Học thêm toán – 0968 64 65 97 Tài liệu toán 9 dành cho học sinh mất căn bản Website: http://thaytoan.net 1 CHUYÊN ĐỀ 1: BIẾN ĐỔI PHÂN THỨC ĐẠI SỐ Bài 1: TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Luỹ thừa của một số hữu tỷ: a) Tính chất: . .  n n a a a a a  (n  N) 0 1 1; a a a   với   0 a  (n thừa số a) . m n m n a a a   (m, n  N ) : m n m n a a a   (m, n  N, m  n)   . n m m n a a    . . m m m x y x y  ;   0 n n n x x y y y         b) Ví dụ: a) 5 2 5 2 7 3 5 15 15 .    x x x x b) 9 7 2 15 3 5 m : m m  2. Nhân đơn thức với đa thức: a) Công thức: b) Ví dụ: 1.     2 2 3 2 5 3 4 1 5 3 5 4 5 1 15 20 5 . .          x x x x x x x x x x x 2.   2 3 5 3 60 2 3 3 5 3 4 15 . . .      6 15 2 15    6 15   3. Nhân đa thức với đa thức: a) Quy tắc: Nhân một đa thức với một đa thức ta nhân lần lượt từng số hạng của đa thức này với đa thức kia rồi cộng tổng các tích vừa tìm được. b) Công thức c) Ví dụ: 1.         2 2 2 2 6 5 1 6 5 1 2 6 2 5 2 1 x x. x x. . . .           x x x x x x 3 2 2 3 2 6 5 12 10 2 6 17 11 2 x           x x x x x x x (A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD A(B + C) = AB + AC ; A(B - C) = AB – AC Học thêm toán – 0968 64 65 97 Tài liệu toán 9 dành cho học sinh mất căn bản Website: http://thaytoan.net 2 2. (1 - x )(1 + xx  ) = 1 + xxxxxxx  = 1 xx II. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1. Thực hiện phép tính: a) (3xy - x 2 + y) 3 2 x 2 y b) (5x 3 - x 2 )(1 - 5x) Giải: a) (3xy - x 2 + y) 3 2 x 2 y = 3xy. 3 2 x 2 y + (-x 2 ). 3 2 x 2 y + y. 3 2 x 2 y = 2x 3 y 2 - 3 2 x 4 y + 3 2 x 2 y 2 b) (5x 3 - x 2 )(1 - 5x) = 5x 3 - 25x 4 - x 2 + 5x 3 = - 25x 4 + 10x 3 - x 2 Bài 2. Tìm x biết: 3x(12x - 4) - 9x(4x - 3) = 30 Giải: 3x(12x - 4) - 9x(4x - 3) = 30 36x 2 - 12x - 36x 2 + 27x = 30 15x = 30  x = 2 Bài 3. Rút gọn biểu thức: ( 71228  ) 7 + 2 21 = 7.77.3.47.7.4  + 2 21 = 2 7. 7 2 3. 7 7. 7   + 2 21 = 2.7 – 212 - 7 + 2 21 = 7 III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1. Tính: a) ( 2 1 x + y)( 2 1 x + y) b) (x - 2 1 y)(x - 2 1 y) Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau (với 0  a ): a) aa 27.3 b) 42 9 ba c) aa 123 3 Bài 3. Triển khai và rút gọn các biểu thức sau: (với x, y không âm) a) ( 2x )( 42  xx ) b) ( yx  )( yxyx  2 ) Bài 2 : TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Chia đa thức cho đơn thức: * Quy tắc: Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp các hạng tử của đa thức A đều chia hết cho đơn thức B), ta chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau. Học thêm toán – 0968 64 65 97 Tài liệu toán 9 dành cho học sinh mất căn bản Website: http://thaytoan.net 3 Ví dụ: (15x 2 y 3 + 12x 3 y 2 - 10 xy 3 ) : 3xy 2 = (15x 2 y 3 : 3xy 2 ) + (12x 3 y 2 : 3xy 2 ) + (-10xy 3 : 3xy 2 ) = 5xy + 4x 2 - 3 10 y 2. Chia đa thức một biến đã sắp xếp. Ví dụ: Thực hiện phép chia: 1. 2 (6 13 5): (2 5) x x x    Giải: 2 6 13 5 x x   2 5 x  - ( 2 6 15 x x  ) 2 5 x   - ( 2 5) x   0 3 1 x  2. Sắp xếp đa thức sau theo luỹ thừa giảm dần của biến rồi thực hiện phép chia: 2 3 4 2 (12 14 3 6 ): (1 4 ) x x x x x x       Giải: Ta có 2 3 4 4 3 2 12 14 3 6 6 12 14 3 x x x x x x x x          và 2 2 1 4 4 1 x x x x      4 3 2 6 12 14 3 x x x x     2 4 1 x x   - ( 4 3 2 4 x x x   ) 3 2 2 11 14 3 x x x     - ( 3 2 2 8 2 x x x   ) 2 3 12 3 x x   2 (3 12 3) x x    0 2 2 3 x x   3. Tính chất cơ bản của phân thức: a) Định nghĩa phân thức đại số: Phân thức đại số (hay phân thức) có dạng A B , trong đó A, B là các đa thức và B khác đa thức 0. Ví dụ: 5 22 8 6 yx yx ; 1 x + 2 b) Phân thức bằng nhau: Ví dụ: 2 x +1 1 x 1 x -1   vì (x +1)(x - 1) = x 2 - 1 A C B D  nếu AD = BC Học thêm toán – 0968 64 65 97 Tài liệu toán 9 dành cho học sinh mất căn bản Website: http://thaytoan.net 4 c) Tính chất cơ bản của phân thức: d) Quy tắc đổi dấu: II. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1. Các phân thức sau có bằng nhau không? a) 2 2 5 5 5( 1) x x x x x     b) 2 2 8 3 24 2 1 6 3 x x x x x      Bài 2. Áp dụng quy tắc đổi dấu để rút gọn phân thức: )3(15 )3(45   xx xx = )3(15 )3(45    xx xx = – 3 Bài 3. Tính: a) 23 2300 b) x x 7 63 3 với x > 0 Giải: a) 23 2300 = 23 100.23 = 23 100.23 = 100 = 10 b) x x 7 63 3 = x xx 7 .7.9 2 = x xx 7 73 = 3x với x > 0 III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1. Rút gọn phân thức: a) 5 22 8 6 yx yx b) 2 2 )(15 )(10 yxxy yxxy   Bài 2: Chứng minh các đẳng thức sau: a) yx xy yxxyyx   ))(( với x > 0 và y > 0 b) 3 2 3 2 2 3 3 2 1 2 2 x xy y x x y xy y x y        Bài 3: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức. A A.M = B B.M ; A A:N = B B:N (M  0; N  0; B  0) A - A A A - A ; B - B B - B B      Học thêm toán – 0968 64 65 97 Tài liệu toán 9 dành cho học sinh mất căn bản Website: http://thaytoan.net 5 Ví dụ: a) 2x 2 + 5x - 3 = (2x - 1).(x + 3) b) x - 2 x y +5 x - 10y = [( x ) 2 – 2 y x ] + (5 x - 10y) = x ( x - 2y) + 5( x - 2y) = ( x - 2y)( x + 5) 2. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử a) Phương pháp đặt nhân tử chung : Nếu tất cả các hạng tử của đa thức có một nhân tử chung thì đa thức đó được biểu diễn thành một tích của nhân tử chung với một đa thức khác. Công thức: Ví dụ: 1. 5x(y + 1) – 2(y + 1) = (y + 1)(5x - 2) 2. 3x + 12 x y = 3 x ( x + 4y) b) Phương pháp dùng hằng đẳng thức: Nếu đa thức là một vế của hằng đẳng thức đáng nhớ nào đó thì có thể dùng hằng đẳng thức đó để biểu diễn đa thức này thành tích các đa thức. * Những hằng đẳng thức đáng nhớ: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A - B) 2 = A 2 - 2AB + B 2 A 2 - B 2 = (A + B)(A - B) (A+B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3 (A - B) 3 = A 3 - 3A 2 B + 3AB 2 -B 3 A 3 + B 3 = (A+B) (A 2 - AB + B 2 ) A 3 - B 3 = (A - B)(A 2 + AB + B 2 ) Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 1. x 2 – 4x + 4 =   2 2 x  2. 2 9 ( 3)( 3) x x x     3.     2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 .2 4 x y x y x y x y x y x y x y xy             Cách khác: 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 ( 2 ) 4 x y x y x xy y x xy y xy           c) Phương pháp nhóm hạng tử: Nhóm một số hạng tử của một đa thức một cách thích hợp để có thể đặt được nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức đáng nhớ. Ví dụ: 1. x 2 – 2xy + 5x – 10y = (x 2 – 2xy) + (5x – 10y) = x(x – 2y) + 5(x – 2y) = (x – 2y)(x + 5) AB + AC = A(B + C) Học thêm toán – 0968 64 65 97 Tài liệu toán 9 dành cho học sinh mất căn bản Website: http://thaytoan.net 6 2. x - 3 x + x y – 3y = (x - 3 x ) + ( x y – 3y) = x ( x - 3) + y( x - 3)= ( x - 3)( x + y) II. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) 14x 2 – 21xy 2 + 28x 2 y 2 = 7x(2x - 3y 2 + 4xy 2 ) b) 2(x + 3) – x(x + 3) c) x 2 + 4x – y 2 + 4 = (x + 2) 2 - y 2 = (x + 2 - y)(x + 2 + y) Bài 2: Giải phương trình sau : 2(x + 3) – x(x + 3) = 0    x 3 0 x 3 x 3 2 x 0 2 x 0 x 2                    Vậy nghiệm của phương trình là x 1 = -3: x 2 = 2 III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 10( x - y) – 8y(y - x ) b) 2 x y + 3z + 6y + x y Bài 2: Giải các phương trình sau : a) 5 x ( x - 2010) - x + 2010 = 0 b) x 3 - 13 x = 0 Bài 4: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 2. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: d. Phương pháp tách một hạng tử: (trường hợp đặc biệt của tam thức bậc 2 có nghiệm) Tam thức bậc hai có dạng: ax 2 + bx + c = ax 2 + b 1 x + b 2 x + c ( 0 a  ) nếu 1 2 1 2 b b ac b b b       Ví dụ: a) 2x 2 - 3x + 1 = 2x 2 - 2x - x +1 = 2x(x - 1) - (x - 1) = (x - 1)(2x - 1)        3 2 2 2 1 2 1 2 1 y y y y y y y y y y              b) e. Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử: Ví dụ: Học thêm toán – 0968 64 65 97 Tài liệu toán 9 dành cho học sinh mất căn bản Website: http://thaytoan.net 7 a) y 4 + 64 = y 4 + 16y 2 + 64 - 16y 2 = (y 2 + 8) 2 - (4y) 2 = (y 2 + 8 - 4y)(y 2 + 8 + 4y) b) x 2 + 4 = x 2 + 4x + 4 - 4x = (x + 2) 2 - 4x = (x + 2) 2 -   2 2 x =     2 2 2 2 x x x x     g. Phương pháp phối hợp nhiều phương pháp: Ví dụ: a) a 3 - a 2 b - ab 2 + b 3 = a 2 (a - b) - b 2 (a - b) = (a - b) (a 2 - b 2 ) = (a - b) (a - b) (a + b) = (a - b) 2 (a + b)         3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 b) 27 27 (3 ) 3 9 3              x y a b y y x a b y x ab y x ab x xab a b II. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) 8x 3 + 4x 2 - y 3 - y 2 = (8x 3 - y 3 ) + (4x 2 - y 2 )                3 3 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 4 2 2 x y x y x y x xy y x y x y x y x xy y x y                          b) x 2 + 5x - 6 = x 2 + 6x - x - 6 = x(x + 6) - (x + 6) = (x + 6)(x - 1) c) a 4 + 16 = a 4 + 8a 2 + 16 - 8a 2 = (a 2 + 4) 2 - ( 8 a) 2 = (a 2 + 4 + 8 a)( a 2 + 4 - 8 a) Bài 2: Thực hiện phép chia đa thức sau đây bằng cách phân tích đa thức bị chia thành nhân tử: a) (x 5 + x 3 + x 2 + 1):(x 3 + 1) b) (x 2 - 5x + 6):(x - 3) Giải: a) Vì x 5 + x 3 + x 2 + 1= x 3 (x 2 + 1) + x 2 + 1 = (x 2 + 1)(x 3 + 1) Học thêm toán – 0968 64 65 97 Tài liệu toán 9 dành cho học sinh mất căn bản Website: http://thaytoan.net 8 nên (x 5 + x 3 + x 2 + 1):(x 3 + 1) = (x 2 + 1)(x 3 + 1):(x 3 + 1) = (x 2 + 1) b) Vì x 2 - 5x + 6 = x 2 - 3x - 2x + 6 = x(x - 3) - 2(x - 3) = (x - 3)(x - 2) nên (x 2 - 5x + 6):(x - 3) = (x - 3)(x - 2): (x - 3) = (x - 2) III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1: Rút gọn các phân thức sau: 2 2 2 2 2 2 x +xy-y 2x -3x+1 a) b) 2x -3xy+y x +x-2 Bài 2: Phân tích thành nhân tử (với a, b, x, y là các số không âm) 3 3 2 2 a) 1 b) xy y x x a b a b ab       Bài 5. QUY ĐỒNG MẪU NHIỀU PHÂN THỨC I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Quy tắc quy đồng mẫu nhiều phân số: Bước 1: Tìm một bội chung của các mẫu (thường là BCNN) để làm mẫu chung. Bước 2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu (bằng cách chia mẫu chung cho từng mẫu) Bước 3: Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng. Ví dụ: Quy đồng mẫu các phân số sau: 5 7 à 12 30 v * Bước 1: Tìm BCNN (12;30) = 60 * Bước 2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu: 60:12=5 60:30=2 * Bước 3: Nhân tử và mẫu của phân số với thừa số phụ tương ứng. 5 5.5 25 12 12.5 60 7 7.2 14 30 30.2 60     2. Quy đồng mẫu nhiều phân thức: Muốn quy đồng mẫu nhiều phân thức ta có thể làm như sau: - Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung. - Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức. - Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng. Ví dụ: Quy đồng mẫu thức của 3 2 4 x x  và 2 3 4 x x   * Bước 1: Tìm MTC. Học thêm toán – 0968 64 65 97 Tài liệu toán 9 dành cho học sinh mất căn bản Website: http://thaytoan.net 9 - Phân tích các mẫu thành nhân tử. 2x +4 = 2(x + 2) x 2 - 4 = (x - 2) (x + 2) - MTC là: 2(x - 2) (x + 2) * Bước 2: Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu. +) 2(x - 2) (x + 2): 2(x + 2) = (x - 2) +) 2(x - 2)(x + 2): (x 2 - 4) = 2 * Bước 3 : Nhân cả tử và mẫu của phân thức với nhân tử phụ tương ứng.      3 2 3 3 2 4 2( 2) 2 2 2 x x x x x x x x             2 2 3 3 3 4 ( 2)( 2) 2 2 2 x x x x x x x x           II. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Quy đồng mẫu các phân thức sau: 6 x 2 5  và 9 x 3 2  MTC: 2(x - 3)(x + 3) )3x)(3x(2 )3x(5 )3x(2 5 6x2 5       )3x)(3x(2 6 )3x)(3x(2 2.3 )3x)(3x( 3 9x 3 2        III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1: Quy đồng mẫu các phân thức sau (có thể áp dụng quy tắc đổi dấu với một phân thức để tìm MTC thuận tiện hơn). a) 1 x 5x3x4 3 2   ; 1 x x x21 2    b) 2 x 10  ; 4 x 2 5  Bài 6. QUY ĐỒNG MẪU NHIỀU PHÂN THỨC I. Luyện tập: Bài 1: Quy đồng mẫu phân thức sau: 16 x 8 x x2 2  và x 12 x 3 x 2  Phân tích các mẫu: x 2 - 8x + 16 = (x - 4) 2 3x 2 - 12x = 3x(x - 4) MTC: 3x(x - 4) 2 Học thêm toán – 0968 64 65 97 Tài liệu toán 9 dành cho học sinh mất căn bản Website: http://thaytoan.net 10 2 2 222 )4x(x3 x6 )4x(x3 x3.x2 )4x( x2 16x8x x2        22 )4x(x3 )4x(x )4x(x3 x x12x3 x       Bài 2: Rút gọn biểu thức : 1 1 2 3 2 3    Giải: MTC : (2+ 3 )(2- 3 ) Quy đồng: 1 1 2 3 2 3    = 2 3 2 3 4 4 4 3 1       Bài 3: Giải phương trình:   x 2 1 2 x 2 x x x 2      Giải: ĐKXĐ: x 0;x 2     x 2 1 2 x 2 x x x 2      2 2 x 2x x 2 2 x x 0           x x 1 0        x 0 x 1         kTM®K TM®K .Vậy phương trình có tập nghiệm S =   1  II. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài1: Quy đồng mẫu các phân thức sau: a) ; x y x y x y x y     ; b) 1 1 ; x y x y   ; Bài 2: Chứng minh đẳng thức : 3 2 3 6 6 2 4 2 3 2 6    Bài 7: PHÉP CỘNG, PHÉP TRỪ CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Cộng hai phân thức cùng mẫu: * Quy tắc: Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức. Ví dụ: Tính: a) 3 2 6 3 44 6 3 44 6 3 22          x x xx x x x x b)         2.2 2.22 2.2 2.22 2.2 22 x xx x x x x     2 2 22 2 2     x x x 2. Cộng hai phân thức không cùng mẫu: B CA B C B A   [...]... 7x2 - 9x + 2 = 0; b) 23x2 - 9x - 32 = 0 Giải Website: http://thaytoan.net 32 Học thêm toán – 096 8 64 65 97 a) 7x2 - 9x + 2 = 0 (a = 7; b = -9; c = 2) Tài liệu toán 9 dành cho học sinh mất căn bản Vì a + b + c = 7 + ( -9) + 2 = 0 nên PT có nghiệm x1 = 1 và x2 = c 2 = a 7 b) 23x2 - 9x - 32 = 0 (a = 23; b = -9; c = -32) Vì a - b + c = 23 – ( -9) + (-32) = 23 + 9 – 32 = 0 Nên PT có nghiệm x1 = - 1 và x2... phương trình: 14 1 1 x 3 x 9 2 Website: http://thaytoan.net 16 Học thêm toán – 096 8 64 65 97 Giải: Ta có phương trình Tài liệu toán 9 dành cho học sinh mất căn bản 14 1 14 1 1   1 x 3 x 3 x 9  x  3 x  3 2 ĐKXĐ: x ≠ 3 14 1  1  14   x  3 x  3   x  3 x 3  x  3 x  3  14  x 2  9  x  3  x 2  x  20  0   81  9 1  9 1  9 x1   4; x 2   5 , 2 2  =... 9 Hướng dẫn: Xác định a = ?; b = ?; c = ? Website: http://thaytoan.net 33 Học thêm toán – 096 8 64 65 97 Tài liệu toán 9 dành cho học sinh mất căn bản c c a Theo hệ thức Vi-ét x1.x2 = => x2 = =? x1 a Hoặc theo hệ thức Vi-ét x1 + x2 =  b b => x2 =  - x1 = ? a a Bài 21: ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI-ÉT GIẢI BÀI TOÁN TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG VÀ TÍCH I Tóm tắt kiến thức cơ bản : Nếu hai số u và v có tổng là S và. .. làm cho tất cả các mẫu trong phương trình đều khác 0 Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định của phân thức: 2x 3  2y2 a) b) x5 16 y 2  9 Giải: 2x a) Phân thức có nghĩa khi x - 5  0 hay x  5 x5 3  2y2 có nghĩa khi 16 y2 - 9  0 16 y 2  9 hay ( 4y + 3) (4y – 3)  0 3 Suy ra y   4 Website: http://thaytoan.net b) Phân thức 35 Học thêm toán – 096 8 64 65 97 Tài liệu toán 9 dành cho học sinh mất căn bản. .. a 2 a 3 9 a    :  a 9   a 3 2 a a  a 6 a) Rút gon A b) Tìm các số nguyên của a để A là số nguyên Website: http://thaytoan.net 17 Học thêm toán – 096 8 64 65 97 Tài liệu toán 9 dành cho học sinh mất căn bản CHUYÊN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH PHẦN I: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT Bài 13: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN VÀ CÁCH GIẢI I Kiến thức cơ bản: 1 Định nghĩa: Phương trình dạng ax+b=0, với a và b là hai... http://thaytoan.net 34 Học thêm toán – 096 8 64 65 97 Tài liệu toán 9 dành cho học sinh mất căn bản Vậy hai số cần tìm là -2 và -3 c) Ta có: S2 - 4P = 22 - 4.2 = -4 < 0 => không tồn tại hai số u và v III Bài tập đề nghị: Bài tập 1: a) Tìm hai số khi biết tổng của chúng là S = 32 và tích là P = 231 b) Tìm hai số khi biết tổng của chúng là S = -8 và tích là P = -105 c) Tìm hai số khi biết tổng của chúng là S = 2 và tích... c = -13 2 Ta có: a = 5 ; b' = Website: http://thaytoan.net 29 Học thêm toán – 096 8 64 65 97 Tài liệu toán 9 dành cho học sinh mất căn bản Bài 2: Giải các phương trình sau a) -16x2 - 10x - 1 = 0 (5); b) 2x2 + 4x + 1 = 0 ( 6) c) 2 3 x2 - 4 ( 3 - 1)x - (2 3 + 4) = 0 (7); Giải: a) -16x2 - 10x - 1 = 0 ( 5) Ta có:  ' = (-5)2 - (-16).(-1) = 25 - 16 = 9; '  9  3  ' > 0 => phương trình ( 5) có hai nghiệm... 4) Có  '  36  36  0 => PT có nghiệm kép x1 = x2 x1 + x2 = 12 4 4  và x1 x2 = 9 3 9 Ví dụ 2: Dùng hệ thức Vi-ét tính nhẩm các nghiệm của phương trình: x2 – 7x + 12 = 0 (a = 1; b = -7; c = 12) Giải: Website: http://thaytoan.net 31 Học thêm toán – 096 8 64 65 97 Theo hệ thức Vi-ét ta có: Tài liệu toán 9 dành cho học sinh mất căn bản 7   x1  x2   1  7    x x  12  12  1 2 1  Suy ra x1 =... sang một vế và chuyển các hằng số sang vế kia - x + 3x = 12 – 8 – 6 - Thu gọn và giải phương trình vừa tìm được: 2x = -2  x = -1 Phương trình có tập nghiệm : S = {-1} Ví dụ 3: Giải phương trình: 5x  2 7  3x x  6 4 Giải: - Qui đồng mẫu hai vế của phương trình: 5x  2 7  3x x  6 4 Website: http://thaytoan.net 19 Học thêm toán – 096 8 64 65 97 Tài liệu toán 9 dành cho học sinh mất căn bản - Nhân... trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m III Bài tập đề nghị Bài 1: Giải các phương trình sau   a, 2 x 2  1  2 2 x  2  0 1 2 b, x 2  2 x   0 3 3 Website: http://thaytoan.net 28 Học thêm toán – 096 8 64 65 97 Tài liệu toán 9 dành cho học sinh mất căn bản Bài 2: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm, tính nghiệm đó a, mx 2   2m  1 x  m  2  0 b, 2 x 2   4 m  3  x  2 m 2  1  0 Bài 19: CÔNG . 2 14 1 1 x 3 x 9     Học thêm toán – 096 8 64 65 97 Tài liệu toán 9 dành cho học sinh mất căn bản Website: http://thaytoan.net 17 Giải: Ta có phương trình 2 14 1 1 x 3 x 9      . = x 2 - 1 A C B D  nếu AD = BC Học thêm toán – 096 8 64 65 97 Tài liệu toán 9 dành cho học sinh mất căn bản Website: http://thaytoan.net 4 c) Tính chất cơ bản của phân thức: d). Bài 2: Cho biểu thức: 1 1 2 : 1 1 1 a A a a a a a                      Học thêm toán – 096 8 64 65 97 Tài liệu toán 9 dành cho học sinh mất căn bản Website: http://thaytoan.net