Chương 3: Véc tơ không gian Quan hệ vuông góc §1: VÉC TƠ TRONG KHƠNG GIAN SỰ ĐỒNG PHẲNG CỦA CÁC VÉC TƠ A LÝ THUYẾT Định nghĩa phép tốn • Định nghĩa, tính chất, phép tốn vectơ khơng gian xây dựng hồn tồn tương tự mặt phẳng • Lưu ý: uu uu uu ur ur ur + Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: AB + BC = AC uu uu uu ur ur ur + Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: AB + AD = AC u u u u u u u ur ur ur u r u u + Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′, ta có: AB + AD + AA ' = AC ' + Hê thức trung điểm đoạn thẳng: Chourlà trung điểm đoạn thẳng AB, O tuỳ ý uI u u ur u ur u ur ur r u u Ta có: IA + IB = ; OA + OB = 2OI + Hệ thức trọng tâm tamur u u uG trọng u u tam u ABC, O tuỳ ý Ta có: tâm u u u giác u u u giác: Cho ur r u ur u ur ur ur ur GA + GB + GC = 0; OA + OB + OC = 3OG + Hệ thức trọng tâm tứ diện:u u G u trọng tâm tứu u u u u Ou u ý Tarcó: u u Cho u u u r ur ur ur ur u r uABCD, ur udiện r ur tuỳ u u u GA + GB + GC + GD = 0; OA + OB + OC + OD = 4OG r r r r r r + Điều kiện hai vectơ phương: a vaø b phương (a ≠ 0) ⇔ ∃! k ∈ R : b = ka + Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k ≠ 1), O tuỳ ý Ta có: uu uu ur ur uu ur uu ur u u OA − kOB uu r MA = k MB; OM = 1− k Sự đồng phẳng ba vectơ • Ba vectơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng r r r r r • Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a , b , c , a b không phương r r r r r r Khi đó: a, b , c đồng phẳng ⇔ ∃! m, n ∈ R: c = ma + nb r r r r • Cho ba vectơ a, b , c không đồng phẳng, x tuỳ ý r r r r Khi đó: ∃! m, n, p ∈ R: x = ma + nb + pc Tích vơ hướng hai vectơ • Góc hai vectơ khơng gian: uu r uu r ur ur r r · · AB = u , AC = v ⇒ (u , v ) = BAC (00 ≤ BAC ≤ 180 ) • Tích vơ hướng hai vectơ không gian: rr r r r r r r r + Cho u , v ≠ Khi đó: u.v = u v cos(u , v ) rr r r r r + Với u = hoaëc v = Qui ước: u.v = r r rr + u ⊥ v ⇔ u v = B CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Sử dụng phép tốn véc tơ tính chất Cần nhớ:     Quy tắc điểm Hệ thức véc tơ trung điểm Điều kiện điểm thẳng hàng Các cơng thức tích vơ hướng Chương 3: Véc tơ không gian Quan hệ vuông góc Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD I, J trung điểm AB CD Chứng minh rằng: u u u u u uu r ur ur u r IJ = ( AC + AD - AB ) Ví dụ 2: Cho hình hộp ABCD A’B’C’D’ Đường chéo AC’ cắt mp(A’BD) G1 Chứng minh G1 trọng tâm tam giác A’BD ur u uu uu ur ur uu ur Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD E, F điểm xác định BE = k BC ; AF = k AD Chứng minh trung điểm đoạn AB, CD, EF thẳng hàng Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD có AB=2a; CD=2b; I, J trung điểm AB, CD IJ=2c M điểm Chứng minh rằng: a) MA2 + MB = MI + 2a b) MA2 + MB + MC + MD = 4MG + 2(a + b + c ) , với G trọng tâm tứ diện Suy vị trí M để MA2 + MB + MC + MD đạt GTNN Ví dụ 5: Cho hình hộp ABCD A’B’C’D’ có B’C’ =CD M, N hai điểm di động hai cạnh B’C’ CD cho B’M=CN E giao điểm hai đường chéo mặt BCC’B’ I trung điểm của u ur u u u u ur ur u MN Hãy biểu thị véc tơ EI theo hai véc tơ B ' C ', CD Suy điểm I di động đường thẳng cố định Dạng 2: Chứng minh ba véc tơ đồng phẳng Ví dụ 1: Cho hình hộp ABCD A’B’C’D’ M, N trung điểm AD C’D’ Chứng minh u u u u u ur ur u r uu ba véc tơ MN , AC ', DD ' đồng phẳng r r r u r r ì a + 2b + 3c + 2d = ï r r r u r r r u r ï Ví dụ 2: Cho véc tơ a, b, c, d thỏa mãn í r r r u r Chứng minh ba véc tơ b, c, d r ï 2a - 5b - 7c + 7d = ï ï ỵ đồng phẳng Ví dụ 3: cho hai nửa đường thẳng Ax, By chéo M, N hai điểm di động trên Ax, By ; E, I trung điểm AB MN Chứng minh điểm I nằm mặt phẳng cố định uu ur uu u u u u u u u r ur ur ur uu ur Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD điểm M, N định bởi: AM = AB - AC , DN = DB + xDC a) Các điểm M, N thuộc mặt phẳng tứ diện b) Định x để đường thẳng AD, BC, MN song song với mặt phẳng C BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Cho hai tứ diện ABCD A’B’C’D’ có trọng tâm G G’ Chứng minh u u u u u u u ur ur ur ur uu uu ur AA ' + BB ' + CC ' + DD ' = 4GG ' Suy điều kiện để hai tứ diện có trọng tâm Bài 2: Cho tứ diện ABCD Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện: uu uu uu uu ur ur ur ur uu u u u r ur MA + MB + MC + MD = AB + AC Bài 3: Cho tứ diện ABCD Gọi G trọng tâm tam giác BCD O trung điểm AG u r uu u u u u r u u r ur ur a) Chứng minh: 3OA + OB + OC + OD = b) M điểm bất kì, Chứng minh rằng: 3MA2 + MB + MC + MD = 6MO + 3OA2 + OB + OC + OD Suy vị trí M để biểu thức 3MA2 + MB + MC + MD đạt GTNN Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành, tâm O I trung điểm SO điểm ur u ur u E thỏa mãn SE = xSC Định x để điểm A, E, I thẳng hàng Bài 5: Cho tứ diện ABCD M, N trung điểm AB CD P, Q điểm định ur u uu u u ur ur uu ur uu uu uu u r ur u r BP = k BC , AQ = k AD Chứng minh ba véc tơ MN , MP, MQ đồng phẳng Chương 3: Véc tơ không gian Quan hệ vng góc Bài 6: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ M, N trung điểm CD DD’; G, G’ trọng tâm tứ diện A’D’MN BCC’D’ Chứng minh GG’ song song với mp(ABB’A’) §2: HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC A LÝ THUYẾT r r r Vectơ phương đường thẳng: a ≠ VTCP d giá a song song trùng với d Góc gia hai ng thng: ả Ã ã a//a, b//b ( a, b ) = ( a ', b ' ) r r r r • Giả sử u VTCP a, v VTCP b, (u, v ) = α  neáu 00 ≤ α ≤ 1800 ¶ ( a, b ) = α Khi đó:  0 180 − α 90 < 180 ả ã Nu a//b hoc a ≡ b ( a, b ) = 0 ¶ Chú ý: 0 ≤ ( a, b ) ≤ 90 Hai đường thẳng vng góc: ¶ • a ⊥ b ⇔ ( a, b ) = 900 r r rr • Giả sử u VTCP a, v VTCP b Khi a ⊥ b ⇔ u.v = • Lưu ý: Hai đường thẳng vng góc với cắt chéo B CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có AB=CD; E, F trung điểm BC AD Chứng minh · · ( AB, EF ) = (CD, EF ) Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có AB=5 cm, AC=7 cm; BD= 57 cm; CD=9 cm Chứng minh hai đường thẳng BC AD vuông góc Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD cạnh a, G tâm tam giác BCD a) Chứng minh AG vng góc với CD b) M trung điểm CD, tính góc hai đường thẳng AC BM C BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi M trung điểm CD, tính góc hai đường thẳng AC BM Bài Cho tư diện ABCD có AB ^ CD, AC ^ BD Chứng minh rằng: AD ^ BC · · Bài 3: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có tất cạnh a B ' BA = B ' BC = 60o Chứng minh rằng: AB vng góc với B’C · · · · Bài 4: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD = a; BAC = BAD = 60o ; CAD = CBD = 90o Tính góc hai đường thẳng AB DM ( M trung điểm BC) Bài Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm cạnh AB, CD Tính góc tạo DM BN Bài Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c Tính góc tạo hai đường AB CD §3: ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG A LÝ THUYẾT: Chương 3: Véc tơ khơng gian Quan hệ vng góc Định nghĩa d ⊥ (P) ⇔ d ⊥ a, ∀a ⊂ (P) Điều kiện để đường thẳng vng góc với mặt phẳng  a, b ⊂ ( P ), a ∩ b = O ⇒ d ⊥ (P )  d ⊥ a, d ⊥ b  Tính chất  a ⁄⁄b a ≠ b ⇒ (P ) ⊥ b ⇒ a ⁄⁄b • • ( P ) ⊥ a  a ⊥ ( P ), b ⊥ ( P ) ( P ) ⁄⁄ (Q) ( P ) ≠ (Q) ⇒ a ⊥ (Q) ⇒ ( P ) ⁄⁄(Q) • • a ⊥ (P )  ( P ) ⊥ a,(Q) ⊥ a  a ⁄⁄ (P ) a ⊄ (P) ⇒b⊥a ⇒ a ⁄⁄( P ) • • b ⊥ (P )  a ⊥ b,( P ) ⊥ b Định lí ba đường vng góc Cho a ⊥ ( P ), b ⊂ ( P ) , a′ hình chiếu a (P) Khi b ⊥ a ⇔ b ⊥ a′ Góc đường thẳng mặt phẳng · • Nếu d ⊥ (P) d ,( P ) = 900 ( ( ) ) · · • Nếu d ⊥ (P ) d ,( P ) = ( d , d ' ) với d′ hình chiếu d (P) · Chú ý: 00 ≤ d ,( P ) ≤ 900 ( ) Mặt phẳng trung trực: Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng mặt phẳng vng góc với đoạn thẳng trung điểm Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng tập hợp điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng Trục đường trịn: B CÁC DẠNG TỐN CƠ BẢN Dạng 1: Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng Phương pháp: Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình thoi có tâm O SA=SC; SB=SD Chứng minh SO vng góc với mặt phẳng (ABCD) AC vng góc với mp(SBD) Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ CD; AC ⊥ BD Chứng minh chân đường vuông góc vẽ từ A xuống mặt phẳng (BCD) trực tâm tam giác BCD a Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD có ABC DBC tam giác cạnh a, AD = Chứng minh: AI vng góc với mp(BCD), với I trung điểm BC Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vng góc Phương pháp: Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình vng SA vng góc với (ABCD) a) Chứng minh BD vng góc với SC b) AH đường cao tam giác SAB, chứng minh AH vng với BC Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với mp(BCD) Gọi H K trực tâm tam giác BCD ACD Chứng minh HK vng góc với CD Ví dụ 3: Cho tứ diện OABC có cạnh OA, OB, OC đơi vng góc a) Chứng minh tam giác ABC có góc nhọn Chương 3: Véc tơ không gian Quan hệ vng góc b) Vẽ OH vng góc với mp(ABC), (H thuộc mp(ABC)) Chứng minh: 1 1 = + + 2 OH OA OB OC Dạng 3: Sử dụng định lí đường vng góc ( Để chứng minh hai đường thẳng vng góc) Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng SA vng góc với mp(ABCD) Chứng minh: tam giác SBC tam giác SOD tam giác vng (O tâm hình vng ) Ví dụ 2: Cho tia Ox, Oy, Oz không nằm mặt phẳng đôi tạo với góc 600 A thuộc Oz OA=a a) Chứng minh: hình chiếu Oz xuống mp(Oxy) phân giác góc xOy b) A’ hình chiếu A xuống mp(Oxy), tính đoạn AA’ Dạng 4: Tính góc đường thẳng d mp(P) Phương pháp: Ví dụ 1: Cho tứ diện S.ABC, có đáy ABC vng B, SA ⊥ ( ABC ) a) α1 , α góc tạo SB, SC với mp(ABC) Xác định α1 , α b) β góc SC (SAB) Xác định β c) γ góc SB (SAC) Xác định γ d) Gọi ϕ góc hai mp (SBC) (SAC) Xác đinh ϕ ( thuộc 4) Ví dụ Cho tứ diện ABCD có BCD tam giác cạnh a, AB vng góc với mp(BCD) AB=2a Gọi M, I trung điểm của AD, BD a) Tính góc đường thẳng CM với mặt phẳng (BCD) b) Tính góc đường thẳng AI với mặt phẳng (ABC) Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, I trung điểm AB SI ⊥ ( ABCD) ; SAB tam giác a) Chứng minh: SC SD tạo với mp(SAB) hai góc b) Gọi M trung điểm SD Tính góc đường thẳng CM với mp(SAB) Dạng 5: Xác định thiết diện mp(P) với hình chóp ( hay lăng trụ), (P) vng góc với đường thẳng d Phương pháp: Tìm đường thẳng a thuộc mặt a vng góc với d, a song song với (P) giao tuyến (P) với mặt đường song song với a Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có BCD tam giác cạnh a, AB vng góc với (BCD) AB=b G O trọng tâm tam giác ABC BCD (P) mặt phẳng qua G vng góc với BO Xác định thiết diện (P) tứ diện tính diện tích thiết diện Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có ABC tam giác vng cân (AB=AC=a); AA’ vng góc với (ABC) AA’=a (P) mặt phẳng qua trung điểm M BC vng góc với AB’ Xác định thiết diện (P) hình lăng trụ Tính diện tích thiết diện Dạng 6: Định tâm bán kính mặt cầu qua đỉnh hình chóp Phương pháp: Cách 1: CM đỉnh hình chóp nhìn đoạn thẳng góc vng Cách 2: Giả sử O tâm mặt cầu qua đỉnh hình chóp S.ABCD, ta có OA=OB=OC=OD Suy O thuộc trục d đường tròn ngoại tiếp ABCD OA=OS, suy O thuộc mp trung trực (P) AS O giao điểm d (P) Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật (AB=a, AD=2a) ; SA vng góc với (ABCD) SA=b Định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Chương 3: Véc tơ không gian Quan hệ vng góc Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, I trung điểm AB, SI vng góc với (ABCD) SAB tam giác Định tâm tính bán kính mặt cầu qua đỉnh S, A, B, C, D C BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B (AB=BC=a; AD=2a); SA vng góc với (ABCD) Chứng minh: CD vng góc với (SAC) Bài 2: Cho tứ diện ABCD có AB=AC; DB=DC I trung điểm BC a) Chứng minh: BC ⊥ ( AID) b) AH đường cao tam giác AID Chứng minh: AH vng góc với BD Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật; tam giác SBC vuông B tam giác SCD vng D Chứng minh: SA vng góc với mp(ABCD) Bài 4: Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với mp(BCD); BCD tam giác vuông C BC=a; CD=2a H điểm cạnh BD với BH=x Định x để AD vng góc với CH Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a; SA vng góc với (ABCD) SA=a a) Tính góc đường thẳng SB với mp(SAC) b) Tính góc đường thẳng CA với mp(SCD) góc đường thẳng DB với mp(SDC) Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D (AB=AD=a; BC=2a); SD vng góc với (ABCD) Từ trung điểm E CD, vẽ EK vng góc với SC ( K thuộc SC) a) Chứng minh: SC vuông góc với mp(EBK) b) Chứng minh: điểm S, A, B, D, E, K nằm mặt cầu Bài (*): Cho hai hình chữ nhật ABCD ABEF không nằm mặt phẳng (AB=a; AD = a ) hai đường chéo AC, BF vuông góc với a) Tính đoạn CE b) M trung điểm BE, (P) mp qua M vng góc với A Xác định thiết diện (P) với hình lăng trụ ADF.BCE Bài 8(*): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật; SA vng góc với (ABCD); BC=a; SC tạo với (SAB) góc α SC tạo với (ABCD) góc β Chứng minh: a cos(α + β ).cos(α − β ) AB = sin α Bài 9: Trong mp(P) cho nửa đường trịn (C) đường kính AC=a B điểm thuộc (C) BC=x Trên tia At vng góc với (P) lấy điểm S cho AS=a Gọi H, K chân đường vng góc vẽ từ A xuống SB, SC a) Chứng minh: tam giác SBC AHK tam giác vuông b) Chứng minh: tứ giác BCKH nội tiếp Tính độ dài HK theo a x Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a; SA vng góc với ABCD SA=a I thuộc SC 4SI=SC (P) mp qua I vng góc với AC Xác định thiết diện (P) hình chóp Tính diện tích thiết diện §4: HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC A LÝ THUYẾT: Góc hai mặt phẳng a ⊥ (P ) · ¶ ⇒ ( P ),(Q) = ( a, b ) a) Định nghĩa:   b ⊥ (Q) ( )  a ⊂ ( P ), a ⊥ c · ¶ b) Cách xác định: Giả sử (P) ∩ (Q) = c Từ I ∈ c, dựng  ⇒ ( P ),(Q) = ( a, b ) b ⊂ (Q), b ⊥ c  · Chú ý: 0 ≤ ( P ),(Q) ≤ 900 ( ( ) ) Chương 3: Véc tơ khơng gian Quan hệ vng góc Diện tích hình chiếu đa giác Gọi S diện tích đa giác (H) (P), S′ diện tích hình chiếu (H′) (H) (Q), ϕ = · S′ = S.cosϕ ( P ),(Q) Khi đó: ( ) Hai mặt phẳng vng góc · • (P) ⊥ (Q) ⇔ ( P ),(Q) = 900 ( ) ( P ) ⊃ a ⇒ ( P ) ⊥ (Q) • Điều kiện để hai mặt phẳng vng góc với nhau:   a ⊥ (Q) Tính chất ( P ) ⊥ (Q)  ( P ) ⊥ (Q),( P ) ∩ (Q) = c ⇒ a ⊥ (Q) ⇒ a ⊂ (P ) • •  A ∈ (P )  a ⊂ ( P ), a ⊥ c  a ∋ A, a ⊥ (Q)  ( P ) ∩ (Q) = a  ⇒ a ⊥ ( R) • ( P ) ⊥ ( R) (Q) ⊥ ( R)  Hình lăng trụ đứng Hình hộp chữ nhật Hình lập phương Hình chóp Hình chóp cụt B CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN Dạng 1: Chứng minh hai mặt phẳng vng góc Phương pháp: Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật; SA vng góc với (ABCD) a) Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) (SBC) vng góc b) Vẽ AH, AK đường cao tam giác SAB, SAD Chứng minh: hai mặt phẳng (AHK) (SAC) vng góc Ví dụ 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Chứng minh: hai mp (ACC’A’) (CB’D’) vuông góc với ( cách) Dạng 2: Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng ( Trường hợp có hai mp vng góc, ta chứng minh đường thẳng nằm mp vuông với giao tuyến) Ví dụ 1: Cho hai hình vng ABCD ABEF cạnh a, nằm hai mp vng góc Tính DE chứng minh DE vng góc với AC BF Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vng cạnh a; SAB tam giác mp chứa tam giác SAB vng góc với mp chứa hình vng ABCD a) Xác định tính đường cao SH hình chóp b) (P) mặt phẳng qua trung điểm M BC vng góc với BC cắt hình chóp theo thiết diện Xác định tính diện tích thiết diện Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, đường cao hình chóp a ; I trung điểm BC; hai mặt phẳng (SBD) (SAI) vng góc với (ABCD) Gọi α , β góc SB, SD với (ABCD) Chứng minh: cot α + cot β = Dạng 3: Xác định góc hai mặt phẳng (P) (Q) Phương pháp:  Sử dụng định nghĩa  Sử dụng cách xác định góc hai mp Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có góc mặt bên mặt đáy α ; góc cạnh bên mặt đáy bằng β Tìm hệ thức hai góc Chương 3: Véc tơ khơng gian Quan hệ vng góc Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật; hai mặt bên (SAB) (SAD) vng góc với đáy; (SBC) tạo với đáy góc α SC =a tạo với mặt (SAB) góc β Tính đường cao hình chóp Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ ( ABCD) SA=a; ABCD hình vng cạnh a Tính góc hai mp(SBC) (SCD) ( cách) Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân với BA = BC = a ; SA ⊥ ( ABC ), SA = a Gọi E,F trung điểm cạnh AB,AC a) Tính góc hai mp (ACS) (BCS) b) Tính góc hai mp (SEF) (SBC) Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ ( ABCD) SA = a , đáy ABCD hình thang vuông A D với AB=2a, AD=DC=a a) Tính số đo góc tạo mp(SBC) mp(ABC) b) Tính số đo góc tạo mp(ASB) mp(CSB) c) Tính số đo góc tạo mp(SBC) mp(SCD) Ví dụ Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đơi vng góc OA = a, OB = b, OC = c Xét tam giác ABC có góc A,B,C a) Chứng minh: Tam giác ABC có góc nhọn b) Kẻ OK ⊥ AB ; chứng minh CK ⊥ AB c) Kẻ OH ⊥ CK ; Chứng minh: OH ⊥ ( ABC ) H trực tâm tam giác ABC 1 1 = + + d) Chứng minh: Tính OH theo a,b,c 2 OH OA OB OC e) Các mp (OAB), (OBC), (OCA) tạo với mp(ABC) góc α , β , γ Xác định α , β , γ S f) Chứng minh: SVOAB = VHAB cos α g) Chứng minh: cos α + cos β + cos γ = 2 2 h) Chứng minh: SVOAB + SVOBC + SVOCA = SVABC i) Chứng minh: a tan A = b tan B = c tan C Ví dụ Cho tam giác ABC cạnh a chứa mp (α ) Trên đường thẳng vng góc với (α ) vẽ a ; CE = a nằm phía với (α ) a) Chứng minh tam giác ADE vng Tính diện tích tam giác b) Tính góc hai mặt phẳng từ B C lấy đoạn BD = Dạng 4: Tính diện tích đa giác hay góc hai mặt phẳng - Sử dụng công thức diện tích hình chiếu Ví dụ 1: Cho tram giác ABC cạnh 2a Trên CB kéo dài, lấy điểm E cho BE=2a Các tia Bx, Cy vng góc với mp(ABC); lấy điểm B’ Bx cho BB’=a EB’ cắt Cy C’ a) Tính góc hai mp (ABC) (AB’C’) b) Tính diện tích tam giác AB’C’ Ví dụ 2: (*) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’, cạnh đáy a Trên cạnh AA’, BB’, CC’ lấy điểm M,N,P cho diện tích tam giác MNP 2a Tính góc hai mặt phẳng (ABC) (MNP) Ví dụ 3: (*) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có cạnh đáy cạnh bên a (P) mp qua trung điểm I BC vng góc với AB’ a) Xác định thiết diện (P) lăng trụ b) Tính diện tích thiết diện C BÀI TẬP LUYỆN TẬP Chương 3: Véc tơ khơng gian Quan hệ vng góc Bài 1: Cho hình vng ABCD M điểm khơng nằm mặt phẳng (ABCD) cho góc AMB AMD vuông Chứng minh hai mặt phẳng (MAC) (ABCD) vng góc với Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình chữ nhật; SH, SK đường cao tam giác SAB SCD (H thuộc AB, K thuộc CD ) Chứng minh hai mặt phẳng (SHK) (ABCD) vng góc với Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD, cạnh đáy a; đường cao hình chóp x a) O tâm đáy, vẽ OH vng góc với SC (H thuộc SC) Chứng minh (SAC) (HBD) vng góc b) Định x để hai mặt phẳng (SBC) (SCD) tạo với góc 1200 (góc nhị diện) Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với (ABC); hai mặt phẳng (SBC) (SAB) vng góc với Chứng minh hai tam giác ABC SBC tam giác vng Bài 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Trên đoạn AB’ A’C’ lấy điểm M N cho AM = C ' N = x (0 < x < a) a) Tính đoạn MN theo a x Định x để đoạn MN nhỏ b) Khi đoạn MN nhỏ nhất, chứng minh MN vng góc với AB’ A’C’ Bài 6: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a a) Sử dụng định lí ba đường vng góc, chứng minh: AC’ vng góc với BA’ BD b) (P) mặt phẳng qua trung điểm M BC vng góc với AC’ Xác định thiết diện (P) với hình lập phương Chứng minh thiết diện qua tâm O hình lập phương tính diện tích thiết diện Bài 7: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có cạnh đáy a, cạnh bên 2a M, N, P nằm AA’, BB’, CC’ Tính diện tích tam giác MNP biết rằng: a) (MNP) tạo với mp(ABC) góc 600 b) (MNP) vng góc với AB’ Bài Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Lấy M,N,P cạnh AB, CC’, 3a A’D’ cho AM = CN = D ' P = a) Chứng minh: tam giác MNP b) Tính góc hai mp(ABCD), (MNP) §5: KHOẢNG CÁCH A LÝ THUYẾT Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, đến mặt phẳng d ( M , a) = MH H hình chiếu M a (P) d ( M ,( P )) = MH Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song d(a,(P)) = d(M,(P)) M điểm nằm a d((P),(Q)) = d(M,(Q)) M điểm nằm (P) Khoảng cách hai đường thẳng chéo • Đường thẳng ∆ cắt a, b vng góc với a, b gọi đường vng góc chung a, b • Nếu ∆ cắt a, b I, J IJ gọi đoạn vng góc chung a, b • Độ dài đoạn IJ gọi khoảng cách a, b • Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng song song với • Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng B CÁC DẠNG BÀI TẬP Chương 3: Véc tơ không gian Quan hệ vng góc Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng B BC=a; AC=2a; SA vng góc với (ABC) SA=a a) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC) b) (*) D điểm cho ACBD hình thang (AC song song với BD BD=3a) Tính khoảng cách từ D đến (SBC) khoảng cách từ C đến (SBD) Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tam giác ABC vuông A; AB=a, AC=2a; cạnh bên AA’ =2a a) Tính khoảng cách BC’ AA’ b) (*) Gọi E, F đoạn vng góc chung AA’ BC’, nêu cách dựng E, F Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a; SA vng góc với đáy SA=a; M, N trung điểm AB SC Chứng minh: MN đoạn vng góc chung AB SC Tính khoảng cách AB SC 4a Ví dụ 4: (*) Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy 2a; cạnh bên (P) mặt phẳng chứa AB khoảng cách CD (P) a a) Xác định góc hai mặt phẳng (P) (ABCD) b) Xác định thiết diện (P) hình chóp Tính diện tích thiết diện C BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Cho tứ diện ABCD cạnh a Chứng minh AB vng góc với CD tính khoảng cách AB CD Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh 2a; SA vng góc với đáy SA=3a a) Tính khoảng cách từ C đến (SBD) b) G trọng tâm tam giác SAB (P) mp qua G song song với (SBD) Tính khoảng cách hai mặt phẳng (P) (SBD) Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy cạnh bên a, O tâm hình vng ABCD a) Tính khoảng cách AB SC b) (*) Gọi EF đoạn vuông góc chung AB SC, xác định rõ vị trí E, F Bài 4: Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với AD BC (AB=a, BC=b; AD=c) Góc AD BC 60o a) Tính cạnh chưa biết tứ diện khoảng cách AB CD b) (*) Gọi EF đoạn vng góc chung AB CD Xác định điểm E,F Bài 5: Cho hình chóp SABCD có đáy hình vng ABCD cạnh AB=a, cạnh bên SA vng với đáy (ABCD) SA=a a) Tính khoảng cách hai đường thẳng SC BD b) Gọi M trung điểm cạnh SB Tính khoảng cách hai đường thẳng AM BD c) Tính khoảng cách hai đường thẳng SC AM Bài 6: Cho lăng tru tam giác ABC.A’B’C’ (AA’//BB’//CC’), biết AB=a, BB’=b Tính khoảng cách từ đường thẳng AB’ đến đường thẳng BC’ · · Bài 7: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có AB=AD=AA’=a BAD = BAA ' = · ' AD = 60o Tính khoảng A cách cặp đường thẳng sau: a) AC B’D’ b) BD AC’ c) AB’ BC’ Bài 8: Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với mp(ABC) SA = a , đáy ABC tam giác vuông B với BA=a Gọi M trung điểm AB Tính độ dài đoạn vng góc chung SM BC Bài 9: Cho hình vng ABCD cạnh a, I trung điểm AB Dựng SI vuông với (ABCD) a Gọi M, N, P trung điểm cạnh BC, SD, SB Hãy dựng tính độ dài đoạn IS = vng góc chung cặp đường thẳng a) NP AC 10 Chương 3: Véc tơ không gian Quan hệ vng góc b) MN AP 11 ... β Tìm hệ thức hai góc Chương 3: Véc tơ khơng gian Quan hệ vng góc Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật; hai mặt bên (SAB) (SAD) vng góc với đáy; (SBC) tạo với đáy góc α SC... tơ không gian Quan hệ vng góc b) Vẽ OH vng góc với mp(ABC), (H thuộc mp(ABC)) Chứng minh: 1 1 = + + 2 OH OA OB OC Dạng 3: Sử dụng định lí đường vng góc ( Để chứng minh hai đường thẳng vng góc) ... TẬP LUYỆN TẬP Chương 3: Véc tơ khơng gian Quan hệ vng góc Bài 1: Cho hình vng ABCD M điểm khơng nằm mặt phẳng (ABCD) cho góc AMB AMD vuông Chứng minh hai mặt phẳng (MAC) (ABCD) vng góc với Bài