PHÒNG GIÁO DỤC QUẬN THANH KHÊ HƯỚNG DẪN CHẤM CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS PHAN ĐÌNH PHÙNG MƠN TỐN - LỚP Khoá ngày 10 tháng năm 2008 ĐỀ CHÍNH THỨC Bài ( 2,5 điểm ) a) 1,0 điểm 3   + + +  0,25đ 29.32   2.5 5.8 8.11 1  1 1 1 S =  − + − + − + + −  0,25đ 29 32   5 8 11 30 1  S =  −  = 0,25đ 32  32  S =  Vì 30 < 32 nên S < b) 1,5 điểm Có a −1 =1a a 0,25đ b +1 =1+ 0,5đ b b 1 * Nếu a > b > > > a b 0,25đ ⇒1- 1 < 1+ a b hay a −1 b +1 < a b 0,25đ * Nếu a < b < 1 < < a b 0,25đ ⇒1- 1 > 1+ a b hay a −1 b +1 > a b 0,25đ Bài ( 2,5 điểm ) a) 1,0 điểm Theo ta có x = - 99 + ( - 98 ) + + ( -11 ) + ( - 10 ) + 10 + 11 + + 98 + 99 0,25đ x = ( - 99 + 99 ) + ( - 98 + 98 ) + + ( -11 + 11 ) + ( - 10 + 10 ) .0,25đ x = ⇒ x2006 = y = - ⇒ y2007 = ( - )2007 = 0,25đ Do ta có A = 2009 x2006 - 2008 y2007 = - 2008.( -1 ) = 2008 .0,25đ b) 1,5 điểm 33 3333 333333 33333333 + + + ) = 22 12 2020 303030 42424242 33 33 33 33 − x.( + + + ) = 22 12 20 30 42 Ta có − x.( ⇒ 0,25đ ⇒ − x.33.( 1 1 + + + ) = 22 12 20 30 42 0,25đ 4 5 6 ⇒ − x.33.( − + − + − + − ) = 22 0,25đ 7 ⇒ − x.33.( − ) = 22 ⇒ − x.33 = 22 21 .0,5đ ⇒ -11.x = 22 ⇒ x = 0,25đ Bài ( 2,0 điểm ) a Nếu cộng mẫu số vào mẫu số ta b a a a = phân số ; phân số nhỏ phân số b + b 2b b Gọi phân số tối giản lúc đầu lần .0,5đ Để a+b gấp lần phân số lúc đầu a + b phải lần 2b a 0,5đ ⇒ Mẫu số b phải gấp lần tử số a .0,5đ Phân số tối giản thoả mãn điều kiện 0,5đ Bài ( 3,0 điểm ) m a) 2,0 điểm Xét đủ hai trường hợp : * Khi tia On nằm hai tia Ox Om + Vì tia On nằm hai tia Om Ox ⇒ xOn = a0 - b0 0,25đ y n t x O + Vì Ot phân giác xOn nên nOt = a −b xOn = 2 0 0,25đ + Số đo mOt : mOt = mOn + nOt = b + 0,5đ t’ a0 − b0 a0 + b0 = 2 * tia Om nằm hai tia Ox On t’ + Vì tia Om nằm hai tia Ox On ⇒ xOn = xOm + mOn = a0 + b0 0,25đ + Vì Ot phân giác xOn nên a0 + b0 xOt = xOn = 0,25đ 2 m n t x O y a0 + b0 + Số đo mOt : mOt = xOm - xOt = a − = a0 − b0 .0,5đ b) 1,0 điểm Trong hai trường hợp trên, ta có : tOn + nOt’ = xOt + t’Oy = 900 0,5đ Mà tOn = xOt ( Ot phân giác xOn ) 0,25đ ⇒ nOt’ = t’Oy hay Ot’ phân giác nOy 0,25đ Chú ý : HS giải theo cách khác ( khơng vượt q chương trình tốn ) cho điểm tối đa Hết PHÒNG GIÁO DỤC QUẬN THANH KHÊ HƯỚNG DẪN CHẤM CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS PHAN ĐÌNH PHÙNG năm 2008 ĐỀ CHÍNH THỨC Bài ( 2,5 điểm ) a) 1,25 điểm   + Rút gọn vế phải có 1 − 30   61   92   +  − 1 +  − 1 31   62   93  0,25đ MƠN TỐN - LỚP Khố ngày 10 tháng = 1 1 − − = 31 62 93 186 .0,5đ + Vậy ta có x 186 = ⇒ x = 186 0,25đ + Tính x = ± 0,25đ b) 1,25 điểm + Viết tách xm + = x3.xm đặt nhân tử chung ngoặc vuông .0,25đ + Rút gọn đưa tới ( 2x - )m - xm = 0,25đ + Chuyển vế có ( 2x - )m = xm xét : * Nếu m số tự nhiên lẻ 2x - = x ⇒ x = .0,25đ * Nếu m số tự nhiên chẵn 2x - = x 2x - = - x ⇒ x = x = ( loại ) 0,25đ + Vậy x = 0, 25đ Bài ( 2,0 điểm ) a) 1,0 điểm + Đặt 32005 làm nhân tử chung .0,25đ + Tính tổng ngoặc 121 .0,25đ + Vì 121 chia hết cho 11 nên tích 32005.121 chia hết cho 11 0,5đ + Kết luận tổng luỹ thừa cho chia hết cho 11 0,25đ b) 1,0 điểm x x x x x x + x + x + + x 2008 2008 + Theo t/c dãy tỉ số x = x = x = x = = x = x + x + x + + x 2009 2009 0,5đ  x + x + x + + x 2008 + Lập tích tỉ số để có   x + x + x + + x 2009      2008 = x1 x 2009 0,5đ Bài ( 2,0 điểm ) + Gọi chữ số số x ; y ; z với ≤ x ≤ ; ≤ y ≤ ; ≤ z ≤ 0,25đ + Vì số chia hết cho 18 nên chia hết cho ⇒ ( x + y + z ) chia hết cho (1) .0,25đ + Theo điều kiện ≤ x + y + z ≤ 27 (2) 0,25đ Từ (1) & (2) ⇒ x + y + z nhận giá trị ; 18 ; 27 (3) 0,25đ Theo x y z x+ y+z = = = ∈ N (4) ; từ (4) & (3) x + y + z = 18 0,25đ + Thay x + y + z = 18 vào (4) có x = ; y = z = 0,25đ + Do số cần tìm chia hết cho 18 nên chữ số tận 0,25đ Kết luận : Các số cần tìm 396 936 0,25đ Bài ( 3,5 điểm ) a) 1,5 điểm A N K I M B H C + Vì I ∈ đường trung trực MH nên IB phân giác MIH (1) + Vì K ∈ đường trung trực NH nên KC phân giác HKN (2) + Do IB KC cắt A nên AH phân giác đỉnh H ∆IHK 1,0 điểm + Do AH ⊥ BC nên BC phải phân giác góc ngồi đỉnh H ∆IHK (3) Từ (2) & (3) ⇒ IC phân giác đỉnh I ∆IHK, kết hợp với (1) ⇒ IC ⊥ AB + Có HM ⊥ AB & IC ⊥ AB nên CI // HM * Chứng minh tương tự, ta có BK ⊥ AC & HN ⊥ AC nên BK // HN 0,5đ b) 2,0 điểm * Trong trường hợp A = 900, chứng minh câu a ta có I K trùng với A 1,0đ * Trong trường hợp A > 900, Lập luận tương tự câu a ta có kết tương tự .0,75đ Vậy trường hợp A ≥ 900 ta có CI // HM BK // HN 0,25đ Chú ý : HS giải theo cách khác ( khơng vượt q chương trình toán ) cho điểm tối đa Hết PHÒNG GIÁO DỤC QUẬN THANH KHÊ HƯỚNG DẪN CHẤM CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS PHAN ĐÌNH PHÙNG MƠN TỐN - LỚP Khố ngày 10 tháng năm 2008 ĐỀ CHÍNH THỨC Bài ( 2,0 điểm ) a) 1,0 điểm + Tập xác định x ≠ 1; x ≠ - x ≠ ± 0,25đ x2 − + Rút gọn P = x 0,75đ b) 1,0 điểm + Viết P= x - x 0,25đ + Để P có giá trị nguyên x ước ⇔ ( loại ) 0,25đ x=±1 x=±2 ( nhận ) .0,25đ + Từ giá trị nguyên P 0,25đ Bài ( 2,5 điểm ) a) 1,0 điểm + Viết M = ( x + 1) + 0,25đ + Vì ( x + )2 ≥ với x ⇒ ( x + )2 + ≥ với x .0,25đ + Có M ≤ = nên M có giá trị lớn M = .0,25đ + Dấu “ = ” xảy x = -1 0,25đ b) 1,5 điểm Gọi chiều rộng x (m) chiều dài x + (m), điều kiện x > .0,25đ Theo định lý Pi-ta-go x2 + ( x + )2 = 132 0,25đ ⇔ x2 + x2 + 14x + 49 = 169 ⇔ 2x2 + 14x - 120 = ⇔ ( x + 12 )( 2x - 10 ) = Vậy x = -12 ( loại ) x = ( nhận ) .0,5đ Tính diện tích hình chữ nhật S = 60m2 .0,5đ Bài ( 2,5 điểm ) a) 1,0 điểm + Chuyển vế tách - 1 − =1 + ab + ab + ab 0,25đ + Nhóm, quy đồng mẫu nhóm thực phép cộng 0,25đ + Đặt nhân tử chung tử thức để có : (b − a ) (ab − 1) 0,25đ (1 + a )(1 + b )(1 + ab) + Vì a ≥ b ≥ nên phân thức ≥ ; từ suy điều cần c/m 0,25đ b) 1,5 điểm + ĐKXĐ : x ≠ ± m .0,25đ + Quy đồng khử mẫu vế, đưa PT ( m - ).x = ( m - )( 2m ) 0,25đ + Với m ≠ ta có x = 2m -3 0,25đ + Để thoả mãn ĐKXĐ 2m - ≠ m ⇔ m ≠ 2m - ≠ - m ⇔ m ≠ 0,25đ Vậy m ≠ m ≠ PT cho có nghiệm x = 2m 0,25đ + Với m = 1, PT có dạng 0.x = ⇒ số thực x ≠ ± nghiệm PT 0,25đ Bài ( 3,0 điểm ) a) 1,0 điểm ( Hình vẽ ) B BC ) 0,25đ + Có BIC > A ⇒ Vẽ BIN = A ( N ∈ g ) .0,25đ AB.BN 0,25đ M AB.BC 0.25đ K ⇒ ∆ABI ∽ ∆IBN ( g⇒ AB/ BI = BI/ BN ⇒ BI2 = + Có BN < BC nên BI2 < b) 1,5 điểm + Tính HCB = 400 ⇒ HCK = BCK = 200 0,25đ H N AH = CH/2 0,25đ (1) + Tam giác vuông AHC có ACH = 300 ⇒ + Vì CK phân giác HCB nên kết hợp với (1) A I C ⇒ AH  CH   BC  =  =   HK  HK   BK  0,25đ (2) + Vẽ KM ⊥ BC M ∆BMK ∽ ∆BAC ( g-g ) ⇒ BC AB BC AB = = ⇔ BK BM BK BM 0,25đ Kết hợp với (2) ⇒ BC AB AH IA AB = = = (3) ; BI phân giác ABC nên BK BC HK IC BC (4) 0,25đ + Từ (3) & (4) ⇒ IA AH = ⇒ HI // IC HK CK 0,25đ c) 0,5 điểm Do HI // CK nên CHI = HCK = 200 ( góc so le ) 0,5đ Chú ý : HS giải theo cách khác ( khơng vượt q chương trình tốn ) cho điểm tối đa - Hết c©u chøng minh r»ng : a3-13a với a z a>1 câu a- giả sử a b nhữnh số nguyên ®Ó : (16a+17b)(17a+16b)  11.chøng minh r»ng tÝch (16a+17b)(17a+16b) 121 b- chøng minh r»ng: nÕu hµm sè y=f(x)=a 2+bx+c nhËn giá trị nguyên biến số x nhận giá trị nguyên với x 2a,a+b,c Z ngợc lại câu : tìm x biết a) 3x+1+2x.3x -18x-27 = b) x + x − + x − =2 c©u cho tam giác abc có góc acb 300 đờng cao ah= bc D trung điểm AB tính góc BCD cho tam giác abc vuông cân đỉnh a diểm D vừa nằm nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C vừa nằm nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B cho AB=AD đồng thời D không trùng C hạ CI vuông góc với BD a- so sánh chu vi tam giác ADB chu vi tứ giác ABCI b-tìm vị trí điểm D cho chu vi tam giác BCD đạt giá trị lớn đạt đợc Sở gd&đt Bắc giang Kú thi chän häc sinh giái tØnhh Líp : năm học 2002-2003 Môn: toán Thời gian thi :150 phút Ngày thi :4/4/2003 Câu ( điểm ) thùc hiÖn phÐp tÝnh −3 −5 + + ).( ) 10 15 20 19 : a)  1  −    24 14 + −  35 . −       1 1 1 b) − − − − − 10 40 88 154 238 340 ( C©u : ( điêm ) ) tìm số nguyên m để : a) Giá trị biểu thức m-1 chia hết cho gi¸ tri cđa biĨu thøc 2m +1 b) 2m − ≤ ) chøng minh r»ng : 3n+2 -2n+2 + 3n - 2n chia hÕt cho 10 víi n nguyên dơng Câu : ( điểm ) a) tìm x, y biết : x y = 2x2 - y2 = -28 b) TÝnh thêi gian từ lúc kim kim phút đồng hồ gặp lần trớc đến lúc gặp lần thứ hai Từ suy ngày hai kim gặp lần ? tạo với góc vuông lần ? Câu : ( điểm ) Cho tam giác ABC có độ dài cạnh BC hai lần độ dài cạnh AB M trung điểm BC , N trung điểm BM Trên tia đối cña tia NA lÊy D cho ND = NA chứng minh : a) Tam gác BCD vuông b)Tam giác ACD cân Câu : ( điểm ) Cho C = 75 ( 42001 + 42000 +41999 +…+42 +4 +1) a) chøng minh r»ng C chia hÕt cho 42002 b) Hái C chia cho 42003 d ? sở giáo dục bắc giang đề thi học sinh giỏi môn toán lớp năm 2001-2002 : t×m x,y , z biÕt r»ng x y x z = , = vµ x+2y+3z = 164 z y z = = 2) = x+y+z y + z +1 x + z +1 x + y 1) Bài Tìm tỷ lệ ba đờng cao tam giác biết cộng lần lợt độ dài cặp hai cạnh tam giác ta đợc tỷ lệ kết 5:7:8 Bài Lúc rời nhà bạn An xem thấy kim đồng hồ đến trờng thấy hai kim đồng hồ đổi vị trí cho ( thời gian hai kim đồng hồ không chập lần ) Tính thời gian An từ nhà đến trờng , lúc An ời nhà , An đến trờng ( hai kim nói kim kim phút ) Bài Cho tam giác ABC , vẽ phía tam giác tam giác vuông cân đỉnh A BAE CAF 1) Nếu I trung điểm BC AI vuông góc với EF ngợc lại I thuộc BC AI vuông góc với EF I trung ®iĨm cđa BC 2) chøng tá r»ng AI = EF/ ( với I trung điểm BC ) 3) Gỉa sử H trung điểm EF ,hÃy xÐt quan hƯ cđa AH vµ BC Bµi 2001 x đạt giá trị dơng bé Tìm giá trị 2002 x Tìm x nguyên dơng để M = đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn : toán lớp : Năm học 2001-2002 Câu : TÝnh + a) P = 13 13 13 13    − .26 26   13 7 7  b) A = 1 +  1 +  1 +  … 1 +       9  20   33   2900   C©u : Tìm số có hai chữ số biết nhân với 37 lấy kết chia cho 31 ta đợc số d 15 Câu : a) chøng minh r»ng : 1 1 + + + + có tổng mét sè tù nhiªn 15 b) Hai địa điểm A B cách 90 km Hai ngời xe đạp lúc từ A từ B , đẻ gặp Họ gặp cách A 50 km Nếu ngời nhanh xuất phát sau ngời họ gặp cách A ngời Câu 4: a) T×m x , y biÕt r»ng : 1+ 2y 1+ 4y 1+ 6y = = 18 24 6x 350 km Tìm vận tốc b) Cho ®a thøc f (x) = ax2+bx +c ®ã c¸c hệ số a , b ,c nguyên Biết giá trị đa thức chia hết cho với giá trị nguyên x chứng minh a , b ,c chia hết cho3 Câu 5: Cho tam giác ABC Từ trung điểm D cạnh BC kẻ đờng vuông góc với đờng phân giác góc A cắt AB AC M vµ N a) chøng minh r»ng : BM = CN b) Đặt AB = c , AC = b Tính AM BM theo b c Đề thi học sinh giỏi môn toán năm học Thời gian làm 150 Bài Giải phơng trình a: x3 – 5x2 + 8x -4 = b: (x- 2)(x – 3)(x +5)(x + 6) = 180 Bµi 2: cho abc = tÝnh 1 + + + a + ab + b + bc + c + ac Bài : cho x,y,z thoả m·n x > , y > 0, z > , x + y + z = tÝnh A = x+ y xyz Bµi : cho tam giác ABC M trung điểm BC mét gãc xMy = 600 cho Mx c¾t AB , AC D E a: CM : BD.EC = BC2 b: CM: DM, EM lần lợt phân giác góc BDE DEC c: Gọi khoảng cách từ M đến DE a ; tính diện tích tam giác ABC chu vi tam giác ADE theo A Bµi : Cho a > 0, b > CMR : a a 2005 2005 2005 −b +b 2005 >a a 2004 2004 2004 −b +b 2004 Đề thi học sinh giỏi môn Toán Thời gian làm 120 Câu ; Tính hợp lí (4®) a; 1 − (− ) + − − (− ) + + 45 12 39 b; + – – + + – – + + 2001 + 2002 – 2003 2004 + 2005 Câu (6đ) Tìm x biết a: x − x − 10 = 12 b; 20,5 - − x = 9,5 c; x = a b c = = b+c c+a a+b Caau 3(4đ) ; x, y tỷ lệ nghịch x1, x2 , y1, y2 giá trị tơng ứng tìm y1 , y2 biết : a; x1 =4, x2 = vµ y1 – y2 = 18 b; x1 =2, x2 = vµ y21 + 2y22 = 68 Câu 4(4đ) ; Tam giác ABC vuông B , M Trung điểm AC, D thuộc AC , (D bất kì) kẻ AH vuông góc với BD , CK vu«ng gãc víi BD chøng minh r»ng a; BH = CK b; Tam giác MHK vuông cân câu 5( 2đ) a; Cho A = 52004 52005 + 52006 chøng minh r»ng A  b; So sánh + 15 37 Đề thi học sinh giỏi môn Toán năm học Thời gian làm 120 Bài 1; Tìm x biết a; x = 2 + + ).462 − [ 2,04 : ( x + 1,05)] : 0,12 = 19 11.13 13.15 19.21 b; ( Bµi 2; TÝnh a; A = + + + + + 100 b; B = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 2004.2005 c; C = 4 4 + + + + 5.7 7.9 9.11 59.61 d; D = + 1 1 + + + 2024 Bµi 3: BiÕt (a,b) = Chøng minh r»ng : a; (a, a+b) = b; (ab, a+b) = Bµi So sánh ; 291 535 ; 15 24 59 97 Bài 5: Trong đợt kiểm tra 24 tuần vừa qua học sinh lớp 6A xếp thành loại giỏi, khá, trung bình Số học sinh trung bình số học sinh lớp , số học sinh số học sinh lại em sô học sinh giỏi em TÝnh sè häc sinh líp 6A vµ số học siinh loại Bài : Cho n ®iÓm A1, A2 ,A3 An ( n ≥ 2) điểm thẳng hàng qua hai điểm kẻ đờng thẳng a; Kể tên đờng thẳng hình n = b; Tính n biết số đờng thẳng kẻ đợc 325 c; Số đờng thẳng 2005 đợc không ? ? Đề thi học sinh giỏi huyện Lớp Bài (5 điểm) a) Thực phép tính: A = Năm học: 2000 - 2001 - (-2)3 + : b) Hai biĨu thøc sau cã b»ng kh«ng ? V× Sao ? A = 2.x - 3.y B = 3.x - 2.y Bài (6 điểm) a) Tìm x biÕt: | - 2x | - x = + 2x b) Tìm số nguyên x để: | x - | + | x - | đạt giá trị nhỏ Bài (3 điểm) Biển số xe bạn Hùng số có chữ số có đặc điểm nh sau: Số số phơng Nếu lấy số đầu trừ cộng vào số cuối đợc số số phơng Tìm số xe bạn Hùng ? Bài (3 điểm) Cho ABC có góc nhọn Vẽ đờng cao AM BN Trên tia đối C hai tia AM BN lấy hai điểm I J cho: AI = CB; BJ = AC Chøng minh r»ng: ∆ CAI = JBC Bài (3 điểm) Cho ABC ( = 900) đờng cao CH chia cạnh huyền AB thành hai đoạn có C hiệu độ dài độ dài cạnh AC Tìm góc lại cđa ∆ ABC Ị thi häc sinh giái hun Líp Năm học: 2002 - 2003 Bài (8 đ') Tìm x tìm x, y, z biết: a) |x - 2| + x = ||x - 2| + |2x - 1|| = x b) x = y z = vµ 3x - 5y + 7z = 84 c) Bài (4 đ') a) Chứng minh: 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + +2000.2001 = b) TÝnh A = 12 + 22 +32 + + 19992 + 20002 2000.2001.2002 Bài (2,5 đ') Tìm số nguyên P cho P vừa tổng hai số nguyên tố vừa hiệu hai số nguyên tố Bài (3 đ') Cho ABC có AB < AC, vÏ trung tuyÕn AM Chøng minh r»ng: > BAM CAM Bài (2,5 đ') Chứng minh rằng: Trong hình tam giác có chu vi đáy tam giác cân tam giác có diện tích lớn ề thi khảo sát chất lợng học sinh giỏi huyện Năm học: 2006 - 2007 Líp Thêi gian 150' C©u 1: Thùc hiƯn phép tính sau cách hợp lí nhất: 1 1 1 11 a A 2 5 5 11 14 4 11 15 1 b B 3 4 2006 2007 11 c C 15 20 30 35 42 63 Câu 2: Tìm x; y; z biÕt r»ng: |x - 1| + |x - 30| + |y - 4| + |z - 1975| + |x - 2007| = 2006 Câu 3: Tìm hai số dơng biết tổng, hiệu tích chúng lần lợt tỉ lệ nghịch với 15; 60; Câu 4: Cho ba điểm B, H, C thẳng hàng, BC = 13 cm; BH = cm; HC = cm Tõ H vÏ tia Hx vu«ng gãc víi BC LÊy A thc Hx cho: HA = cm a) Chøng minh tam giác ABC vuông b) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Từ D kẻ đờng thẳng sông song với AH cắt AC E Chứng minh AE = AB c) Tính độ dài EC ... vừa qua học sinh lớp 6A xếp thành loại giỏi, khá, trung bình Số học sinh trung bình số học sinh líp , sè häc sinh sè häc sinh lại em sô học sinh giỏi lµ em TÝnh sè häc sinh líp 6A số học siinh... trị 2002 x Tìm x nguyên dơng để M = đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn : toán lớp : Năm học 2001-2002 C©u : TÝnh + a) P = 13 13 13 13    − .26 26   13 7 7  b) A = 1 +  1 +  1 +  … 1... ề thi khảo sát chất lợng học sinh giỏi huyện Năm học: 2006 - 20 07 Líp Thêi gian 150'' C©u 1: Thực phép tính sau cách hợp lí nhÊt: 1 1 1 11 a A 2 5 5 11 14 4 11 15 1 b B 3 4 2006 20 07 11 c