GIỚI HẠN DÃY SỐ A. Lý thuyết + Nếu n n u v < với mọi n, lim v n = 0 thì lim u n = 0 + lim u n = L → n lim u L = + lim u n = L → 3 3 n lim u L= + lim u n = L, u n > 0 với mọi n → L > 0 và n lim u L= + Với q < 0 thì ( ) n 2 n 1 1 1 1 1 1 u (1 q ) u S lim u u q u q u q lim 1 q 1 q − = + + + + = = − − + n n 1 lim u lim 0 u = +∞ ⇒ = + 1 lim 0 n = + lim q n = 0 nếu q 1 < + k 1 lim 0 n = với mọi k > 0 + lim n k = +∞ với mọi k > 0 + lim q n = +∞ nếu q > 1 + lim u n = L thì lim (k.u n ) = k.L + lim u n = L, lim v n = M thì lim (u n + v n ) = L + M + lim u n = L, lim v n = M thì lim (u n .v n ) = L.M + lim u n = L, lim v n = M ≠ 0 thì lim (u n / v n ) = L / M B. Bài Tập Bài 1. Tìm các giới hạn sau: a. 2n 1 lim n 1 + + b. 2 2 3n 4n 1 lim 2n 3n 7 − + + − + c. 3 3 n 4 lim 5n n + + d. 3 n(2n 1)(3n 2) lim 2n 1 + + + e. 2 n 1 lim n 2 + − f. 3 n(n 1) lim (n 4) + + Bài 2. Tìm các giới hạn sau: a. n 1 lim n 1 + + b. 3 3 n n 2 lim n 2 + + + c. 3 2 3 2 n n 1 n n lim n n 1 3 + + + + + d. 2 n 4 lim n 2 + − e. 3 23 2 n 3n 2 lim n 4n 5 + + − + Bài 3. Tìm các giới hạn sau: a. lim( n 1 n+ − ) b. 2 2 lim( n 5n 1 n n)+ + − − c. 2 2 lim( 3n 2n 3n 4n 8) + − − + d. 2 lim( n 4n n 1) − − − e. 2 lim(n n 3) − + f. 3 2 3 lim( n n n) − + g. 3 3 lim( n n 1)− + h. 3 2 23 lim( n 3n 1 n 4n) − + − + Bài 4. Tìm các giới hạn sau: a. n n 1 4 lim 1 4 − + b. n n 1 n 2 n 3 4 lim 3 4 + + − + c. n n n n n n 3 4 5 lim 3 4 5 − + + − Bài 5. Tìm các giới hạn sau: a. sin n lim n 1 π + b. 2 sin10n cos10n lim n 2n + + Bài 6. Tìm các giới hạn sau: a. 2 1 3 5 (2n 1) lim 3n 4 + + + + + + b. 2 1 2 3 n lim n 3 + + + + − c. 1 1 1 lim[ ] 1.2 2.3 n(n 1) + + + + d. 2 2 2 2 1 2 3 n lim n(n 1)(n 2) + + + + + + Bài 7. Tính các giới hạn sau: a. n n 1 1 1 lim[1 ( 1) ] 3 9 3 − + − + − b. lim (2 + 0,3 + 0,3² + 0,3³ + + 0,3 n ) Bài 8: Đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn ra phân số a. 1,1111 b. 2,3333 c. 0,2222 d. 0,212121…. e. 0,23111 GIỚI HẠN HÀM SỐ A. Lý thuyết: + 0 0 x x lim x x → = + x 1 lim 0 x →±∞ = + k x 1 lim 0 x →±∞ = với k > 0 + k x lim x →+∞ = +∞ với k > 0 + ( ) ( ) ( ) 0 0 0 x x x x x x lim f x L lim f x lim f x L − + → → → = ⇔ = = + o o x x x x lim[cf(x)] c lim f (x) → → = + [ ] o o o x x x x x x lim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x) → → → + = + + [ ] o o o x x x x x x lim f (x)g(x) lim f (x). lim g(x) → → → = + o o o x x x x x x lim f (x) f (x) lim g(x) lim g(x) → → → = nếu o x x lim g(x) 0 → ≠ B. Bài tập: Bài 1: Tính các giới hạn sau: a. 2 x 3 x 9 lim x 3 → − − b. 2 2 x 2x 9 lim x 4 →+∞ − + Bài 2. Tìm các giới hạn sau: a. ( ) 2 x 2 lim 2x 3x 5 → − − + b. x 1 5x 2 lim x 1 → + + Bài 3: Tìm các giới hạn sau: a. 3 x lim (x 2x) →+∞ + b. 3 x lim (x 2x) →−∞ − c. 2 2 x 5x 3x 1 lim 2x 3 →+∞ + + + d. 4 2 4 x x 5x 1 lim 2x 3 →−∞ + + + e. 2 3 x 3x 1 lim 2x 5 →+∞ + + f. 2 3 x 3x 1 lim 2x 5 →−∞ + + g. 2 x x 2x 2 lim x 1 →+∞ + + + h. 2 x lim x 2x →+∞ + i. 2 x 4x 1 lim 3x 1 →−∞ + − j. 4 2 x 3x x 5x lim 2x 4x 5 →+∞ + − + − k. 2 2 x x 3 4x lim 4x 1 x →−∞ + + + − l. 2 2 x 9x 1 4x 2x lim x 1 →+∞ + − + + Bài 4. Tìm các giới hạn sau: a. 2 x 3 5x 3 lim x 6x 9 → − − + b. x 3 x 2 lim x 3 − → + − c. 2 x 2 x 5x 2 lim x 2 + → + + − Bài 5. Cho hàm số: 2 2x 3x 1, x 2 f (x) 3x 7, x 2  + − ≥ =  + <  Tìm các giới hạn sau: a. x 1 limf(x) → b. x 3 limf (x) → c. x 2 limf (x) → Bài 6. Cho hàm số: 2 1 2x , x 1 f (x) 5x 4, x 1  − < =  + ≥  Tìm các giới hạn sau: a. x 0 limf(x) → b. x 3 limf (x) → c. x 1 limf (x) → Bài 7. Tìm các giới hạn sau a. 2 x 3 x 2x 15 lim x 3 → + − − b. 2 2 x 1 x 2x 3 lim x 1 → + − − c. 2 2 x 2 x 3x 2 lim x x 6 → − + + − d. 4 4 x a x a lim x a → − − e. 5 3 x 1 x 1 lim x 1 →− + + f. ( ) 6 5 2 x 1 4x 5x x lim 1 x → − + − Bài 8. Tìm các giới hạn sau: a. x 1 x 1 lim x 1 → − − b. 2 x 3 x 1 2 lim x 9 → + − − c. 2 x 2 2x 5 7 x lim x 2x → + − + − d. 3 x 2 4x 2 lim x 2 →− + + Bài 9. Tìm các giới hạn sau: a. 3 x 0 1 1 x lim 3x → − − b. x 2 x x 2 lim 4x 1 3 → − + + − c. 3 2 x 1 x 1 lim x 3 2 →− + + − d. 3 x 1 x 7 2 lim x 1 → + − − e. 3 x 0 1 x 1 x lim x → + − − f. x 0 x 1 x 4 3 lim x → + + + − g. x 0 x 9 x 16 7 lim x → + + + − h. ( ) 3 2 3 2 x 1 x 2 x 1 lim x 1 → − + − Bài 10: Tìm các giới hạn sau a. 2 x lim ( 4x 2x 2x) →+∞ + − b. 2 x lim (2x 1 4x 4x 3) →+∞ − − − − c. 2 2 x lim ( x x 1 x x 1) →+∞ − + − + + d. 3 3 x lim ( x 1 x) →+∞ + − e. 3 2 3 x lim[x ( x 1 x)] →+∞ + − f. 3 2 33 3 x lim ( x 5x x 8x) →+∞ + − + Bài 11: Tìm các giới hạn sau a. 3 x 1 1 3 lim( ) 1 x 1 x → − − − b. 2 x 1 2 1 lim( ) x 1 x 1 → − − − c. 2 2 x 1 1 1 lim( ) x 3x 2 x 5x 6 → − − + − + HÀM SỐ LIÊN TỤC Bài 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x o . a. f(x) = 2 x 25 khi x 5 x 5 9 khi x 5  − ≠  −   =  tại x o = 5 b. ( ) x 5 khi x 5 2x 1 3 f x 3 khi x 5 2 −  >   − − =   ≤   tại x o = 5 c. 1 2x 3 khi x 2 f (x) 2 x 1 khi x 2  − − ≠  =  −  =  tại x o = 2 d. 3 3x 2 2 khi x 2 x 2 f (x) 3 khi x 2 4  + − ≠   − =   =   tại x o = 2 e. 4 2 x x 1 khi x 1 f (x) 3x 2 khi x 1  + − ≤ − =  + > −  tại x o = –1 f. ( ) 2 x khi x 0 f x 1 x khi x 0  <  =  − ≥   tại x o = 0 Bài 2: Chứng minh các hàm số sau liên tục trên R a. 2 x 2x 3 khi x 1 f (x) x 1 4 khi x 1  + − ≠  = −   =  b. 3 3 x x 2 khi x 1 x 1 f (x) 4 khi x 1 3  + + ≠ −   + =   = −   Bài 3: Tìm a để hàm số liên tục trên R a. 2 x khi x 1 f (x) 2ax 3 khi x 1  < =  − ≥  b. 2 2 a x khi x 2 f (x) (1 a)x khi x 2  ≤ =  − >  Bài 4: Cho hàm số f(x) = 3 2 x 2x 5 khi x 0 4x 1 khi x 0  + − ≥  − <  Xét tính liện tục của hàm số trên tập xác định. Bài 5: Tìm a để hàm số liên tục tại x o . a. f(x) = 2 x 2 2 khi x 2 x 4 a khi x 2  + − ≠   −  =  tại x o = 2 b. 1 x 1 x khi x 1 x 1 f (x) 4 x a khi 1 x 2  − − + <   − =  −  + ≥  +  tại x o = 1 Bài 6: Chứng minh rằng phương trình x³ + 3x² + 5x – 1 = 0 có ít nhất một nghiệm trong (0; 1) Bài 7: Chứng minh rằng phương trình x³ – 3x + 1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt. Bài 8: Chứng minh rằng phương trình x 5 – 3x 4 + 5x – 2 = 0 có ít nhất 3 nghiệm phân biệt nằm trong khoảng (–2; 5) Bài 9: Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm: a) ax² + bx + c = 0 với 2a + 3b + 6c = 0 b) ax² + bx + c = 0 với a + 2b + 5c = 0 c) a(x – b)(x – c) + b(x – c)(x – a) + c(x – a)(x – b) = 0 d) cos x + m cos 2x = 0 Bài 10: Chứng minh rằng các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt a) x² – 3x + 1 = 0 b) x³ + 6x² + 9x + 1 = 0 . 4 lim 1 4 − + b. n n 1 n 2 n 3 4 lim 3 4 + + − + c. n n n n n n 3 4 5 lim 3 4 5 − + + − Bài 5. Tìm các giới hạn sau: a. sin n lim n 1 π + b. 2 sin10n cos10n lim n 2n + + Bài 6. Tìm các giới hạn. x 2  ≤ =  − >  Bài 4: Cho hàm số f(x) = 3 2 x 2x 5 khi x 0 4x 1 khi x 0  + − ≥  − <  Xét tính liện tục của hàm số trên tập xác định. Bài 5: Tìm a để hàm số liên tục tại x o . a 0,3 + 0,3² + 0,3³ + + 0,3 n ) Bài 8: Đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn ra phân số a. 1,1111 b. 2,3333 c. 0,2222 d. 0,212121…. e. 0,23111 GIỚI HẠN HÀM SỐ A. Lý thuyết: + 0 0 x x lim x x → = +