1 Mục lục 1 Bất đẳng thức Gronwall 7 1.1 Trường hợp thời gian liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1 Công thức cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2 Các công thức mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Trường hợp thời gian rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.1 Bất đẳng thức Gronwall dạng sai phân . . . . . . . . . . . . 12 1.2.2 Một số trường hợp mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Ứng dụng vào việc nghiên cứu tính ổn định . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3.1 Tính ổn định của hệ vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3.2 Tính ổn định của hệ sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 Bất đẳng thức Halanay 26 2.1 Trường hợp thời gian liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.1 Bất đẳng thức Halanay nguyên thủy . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.2 Bất đẳng thức mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2 Trường hợp thời gian rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.1 Một số bất đẳng thức mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.2 Khảo sát tính ổn định và các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2.3 Tính ổn định của một lớp phương trình đặc biệt . . . . . . . 38 2 Mở đầu Khi nghiên cứu định tính các phương trình vi phân hoặc sai phân ta thường phải đánh giá chuẩn của nghiệm chính xác hoặc của sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm xấp xỉ. Các bất đẳng thức vi phân, vi-tích phân, sai phân thường được dùng trong các công đoạn đánh giá đó. Có rất nhiều bất đẳng thức được biết đến nhưng trong luận văn này chúng tôi chỉ đề cập tới hai loại rất nổi tiếng là bất đẳng thức Gronwall và bất đẳng thức Halanay. Sau phần trình bày các công thức nguyên thuỷ chúng tôi sẽ trình bày một số kết quả mở rộng kinh điển, mở rộng gần đây. Các bất đẳng thức mở rộng chủ yếu ở dạng sai phân nhằm phục vụ cho mục tiêu chính là khảo sát tính ổn định nghiệm của các phương trình sai phân. Bằng các cách rời rạc hoá khác nhau, các phương trình vi phân thường đưa về được các phương trình sai phân với độ sai khác cho phép theo một quy ước nào đó. Các phương trình sai phân là các đẳng thức chứa hàm cần tìm với biến độc lập nhận giá trị trong Z := {0, ±1, ±2, } hoặc trong Z + := {0, 1, 2, } ⊂ Z và chứa sai phân đến một cấp nào đó của hàm cần tìm. Mở rộng các bất đẳng thức và vận dụng chúng vào việc nghiên cứu tính chất của các phương trình nói trên là một thực tế cần thiết. Vì vậy, chúng tôi chọn đề tài cho luận văn này theo tựa đề trên đây. Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương một trình bày về bất đẳng thức Gronwall. Bắt đầu từ bất đẳng thức nguyên thủy, phát biểu cho trường hợp thời gian liên tục, chúng tôi nêu lại một số kết quả mở rộng chủ yếu cho trường hợp thời gian rời rạc. Chương hai nói về bất đẳng thức Halanay. Các vấn đề cũng được diễn giải theo sơ đồ ở chương một. Do các nội dung này là khó nên các kết quả chính đều có trình bày phần chứng minh. Trong từng chương, các kết quả về khảo sát tính ổn định được đưa ra nhằm minh hoạ cho giá trị ứng dụng của các bất đẳng thức đã nêu ra. Kết quả nổi bật trong phần ứng dụng này là dấu hiệu ổn định của hệ phi tuyến có bậc tăng trưởng dưới tuyến tính ứng với một lớp phương trình sai phân đặc biệt nhận được nhờ phép rời rạc hoá xấp xỉ hai phía. Bản luận văn này được thực hiện tại trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đạị học Quốc gia Hà Nội, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Sinh 3 Bảy. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người đã dành nhiều công sức và thời gian để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡ tôi trong việc tìm hiểu các kiến thức chuyên ngành và hoàn thành bản luận văn. Tôi xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô trong khoa Toán - Tin - Cơ học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên về các kiến thức và những điều tốt đẹp mang lại cho tôi trong thời gian học tập tại trường. Tôi xin cám ơn khoa Sau Đại học về việc tạo các điều kiện thuận lợi trong quá trình làm thủ tục nhập học và thủ tục bảo vệ luận văn. Cám ơn các thầy và các bạn trong lớp về sự giúp đỡ và những ý kiến trao đổi quí báu đối với bản thân tôi trong thời gian qua. Xin cám ơn Lãnh đạo và các thầy cô trường Đại học Việt - Hung về những điều kiện thuận lợi đã dành cho tác giả để tác giả có thể hoàn thành khoá học và bản luận văn này. Cuối cùng tôi muốn tỏ lòng biết ơn gia đình, người thân, chỗ dựa về tinh thần và vật chất cho tôi trong cuộc sống và trong học tập. Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng bản luận văn khó tránh khỏi những điều thiếu sót. Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự bao dung và những lời góp ý quý báu của quý thầy, cô và các bạn. Hà Nội, tháng 10 năm 2014 Trần Quang Ánh 4 SUMMARY Thesis title : “Inequality Halanay and inequality Gronwall in qualitative study of difference equations” Full name : Tran Quang Anh Specialization: Analysis Spec. code : 60 46 01 02 Supervisor : Ass. Prof. Nguyen Sinh Bay In qualitative study of differential equations or of difference equations of- ten to assess the estimation of solutions or experimental error between the exact solutions and approximate test. The differential, integro-differential inequalities are often used in the stage of evaluation. There are many in- equalities known, but in this thesis we only mention two very well-known type of those inequalities. We would like to mention on the Gronwall in- equality and Halanay inequality. After the presentation of the original for- mula of each inequality we will present some results as classical extensions and some recent expansions. The inequality expand mainly in the form of difference relations to serve the main goal - to investigate the stability of so- lutions of difference equations. By different ways of various discretization, the differential equations are often taken to be the difference equation with the admissible errors. The difference equations are the relationship contain- ing the independent variables and unknown function of this variable with some level of differences. Expansion of those inequalities and apply them to the study of the properties of solutions for the equations above are an actual need. Therefore, we choose topics for essays under the title above. The thesis consists of the introduction, two chapters , conclusion and list of references. Chapter one presents the Gronwall inequality. Starting from the original inequality, said for the case of continuous time, we outlined some of the results of major expansion for discrete-time case. Chapter two said about Halanay inequality. The problem was interpreted 5 in the diagram in chapter one. Because this content is difficult so the main results are presented the proof. In each chapter, the results of the survey stability is given to illustrate the application value of the inequality raised. Outstanding results in this application are criteria for stabilization of non- linear systems with levels of growth lower than linear with a class of linear differential equation special permission received by discrete approximation of the two sides. In total, the thesis presented method uses two types of inequality dedi- cated to the study some class of differential equations and difference equa- tions. Thesis stated and proved the original inequality Gronwall ’s and Halanay’s type, then extended to some cases with continuous time or dis- crete time. Applying the inequality has expanded research and dissertation done examining the stability for a few class - equation special form and on some specific examples. 6 Bảng các kí hiệu R + := [0; +∞) Z + := {0; 1; 2; 3; } Z := {0; ±1; ±2; ±3; } C[R + , R + ] - tập các hàm liên tục từ R + vào R + . R n - không gian véc tơ n- chiều Z + n 0 := {n 0 ; n 0 + 1; n 0 + 2; } Z (m;n) := {m; m + 1; m + 2; , n} ∆x(n) = x(n + 1) − x(n) tương đương với ∆x n = x n+1 − x n . 7 Chương 1 Bất đẳng thức Gronwall 1.1 Trường hợp thời gian liên tục 1.1.1 Công thức cổ điển Trong luận văn ta sẽ kí hiệu C[R + , R + ] là tập các hàm số không âm, xác định trên R + , trong đó R + := [0, +∞). Định lý 1.1. Cho các hàm số x, v ∈ C[R + , R + ]. Giả sử với c ≥ 0 có bất đẳng thức x(t) ≤ c + t  t 0 v(s)x(s)ds, t ≥ t 0 ≥ 0. (1.1) Khi đó ta cũng có bất đẳng thức x(t) ≤ c exp  t  t 0 v(s)ds  , t ≥ t 0 . (1.2) Chứng minh. a) Trường hợp c > 0. Từ (1.1), do c > 0; v(s) > 0 và t 0 ≤ t ta có c + t  t 0 v(s)x(s)ds > 0. Do đó, (1.1) thỏa mãn chỉ khi x(t) c + t  t 0 v(s)x(s)ds ≤ 1. Vì v(t) > 0 nên bất đẳng thức cuối thỏa mãn chỉ khi x(t)v(t) c + t  t 0 v(s)x(s)ds ≤ v(t). 8 Do t 0 ≤ t nên có thể lấy tích phân hai vế, ta được ln  c + t  t 0 v(s)x(s)ds  − ln c ≤ exp  t  t 0 v(s)ds  . Hay c + t  t 0 v(s)x(s)ds ≤ c. exp  t  t 0 v(s)ds  . Mặt khác, theo giả thiết x(t) ≤ c + t  t 0 v(s)x(s)ds, t ≥ t 0 ≥ 0. Vậy, x(t) ≤ c. exp[ t  t 0 v(s)ds]. b) Trường hợp c = 0: Với mọi ε > 0 ta có (1.2) thỏa mãn với c = ε. Cho ε → 0 + , ta có x(t) ≡ 0. Nghĩa là (1.2) đúng. Định lý được chứng minh xong.  1.1.2 Các công thức mở rộng a) Thay hằng số c bởi hàm h(t) ≥ 0. Dưới đây là công thức mở rộng cho trường hợp một hàm không âm h(t), xác định trên R + thay thế vai trò của hằng số dương c trong định lý trên. Định lý 1.2. Cho các hàm số: x, v, h ∈ C[R + , R + ]. Giả sử bất đẳng thức sau thỏa mãn x(t) ≤ h(t) + t  t 0 v(s)x(s)ds, t ≥ t 0 . (1.3) Khi đó bất đẳng thức dưới đây cũng thỏa mãn x(t) ≤ h(t) + t  t 0  v(s)h(s)  exp  t  s v(ζ)dζ  ds, t ≥ t 0 . (1.4) Chứng minh. Để chứng minh định lý ta cần bổ đề dưới đây. Bổ đề này được dùng để 9 đánh giá độ tăng trưởng nghiệm của phương trình vi phân cấp một dạng tuyến tính. Bản chất của bổ đề trên là từ một bất đẳng thức dạng vi phân dẫn đến một bất đẳng thức dạng tích phân. Bổ đề 1.1. Cho các hàm x ∈ C 1  R + , R +  ; v, h ∈ C  R + , R +  . Giả sử x  (t) ≤ v(t)x(t) + h(t), x(t 0 ) = c ≥ 0, t ≥ t 0 . Khi đó x(t) ≤ c exp  t  t 0 v(s)ds  + t  t 0 h(s) exp  t  s v(σ)dσ  ds, t ≥ t 0 . Chứng minh. Đặt q(t) = x(t) exp[− t  t 0 v(s)ds]. Lấy đạo hàm, ta được q  (t) =  x  (t) − v(t)x(t)  exp[− t  t 0 v(s)ds] ≤h(t) exp  − t  t 0 v(s)ds  ; q(t 0 ) = c. Lấy tích phân từ t 0 đến t, (t 0 ≤ t), ta có q(t) ≤ c + t  t 0 h(s) exp  − s  t 0 v(σ)dσ  ds. Thay lại biểu thức của q(t), ta nhận được bất đẳng thức cần chứng minh. Bổ đề chứng minh xong.  Để chứng minh (1.4), ta đặt p(t) = t  t 0 v(s)x(s)ds. Khi đó ta có: p(t 0 ) = 0 và p  (t) ≤ v(t)x(t), t ≥ t 0 . Do x(t) ≤ h(t) + p(t), nên ta có : p  (t) ≤ v(t)p(t) + v(t)h(t), t ≥ t 0 . 10 Lại đặt q(t) = p(t) exp  − t  t 0 v(s)ds  , ta có q(t 0 ) = 0 và q  (t) =  p  (t) − v(t)p(t)  exp  − t  t 0 v(s)ds  ≤ h(t)v(t) exp[− t  t 0 v(s)ds  . Điều này kéo theo q(t) ≤ t  t 0 v(s)h(s) exp[− s  t 0 v(ζ)dζ]ds, t ≥ t 0 Thay lại biểu thức của q(t), ta có p(t) ≤ t  t 0 v(s)h(s) exp[ t  t 0 v(ζ)dζ]ds, t ≥ t 0 và điều này cho ta (1.4).  b) Trường hợp hàm c = h(t) là dương khả vi Định lý 1.3. Cho các hàm số: x, v, h ∈ C[R + , R + ]. Giả sử bất đẳng thức sau thỏa mãn x(t) ≤ h(t) + t  t 0 v(s)x(s)ds, t ≥ t 0 . (1.5) Khi đó, nếu thêm giả thiết h là khả vi thì x(t) ≤ h(t 0 ) exp[ t  t 0 v(s)ds] + t  t 0 h  (s) exp[ t  t 0 v(ζ)dζ]ds, t ≥ t 0 (1.6) Chứng minh. Để chứng minh (1.6), đặt vế phải của (1.5) là p(t), khi đó p  (t) = v(t)x(t) + h  (t), p(t 0 ) = h(t 0 ). Điều này, cùng với (1.5) cho ta bất đẳng thức vi phân tuyến tính p  (t) ≤ v(t)p(t) + h  (t), p(t 0 ) = h(t 0 ). [...]... một cách tương tự như chứng minh Định lý 1.8 23 1.3.2 Tính ổn định của hệ sai phân Các khái niệm hệ sai phân ổn định, ổn định tiệm cận, ổn định mũ, ổn định đều, được phát biểu một cách hoàn toàn tương tự với hệ vi phân Dưới đây chúng tôi trình bày một vài kết quả nghiên cứu tính ổn định của hệ sai phân bằng cách sử dụng các bất đẳng thức dạng sai phân đã trình bày ở mục trước Định lý 1.10 Xét hệ phương. .. thường xn ≡ 0 là ổn định và hút về 0 Hệ là ổn định tiệm cận Định lý được chứng minh xong 26 Chương 2 Bất đẳng thức Halanay So với bất đẳng thức Gronwall, bất đẳng thức Halanay ít thông dụng hơn Bất đẳng thức nguyên thuỷ được Halanay công bố năm 1966 nhưng chỉ sau khi lý thuyết về phương trình có chậm phát triển, bất đẳng thức này mới được chú ý nhiều Với các hệ sai phân, bất đẳng thức Halanay ngày nay... trên Z+ := {0, 1, 2, } 1.2.1 Bất đẳng thức Gronwall dạng sai phân Các bất đẳng thức cho trường hợp thời gian liên tục khi sai phân hoá thường dẫn tới các bất đẳng thức rời rạc tương ứng Tuy nhiên, việc chứng minh các bất đẳng thức này đều phải thực hiện lại từ đầu Định lý 1.5 Cho z(k), a(k) là các dãy số không âm, xác định trên Z+ = {0, 1, 2, } và số c ≥ 0 Giả sử có bất đẳng thức k−1 z(k) ≤ c + a(i)z(i),... Trường hợp thời gian liên tục Bất đẳng thức Halanay nguyên thủy Bất đẳng thức Halanay nguyên thuỷ được tác giả tìm ra khi nghiên cứu tính ổn định của nghiệm tầm thường của phương trình vi phân có chậm sau đây du(t) = au(t) + bu(t − τ ), t > t0 , τ > 0 (2.1) dt Định lý Halanay nguyên thuỷ được phát biểu như sau: Định lý 2.1 ([6]) Giả sử v(t) > 0, t ∈ R, τ ∈ [0, ∞), t0 ∈ R và v (t) ≤ −av(t) + b sup v(s)... , 0) = 0, ∀n ∈ Z+ Phương trình (2.44) có nghiệm cân bằng tầm thường Đánh giá của định lý cho thấy nghiệm tầm thường là ổn định mũ 2.2.2 Khảo sát tính ổn định và các ví dụ Ví dụ 2.2.1 Xét phương trình sai phân 1 nπ 1 xn−5 ∆xn = − xn + sin 2 4 3 nπ xn−5 ≤ 1 xn−5 Phương trình có nghiệm cân bằng tầm 4 3 1 1 thường xn = 0, ∀n ∈ Z Ở đây a = 2 , b = 4 , 0 < b < a < 1 Mọi giả thiết của Định lý 2.6 đều thoả... một vài phiên bản mở rộng bất đẳng thức Halanay cho các trường hợp thời gian rời rạc: Định lý 2.4 Cho n ∈ Z và {xn }n≥−r là một dãy số thực thỏa mãn bất đẳng thức: ∆xn ≤ −axn + b max{xn , xn−1 , , xn−r }, (n ∈ Z) (2.36) 33 Nếu 0 < b < a ≤ 1 thì khi đó tồn tại λ0 ∈ (0, 1) sao cho: xn ≤ max{0, x0 , x−1 , , x−r }λn , 0 (n ∈ Z) (2.37) Hơn nữa λ0 có thể chọn là nghiệm nhỏ nhất trong (0; 1) của phương trình: ... giản là x(t) Khái niệm ổn định của hệ vi phân Định nghĩa 1.1 Nghiệm tầm thường x ≡ 0 của hệ phương trình (1.25), (1.26) được gọi là ổn định nếu với mọi > 0 và mọi t0 ≥ 0, luôn tồn tại δ = δ(t0 , ) sao cho, nếu x0 < δ thì x(t; t0 ; x0 ) < với mọi t ≥ t0 21 Định nghĩa 1.2 Nghiệm tầm thường x ≡ 0 của hệ phương trình (1.25), (1.26) được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó là ổn định và tồn tại γ > 0 sao cho... tồn tại γ > 0 và K > 0 sao cho v(t) ≤ Ke−γ(t−t0 ) với mọi t > t0 Việc chứng minh định lý này sẽ không được trình bày độc lập ở đây mà sẽ được suy ra từ kết quả chứng minh định lý mở rộng ở ngay dưới đây Dễ thấy rằng định lý này sẽ là phù hợp cho việc khảo sát dáng điệu nghiệm của phương trình có chậm (2.1) 27 2.1.2 Bất đẳng thức mở rộng Dưới đây, ta sẽ quan tâm đến trường hợp bất phương trình (2.1)... minh Ta trở lại phần chứng minh định lý Halanay nguyên thuỷ: Ở đây h = τ , K = M, γ = µ Với định lý nguyên thuỷ, các giả thiết của định lý mở ∗ 32 rộng đều thoả mãn Vậy, kết luận của định lý nguyên thuỷ là đúng 2.2 2.2.1 Trường hợp thời gian rời rạc Một số bất đẳng thức mở rộng Bổ đề sau là cần thiết cho các chứng minh về sau: Bổ đề 2.2.1 Cho A; B là các hằng số dương và {xn }n≥−r ; {yn }n≥−r là hai... ∞ Định nghĩa 1.3 Nếu trong hai định nghĩa trên, δ, γ có thể chọn độc lập với t0 thì tính ổn định tương ứng được gọi là đều Định nghĩa 1.4 Nếu tồn tại N > 0, λ > 0 sao cho nghiệm của (1.25) xuất phát từ (t0 , x0 ) ∈ ∆ đều thỏa mãn ||x(t)|| ≤ N x0 exp[−λ(t − t0 )], t ≥ t0 thì nghiệm tầm thường x ≡ 0 của hệ (1.25), (1.26) được gọi là ổn định mũ Sau đây, ta vận dụng bất đẳng thức Gronwall để khảo sát tính . trình sai phân. Bằng các cách rời rạc hoá khác nhau, các phương trình vi phân thường đưa về được các phương trình sai phân với độ sai khác cho phép theo một quy ước nào đó. Các phương trình sai phân. }. 1.2.1 Bất đẳng thức Gronwall dạng sai phân Các bất đẳng thức cho trường hợp thời gian liên tục khi sai phân hoá thường dẫn tới các bất đẳng thức rời rạc tương ứng. Tuy nhiên, việc chứng minh các bất. sát tính ổn định và các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2.3 Tính ổn định của một lớp phương trình đặc biệt . . . . . . . 38 2 Mở đầu Khi nghiên cứu định tính các phương trình vi phân