử Hinbert Hình H1. ng d ng c a đ nh nghĩa phép chi u m t vect lên m t t p h p đóngỨ ụ ủ ị ế ộ ơ ộ ậ ợ trong không gian Hilbert dùng đ đ nh nghĩa các khái ni m nón pháp tuy nể ị ệ ế x p x , d i Gradient x p x . ấ ỉ ướ ấ ỉ Bài t p:ậ Bài 1. Trong 2 l v i ớ ( ), ( ) n n x x y y= = ta đ nh nghĩaị 1 , . n n n x y x y  = < >=  Ch ng minh ứ 2 ( , .,. )l < > là không gian Hilbert th c.ự Bài 2. Cho không gian ti n Hilbert H, ề , , , .x y u v H Ch ng minhứ || |||| || || |||| || || |||| || .x u y v x y u v y u x v− −  − − + − − D u = x y ra khi nào?ấ ả Bài 3. G i ọ 1 7 9 , ,x x x l n l t là tâm các đ ng tròn ầ ượ ườ 1 C , 7 C , 9 C t ng ngươ ứ hình (H1). Hãy xác đ nh ị ( ), 1, 7, 9. S k proj x k k k= = = Bài 4. Cho S là m t t p đóng trong không gian Hinbert th c H v iộ ậ ự ớ dim .H < + Ch ng minh r ng ứ ằ , ( ) . S x H proj x φ ∀ ι Bài 5. Cho H là không gian Hilbert th c, ự , , .S H x H s S� � � Ch ng minh 4ứ đi u ki n sau t ng đ ngề ệ ươ ươ i. Pr ( ), S s oj x ii. 2 1 , ' || ' || ' , 2 x s s s s s s S< − − > − ∀  iii. Pr ( ( ) ), [0,1], S s oj s t x s t+ − ∀� � iv. ( ( ), ) || ||, [0,1].d s t x s S t x s t+ − = − ∀  Bài 6. Cho S là t p con khác r ng trong không gian Hilbert H. Ch ng minhậ ỗ ứ r ngằ ( , ) 0.x S d x S =� � Bài 7. Cho H là không gian hilbert, T là toán t tuy n tính t H vào H thoử ế ừ ả mãn , , , .Tx y x Ty x y H< >=< > ∀  Ch ng minh T liên t c.ứ ụ Bài gi ng h c ph n Gi i Tích Hàmả ọ ầ ả 233 Ths. Tr n Văn S Ch ng III, IV: Lý Thuy t Ph -Toán T Compact, Không Gianầ ự ươ ế ổ ử Hinbert Bài 8. Cho H là không gian Hilbert, T là toán t tuy n tính t H vào H.ử ế ừ Ch ng minh r ng n u v i m i ứ ằ ế ớ ỗ ,u H phi m hàm ế ,x Tx u x H< > ∀ a đ u liên t c thì T liên t c.ề ụ ụ §2. Khái ni m tr c giao-chu i Fourierệ ự ổ 2.1 Khái ni m tr c giao. H tr c giaoệ ự ệ ự 2.1.1 Define Cho không gian ti n Hilbert H, ề , , , , .x y H S M N H� � Ta nói 1. x tr c giao v i y (vi t ự ớ ế x y⊥ ) n u ế , 0x y< >= . 2. x tr c v i S (vi t ự ớ ế x S⊥ ) n u ế , .x s s S⊥ ∀  3. M tr c giao v i N (vi t ự ớ ế M N⊥ ) n u ế , , .m n m M n N⊥ ∀ ∀� � 4. S là h tr c giao n u ệ ự ế , , .x y S x y x y∀ι ⊥� 5. H tr c giao S là m t h tr c chu n n u ệ ự ộ ệ ự ẩ ế || || 1.x S x∀ =�� Nh v y ư ậ { : 1,2,3, } n S x n= = là m t h tr c chu n n uộ ệ ự ẩ ế 1, , . 0, n m i f m n x x if m n =  < > =    Ký hi u ệ { : }.M x H x M ⊥ = ⊥� 2.1.2 Properties 1. , .x S x S x S⊥ ⊥< > ⊥� 2. .S S ⊥ ⊥ = 3. ( , , 1, , ) i j x x i j i j m∀ ⊥ ∀  =  2 2 2 2 1 2 1 2 || || || || || || || || . m m x x x x x x+ + + = + + + (1.5) (1.5) g i là đ ng th c Pythagoras. ọ ẳ ứ Theorem 2.1.3 Cho { : 1,2, } n x n = là m t h tr c giao đ m đ c trongộ ệ ự ế ượ không gian Hilbert H. Khi đó 1 n n x  =  h i t ộ ụ 2 1 || || n n x  =   h i t .ộ ụ H n n a ta có ơ ử 2 2 1 1 || || || || . n n n n x x   = = = � � Theorem 2.1.4 Cho h tr c chu n ệ ự ẩ { : 1,2, } n x n = trong không gían Hilbert H và ( ) . n K λ  Khi đó 2 1 1 | | n n n n n x x λ λ   = = =  � � h i t và ộ ụ 2 2 1 || || | | . n n x λ  = =  Bài gi ng h c ph n Gi i Tích Hàmả ọ ầ ả 234 Ths. Tr n Văn S Ch ng III, IV: Lý Thuy t Ph -Toán T Compact, Không Gianầ ự ươ ế ổ ử Hinbert Ch ng minh: Áp d ng cho h tr c giao ứ ụ ệ ự { : 1,2, } n n x n λ = . Theorem 2.1.5 Gi s ả ử { : 1,2, } n x n = là m t dãy vect đ c l p tuy n tínhộ ơ ộ ậ ế trong không gian hilbert H. Khi đó t n t i các s ồ ạ ố ( 1) i n a n i>  sao cho các vect ơ 1 1 i n n n i n i y a x x − = = +  là tr c giao và tho mãn ự ả 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) n n x x x y y y< >  < > . Ch ng minh: V i ứ ớ 1 1 1 .n y x= =� Gi s đã tìm đ c các vectả ử ượ ơ , 1,2, , 1 j y j n= − (n>1), ta s tìm vect d i d ngẽ ơ ướ ạ 1 1 i n n n i n i y x x λ − = = +  . Đ có ể ( 1,2, , 1) n j y y j n⊥ = − ta ph i cóả 2 0 , || || , , 1,2, , 1, j n j n j n j y y y x y j n λ =< >= + < > = − hay tìm đ c các s ượ ố 2 , . || || j n j n j x y y λ < > = − V i cách tìm trên thìớ ( 1,2, , 1) n j y y j n⊥ = − . Theo gi thi t quy n p ả ế ạ 1 2 1 1 2 1 ( , , , ) ( , , , ) n n x x x y y y − − < >  < > do đó t n t i các s ồ ạ ố j n a đ ể 1 1 i n n n i n i y a x x − = = +  . Cu i cùng rõ ràng là ố 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) n n x x x y y y< >  < > . 2.2 Phép chi u tr c giaoế ự Cho M, N là các không gian con c a không gian ti n Hilbert H và ủ ề M N⊥ , khi đó { 0 }.M N =� T p ậ M ⊥ g i là ph n bù tr c giao c a M. H nọ ầ ự ủ ơ n a ử M ⊥ là m t không gian con đóng c a H. ộ ủ Theorem 2.2.1 Gi s M là m t không gian con đóng c a không gianả ử ộ ủ Hilbert H. Khi đó m i ph n t ỗ ầ ử x H đ u t n t i duy nh t m t c pề ồ ạ ấ ộ ặ ( , )y z M M ⊥ δ sao cho .x y z = + H n n a ơ ử y M là vect tho đi u ki n ơ ả ề ệ || || || || ( , ) || || . u M x y z d x M inf x u  − = = = − Ch ng minh:ứ S t n t i: Đ t ự ồ ạ ặ ( , ).d d x M= Theo đ nh nghĩa infimium t n t i dãyị ồ ạ ( ) n y M sao cho lim || || . n x y d− = Ta ch ng minh dãy ứ ( ) . n n y y M        Vì M là không gian con đóng c aủ không gian Hilbert H nên M là không gian Hilbert, vì v y ta đi ki m tra ậ ể ( ) n y là dãy c b n trong M. ơ ả Bài gi ng h c ph n Gi i Tích Hàmả ọ ầ ả 235 Ths. Tr n Văn S Ch ng III, IV: Lý Thuy t Ph -Toán T Compact, Không Gianầ ự ươ ế ổ ử Hinbert Áp d ng đ ng th c Apollonius cho 3 vect ụ ẳ ứ ơ , , ( , ). n m x y y m n R Ta có ( ) 2 2 2 2 4 || || 2 || || || || 2 n m n m n m y y x y y y x y x + − + − = − + − Do M là không gian con nên 2 m n y y M +  và 2 2 . 2 m n y y x d + −  V y ậ ( ) 2 2 2 2 0 || || 2 || || || || 4 0. n m n n m y y y x y x d    −  − + − −     Do M đ y đ nên t n t i ầ ủ ồ ạ y M sao cho lim . n y y= Ta k t lu n ế ậ || || lim || || . n d x y x y= − = − Ti p theo đ t ế ặ z x y= − thì .x y z= + Ta có .z M ⊥  Tính duy nh t. Gi s có thêm c p ấ ả ử ặ ( ', ')y z M M ⊥ δ sao cho ' '.x y z y z= + = + Khi đó ' ' {0}.y y z z M M ⊥ − = − =�� Nên ', '.y y z z= = Theorem 2.1.2 Gi s không gian Hilbert H có c s tr c chu nả ử ơ ở ự ẩ 1 { , , } n E e e= và .M E =< > Khi đó m i vect ỗ ơ x H  có hình chi u tr c giaoế ự y lên không gian con M đ c bi u di n nh sauượ ể ễ ư 1 , . n i i i y x e e = = < >  Ch ng minh: Ta có E là c s c a M nên M là không gian h u h n chi uứ ơ ở ủ ữ ạ ề nên M đóng trong H. Áp d ng đ nh lý hình chi u tr c giao ta có ụ ị ế ự , , .x y z y M z M ⊥ = + �� Ta có 1 . n i i i y a e = =  Suy ra 1 , , , 1,2, , . n j i i j j i x e a e e a j n = < >=< > = =  Thay vào có đ c đi u c n ch ng minh.ượ ề ầ ứ 2.3 Chu i Fourier trong không gian Hilbertỗ Gi s ả ử { | } n E e n N=  là c s tr c chu n trong không gian Hilbert. Ta cóơ ở ự ẩ Define 2.3.1. Cho ,x H chu i hình th c ổ ứ 1 , n n n x e e  = < >  g i là chu i Fourierọ ổ c a vect x đ i v i h tr c chu n E, các s ủ ơ ố ớ ệ ự ẩ ố , n x e< > g i là h s Fourierọ ệ ố th n c a x đ i v i h E.ứ ủ ố ớ ệ Theorem 2.3.1. 2 2 1 1 , , , | , | || || . n n n n n x H x e e x e x   = = ∀ < > < >� � � � ] (1.2) B t đ ng th c (1.2) g i là b t đ ng th c Bessel.ấ ẳ ứ ọ ấ ẳ ứ Bài gi ng h c ph n Gi i Tích Hàmả ọ ầ ả 236 Ths. Tr n Văn S Ch ng III, IV: Lý Thuy t Ph -Toán T Compact, Không Gianầ ự ươ ế ổ ử Hinbert 2.4 C s tr c chu nơ ở ự ẩ Define 2.4.1. Gi s ả ử 1 2 { , , }E e e= là m t h tr c chu n đ m đ c c aộ ệ ự ẩ ế ượ ủ không gian Hilbert H. Ta g i E là m t c s tr c chu n hay m t h tr cọ ộ ơ ở ự ẩ ộ ệ ự chu n đ y đ trong H n u ẩ ầ ủ ế .E H= Theorem 2.4.2. Gi s ả ử { : 1} n e n  là m t h tr c chu n trong không gianộ ệ ự ẩ Hilbert H. Khi đó 4 m nh đ sau t ng đ ngệ ề ươ ươ a. { : 1} n e n  là m t c s tr c chu n.ộ ơ ở ự ẩ b. 1 , , . n n n x H x x e e  = ∀ = < >�  c. 1 , , , , , . n n n x y H x y x e y e  = ∀ < >= < > < >�  d. 2 2 1 , || || | , | . n n x H x x e  = ∀ = < >�  Ch ng minh:ứ :a b  Ta có 1 , , . n n n x H x e e  = ∀ < >�  ] Đ t ặ 1 , . n n n y x x e e  = = − < >  V i m i ớ ỗ , , 0. m m N y e< >=� Nh v y ư ậ 0.y M M H y y y ⊥ ⊥ ⊥ = = ⊥ =� � � V i ớ { : 1} . n M e n=<  > :b c 1 1 1 1 1 1 , lim , , , lim , , , lim , , , , . n n n m i i j j i j i j n n i j i j n i i i i n i i x y x e e x e e x e y e e e x e y e x e y e     = = = =    = = < >= < < > < > >= < > < > < > = < > < > = < > < > � � �� � � :c d Thay .y x= :d a Ta có .H M M ⊥ =  Ta ch c n ch ng minh ỉ ầ ứ {0}.M ⊥ = V i m i ớ ọ z M M ⊥ ⊥ =� ta có .z M ⊥ V y ậ , 0, 1. n n z e z e n⊥ < >= ∀� � Áp d ng d trên ta có ụ 2 2 1 || || | , | 0 0. n n z z e z  = = < > = =�  V y ậ .H M= Ví d 2.4.3. V i m i ụ ớ ỗ n  N xét { (0,0, ,0, 1, 0 ,0, ) n n e = . Ta có { : 1} n e n  là m t h tr c chu n trong không gian ộ ệ ự ẩ 2 .l Th t v y, v i m i ậ ậ ớ ọ 2 2 2 ( ) , , | , | | | . n n n n n x x l x e x x e x= < >= < > =� � H n n a ơ ử Bài gi ng h c ph n Gi i Tích Hàmả ọ ầ ả 237 Ths. Tr n Văn S Ch ng III, IV: Lý Thuy t Ph -Toán T Compact, Không Gianầ ự ươ ế ổ ử Hinbert 2 2 2 1 1 || || | | | , | . n n n n x x x e   = = = = < > � � Theo đ nh lý 2.4.2 trên h ị ở ệ { : 1} n e n  là m t c s tr c chu n trong khôngộ ơ ở ự ẩ gian 2 l v i tr ng s ph c. ớ ườ ố ứ Theorem 2.4.3 (Riesz-Fischer). Cho H là không gian Hilbert và { : 1} n e n  là m t c s tr c chu n đ m đ c c a H. N u ộ ơ ở ự ẩ ế ượ ủ ế ( ) n K λ  sao cho 2 1 | | n n λ  = < +  thì s t n t i duy nh t m t vect ẽ ồ ạ ấ ộ ơ x H  nh n cácậ , ,( 1) n n x e n λ =< >  làm h s Fourier.ệ ố Ch ng minh: Do ứ 2 1 | | n n λ  = < +  nên 1 . n n n e λ  =  ] Đ t ặ 1 , n n n x e H λ  = =   khi đó v iớ m i ỗ k  N ta có 1 , , . k n n k k n x e e e λ λ  = < >=< >=  V y x nh n các ậ ậ , ,( 1) n n x e n λ =< >  làm h s Fourier.ệ ố N u có x’ nh n các ế ậ , ,( 1) n n x e n λ =< >  làm h s Fourier thì ệ ố 1 , , ', . k n n k k k n x e e e x e λ λ  = < >=< >= =< >  Suy ra '.x x= Theorem 2.4.4. Không gian Hilbert H có c s tr c chu n h u h n ho cơ ở ự ẩ ữ ạ ặ đ m đ c khi và ch khi H là không gian kh ly. ế ượ ỉ ả Ch ng minh:ứ Gi s H kh ly nên t n t i ả ử ả ồ ạ 1 2 { , , }A a a H=  là m t t p h u h nộ ậ ữ ạ hay đ m đ c trù m t kh p n i. ế ượ ậ ắ ơ N u ế 1 1 , , n n a a a − < >� thì lo i b ạ ỏ n a và thu đ c m t t p đ c l p tuy nượ ộ ậ ộ ậ ế tính 1 2 { , , }B b b A=  . Ta có .A B < >=< > Áp d ng ph ng pháp tr c chu n hoá Schmidth cho h ụ ươ ự ẩ ệ 1 2 { , , }b b ta thu đ c h tr c chu n ượ ệ ự ẩ 1 2 { , , }.e e Ta có 1 2 1 2 { , , , , } { , , , , } . n n H A A b b b e e e H= < > = < > = < >� � Suy ra 1 2 { , , , , } . n H e e e= < > Ng c l i:ượ ạ G i ọ { : 1} n M e n=  là c s tr c chu n h u h n ho c đ m đ c trong H.ơ ở ự ẩ ữ ạ ặ ế ượ Đ t ặ .Z M H Z=< > =� Bài gi ng h c ph n Gi i Tích Hàmả ọ ầ ả 238 [...]... nhưng không phải là giá trị riêng Bài giảng học phần Giải Tích Hàm 251 Ths Trần Văn SựChương III, IV: Lý Thuyết Phổ-Toán Tử Compact, Không Gian Hinbert 4/ Số µ σ (T ) gọi là giá trị chính quy của T nghĩa là tồn tại (T − µ I ) −1 L ( X ) Tập C \ σ (T ) được gọi là tập hợp giải của toán tử T, ký −1 hiệu ρ (T ) còn toán tử Rµ (T ) = (T − µ I ) gọi là toán tử giải hay giải thức của toán tử T 2.2 Các tính chất:... hay B(λ0 , r ) ρ (T ) Bài tập: Bài 43 Xét toán tử Bài giảng học phần Giải Tích Hàm 253 Ths Trần Văn SựChương III, IV: Lý Thuyết Phổ-Toán Tử Compact, Không Gian Hinbert T : L2 [ 0, 1] x a L2 [ 0, 1] Tx t a (Tx )(t ) = tx (t ) Tìm σ (T ) và tập các giá trị riêng của T Bài 44 Giả sử T là toán tử bị chặn trong không gian Banach X và λ σ (T ) Chứng minh rằng |λ | n 1 n lim || T || n Bài 45 Xét toán tử T... Hilbert Bài 13 Cho H là không gian Hilbert có cơ s ở trực chu ẩn đ ếm đ ược E = {e1 , e2 , } Chứng minh S = {xn = n +1 en : n 1} n là tập đóng trong H H * \{0} Ký hiệu M = Kerf = {x �H : f ( x) = 0} Bài 14 Cho H là không gian Hilbert và f Chứng minh M ⊥ là không gian con một chiều của H Bài giảng học phần Giải Tích Hàm 240 Ths Trần Văn SựChương III, IV: Lý Thuyết Phổ-Toán Tử Compact, Không Gian Hinbert Bài. .. x|| =1 Bài giảng học phần Giải Tích Hàm 246 Ths Trần Văn SựChương III, IV: Lý Thuyết Phổ-Toán Tử Compact, Không Gian Hinbert Bài tập Bài 30 Giả sử T : L2 [0,1] L2 [0,1] xác định bởi (Tx )(t ) = tx (t ), ∀ t [0, 1] Chứng minh T là toán tử tự liên hiệp và tính || T || Bài 31 Cho H là không gian Hilbert và T , T ' L ( H ) là toán tử tự liên hiệp Chứng minh rằng || T + T ' ||= || (T + T ') 2 || Bài 32... rằng T compact BÀI TẬP ÔN TẬP KIỂM TRA BÀI TẬP Bài 52 Ký hiệu C[0, 1] là không gian các hàm liên tục trên đoạn [0, 1] với C[0,1] , x a Tx xác định bởi chuẩn “max” Đặt T : C[0,1] a (Tx)(t ) = x(1) − tx(t ) ∀ t [0,1] b (Tx)(t ) = x(t ) − x(1 − t ), ∀ t [0,1] c (Tx)(t ) = x(0) − tx(t ) ∀ t [0,1] d (Tx)(t ) = x(t ) − tx(t ) ∀ t [0,1] Bài giảng học phần Giải Tích Hàm 261 Ths Trần Văn SựChương III, IV:... = T (Đpcm) Bài tập Bài 27 Cho T : L2 [0,1] L2 [0,1] xác định bởi t a x a Tx, t �[0,1] a Tx(t ) = tx( s )ds 0 Bài giảng học phần Giải Tích Hàm 245 Ths Trần Văn SựChương III, IV: Lý Thuyết Phổ-Toán Tử Compact, Không Gian Hinbert t b x a Tx, t �[0,1] a Tx (t ) = sx( s)ds 0 t c x a Tx, t �[0,1] a Tx(t ) = x( s)ds 0 Chứng minh các toán tử trên tuyến tính liên tục và tìm toán tử liên hợp T * Bài 28 Cho... xn w x Bài 24 Giả sử E = {en : n 1} là hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert H và ( yn ) trực giao với các en , n = 1, 2,3 có || yn ||= 1 Chứng minh rằng yn w 0 Bài 25 Giả sử H và H’ là không gian tiền Hilbert và T : H toàn ánh bảo toàn tích vô hướng nghĩa là < Tx, Ty >=< x, y >, ∀x, y Chứng minh rằng T là một toán tử tuyến tính Bài giảng học phần Giải Tích Hàm 243 H H ' là một Ths Trần Văn SựChương... phương trình tích phân thường gặp 4.2.1 Phương trình tích phân tuyến tính với nhân K(s, t) có dạng Bài giảng học phần Giải Tích Hàm 260 C[ a , b ] [ a , b ] Ths Trần Văn SựChương III, IV: Lý Thuyết Phổ-Toán Tử Compact, Không Gian Hinbert b x( s ) − K ( s, t ) x(t )dt = f ( s), s [a, b ] a trong đó f là hàm số liên tục trên đoạn [a, b] 4.2.2 Phương trình tích phân Fredhom có dạng b x( s ) − µ K ( s, t )... Compact Bài giảng học phần Giải Tích Hàm 250 n =1 || Ten ||2 ] Chứng Ths Trần Văn SựChương III, IV: Lý Thuyết Phổ-Toán Tử Compact, Không Gian Hinbert Bài 41 Giả sử (em : m 1) là một cơ sở trực chuẩn trong không gian Hilbert H và T L ( H ) là một toán tử compact Chứng minh rằng Ten n 0 Bài 42 Cho X, Y là các không gian định chuẩn và T L ( X ) là một toán tử compact Chứng minh rằng không gian con T(X) của. .. x ạ khi và chỉ khi không gian liên hợp X* là không gian Phản xạ Bài giảng học phần Giải Tích Hàm 262 Ths Trần Văn SựChương III, IV: Lý Thuyết Phổ-Toán Tử Compact, Không Gian Hinbert Bài 60 Cho X là không gian định chuẩn và M là một tập con của X Gi ả sử với mọi f X * ta có sup | f ( x) | < + Chứng minh rằng M là tập bị chặn x M trong X Bài 61 Cho X là không gian tuyến tính và A là t ập con ch ứa trong . (Đpcm) Bài t p.ậ Bài 27. Cho 2 2 : [0,1] [0,1]T L L   xác đ nh b iị ở a. 0 , [0,1] ( ) ( ) . t x Tx t Tx t tx s ds=�  a a Bài gi ng h c ph n Gi i Tích Hàm ọ ầ ả 245 Ths. Tr n Văn S Ch. x = = = < > (Đpcm). Bài gi ng h c ph n Gi i Tích Hàm ọ ầ ả 246 Ths. Tr n Văn S Ch ng III, IV: Lý Thuy t Ph -Toán T Compact, Không Gianầ ự ươ ế ổ ử Hinbert Bài t pậ Bài 30. Gi s ả ử 2 2 :. con m t chi u c a H. ộ ề ủ Bài gi ng h c ph n Gi i Tích Hàm ọ ầ ả 240 Ths. Tr n Văn S Ch ng III, IV: Lý Thuy t Ph -Toán T Compact, Không Gianầ ự ươ ế ổ ử Hinbert Bài 15. Gi s L là không gian