TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN *** ĐÀM HUỆ THU ỨNG DỤNG HÀM LỒI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẢNG THỨC KHÓA LUÂN TỐT NGHIẼP ĐAI HOC • • • • Chuyên ngành: Đại số TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN HÀ NỘI - 2014 *** ĐÀM HUỆ THU ỨNG DỤNG HÀM LỒI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẢNG THỨC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC • • • • Chuyên ngành: Đại số Ngưòi hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN THỊ KIÈU NGA Em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tói các thày giáo, cô giáo trong tổ Đại số, đặc biệt cô giáo - TS.Nguyễn Thị Kiều Nga đã tận tình hướng dẫn và chỉ bảo cho em trong suốt quá trình nghiên cứu. Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong quá trình làm đề tài nhưng vẫn không tránh khỏi những thiếu sót, em HÀ NỘI - 2014 rất mong nhận được sự góp ý của các thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn. Hà Nội, tháng 5 năm 2014 Sinh viên thực hiện Đàm Huệ Thu HÀ NỘI - 2014 Em xin cam đoan khóa luận này là sự nỗ lực của bản thân, cùng sự giúp đỡ tận tình của Cô Nguyễn Thị Kiều Nga Khóa luận này không trùng vói kết quả của các tác giả khác. Em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về khóa luận của mình. Hà Nội, tháng 5 năm 2014 Sinh viên thưc hiên • • Đàm Huê Thu MUC LUC • • • • HÀ NỘI - 2014 • • • • • • • HÀ NỘI - 2014 • MỞ ĐẦU • Trong chương trình giảng dạy và học tập bộ môn toán ở nhà trường phổ thông hiện nay, bất đẳng thức chiếm một vị trí quan trọng. Các bài toán về bất đẳng thức luôn hấp dẫn và là niềm say mê yêu thích của những ngưòi yêu Toán. • Có rất nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức trong đó ứng dụng các tính chất của hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức là một phương pháp mói , hay và hiệu quả. • Với lý do trên cùng sự đam mê của bản thân và sự giúp đỡ rất tận tình của cô Nguyễn Thị Kiều Nga em xin mạnh dạn thực hiện khóa luận với đề tài: “ ứng dụng hàm lồi trong chứng minh bất đẳng thức”. • Nội dung khóa luận chia làm ba chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. • Trong chương này trình bày định nghĩa và tính chất của hàm lồi (lõm), bất đẳng thức Jensen và ứng dụng của bất đẳng thức Jensen trong việc chứng minh các bất đẳng thức khác. • Chương 2: ứng dụng của hàm lồi trong chứng minh bất đẳng thức. • Chương này trình bày ứng dung của hàm lồi trong việc chứng minh các bất đẳng thức kinh điển, bất đẳng thức đại số, bất đẳng thức hình học, bất đẳng thức lượng giác, bất đẳng thức tích phân. • Chương 3: Sáng tạo bất đẳng thức . • Chương này trình bày phương pháp sáng tạo ra các bất đẳng thức dựa vào tính chất của hàm lồi. 6 • Do trình độ và kinh nghiệm còn hạn chế nên khóa luận của em chắc chắn còn nhiều thiếu sót. Em rất mong nhận được sự đóng góp của các thày cô trong khoa Toán và các bạn sinh viên. • Em xin chân thành cảm ơn ! • Hà Nội, tháng 5 năm 2014 Sinh viên thực hiện • Đàm Huê Thu ■ 7 • Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Hàm lồi. 1.1.1. Định nghĩa tập hợp lồi và hàm số ỉồi a) Định nghĩa tập hợp lồi • Tập hợp D được gọi là tập lồi trong M. nếu với mọi A , B G D , mọi AeM, 1 < Ă < 1 thì Ẳ A + (l - X ) B G D. b) Định nghĩa hàm số lồi • Giả sử D là tập lồi trong M Hàm số /: D M. được gọi là hàm lồi trên D n ếu như với mọi x i ,x ĩ G. D, với mọi số /L g R 1 th ì • /(A + ( 1 - Ầ)x 2 ) < Ầ/Cx,) + ( 1 - Ầ)f(x 2 ) c) Định nghĩa hàm số lõm • Giả sử D là tập lồi trong M, /: D —» M. được gọi là hàm lõm trên D nếu -/(X ) là hàm lồi trên D . 1.1.2. Ỷ nghĩa hình học •Giả sử jCj, X 2 e I ; M \ và M 2 là hai điểm bất kì của đường cong Y = F ( X ) . Khi đó tọa độ của M V M 2 tương ứng là M 2 (jc 2 ;/(jc 2 )) • Phương trình tìiam số của M \ M 2 là • • • Như vậy, hàm số /(X ) là lồi trên I nếu với hai điểm bất kỳ M Í , M 2 của đường cong Y = F ( X ) , cung M \ M 2 của đường cong nằm ở bên dưới đoạn 1.1.3. Ví dụ hàm lồi • Hàm số /(jc) = X 2 lồi trên (-00;+00) • • Thật vậy, với mọi x 1 ,x 2 ^ (-00;+00);^ * x 2 , ta có • +) f(Ẳx i + (1 — Ẳ)x 2 ) = (Лх 1 + (1 — Л)х 2 ) 2 = Л 2 Хf + (1 - Л) 2 JC 2 2 + 2Л(1 - Л)х г х 2 +) л/(х г ) + (1 - Л)/ (х 2 ) = Ảx\ + (1 - Л ) Х 2 2 Xét Л 2 xỉ + (1 - Л) 2 xị + 2Ẳ{\ - Л)х 1 х 2 < Лх? + (1 - Х)х\ • Нау /1(1 - Л)Х? + (1 - Ẳ){XỊ — 2ẲX Í X 2 — (1 - Х)Х\ ) > о . •Tức là Л ( 1 - Ầ ) X Ỉ + Ầ(1 - Ẳ )(X 2 2 - 2 X ,X 2 ) > О Tương đương Ầ ( 1 - Ẩ)(jCj 2 - 2jc,jc 2 + JC 2 2 ) >0 Hay à ( 1 - - X 2 ) 2 > 0 • Suy ra /0Ц + (1 - Ầ ) X 2 ) < Ầ F ( X , ) + (1 - Ầ ) F ( X 2 ) • Vậy F ( X ) = X 2 là hàm lồi trên (-oo;+oo) 1.2. Tính chất hàm lồi, hàm lõm 1.2.1. Tính chất 1 • Cho D là tập lồi trong К . Giả sử F L ( X ) , F 2 ( X ) , . . . là các hàm lồi • xác định trên D . Cho Ậ > 0 vói mọi I = L , N . Khi đó hàm số • Л/l С*) + Л/2 (*) + ••• X ) cũng là hàm lồi trên D . • Chú ý - Hàm lồi hai biến : Giả sử D là tập lồi trong R . Hàm số / : D —» M. được gọi là hàm lồi trên D nếu như với mọi (x 15 ^);(л: 2 Y 2 ) & D , vói mọi số Ă ( 0 < Ă < Ĩ ) • Ta có /(/Ц + (1 - à ) X 2 ; à Y 1 + (1 - à ) Y 2 ) < + (1 - Ầ ) F ( X 1 ; Y 1 ) - Hàm lồi ba biến : định nghĩa tương tự cho hàm / : D —» M, vói D là tập lồi trong M . • Kết luận này vẫn đúng với hàm lồi hai biến và ba biến. [...]... phi chng minh 1.3.3 Chỳ ý - Bt ng thc Jensen cú ý ngha rt quan trng trong vic nghiờn cu v hm li Bt ng thc c s dng rng rói trong vic chng minh cỏc bt ng thc khỏc - Ngũi ta hay s dng mt dng c bit ca bt ng thc Jensen sau Nu F ( X ) : D - > R v DcR Khi ú vúi mi N nguyờn dng, vúi mi X , , X 2 , , X N ^ D Ta cú ) - Z/(*i) n n i= 1 Chng 2: N G DNG HM LI TRONG CHNG MINH BT NG THC 2.1 Chng minh cỏc... Z/(*i) n n i= 1 Chng 2: N G DNG HM LI TRONG CHNG MINH BT NG THC 2.1 Chng minh cỏc bt ng thc knh in a) C s lý lun Trong bt ng thc thỡ lp bt ng thc kinh in úng vai trũ quan trng, l c s chng minh rt nhiu cỏc bt ng thc khỏc Cỏc loi bt ng thc ny hay gp nht(dúi dng tng minh hay khụng tng minh) trong i s Cỏc bt ng thc kinh in thng gp l bt ng thc Cauchy, bt ng thc Bunhiacopxki, bt ng thc Holder, Bt ng thc... Cauchy thỡ (3) m_ 0, B >0, I = è,N Chng minh rng 4 1 ~ + #A-A ^ ^l(al+bl)(a2+b2) (an+bn) Chng minh Xột hm s /(X ) = ln(l + EX) '(*) = -- > 0 M Suy ra s li trờn M * l hm F(X) > b Ap dng bõt ng thc Jensen... >1, V=l,2, ,n 3 ùU*, =ùU*, = - = P I X I i =1 1=ô! i=n* 4- ^A*,G[] i=1 Chng minh rng lPif (xi) - kf \,xtPi - k~xiPi /() =1 =n* / V J Chng minh Theo bt ng thc Petrorica tng quỏt ta cú i=ij Cng tng v =1 bt ng thc dng (1)ta c ớ 1 () Pif (xi ) =1 Hay T xiPi =1 + (ẩ V i=l ấ p/ (*ớ ) ^/ f ấ 1 - f * - =1 Ta cú iu phi chng minh v/ =1 Pi ỡ / () V =1 - ỡ k / 2.1.8 Bt ng thc Young Vi hai s khụng õm... Chng minh bt ng thc Jensen Gi s (1) c tha món Khi ú, ng vi N = 2, / l hm li trờn D (theo nh ngha) Ngc li, gi s / l hm li trờn D Ta chng minh (1) bng qui np +) Vi N = 1,(1) hin nhiờn ỳng +) Vi N = 2, theo nh ngha hm li thỡ (1) cng ỳng Gi s (1) ó ỳng vi N = K> 2 Xột vi N = - - - - K k +1 (Rừ rng ta cú th xột vi > 0 vi mi = I L,K +1 vỡ nu khụng ỏp dng gi thit qui np s suy ra iu phi chng minh) ... ' ' EhK + > + b Xa Suy ra a v a 2 a n + nb v b 2 l? n . chất của hàm lồi (lõm), bất đẳng thức Jensen và ứng dụng của bất đẳng thức Jensen trong việc chứng minh các bất đẳng thức khác. • Chương 2: ứng dụng của hàm lồi trong chứng minh bất đẳng thức. •. n n i= 1 • Chương 2: ỨNG DỤNG HÀM LỒI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 2.1. Chứng minh các bất đẳng thức kỉnh điển a) Cơ sở lý luận • Trong bất đẳng thức thì lớp bất đẳng thức kinh điển đóng vai. ứng dung của hàm lồi trong việc chứng minh các bất đẳng thức kinh điển, bất đẳng thức đại số, bất đẳng thức hình học, bất đẳng thức lượng giác, bất đẳng thức tích phân. • Chương 3: Sáng tạo bất