BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: TÌM HIỂU VỀ PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV THỨ HAI TRONG KHẢO SÁT Sự ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐIÊU KHIEN • • • Người hướng dẫn: ThS. NGUYẼN TRUNG DŨNG Cơ quan công tác:Khoa Toán,Trường ĐHSPHN 2 Họ và tên sinh viên: PHẠM HồNG DIỆU HUYEN Khoa: Toán Ngành: Sư Phạm Toán Lốp: K36B Xuân Hòa - 2014 Trước khi trình bày nội dung khóa luận, em xin được gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới thầy giáo-Thạc sĩ Nguyễn Trung Dũng, người đã tận tình hướng dẫn em hoàn thành khóa luận này. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giáo trong khoa toán Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá ữình học tập tại khoa. Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện khóa luận này. Xuân Hòa, ngày 15 tháng 05 năm 2014 Sinh Viên Em là Phạm Hồng Diệu Huyền, sinh viên lớp k36B-Sư Phạm Toán. Đề tài nghiên cứu của em là "Tìm hiểu về phương pháp Lyapunov thứ hai trong khảo sát sự ổn định của hệ điều khiển" được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của giáo viên - Thạc sĩ Nguyễn Trung Dũng. Em xin cam đoan nội dung khóa luận được thực hiện hoàn toàn do quá trình tìm tòi và nhận thức của bản thân không ừùng lặp bất cứ một đề tài nghiên cứu khoa học nào khác. Các tài liệu tham khảo em đã đề cập chi tiết ữong nội dung khóa luận và đã được giáo viên hướng dẫn thông qua. Em xỉn chân thành cảm ơn! Xuân Hòa, ngày 15 tháng 05 năm 2014 Sinh Viên LỜI CẢM ƠN X N Mục lục Một số khái niệm và công cụ toán học Một số kết quả của hệ phương trình vỉ phân thường Hàm Lyapunov Lóp hàm K Đạo hàm Dini Một số bất đẳng thức vi tích phân Sự ổn định Lyapunov Định nghĩa sự ổn định Lyapunov Một số ví dụ Phương pháp Lyapunov thứ 2 Minh hoạ hình học của phương pháp Lyapunov thứ 2 Điều kiện cần và đủ cho sự ổn định và ổn định đều Chương 1. 1.1 3 3 5 9 1 1 1 5 1 8 1 8 2 0 2 1. 2. 1. 3. Chương 2. 2. 1. 2. 2. 2.3. 1. 2.3. Điều kiện cần và đủ cho sự ổn định mũ Kết luận Tài liệu tham khảo LỜI NÓI ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài. Sự phát triển của Lý thuyết ổn định đã diễn ra rất nhanh chóng và phổ biến một cách rộng rãi. Các kết quả về Lý thuyết ổn định được công bố trên rất nhiều tạp chí khoa học, bởi vậy rất khó để phát hiện ra đâu là những tiến bộ thực sự, đặc biệt đối với những nhà nghiên cứu mới muốn sử dụng kết quả của lý thuyết ổn định để áp dụng trong những lĩnh vực khác. Đây cũng là mối quan tâm đối với các nhà nghiên cứu và các học viên ừong lĩnh vực khác nhau. Do đó, tôi đã chọn đề tài "Tìm hiểu về phương pháp Lyapunov thứ hai trong khảo sát sự ổn định của hệ điều khiển" nhằm hệ thống lại khái niệm và ý nghĩa của phương pháp này trong hệ điều khiển. Khóa luận của tôi gồm hai chương • Chương 1 Trình bày một số kết quả của hệ phương trình vi phân thường, hàm Lyapunov, đạo hàm Dini và một số bất đẳng thức vi phân. • Chương 2 Trình bày định nghĩa sự ổn định Lyapunov, một số ví dụ về mối quan hệ giữa các dạng ổn định, minh họa hình học của phương pháp Lyapunov thứ 2 , điều kiện cần và đủ cho sự ổn định, ổn định đều và ổn định mũ. Dù rất cố gắng nhưng thời gian và năng lực của em còn hạn chế nên khóa luận khó có thể tránh khỏi những sai sót. Em rất mong nhận được sự góp ý của thầy cô và các bạn. Em xin chân thành cảm ơn! 2. Mục đích, nhiệm yụ • ' • • Hệ thống lại các khái niệm và những kết quả về sự ổn định Lyapunov. Đặc biệt là phương pháp Lyapunov thứ hai trong khảo sát sự ổn định của hệ điều khiển. 3. Đối tượng và phạm vỉ nghiên cứu Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của phương pháp Lyapunov thứ hai là nghiên cứu sự ổn định của hệ điều khiển 5 4. Phương pháp nghiên cứu Đọc sách, nghiên cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu. 6 Chương 1 Một số khái niệm và công cụ toán học 1.1. Một số kết quả của hệ phương trình vi phân thường Xét hệ phương ữình dưới đây dxị (1.1.1) ữong đó, t e / := (ti, Í2 ), h > —00 , Í2 ^ +°°, vector trạng thái x= (X\,X2 , ,x n ) T £ n c IR", gi £ c [1X íl, M 1 ], o £ Hệ (1.1.1) có thể viết dưới dạng vector dx T ^ =g(t,x),g= ( g l , g 2, - - - , g n ) ■ Giả sử các hàm gi thỏa mãn điều kiện Lipschitz, tức là Vx,y € £2;Ví € I, 3 hằng số L > 0 sao cho n l&( í s *)-&(íi:y )l £\ X j - y j \ . 7=1 ^=8i{t,x í ,X2, ,x n )i=l,n, (1.1. d g j { t Rõ ràng, nếu d Lipschitz được thỏa ^ Kịj = const, j = 1, n, trên /xíl thì điều kiện Định lý 1.1.1. (Định lí tồn tại và duy nhất nghiệm). Nếu g(t,x) = g n (t,x)) thỏa mãn điều kiện Lipschitz, khi đó V(ío,*o) £ / X £2,3í* > 0, sao cho 3 1 nghiệm 7 duy nhất x(t,to,Xo) thỏa mãn phương trình vi phân (ịi.i. 2 |) vói điều kiện ban đầu x(t,to,xo)=xo, (1.1.3) dx(t,to,xo) = g(t,x(t,t 0 ,xo)), dt trên khoảng [to — t*,to +1*]. Định lý 1.1.2. (Định lí về sự liên tục và khả vi với bài toán giá trị ban đầu). Giả sử rằng điều kiện của định lý (Ịi.i.iỊ) được thỏa mãn x^(t) := x(t,to,x ữ ), x^ 2 \t) x(t,to,XQ ) là 2 nghiệm của (1.1.21 xác định trên [t 0 ,h] x Khi đó, Ve > 0, 3Ỗ > 0 sao cho -x^(t,t 0 ,xo) < tính liên tục của đx ‘ịj’ to ?°) (i ; j = l,n). Dưới đây, chúng ta xét phương ữình vi phân phụ thuộc tham số ‘%=g{t,X,ỊÌ), trong đó, X G ũ., t £ / và jU £ [jU-i, /i 2 ] là một vector tham số. Định lý 1.1.3. (Định lý về sự liên tục và khả vỉ của nghiệm theo tham số). Giả sử g(t,x,ịì) ẽCỊ/xílx [jUi ,/ 12 ] ,R n ] ,g thỏa mãn điều kiện Lỉpschỉtz với mọi giá trị jU e [jUi, H2 ] ■Khi đó: (1) Vío e /, Xo € n,jUo € [jUi, /X2] thì 3 hằng số p> 0 ,a > 0 sao cho khi 1/1 — /lo I ^ p, nghiệm của phương trình (Ị/.7.2Ị) x(t) = x(t,to,Xo,n) xác định trên [ío — a;to + a\ phụ thuộc liên tục vào ịII. (2) , gi được giải tích đối với các biến, kéo theo x(t) := x(t,to,xo,Ịi) cũng giải tích đối với ịII. (3) Sự khả vi liên tục của gi đối với các biến X ị , x n và Ịl, kéo THEO sự khả vi liên tục của x(t) := x(t,to,xo,ịi) đối với ịi. Ví dụ 1.1.1. : xét hệ tuyến tính bậc 2 d 2 x „ áx ^4 + Ẳ — +x = 0. (1.1.5) àx 2 dt Khi Ẳ = 0 phương trình ịl.l.5\) có họ nghiệm tuần hoàn: (1.1. _ v< 2 ) 0 A 0 < ỗ —x^(t,to,xo) < e. Tức là tính liên tuc của §^(1,i = 1 ,n) kéo theo 8 x(t) =Asin(í + a) X (t) = A cos (t 4- a), trong đó, A và a là hằng số, khử t trong ịl.1.6 ) thu được phương trình quỹ đạo X 2 +X 2 = A 2 , MÔ TẢ 1 HỌ CÁC đường TRÒN KHI A THAY ĐỔI. Khỉ 0 < Ầ < 1, THEO Định lý ịl.l.2\ , quỹ đạo nghiệm của hệ ịl.l.óị ) xấp xỉ nghiệm của ịl.1.5 1 ) như mô tả hình 1.1 Hình 1.1: Minh họa sự phụ thuộc liên tục vào tham số 1.2. Hàm Lyapunov Giả sử hàm w(x) eC [í2, R 1 ], tức là w : £2 —» R 1 là liên tục , w(0) = 0; v(t,x) G С [/ X ßjM 1 ], tức là v(t,x) : IX £2 —»■ R 1 là liên tục và V(í,Ó) = 0 . Đinh nghĩa 1.2.1. Hàm w (x) được gọi là xác định dương nếu й, (1) = < >° v^ea^o w 1 =0 vớix = 0 . (1.1. 9 • w (x) được gọi ỉà nửa xác định dương nếu w{x)'^ồ với X E £1. • w (x) được gọi là xác định ăm nếu —W (X) là xác định dương. • w (x) được gọi là nửa xác định âm nếu w (x) ^ 0 . • Hàm xác định âm và xác định dương được gọi là hàm xấc định dấu. • Hàm nửa xác định âm và nửa xác định dương được gọi là hàm có dấu không đổi. Định nghĩa 1.2.2. Hàm V(t,x) eC[/xfì,K ] ] ( hoặc w(i) GC [fí, M 1 ] ) được gọi là thay đổi dấu nếu 3t\,Í2 E I và JCi , X2 G £2 sao cho V(h, Xl ) > 0, VC(t u x 2 ) < 0.(W(jci) < 0,W(jc 2 ) < 0) Ví dụ 1.2.1. w (jci ,-ЛГ2 ) = 3xj + 2xị + 2 *1*2 là xác định dương. ví dụ 1 . 2 . 2 . w(x 1 ,X2 ) = xỊ+xị + 2 * 1*2 = (*1 +X 2) 2 là nửa xác định dương. Ví dụ 1.2.3. w(jci ,.* 2 ) = xỊ+xị — ЗХ1 Х2 là hàm thay đổi dấu. Ví dụ 1.2.4. V (t , X i ,*2) = xỊ sint + xị cost là hàm thay đổi dấu. Đinh nghĩa 1.2.3. Hàm V(t,x) được gọi là xác định dương nếu 3 1 hàm xác định dương w (X) sao cho v(t,x) ^W(x) vàV(t,0) = 0. Hàm v(t,x) được gọi là xác định âm nếu —V(t,x) là xác định dương. Hàm v(t,x) ễC[/x HjR 1 ] được gọi là nửa xác định dương nếu v(t,x) ^ 0. v(t,x) là NỬA XÁC ĐỊNH ÂM NẾU V(T,X) ^ 0 Ý nghĩa của Định nghĩa (|l.2.3|)được mô tả ở hình (1.2) Ví dụ 1.2.5. V(t,x 1 ,* 2 ) = (2 + е~ г )(х\ 2 +X2 2 +X\X2 ) là xác định dương vì v(t,x 1 ,X 2 ) = (2 + e -í )(xi 2 +X2 2 +X 1 X 2 ) ^x 1 2 +x 2 2 +x 1 x 2 := W(xix 2 ). ỏ đây, w(x\,X2 ) là xác định dương, và V(í, 0 ) = 0 . Ví dụ 1 . 2 . 6 . v(t,x 1 ,* 2 ) = (е~ г )(х\ 2 + ịx\X2 +X2 2 ) là nửa xác định dương, vì không 3 1 hàm xác định dương w(x) sao cho V(t,xi, JC 2 ) ^ w(x). Định nghĩa 1.2.4. Hàm w(л) G с [м л , ж . 1 ] được gọi là xác định dương và R.u không bị chặn nếu w (л) xác định dương và w(л) —> + 0 O khỉ X —> 00 . 1 [...]... hình học của phương pháp Lyapunov thứ 2 f = ỉ, i= 1 i= 1 =ỉ f = 0 với 9 — 2 >0 với 6 < I = Ỉ^adv.ỉ > 0, d Hình 2.5: Biểu diễn hình học của phương pháp Lyapunov trong đó 0 là góc giữa hướng của gradv và vector / (nhìn hình 2.5) Biểu thức cuối độc lập với nghiệm x(t), chỉ phụ thuộc vào hàm V(x) và vector f(x) đã biết Đây là mô tả hình học của phương pháp Lyapunov thứ 2 2.3.2 đều dx Điều kiện... kết luận (2) cũng đúng Định LÝ 1.5.4 (Định lí so sánh thứ hai) Giả sử và F(t,x) liên tục trên G, và thỏa mãn điều kiện Cho (f, ệ) £ G, và X = (p(t) và X = < ĩ > ( f ) tương ứng là nghiệm của các hệ phương trình vi phân và trên [a,b] Khi đó, các khẳng định sau đúng: (1) ẹ(t) ^ (f) khi T b; (2) (Ị>{t) ^ 4>(í) khi a) (2.3.18 (2.3.19 Rõ ràng nghiệm không là không ổn định Nhưng nếu ta xây dựng một hàm v(t,x) = {xị +xị)e~ 2 t Khi đó y(í,0) . " ;Tìm hiểu về phương pháp Lyapunov thứ hai trong khảo sát sự ổn định của hệ điều khiển& quot; nhằm hệ thống lại khái niệm và ý nghĩa của phương pháp này trong hệ điều khiển. Khóa luận của tôi. quả về sự ổn định Lyapunov. Đặc biệt là phương pháp Lyapunov thứ hai trong khảo sát sự ổn định của hệ điều khiển. 3. Đối tượng và phạm vỉ nghiên cứu Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của phương pháp. KHOA TOÁN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: TÌM HIỂU VỀ PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV THỨ HAI TRONG KHẢO SÁT Sự ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐIÊU KHIEN • • • Người hướng dẫn: ThS. NGUYẼN TRUNG DŨNG Cơ quan công tác:Khoa Toán, Trường