This file was downloaded from the ࢂ࢏ࢋ࢚ࡺࢇ࢓ ࡵ࢔ࢋ࢛ࢗࢇ࢒࢏࢚࢟ ࡹࢇ࢚ࢎࢋ࢓ࢇ࢚࢏ࢉ Olympiad Resources Page 1 http://www.vimf.tk/ http://www.vimf.co.cc/ LỜI NÓI ðẦU. Không còn nghi ngờ gì nữa, bất ñẳng thức ñã thực sự chiếm ñược chỗ ñứng riêng cho mình trong nền toán học hiện ñại. Nếu các bạn thường xuyên theo dõi các chương trình 360 0 thể thao hay 24/7 thì các bạn có thể thấy những chương trình phần lớn ñều bình luận nhiều về môn thể thao vua – bóng ñá. Bất ñẳng thức cũng vậy, ngày nay ñi khắp các diễn ñàn toán ta ñều thấy vấn ñề nóng bỏng nhất, thời sự nhất vẫn là bất ñẳng thức. Với mong muốn có thể góp chút ít công sức vào công cuộc ñổi mới dạy và học, chúng tôi – những thành viên của Diễn ðàn Bất ðẳng Thức Việt Nam VIMF muốn tạo ra một sân chơi thật sự bổ ích cho những bạn ñã ñang và sẽ yêu thích bộ môn bất ñẳng thức này. Và sự ra ñời của tập san này là ñại diện cho những gì mà chúng tôi mong muốn. Tập san bao gồm nhưng chuyên mục chính: - Bất ñẳng thức từ những cuộc thi: tuyển chọn những bất ñẳng thức và những lời giải hay từ các cuộc thi như NMO (thi toán của các quốc gia), TST (chọn ñội tuyển thi toán quốc tế), ñề thi tuyển sinh ñại học, các cuộc thi bất ñẳng thức,… - Bất ñẳng thức sưu tầm và sáng tạo: tuyển chọn những bất ñẳng thức hay mà chúng tôi tự sáng tạo hoặc sưu tầm ñược từ các bài toán trên các diễn ñàn, ñặc biệt là Diễn ðàn Bất ðẳng Thức Việt Nam. - Giải toán như thế nào?: tìm kiếm những bài viết mới hay về các vấn ñề bất ñẳng thức cổ ñiển – hiện ñại, những sáng tạo mới, những ứng dụng của một bất ñẳng thức ñặc biệt nào ñó giúp giải quyết ñược ñược một lớp các bài toán bất ñẳng thức, những tìm tòi mở rộng cho một bất ñẳng thức hay nào ñó,… Tập tài liệu không chỉ là người bạn ñồng hành với chúng ta mà tôi còn mong muốn rằng nó còn giúp các bạn tự trao ñổi, tích lũy kinh nghiệm lẫn nhau thông qua việc mỗi thành viên hãy ñóng góp một chút sức mình vào tập san ñể nó ngày càng hoàn thiện hơn. Các bạn có thể tham gia ñóng góp ở các chuyên mục: Bất ñẳng thức từ những cuộc thi và Giải toán như thế nào?. Riêng chuyên mục bất ñẳng thức từ những cuộc thi kêu gọi sự ñóng góp từ tất cả các thành viên thông qua việc post các ñề thi hay từ các năm lên forum ñể tổng hợp và tìm lời giải mới (nếu có). Yêu cầu khi tham gia: ðể cho thống nhất, làm cho tập san có tính mỹ quan, dễ ñọc, dễ tra cứu và hạn chế thời gian chúng tôi biên tập chỉnh sửa lại. Các bạn tham gia cần phải tuân thủ nghiêm ngặt các yêu cầu sau: 1. Bài chỉ ñánh máy bằng word (2003 hoặc 2007) và chỉ gửi về một ñịa chỉ email duy nhất: vif.vimf@gmail.com 2. Tất cả các công thức toán soạn thảo ñều phải dung mathtype hoặc equation của word 2007. Tránh tình trạng có chữ thì viết bình thừơng có chữ hoặc symbol thì dùng mathtype, như thế sẽ không tạo tính ñồng bộ cho tập san và mất thời giờ biên tập chỉnh sửa lại. Vì thế, yêu cầu tất cả các công thức toán ñều phải ñặt trong mathtype. 3. Các bài viết phải trình bày một cách khoa học nhất, không ñược viết lang man 4. Font chữ là Unicode, cỡ chữ là 11, size trong mathtype cũng là 11 5. Bài trong chuyên mục Bất ñẳng thức từ những cuộc thi các bạn có thể sưu tầm từ các cuộc thi và một số lời giải khác nhau (nhớ ghi gõ xuất sứ bài toán và tên hoặc nickname người giải). còn chuyên mục Giải toán như thế nào? phải là những bài viết mới gần ñây (do bạn viết thì càng tốt) bao gồm những tìm tòi khám phá về một bất ñẳng thức nào ñó hay một kĩ thuật nhỏ áp dụng giải một lớp các bất ñẳng thức ,… 6. Các bạn gửi bài ñến nhớ ñể lại tên tuổi, nickname ñể chúng tôi tiện cập nhật thông tin Cuối cùng, xin lưu ý rằng chúng tôi thực hiện tập san này một cách nghiêm túc vì mục ñích giáo dục. Vì thế, chúng tôi hi vọng rằng các bạn cộng tác cũng phải thật sự nghiêm túc và có trách nhiệm ñối với mỗi bài viết của mình ñể góp phần hoàn thiện tập san này. Các bạn tham gia tích cực sẽ ñược hưởng ưu ñãi từ diễn ñàn. Xin chân thành cảm ơn Copyright © 2009 by VIMF Tập san này cùng với file ñi kèm ñược tạo ra vì mục ñích giáo dục. không ñược sử dụng ebook này dưới bất kì mục ñích thương mại nào, trừ khi ñược sự ñồng ý của tác giả. Mọi chi tiết xin vui lòng liên hệ http://www.vimf.co.cc/ This file was downloaded from the ࢂ࢏ࢋ࢚ࡺࢇ࢓ ࡵ࢔ࢋ࢛ࢗࢇ࢒࢏࢚࢟ ࡹࢇ࢚ࢎࢋ࢓ࢇ࢚࢏ࢉ Olympiad Resources Page 2 http://www.vimf.tk/ http://www.vimf.co.cc/ B BB Bất tt t ðẳng ngng ng Th ThTh Thức cc c T TT Từ Nh NhNh Những ngng ng Cu CuCu Cuộc cc c Thi ThiThi Thi B ÀI O 1. Cho các số thực dương ܽ,ܾ,ܿ sao cho ܾܽܿൌ1. Chứng minh rằng ܽ൅ 3 ሺ ܽ൅ 1 ሻ ଶ ൅ ܾ൅ 3 ሺ ܾ൅ 1 ሻ ଶ ൅ ܿ൅ 3 ሺ ܿ൅ 1 ሻ ଶ ൒3 UK TST 2005 L ỜI G IẢI 1 (VIMF). Do ܾܽܿൌ1 nên ñặt , , y z x a b c x y z = = = Bất ñẳng thức ñược viết lại như sau 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 ( ) ( ) ( ) x xy y yz z zx x y y z z x + + + + + ≥ + + + 2 2 2 3 1 1 1 4 x y y z z x x y y z z x       − − −   ⇔ + + + + +         + + +           2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 ( ) ( ) ( ) x y x y y z y z z x z x x y y z z x   + − − + − − + − − + + + ≥   + + +   Hay 2 2 2 3( )( )( ) 3 ( )( )( ) x y y z z x x y y z z x x y y z z x x y y z z x x y y z z x x y y z z x       − − − − − − − − −   + + ≥ − + + =         + + + + + + + + +         + N ế u ( )( )( ) 0 x y y z z x − − − ≤ thì b ñ t trên hi ể n nhiên ñ úng. + N ế u ( )( )( ) 0 x y y z z x − − − ≥ thì theo b ấ t ñẳ ng th ứ c ܣܯെ ܩܯ ta có 2 2 2 2 3 ( )( )( ) 3 ( )( )( ) x y y z z x x y y z z x x y y z z x x y y z z x       − − − − − −   + + ≥         + + + + + +         Nên ta ch ỉ c ầ n ch ứ ng minh ( ) 2 2 2 ( )( )( ) 1 2 0 ( )( )( ) x y y z z x x y y z z x x y y z z x − − − ≤ ⇔ + + ≥ + + + (luôn ñ úng). V ậ y ta có ñ i ề u ph ả i ch ứ ng minh. ðẳ ng th ứ c x ả y ra khi và ch ỉ khi ܽൌܾൌܿൌ1 . L ỜI G IẢI 2 (VIMF). Tr ướ c tiên ta ch ứ ng minh 2 b ổ ñề sau B Ổ ð Ề 1. 1 1 ൅ ܽ ൅ 1 1 ൅ ܾ ൅ 1 1 ൅ ܿ ൒ 2 1 ൅ ܽ൅ ܾ൅ ܿ ൅ 1 B Ổ ð Ề 2. 1 ሺ 1 ൅ ܽ ሻ ଶ ൅ 1 ሺ 1 ൅ ܾ ሻ ଶ ൅ 1 ሺ 1 ൅ ܿ ሻ ଶ ൅ 1 ܽ ൅ ܾ൅ ܿ൅ 1 ൒1 Ch ứ ng minh B ổ ñề 1. B ấ t ñẳ ng th ứ c t ươ ng ñươ ng v ớ i 3 ൅ ܾܽ ൅ ܾܿ൅ ܿܽ൅ 2ሺܽ൅ ܾ൅ ܿሻ 2 ൅ ܾܽ ൅ ܾܿ൅ ܿܽ ൅ ܽ൅ ܾ൅ ܿ ൒ 3 ൅ ܽ ൅ ܾ൅ ܿ 1 ൅ ܽ ൅ ܾ൅ ܿ ֞ܽ ଶ ൅ ܾ ଶ ൅ ܿ ଶ ൒1 Mà theo b ấ t ñẳ ng th ứ c ܣܯെ ܩܯ thì ܽ ଶ ൅ ܾ ଶ ൅ ܿ ଶ ൒3√ܽ ଶ ܾ ଶ ܿ ଶ య ൌ3 V ậ y B ổ ñề 1 ñượ c ch ứ ng minh. Ch ứ ng minh B ổ ñề 2. theo nguyên lí ð irichlet thì 2 trong 3 s ố ሺ ܽെ 1 ሻ , ሺ ܾെ 1 ሻ ,ሺܿെ 1ሻ cùng d ấ u, không m ấ t tính t ổ ng quát gi ả s ử ሺ ܽെ 1ሻሺܾ െ 1 ሻ ൒0֜ ௖ାଵ ௖ ൌܾܽ൅ 1൒ܽ ൅ܾ . Ta có 1 ሺ 1 ൅ ܽ ሻ ଶ ൅ 1 ሺ 1 ൅ ܾ ሻ ଶ ൒ 1 1 ൅ ܾܽ ֞ ሺ ܾܽ െ 1 ሻ ଶ ൅ ሺ ܽെ ܾ ሻ ଶ ൒0 ሺđúngሻ nên 1 ሺ ܽ ൅ 1 ሻ ଶ ൅ 1 ሺ ܾ൅ 1 ሻ ଶ ൒ 1 1 ൅ ܾܽ ൌ ܿ ܿ൅ 1 Do ñ ó This file was downloaded from the ࢂ࢏ࢋ࢚ࡺࢇ࢓ ࡵ࢔ࢋ࢛ࢗࢇ࢒࢏࢚࢟ ࡹࢇ࢚ࢎࢋ࢓ࢇ࢚࢏ࢉ Olympiad Resources Page 3 http://www.vimf.tk/ http://www.vimf.co.cc/ 1 ሺ 1 ൅ ܽ ሻ ଶ ൅ 1 ሺ 1 ൅ ܾ ሻ ଶ ൅ 1 ሺ 1 ൅ ܿ ሻ ଶ ൅ 1 ܽ ൅ ܾ൅ ܿ൅ 1 ൒ ܿ ܿ൅ 1 ൅ 1 ሺ ܿ൅ 1 ሻ ଶ ൅ 1 ܿ൅ 1 ܿ ൅ ܿ൅ 1 ൌ1 Vậy Bổ ñề 2 ñược chứng minh. Trở lại bài toán. Bất ñẳng thức ñã cho tương ñương với 1 1 ൅ ܽ ൅ 1 1 ൅ ܾ ൅ 1 1 ൅ ܾ ൅ 2 ሺ ܽ൅ 1 ሻ ଶ ൅ 2 ሺ ܾ൅ 1 ሻ ଶ ൅ 2 ሺ ܾ൅ 1 ሻ ଶ ൒3 Mà theo bổ ñề trên ta có 1 1 ൅ ܽ ൅ 1 1 ൅ ܾ ൅ 1 1 ൅ ܾ ൅ 2 ሺ ܽ൅ 1 ሻ ଶ ൅ 2 ሺ ܾ൅ 1 ሻ ଶ ൅ 2 ሺ ܾ൅ 1 ሻ ଶ ൒ 2 ሺ ܽ൅ 1 ሻ ଶ ൅ 2 ሺ ܾ൅ 1 ሻ ଶ ൅ 2 ሺ ܾ ൅ 1 ሻ ଶ ൅ 2 ܽ ൅ ܾ൅ ܿ൅ 1 ൅ 1൒2ൌ1ൌ3 Vậy ta có ñiều phải chứng minh. ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ܽൌܾൌܿൌ1 N HẬN X ÉT . Từ lời giải trên ta có thể làm chặt bài toán bằng giả thiết ܾܽ൅ ܾܿ൅ ܿܽൌ3ܾ֜ܽܿ൒1. Các bạn hãy thử làm xem  B ÀI O 2. Cho các số thực dương ܽ,ܾ,ܿ và ݔ,ݕ,ݖ sao cho ܽ ൅ ݔൌܾ ൅ ݕൌܿ ൅ ݖൌ1. Chứng minh ሺ ܾܽܿ൅ ݔݕݖ ሻ ൬ 1 ܽݕ ൅ 1 ܾݖ ൅ 1 ܿݔ ൰൒3 Russia 2002 L ỜI G IẢI 1. Ta có ሺ ܾܽܿ൅ ݔݕݖ ሻ ൬ 1 ܽݕ ൅ 1 ܾݖ ൅ 1 ܿݔ ൰ൌ ܾܿ ݕ ൅ ܿܽ ݖ ൅ ܾܽ ݔ ൅ ݖݔ ܽ ൅ ݔݕ ܾ ൅ ݕݖ ܿ ൌ൬ ܾܿ ݕ ൅ ܿ൰ ൅ ቀ ܿܽ ݖ ൅ ܽቁ൅ ൬ ܾܽ ݔ ൅ ܾ൰ ൅ ቀ ݖݔ ܽ ൅ ݖቁ ൅ ቀ ݔݕ ܾ ൅ ݔቁ ൅ ቀ ݕݖ ܿ ൅ ݕቁ െ ሺ ܽ ൅ ݔ൅ ܾ൅ ݕ൅ ܿ൅ ݖ ሻ ൌ ܿ ݕ ൅ ܽ ݖ ൅ ܾ ݔ ൅ ݖ ܽ ൅ ݔ ܾ ൅ ݕ ܿ െ 6 Theo bất ñẳng thức ܣܯ െ ܩܯ 2 số thì ܽ ݖ ൅ ݖ ܽ ൒2, ܾ ݔ ൅ ݔ ܾ ൒2, ܿ ݕ ൅ ݕ ܿ ൒2 Cộng các bất ñẳng thức này vế theo vế ta suy ra ñiều phải chứng minh. L ỜI G IẢI 2. Từ ñiều kiện ta có ݔቀ ௔ ௫ ൅ 1ቁൌݕቀ ௕ ௬ ൅ 1ቁൌݖቀ ௖ ௭ ൅ 1ቁ Hay ௔ ௫ ൅ 1ൌ ଵ ௫ , ௕ ௬ ൅ 1ൌ ଵ ௬ , ௖ ௭ ൅ 1ൌ ଵ ௭ ðặt ௔ ௫ ൌ݉, ௕ ௬ ൌ݊, ௖ ௭ ൌ݌ thì ݉ ൅ 1ൌ ଵ ௫ ,݊൅ 1ൌ ଵ ௬ ,݌൅ 1ൌ ଵ ௭ Và bất ñẳng thức cần chứng minh ñược viết lại thành ൬ ܾܽܿ ݔݕݖ ൅ 1൰ቀ ݔݖ ܽ ൅ ݔݕ ܾ ൅ ݕݖ ܿ ቁ൒3֞ ሺ ݉݊݌ ൅ 1 ሻ ൬ 1 ݉ ሺ ݌ ൅ 1 ሻ ൅ 1 ݊ ሺ ݉ ൅ 1 ሻ ൅ 1 ݌ ሺ ݊ ൅1 ሻ ൰൒3 ֞ ݉݊݌ ൅ 1 ݉ ሺ ݌ ൅ 1 ሻ ൅ 1 ൅ ݉݊݌ ൅ 1 ݊ ሺ ݉ ൅ 1 ሻ ൅ 1 ൅ ݉݊݌ ൅ 1 ݌ ሺ ݊ ൅ 1 ሻ ൅ 1൒6 ֞ ݌ ሺ ݊ ൅ 1 ሻ ݌ ൅ 1 ൅ ݉ ሺ ݌ ൅ 1 ሻ ݉ ൅ 1 ൅ ݊ ሺ ݉ ൅ 1 ሻ ݊ ൅1 ൅ ݉ ൅ 1 ݉ ሺ ݌ ൅ 1 ሻ ൅ ݊ ൅1 ݊ ሺ ݉ ൅ 1 ሻ ൅ ݌ ൅ 1 ݌ ሺ ݊ ൅ 1 ሻ ൒6 Dễ dàng chứng minh ñược bất ñẳng thức trên bằng bất ñẳng thức ܣܯെ ܩܯ 6 số.  B ÀI O 3. Cho các số thực dương ܽ,ܾ,ܿ sao cho ሺ ܽ ൅ ܾ ሻሺ ܾ൅ ܿ ሻሺ ܿ൅ ܽ ሻ ൌ1. Chứng minh rằng ܾܽ ൅ ܾܿ ൅ ܿܽ൑ 3 4 Romania 2005, Cezar Lupu L ỜI G IẢI 1. This file was downloaded from the ࢂ࢏ࢋ࢚ࡺࢇ࢓ ࡵ࢔ࢋ࢛ࢗࢇ࢒࢏࢚࢟ ࡹࢇ࢚ࢎࢋ࢓ࢇ࢚࢏ࢉ Olympiad Resources Page 4 http://www.vimf.tk/ http://www.vimf.co.cc/ Từ bất ñẳng thức quen thuộc ሺ ܽ ൅ ܾ ሻሺ ܾ൅ ܿ ሻሺ ܿ൅ ܽ ሻ ൒ ଼ ଽ ሺ ܽ ൅ ܾ൅ ܿ ሻ ሺܾܽ ൅ ܾܿ൅ ܿܽሻ và giả thiết suy ra ሺ ܽ ൅ ܾ൅ ܿ ሻሺ ܾܽ ൅ ܾܿ൅ ܿܽ ሻ ൑ 9 8 Hơn nữa ta cũng có ܽ൅ ܾ ൅ ܿ൒ ඥ 3 ሺ ܾܽ ൅ ܾܿ൅ ܿܽ ሻ Nên ඥ 3 ሺ ܾܽ ൅ ܾܿ൅ ܿܽ ሻ ଷ ൑ 9 8 Từ ñây ta dễ dàng suy ra ñiều phải chứng minh. L ỜI G IẢI 2. ðặt ܽ ൅ ܾൌݔ,ܾ൅ ܿൌݕ,ܿ൅ ܽൌݖ thì ݔݕݖൌ1 và ܽൌ ௫ା௭ି௬ ଶ ,ܾൌ ௫ା௬ି௭ ଶ ,ܿൌ ௬ା௭ି௫ ଶ Và bất ñẳng thức cần chứng minh ñược viết lại thành ݔ൅ ݕ െ ݖ 2 . ݕ ൅ ݖെ ݔ 2 ൅ ݕ ൅ ݖെ ݔ 2 . ݖ ൅ ݔെ ݕ 2 ൅ ሺ ݖ ൅ ݔെ ݕ ሻ 2 . ݔ൅ ݕ െ ݖ 2 ൑ 3 4 Hay ݔ ଶ ൅ ݕ ଶ ൅ ݖ ଶ ൅ 3൒2ሺݔݕ ൅ ݕݖ൅ ݖݔሻ Vì ݔݕݖൌ1 nên bất ñẳng thức này có thể viết lại thành ݔ ଶ ൅ ݕ ଶ ൅ ݖ ଶ ൅ 2ݔݕݖ ൅ 1൒2ሺݔݕ൅ ݕݖ ൅ ݖݔሻ ðây là một bất ñẳng thức khá quen thuộc.  B ÀI O 4. Cho ܽ,ܾ,ܿ là các số thực không âm sao cho ܾܽ ൅ ܾܿ൅ ܿܽൌ1. Chứng minh rằng 3 3 3 2 a a b b c c a b c + + + + + ≥ + + Iran TST 2008 L ỜI G IẢI 1 (Albanian Eagle) . Bất ñẳng thức cần chứng minh ñược viết lại thành ܽ ඥ ܽ ሺ ܾ൅ ܿ ሻ ൅ ܾ ඥ ܾ ሺ ܿ൅ ܽ ሻ ൅ ܿ ඥ ܿ ሺ ܽ ൅ ܾ ሻ ൒2 ඨ ሺ ܽ൅ ܾ ൅ ܿ ሻሺ ܾܽ ൅ ܾܿ൅ ܿܽ ሻ ሺܽ൅ ܾሻ ሺ ܾ൅ ܿ ሻሺ ܿ൅ ܽ ሻ Áp dụng bất ñẳng thức ܬ݁݊ݏ݁݊ ñối với hàm ݂ ሺ ݔ ሻ ൌ ଵ √ ௫ ta có ܽ ඥ ܽ ሺ ܾ൅ ܿ ሻ ൅ ܾ ඥ ܾ ሺ ܿ൅ ܽ ሻ ൅ ܿ ඥ ܿ ሺ ܽ൅ ܾ ሻ ൒ ܽ൅ ܾ ൅ ܿ ට ܽ ଶ ܾ ൅ ܾܽ ଶ ൅ ܾ ଶ ܿ ൅ ܾܿ ଶ ൅ ܿ ଶ ܽ ൅ ܿܽ ଶ ܽ ൅ ܾ൅ ܿ Do ñó ta chỉ cần chứng minh ሺ ܽ൅ ܾ൅ ܿ ሻ ଶ ሺ ܽ ଶ ܾ ൅ ܾܽ ଶ ൅ ܾ ଶ ܿ൅ ܾܿ ଶ ൅ ܿ ଶ ܽ ൅ ܿܽ ଶ ൅ 2ܾܽܿ ሻ ൒4 ሺ ܾܽ ൅ ܾܿ൅ ܿܽ ሻ ሺܽ ଶ ܾ൅ ܾܽ ଶ ൅ ܾ ଶ ܿ൅ ܾܿ ଶ ൅ ܿ ଶ ܽ ൅ ܿܽ ଶ ሻ Không mất tính tổng quát, giả sử ܿൌ݉݅݊ ሼܽ,ܾ,ܿሽ. Khi ñó bất ñẳng thức trên ñược viết lại thành ሺ ܽെ ܾ ሻ ଶ ሺ ܽ ଶ ܾ ൅ ܾܽ ଶ ൅ ܽ ଶ ܿ൅ ܾ ଶ ܿ െ ܽܿ ଶ െ ܾܿ ଶ ሻ ൅ ܿ ଶ ሺ ܽ ൅ ܾ ሻሺ ܽ െ ܿ ሻሺ ܾെ ܿ ሻ ൒0 Bất ñẳng thức này hiển nhiên ñúng do ܿൌ݉݅݊ ሼܽ,ܾ,ܿሽ. Vậy, ta có ñiều phải chứng minh. L ỜI G IẢI 2 (VIMF). Theo bất ñẳng thức ܯ݅݊ܿ݋݌ݔ݇݅ ta có 3 3 3 3 3 3 ( ) ( ) ( ) a a b b c c a a ab bc ca b b ab bc ca c c ab bc ca + + + + + = + + + + + + + + + + + ( ) ( ) 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 3 a a b c abc b a b c abc c a b c abc a a b c abc = + + + + + + + + + + + ≥ + + + ∑ ( ) 3 9 a b c abc = + + + . Do ñó ta chỉ cần chứng minh ( ) ( )( ) 3 3 2 9 2 3 ( ) a b c abc a b c ab bc ca a abc a b c + + + ≥ + + + + ⇔ + ≥ + ∑ ∑ . ðây chính là bất ñẳng thức ࡿࢉࢎ࢛࢘ . Vậy bài toán ñược chứng minh . This file was downloaded from the ࢂ࢏ࢋ࢚ࡺࢇ࢓ ࡵ࢔ࢋ࢛ࢗࢇ࢒࢏࢚࢟ ࡹࢇ࢚ࢎࢋ࢓ࢇ࢚࢏ࢉ Olympiad Resources Page 5 http://www.vimf.tk/ http://www.vimf.co.cc/ ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ሺ ܽ,ܾ,ܿ ሻ ൌ 1 1 1 ; ; 3 3 3            hoặc ሺ1;1;0ሻ và các hoán vị.  B ÀI O 5. Cho các số thực dương ܽ,ܾ,ܿ. Chứng minh rằng ሺ ܽ ଶ ൅ 2 ሻሺ ܾ ଶ ൅ 2 ሻሺ ܿ ଶ ൅ 2 ሻ ൒9ሺܾܽ ൅ ܾܿ൅ ܿܽሻ APMO 2004 LỜI GIẢI 1. ðặt ݐൌ ௕ା௖ ଶ . Khi ñó ሺ ܾ ଶ ൅ 2 ሻሺ ܿ ଶ ൅ 2 ሻ ൌܾ ଶ ܿ ଶ ൅ 1 ൅ 2ܾ ଶ ൅ 2ܿ ଶ ൅ 3൒2ܾܿ൅ 2ܾ ଶ ൅ 2ܿ ଶ ൅ 3ൌ ሺ ܾ ൅ ܿ ሻ ଶ ൅ ܾ ଶ ൅ ܿ ଶ ൅ 3 ൒ 3 2 ሺ ܾ൅ ܿ ሻ ଶ ൅ 3 Và do ñó ta chỉ cần chứng minh ሺ ܽ ଶ ൅ 2 ሻ ൬ 3 2 ሺ ܾ ൅ ܿ ሻ ଶ ൅ 3൰൒9 ሺ ܾܽ ൅ ܾܿ൅ ܿܽ ሻ ֞ ሾ ሺ ܾ൅ ܿ ሻ ଶ ൅ 2 ሿ ሺ 2 ൅ ܽ ଶ ሻ ൒6ሺܾܽ ൅ ܾܿ൅ ܿܽሻ Theo bất ñẳng thức ܤݑ݄݊݅ܽܿ݋݌ݔ݇݅ thi ሾ ሺ ܾ൅ ܿ ሻ ଶ ൅ 2 ሿ ሺ 2 ൅ ܽ ଶ ሻ ൒ ൫ √ 2 ሺ ܾ൅ ܿ ሻ ൅ √ 2ܽ ൯ ଶ ൌ2 ሺ ܽ൅ ܾ ൅ ܿ ሻ ଶ ൒6 ሺ ܾܽ ൅ ܾܿ൅ ܿܽ ሻ Và trường hợp rút ra ñược ñiều phải chứng minh. L ỜI G IẢI 2. Ta sẽ chứng minh bất ñẳng thức chặt hơn ሺ ܽ ଶ ൅ 2 ሻ ሺܾ ଶ ൅ 2ሻሺܿ ଶ ൅ 2ሻ൒ 3 ሺ ܽ ൅ ܾ൅ ܿ ሻ ଶ ൅ ሺ ܾܽܿെ 1 ሻ ଶ với mọi số thực dương ܽ,ܾ,ܿ C HỨNG M INH . Bất ñẳng thức trên tương ñương với 2ሺܽ ଶ ܾ ଶ ൅ ܾ ଶ ܿ ଶ ൅ ܿ ଶ ܽ ଶ ሻ ൅ 4ሺܽ ଶ ൅ ܾ ଶ ൅ ܿ ଶ ሻ ൅ 2ܾܽܿ ൅ 7൒ 9ሺܾܽ ൅ ܾܿ ൅ ܿܽሻ Theo bất ñẳng thức AM GM − thì 2ܽ ଶ ܾ ଶ ൅ 2 ൅ 2ܾ ଶ ܿ ଶ ൅ 2 ൅ 2ܿ ଶ ܽ ଶ ൅ 2൒4ܾܽ ൅ 4ܾܿ ൅ 4ܿܽ Và 3ܽ ଶ ൅ 3ܾ ଶ ൅ 3ܿ ଶ ൒ 3ܾܽ ൅ 3ܾܿ ൅ 3ܿܽ Nên ta chỉ cần chứng minh ܽ ଶ ൅ ܾ ଶ ൅ ܿ ଶ ൅ 2ܾܽܿ൅ 1൒2ሺܾܽ൅ ܾܿ ൅ ܿܽሻ Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số ሺ ܽ െ 1 ሻ , ሺ ܾെ 1 ሻ , ሺ ܿെ 1 ሻ cùng dấu. Không mất tính tổng quát, giả sử ሺ ܽെ 1 ሻሺ ܾ െ 1 ሻ ൒0 thì 2ܿ ሺ ܽ െ 1 ሻሺ ܾെ 1 ሻ ൒0֜2ܾܽܿ൒2ܾܿ ൅ 2ܿܽെ 2ܿ . Do ñó ta chỉ cần chứng minh ܽ ଶ ൅ ܾ ଶ ൅ ܿ ଶ ൅ 1൒2ܿ൅ 2ܾܽ֞ ሺ ܽ െ ܾ ሻ ଶ ൅ ሺ ܿ െ 1 ሻ ଶ ൒0 Bất ñẳng thức trên luôn ñúng. Vậy ta có ñiều phải chứng minh. ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ܽൌܾൌܿൌ1. ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ܽ ൌ ܾ ൌ ܿ ൌ 1 L ỜI G IẢI 3 (VIMF). Ta sẽ chứng minh bất ñẳng thức chặt hơn bài toán ban ñầu nhưng trong phạm vi rộng hơn với bài toán trong lời giải 2. ሺܽ ଶ ൅ 2ሻሺܾ ଶ ൅ 2ሻሺܿ ଶ ൅ 2ሻ൒ 3 ሺ ܽ൅ ܾ ൅ ܿ ሻ ଶ với mọi số thực ܽ,ܾ,ܿ C HỨNG M INH . Bất ñẳng thức ñã cho tương ñương với 2ሺܽ ଶ ܾ ଶ ൅ ܾ ଶ ܿ ଶ ൅ ܿ ଶ ܽ ଶ ሻ ൅ ܽ ଶ ൅ ܾ ଶ ൅ ܿ ଶ ൅ ܽ ଶ ܾ ଶ ܿ ଶ ൅ 8൒ 6ሺܾܽ ൅ ܾܿ ൅ ܿܽሻ Theo nguyên lí Dirichlet thì ܿ ଶ ሺ ܽ ଶ െ 1 ሻ ሺܾ ଶ െ 1ሻ൒ 0֜ ܽ ଶ ܾ ଶ ܿ ଶ ൅ ܿ ଶ ൒ ܾ ଶ ܿ ଶ ൅ ܿ ଶ ܽ ଶ . Do ñó ta chỉ cần chứng minh 2 ሺ ܽ ଶ ܾ ଶ ൅ ܾ ଶ ܿ ଶ ൅ ܿ ଶ ܽ ଶ ሻ ൅ 6൒4 ሺ ܾܽ ൅ ܾܿ ൅ ܿܽ ሻ ֞ ሺ ܾܽ െ 1 ሻ ଶ ൅ ሺ ܾܿെ 1 ሻ ଶ ൅ ሺ ܿܽെ 1 ሻ ଶ ൒ 0 Bất ñẳng thức trên luôn ñúng. Vậy, ta có ñiều phải chứng minh. ñẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ܽ ൌ ܾ ൌ ܿ ൌ േ 1  B ÀI O 6. Cho các số thực ݔ,ݕ,ݖ sao cho ݔ൅ ݕ൅ ݖൌݔݕ൅ ݕݖ ൅ ݖݔ. Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 2 1 1 1 x y z P x y z = + + + + + Brazilian Math Olympiads This file was downloaded from the ࢂ࢏ࢋ࢚ࡺࢇ࢓ ࡵ࢔ࢋ࢛ࢗࢇ࢒࢏࢚࢟ ࡹࢇ࢚ࢎࢋ࢓ࢇ࢚࢏ࢉ Olympiad Resources Page 6 http://www.vimf.tk/ http://www.vimf.co.cc/ L ỜI G IẢI 1 (V Õ Q UỐC B Á C ẨN ). Cho ݔൌݕൌെ1 và ݖൌ1 thì − = 1 2 P , và ta sẽ chứng minh giá trị nhỏ nhất của ܲ là 1 2 − , tức là chứng minh 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( 1) ( 1) ( 1) 1 1 1 2 1 1 1 x y z x y z x y z x y z − + + − + + ≥ ⇔ + ≥ + + + + + + Từ ñiều kiện ݔ ൅ ݕ൅ ݖൌݔݕ൅ ݕݖ ൅ ݖݔ ta có ( 1) z x y x y xy + − = + − . Chú ý rằng ta không thể có 1 x y + = , bởi vì nếu ngược là 1 x y + = , thì 0 x y xy + − = hay ݔݕൌ1, mà 2 ( ) 1 4 4 x y xy + ≤ = (ñiều này vô lí) nên 1 x y + ≠ và ta có 1 x y xy z x y + − = + − Nên ta chỉ cần chứng minh 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) ( 1) ( 1) 1 1 ( 1) ( ) x y xy x y x y x y xy + + − + ≥ + + + − + + − Theo b ất ñẳng thức ܥܽݑ݄ܿݕ െ ݄ܵܿݓܽݎݖ thì [ ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 )(1 ) (1 )(1 ) ( 1) ( 1) 4( 1) 1 1 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) x y y x x y xy x y x y y x x y y x + − + + − + + − + ≥ = + + + − + + − + − + + − Nên ta chỉ cần chứng minh 2 2 2 2 2 2 4( 1) 4( ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) x y x y xy x y y x + − + + − ≥ + − + + − 2 2 2 2 ( ) ( 3 3) (3 8 3) 3 3 1 0 f x y y x y y x y y ⇔ = − + − − + + − + ≥ Mà ta có 2 2 2 2 2 2 (3 8 3) 4( 3 3)(3 3 1) 3( 1) 0 f y y y y y y y = − + − − + − + = − − ≤ △ nên ( ) 0 f x ≥ Vậy ta có ñiều phải chứng minh. L ỜI G IẢI 2 (VIMF). ðặt ܽ൅ ܾ ൅ ܿൌ݌,ܾܽ ൅ ܾܿ൅ ܿܽൌݍ,ܾܽܿൌݎ, từ giả thiết ta có ݌ൌݍ Cũng như dự ñoán trong lời giải 1 ta sẽ chứng minh giá trị nhỏ nhất của ܲ là െ ଵ ଶ và ta chứng minh 2 2 2 2 2 2 1 3 1 1 1 1 2 2 2 1 2 x y z qr pq r p x y z r p q q pr − + − + − + + ≥ ⇔ ≥ + + + + − + − + ֞2 ሺ ݌ݎ ൅ ݌ ଶ െ 3ݎ൅ ݌ ሻ ൅ ሺ ݎ ଶ ൅ 2݌ ଶ െ 2݌ െ 2݌ݎ൅ 1 ሻ ൒0֞ݎ ଶ െ 6ݎ൅ 4݌ ଶ ൅ 1൒0 Từ bất ñẳng thức ñúng ሺ ܾܽ െ ܿ ሻ ଶ ൅ ሺ ܾܿെ ܽ ሻ ଶ ൅ ሺ ܿܽ െ ܾ ሻ ଶ ൒0 ta thu ñược ܽ ଶ ܾ ଶ ൅ ܾ ଶ ܿ ଶ ൅ ܿ ଶ ܽ ଶ ൅ ܽ ଶ ൅ ܾ ଶ ൅ ܿ ଶ ൒6ܾܽܿ֞ ሺ ܾܽ ൅ ܾܿ൅ ܿܽ ሻ ଶ ൅ ሺ ܽ൅ ܾ ൅ ܿ ሻ ଶ ൒2ܾܽܿ ሺ ܽ ൅ ܾ൅ ܿ ሻ ൅ 2ሺܾܽ ൅ ܾܿ൅ ܿܽ ൅ 6ܾܽܿ֞2݌ ଶ ൒6ݎ ൅2݌ݎ ൅ 2݌ Và do ñó ݎ ଶ െ 6ݎ൅ 4݌ ଶ ൅ 1ൌݎ ଶ െ 6ݎ൅ 2݌ ଶ ൅ 1 ൅ 2݌ ଶ ൒ݎ ଶ െ 6ݎ൅ 2݌ ଶ ൅ 1 ൅ 6ݎ൅ 2݌ݎ ൅ 2݌ ൌ ሺ ݎ ൅ ݌ ሻ ଶ ൅ ሺ ݌ ൅ 1 ሻ ଶ ൒0 Phép chứng minh hoàn tất.  B ÀI O 7 . Cho a,b,c là các số dương và x,y,z là ñộ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng z x y y z x x y z ab ca bc a b c z y x + − + − + − + + ≤ + + MIC Staff 2009 – T RẦN Q UỐC L UẬT L ỜI G IẢI 1 (MIC Staff). Sử dụng bất ñẳng thức ܣܯ െ ܩܯ ta có ඨ ݖ൅ ݔ െ ݕ ݖ ܾܽ ൅ ඨ ݕ ൅ ݖെ ݔ ݕ ܿܽൌ √ ܽቌ ඨ ݖ ൅ ݔെ ݕ ݖ ܽ൅ ඨ ݕ ൅ ݖെ ݔ ݕ ܿቍ ൑ܽ ൅ 1 4 ቌ ඨ ݖ ൅ ݔെ ݕ ݖ ܾܽ ൅ ඨ ݕ൅ ݖ െ ݔ ݕ ܿܽቍ ଶ This file was downloaded from the ࢂ࢏ࢋ࢚ࡺࢇ࢓ ࡵ࢔ࢋ࢛ࢗࢇ࢒࢏࢚࢟ ࡹࢇ࢚ࢎࢋ࢓ࢇ࢚࢏ࢉ Olympiad Resources Page 7 http://www.vimf.tk/ http://www.vimf.co.cc/ Nên ta chỉ cần chứng minh ñược ඨ ݔ൅ ݕ െ ݖ ݖ ܾܿ൅ 1 4 ቌ ඨ ݖ ൅ ݔെ ݕ ݖ ܾܽ ൅ ඨ ݕ൅ ݖ െ ݔ ݕ ܿܽቍ ଶ ൑ܾ ൅ ܿ, ൬4 െ ݖ൅ ݔ െ ݕ ݖ ൰ܾ ൅ ൬4 െ ݕ ൅ ݖെ ݔ ݕ ൰ܿ൒2 ቎ 2 ඨ ݔ ൅ ݕെ ݖ ݔ ൅ ඨ ሺ ݖ ൅ ݔെ ݕ ሻሺ ݕ ൅ ݖെ ݔ ሻ ݕݖ ቏ √ܾܿ. Chú ý rằng 4 െ ௭ା௫ି௬ ௭ ൐0 và 4 െ ௬ା௭ି௫ ௬ ൐0 nên sau khi áp dụng bất ñẳng thức ܣܯ െ ܩܯ, ta chỉ cần chứng minh bất ñẳng thức sau ൬4 ൅ ݖ ൅ ݔെ ݕ ݖ ൰൬4 െ ݕ ൅ ݖെ ݔ ݕ ൰൒ ቎ 2 ඨ ݔ ൅ ݕെ ݖ ݔ ൅ ඨ ሺ ݖ ൅ ݔെ ݕ ሻሺ ݕ ൅ ݖെ ݔ ሻ ݕݖ ቏ ଶ . Bất ñẳng thức này tương ñương với bất ñẳng thức sau ݔ൅ ݕ െ ݖ ݖ ൅ ݖ ൅ ݔെ ݕ ݖ ൅ ݕ ൅ ݖെ ݔ ݕ ൅ ඨ ሺ ݔ൅ ݕ െ ݖ ሻሺ ݕ ൅ ݖെ ݔ ሻሺ ݖ ൅ ݔെ ݕ ሻ ݔݕݖ ൑4 ðặt ݉ൌݕ ൅ ݖ െ ݔ,݊ൌݖ൅ ݔെ ݕ,݌ൌݔ ൅ ݕെ ݖ thì ݉,݊,݌ là các số dương và bất ñẳng thức trên trở thành ݉ ݉ ൅ ݌ ൅ ݊ ݊ ൅ ݉ ൅ ݌ ݌ ൅ ݊ ൅ ඨ 2݉݊݌ ሺ ݉ ൅ ݊ ሻሺ ݊ ൅ ݌ ሻሺ ݌ ൅ ݉ ሻ ൑2֞ ݉݊ ଶ ൅ ݊݌ ଶ ൅ ݌݉ ଶ ൅ ݉݊݌ ሺ ݉ ൅ ݊ ሻሺ ݊ ൅ ݌ ሻሺ ݌ ൅ ݉ ሻ ൒ ඨ 2݉݊݌ ሺ ݉ ൅ ݊ ሻሺ ݊ ൅ ݌ ሻሺ ݌ ൅ ݉ ሻ ֞݉݊ ଶ ൅ ݊݌ ଶ ൅ ݌݉ ଶ ൅ ݉݊݌ ൒ ඥ 2݉݊݌ ሺ ݉ ൅ ݊ ሻሺ ݊ ൅ ݌ ሻሺ ݌ ൅ ݉ ሻ Bình phương 2 vế của bất ñẳng thức này ta ñược bất ñẳng thức tương ñương là ݉ ଶ ݊ ସ ൅ ݊ ଶ ݌ ସ ൅ ݌ ଶ ݉ ସ ൒3݉ ଶ ݊ ଶ ݌ ଶ Bất ñẳng thức này hiển nhiên ñúng theo bất ñẳng thức ܣܯ െ ܩܯ 3 số. Vậy ta có ñiều phải chứng minh. L ỜI G IẢI 2 (MIC Staff). Giả sử rằng ݔ,ݕ,ݖ là ñộ dài 3 cạnh cảu tam giác ܣܤܥ. Khi ñó ݖ ൅ ݔെ ݕ ݖ ൌ ݏ݅݊ܣ െ ݏ݅݊ܤ൅ ݏ݅݊ܥ ݏ݅݊ܥ ൌ 2ݏ݅݊ ܣ 2 ܿ݋ݏ ܤ 2 ܿ݋ݏ ܥ 2 . ðiều này dẫn ñến ඨ ݖ൅ ݔ െ ݕ ݖ ܾܽ ൅ ඨ ݕ ൅ ݖെ ݔ ݕ ܿܽ൅ ඨ ݔ൅ ݕ െ ݖ ݖ ܾܿ ൌ cos ܤ 2 √ ܾܽݏ݅݊ܣ ൅ cos ܣ 2 √ ܿܽݏ݅݊ܤ ൅ cos ܥ 2 √ ܾܿݏ݅݊ܥ ට cos ܣ 2 cos ܤ 2 cos ܥ 2 ൑ ඩ ቀܾܽܿ݋ݏ ଶ ܤ 2 ൅ ܿܽܿ݋ݏ ଶ ܣ 2 ൅ ܾܿܿ݋ݏ ଶ ܥ 2 ቁ ሺ ݏ݅݊ܣ ൅ ݏ݅݊ܤ൅ ݏ݅݊ܥ ሻ cos ܣ 2 cos ܤ 2 cos ܥ 2 ሺ ܥܽݑ݄ܿݕ ݄ܵܿݓܽݎݖ ሻ ൌ√2ܾܽܿ݋ݏܤ ൅ 2ܿܽܿ݋ݏܣ൅ 2ܾܿܿ݋ݏܥ൅ 2ܾܽ ൅ 2ܾܿ൅ 2ܿܽ Mặt khác, với chú ý ở bất ñẳng thức quen thuộc 2ܾܽܿ݋ݏܤ ൅ 2ܿܽܿ݋ݏܣ ൅ 2ܾܿܿ݋ݏܥ൑ܽ ଶ ൅ ܾ ଶ ൅ ܿ ଶ Ta có thể dễ dàng suy ra kết quả của bài toán. L ỜI G IẢI 3 (VIMF). Do ݔ,ݕ,ݖ là ñộ dài 3 cạnh của một tam giác nên ñặt ݔൌ݇ ൅ ݉,ݕൌ݉൅ ݊,ݖൌ݊ ൅ ݇ ሺ݇,݉,݊ ൐0ሻ Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với This file was downloaded from the ࢂ࢏ࢋ࢚ࡺࢇ࢓ ࡵ࢔ࢋ࢛ࢗࢇ࢒࢏࢚࢟ ࡹࢇ࢚ࢎࢋ࢓ࢇ࢚࢏ࢉ Olympiad Resources Page 8 http://www.vimf.tk/ http://www.vimf.co.cc/ 2 2 2k n m ab ca bc a b c k n m n m k + + ≤ + + + + + Không mất tính tổng quát, giả sử ݇ là số ở giữa ݉ và ݊. Theo bất ñẳng thức ܣܯെ ܩܯ, ta có 2 2 2 2 2 2 . . k n m ka na k n mc ab ca bc b c b k n m n m k k n k n m n m k + + + = + + + + + + + + + 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 ka na k n mc k n m b c b a b c k n k n m n m k m n m k   + +     ≤ + + + + + = + + +       + + + + + +       Do ñó ta chỉ cần chứng minh 2 . ( )( ) 2 ( ) 2( )( ) 2 c k n m c k m k n m m n m n m k m n m k +   + ≤ ⇔ + + + + ≤ + +   + +   2 ( )( ) 0 k mn km kn k m k n ⇔ + ≤ + ⇔ − − ≤ Bất ñẳng thức trên ñúng do ݇ là số ở giữa ݉ và ݊. Vậy ta có ñiều phải chứng minh. ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ܽൌܾൌܿ và ݔൌݕൌݖ.  B ÀI O 8. Cho các số dương ܽ,ܾ,ܿ. Biết rằng a b c ≤ ≤ và 1 1 1 a b c a b c + + = + + . Chứng minh rằng 1 1 b a c ≥ + − MIC Staff 2009 – Vasile Cirtoaje L ỜI G IẢI 1 (MIC Staff). Từ giả thiết ܽ൑ܾ൑ܿ ta suy ra ሺ ܾ െ ܿ ሻሺ ܾെ ܽ ሻ ൑0, hay là ܽܿ൑ܾሺܽ൅ ܿെ ܾሻ, từ ñó dẫn ñến ܽ൅ ܾ൅ ܿൌ 1 ܽ ൅ 1 ܾ ൅ 1 ܿ ൌ ܽ൅ ܿ ܽܿ ൅ 1 ܾ ൒ ܽ൅ ܿ ܾ ሺ ܽ ൅ ܿെܾ ሻ ൅ 1 ܾ , Suy ra ܾ ሺ ܽ൅ ܿ ሻ ଶ െ 2 ሺ ܽ൅ ܿ ሻ ൅ ܾ ሺ 1 െ ܾ ଶ ሻ ൒0, Và ta thu ñược ܽ൅ ܿ൑ 1 െ √ ܾ ସ െ ܾ ଶ ൅ 1 ܾ hoặc ܽ൅ ܿ൒ 1 ൅ √ ܾ ସ െ ܾ ଶ ൅ 1 ܾ , Mặt khác, ta thấy ܽ൅ ܿ൐ܾ mà ଵି√௕ ర ି௕ మ ାଵ ௕ ൏ܾ nên không thể xảy ra trường hợp ܽ൅ ܿ൑ ଵି√௕ ర ି௕ మ ାଵ ௕ . Như vậy, ta phải có ܽ ൅ ܿ൒ 1 ൅ √ ܾ ସ െ ܾ ଶ ൅ 1 ܾ ൒ 1 ൅ √ܾ ଶ ܾ ൌ 1 ܾ ൅ 1 Hay là ܾ൒ 1 ܽ൅ ܿെ 1 Bất ñẳng thức của ta ñược chứng minh xong. Dễ thấy rằng từ các lập luận trên ta có ñẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ܽൌܾൌܿൌ1. L ỜI G IẢI 2 (MIC Staff). ðặt ݔൌ ଵ ௔ ,ݕൌ ଵ ௕ ,ݖൌ ଵ ௖ thì ta phải chứng minh ݕ൑ ଵ ௫ ൅ ଵ ௭ െ 1 với ݔ൒ݕ൒ݖ൐ሻ và ݔ൅ݕ൅ ݖൌ ଵ ௫ ൅ ଵ ௬ ൅ ଵ ௭ . Từ giả thiết ݔ൅ ݕ൅ ݖൌ ଵ ௫ ൅ ଵ ௬ ൅ ଵ ௭ , ta suy ra ñược 2ݕൌ ሺ ݔ൅ ݖ ሻ ൬ 1 ݔݕ െ 1൰ ൅ ඨ ሺ ݔ൅ ݖ ሻ ଶ ൬ 1 ݔݖ െ 1൰ ଶ ൅ 4 Do ñó ta phải chứng minh ሺ ݔ൅ ݖ ሻ ൬ 1 ݔݖ െ 1൰ ൅ ඨ ሺ ݔ൅ ݖ ሻ ଶ ൬ 1 ݔݖ െ 1൰ ଶ ൅ 4൑2൬ 1 ݔ ൅ 1 ݖ െ 1 ൰ Hay là This file was downloaded from the ࢂ࢏ࢋ࢚ࡺࢇ࢓ ࡵ࢔ࢋ࢛ࢗࢇ࢒࢏࢚࢟ ࡹࢇ࢚ࢎࢋ࢓ࢇ࢚࢏ࢉ Olympiad Resources Page 9 http://www.vimf.tk/ http://www.vimf.co.cc/ ඨ ሺ ݔ൅ ݖ ሻ ଶ ൬ 1 ݔݖ െ 1൰ ଶ ൅ 4൑ ሺ ݔ൅ ݖ ሻ ൬ 1 ݔݖ ൅ 1൰ െ 2 Do ሺ ݔ൅ ݖ ሻ ൬ 1 ݔݖ ൅ 1൰ െ 2ൌݔ൅ 1 ݔ ൅ ሺ ݖ െ 1 ሻ ଶ ݖ ൐0 Nên ta có thể bình phương 2 vế bất ñẳng thức trên và thu gọn nó lại thành 4 ሺ ݖ ൅ ݔ ሻሺ ݔ െ 1 ሻሺ ݖ െ 1 ሻ ݔݖ ൑0 Bất ñẳng thức này ñúng nếu ݔ൒1൒ݖ. Tuy nhiên, áp dụng giả thiết ݔ൅ ݕ ൅ ݖൌ ଵ ௫ ൅ ଵ ௬ ൅ ଵ ௭ một lần nữa, ta thấy rằng 2 ሺ ݔ ൅ ݕ൅ ݖ ሻ ൌ2൬ 1 ݔ ൅ 1 ݕ ൅ 1 ݖ ൰ൌݔ൅ ݕ ൅ ݖൌ 1 ݔ ൅ 1 ݕ ൅ 1 ݖ ൌ൬ݔ൅ 1 ݔ ൰ ൅ ൬ݕ ൅ 1 ݕ ൰ ൅ ൬ݖ ൅ 1 ݖ ൰൒6 Từ ñó suy ra ݔ൒ ݔ൅ ݕ ൅ ݖ 3 ൒1, 1 ݖ ൒ 1 ݔ ൅ 1 ݕ ൅ 1 ݖ 3 ൒1֞ݖ൑1 Phép chứng minh của ta hoàn tất. L ỜI G IẢI 3 (VIMF). ðặt ܾܿൌݔ,ܽܿൌݕ,ܾܽൌݖ. Do a b c ≤ ≤ nên x y z ≥ ≥ Ta có 2 2 2 1 1 1 a b c ab bc ca a bc ab c abc x y z xy yz zx a b c + + = + + ⇔ + + = + + ⇔ + + = + + Và bất ñẳng thức cần chứng minh ñược viết lại là 1 1 zx ab bc b x z y + ≥ + ⇔ + ≥ + Chú ý rằng x y z ≥ ≥ nên 2 ( ) 3 3 1 3 x y z x y z xy yz zx x y z x x + + + + = + + ≤ ⇒ ≤ + + ≤ ⇒ ≥ Bây giờ ta xét 2 trường hợp Trường hợp 1. Nếu 1 z ≥ thì ta chỉ cần chứng minh zx x y ≥ Mà do x y z ≥ ≥ và 1 x ≥ nên 1. zx x x y ≥ ≥ Từ ñó ta có ñiều phải chứng minh Trường hợp 2. Nếu 1 z ≤ Từ x y z xy yz zx + + = + + , suy ra 1 x z xz y x z + − = + − . Do ñó ( 1) 1 1 1 ( 1)( ) zx xz x z xz x z x z x z x z x z xz xz y x z xz x z xz + − + ≥ + ⇔ + − ≥ ⇔ + − ≥ ⇔ + − + − ≥ + − + − 2 ( ) ( )( 1) 0 ( )( 1) 0 ( )( 1)( 1) 0 x z x z xz x z x z xz x z x z ⇔ + − + + ≥ ⇔ + + − − ≥ ⇔ + − − ≥ Bất ñẳng thức trên ñúng do 1 x z ≥ ≥ Vậy ta có ñiều phải chứng minh. ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ݔൌݕൌݖൌ1 hay ܽൌܾൌܿൌ1.  B ÀI O 9. Cho các số thực dương ܽ,ܾ,ܿ thỏa mãn ܽ ଶ ൅ ܾ ଶ ൅ ܿ ଶ ൌ3. Chứng minh rằng 8 ሺ 2 െ ܽ ሻሺ 2 െ ܾ ሻሺ 2 െ ܿ ሻ ൒ ሺ ܽ൅ ܾܿ ሻሺ ܾ ൅ ܿܽ ሻ ሺܿ൅ ܾܽሻ T RẦN Q UỐC L UẬT - MIC Staff 2009 L ỜI G IẢI 1 (MIC Staff). Giả sử ܿൌ݉݅݊ ሼܽ,ܾ,ܿሽ, suy ra 0൏ܿ൑1. Ta có các ñánh giá sau 2 ሺ 2 െ ܽ ሻሺ 2 െ ܾ ሻ ൌ8െ 4 ሺ ܽ ൅ ܾ ሻ ൅ 2ܾܽൌ8െ 4 ሺ ܽ ൅ ܾ ሻ ൅ ሺ ܽ ൅ ܾ ሻ ଶ െ ܽ ଶ െ ܾ ଶ ൌ4െ ܽ ଶ െ ܾ ଶ ൅ ሺ ܽ ൅ ܾെ 2 ሻ ଶ ൒4െ ܽ ଶ െ ܾ ଶ ൌ1൅ ܿ ଶ , [...]... ta ch c n ch ng minh ܿሺ1 െ ܿሻ 1 െ ܿଶ ൑ ሺܿ ൅ 1ሻଶ ሺ3 െ ܿሻଶ ଷ ଶ ଶ Hay ሺܿ ൅ 1ሻ ൒ ܿሺ3 െ ܿሻ ֞ ሺ3ܿ െ 1ሻ ൒ 0 B t ñ ng th c trên hi n nhiên ñúng V y ta có ñi u ph i ch ng minh BÀI O 11 Cho các s th c dương ܽ, ܾ, ܿ, ‫ ݖ ,ݕ ,ݔ‬Ch ng minh r ng bcx cay abz (a + b + c)2 + + ≤ ( x + y)( x + z ) ( y + z )( y + x) ( z + x)( z + y ) 4( x + y + z ) ð Thi Tài Năng Toán H c Tr THPT – http://www.truongtructuyen.vn L I GI... c x y ra trong bài toán ** cũng là ݉ ൌ 0) Vi c ñánh giá VT ≥ m2 + 1 ≥ 1 là m t ñi u r t hay Các b n hãy gi i bài toán ** theo hư ng c a l i gi i 1 c a bài toán *, xem như bài t p This file was downloaded from the ࢂ࢏ࢋ࢚ࡺࢇ࢓ ࡵ࢔ࢋ࢛ࢗࢇ࢒࢏࢚࢟ ࡹࢇ࢚ࢎࢋ࢓ࢇ࢚࢏ࢉ Olympiad Resources Page 26 http://www.vimf.tk/ http://www.vimf.co.cc/ Tài li u tham kh o [1] Titu Andreescu, Vasile Cirtoaje Gabriel Dospinescu, Mircea Lascu,... ݔ‬െ ‫ݖ‬ሻ ൅ ‫ ݖ‬ଶ ሺ‫ ݔ‬െ ‫ݕ‬ሻሿ ൅ ‫ݕ‬ሺ‫ ݔݕ‬ଶ ൅ ‫ ݖݕ‬ଶ ൅ ‫ ݔ‬ଶ ‫ ݖ‬൅ ‫ ݖݔ‬ଶ ሻሾ‫ ݔ‬ଶ ሺ‫ ݕ‬െ ‫ݖ‬ሻ ൅ ‫ ݖ‬ଶ ሺ‫ ݕ‬െ ‫ݔ‬ሻሿ ൅ ‫ݖ‬ሺ‫ ݔݖ‬ଶ ൅ ‫ ݕݖ‬ଶ ൅ ‫ ݔ‬ଶ ‫ ݕ‬൅ ‫ ݕݔ‬ଶ ሻሾ‫ ݔ‬ଶ ሺ‫ ݖ‬െ ‫ݕ‬ሻ ൅ ‫ ݕ‬ଶ ሺ‫ ݖ‬െ ‫ݔ‬ሻሿ ൒ 0 Hay ‫ ݔ‬ଶ ሺ‫ ݕ‬െ ‫ݖ‬ሻሺ‫ ݔ‬ଶ ‫ ݕ‬ଶ ൅ ‫ ݖݕ‬ଶ ൅ ‫ ݔ‬ଶ ‫ ݖݕ‬൅ ‫ ݖݕݔ‬ଶ െ ‫ ݔ‬ଶ ‫ ݖ‬ଶ െ ‫ ݖ‬ଶ ‫ ݕ‬ଶ െ ‫ ݔ‬ଶ ‫ ݖݕ‬െ ‫ ݕݔ‬ଶ ‫ݖ‬ሻ ൅ ‫ ݕ‬ଶ ሺ‫ ݖ‬െ ‫ݔ‬ሻሺ‫ ݔ‬ଶ ‫ ݖ‬ଶ ൅ ‫ ݖ‬ଶ ‫ ݕ‬ଶ ൅ ‫ ݔ‬ଶ ‫ ݖݕ‬൅ ‫ ݕݔ‬ଶ ‫ ݖ‬െ ‫ ݔ‬ଶ... ñ ng th c tr thành ሺܽଶ ൅ ܾ ଶ ሻଷ ሺܾ ଶ ൅ ܿ ଶ ሻଶ ሺܿ ଶ ൅ ܽଶ ሻଶ 1 ሺܽ ൅ ܾሻଶ ሺܾ ൅ ܿሻଶ ሺܿ ൅ ܽሻଶ ൅ ൅ ൒ ൅ ଷ ଷ ቇ ቆ ଷ ଷ ൅ ܿ ଷ ܽସ ܾ ସ ܽଷ ܾ ସ ܿ ସ ܾ ଷ ܿ ସ ܽସ ܾܽܿ ܽ ܾ ܾଷܿ ଷ ܿ ܽ ଶ ଶ ሻଶ ଶ ଶ ሻଶ ଶ ଶ ሻଶ ଷ ሺܾ ଶ ଷ ሺܿ ଶ ଷ ሺܽ Hay ܽሺܾ ൅ ܿ ൅ ܾሺܿ ൅ ܽ ൅ ܿሺܽ ൅ ܾ ൒ܽ ൅ ܿሻ ൅ ܾ ൅ ܽሻ ൅ ܿ ൅ ܾሻଶ Chú ý r ng ܽሺܾ ଶ ൅ ܿ ଶ ሻଶ ൅ ܾሺܿ ଶ ൅ ܽଶ ሻଶ ൅ ܿሺܽଶ ൅ ܾ ଶ ሻଶ ൌ ܽሺܾ ସ ൅ ܿ ସ ሻ ൅ ܾሺܿ ସ ൅ ܽସ ሻ ൅ ܿሺܽସ ൅ ܾ ସ ሻ ൅ 2ሺܾܽ ଶ ܿ ଶ ൅ ܾܿ ଶ ܽଶ ൅ ܿܽଶ ܾ ଶ ሻ ൌ ܽସ... ଶ ܾܽሺܽ ൅ ܾሻ Do ñó b t ñ ng th c ñư c vi t l i thành ሾܽସ ሺܾ ൅ ܿሻ ൅ ܽଶ ܾܿሺܾ ൅ ܿሻ െ ܽଷ ሺܾ ൅ ܿሻଶ ሿ ൅ ሾܾ ସ ሺܿ ൅ ܽሻ ൅ ܾ ଶ ܿܽሺܿ ൅ ܽሻ െ ܾ ଷ ሺܿ ൅ ܽሻଶ ሿ ൅ ሾܿ ସ ሺܽ ൅ ܾሻ ൅ ܿ ଶ ܾܽሺܽ ൅ ܾሻ െ ܿ ଷ ሺܽ ൅ ܾሻଶ ሿ ൒ 0 ଶ ሺܾ Hay ܽ ൅ ܿሻሺܽ െ ܾሻሺܽ െ ܿሻ ൅ ܾ ଶ ሺܿ ൅ ܽሻሺܾ െ ܿሻሺܾ െ ܽሻ ൅ ܿ ଶ ሺܽ ൅ ܾሻሺܿ െ ܽሻሺܿ െ ܾሻ ൒ 0 D dàng ch ng minh ñư c b t ñ ng th c này ñúng theo b t ñ ng th c ܸ‫.ݎݑ݄ܿܵ ݎݑܿ݅݊݋‬ V y, ta có ñi u ph i ch ng minh NH... 3ܾܽܿ ൑ 5ܿ ଷ ֞ ሺܽ ൅ ܾሻܿ ൅ 3ܾܽ ൑ 5ܿ ଶ Theo b ñ 2 ta thu ñư c ܽ ൅ ܾ ൑ 2ܿ ଷ Suy ra ሺܽ ൅ ܾሻܿ ൑ 2ܿ ଶ và 3ܾܽ ൑ ସ ሺܽ ൅ ܾሻଶ ൑ 3ܿ ଶ T ñây ta suy ra ñi u ph i ch ng minh ð ng th c x y ra khi và ch khi ܽ ൌ ܾ ൌ ܿ hay ‫ ݔ‬ൌ ‫ ݕ‬ൌ ‫.ݖ‬ L I GI I 2 (LÊ TH NG NH T và các c ng s ) T gi thi t ta có ሺ‫ ݔ‬൅ ‫ݕ‬ሻሺ‫ ݔ‬൅ ‫ݖ‬ሻ ൌ 4‫ݖݕ‬ ð t ܽ ൌ ‫ ݔ‬൅ ‫ ܾ ,ݕ‬ൌ ‫ ݔ‬൅ ‫ ݖ‬Ta có ሺܽ െ ܾሻଶ ൌ ሺ‫ ݕ‬െ ‫ݖ‬ሻଶ và ܾܽ ൌ 4‫ݖݕ‬ M t khác ܽଷ ൅... ܽሻሺ‫ ݔ‬൅ 4ܽሻܽ ൑ 0 3 Theo b ñ 2 ta có ñi u ph i ch ng minh L I GI I 7 (VIMF) Theo b ñ 2 thì 2‫ ݔ‬൑ ‫ ݕ‬൅ ‫ݖ‬ Áp d ng ñ ng th c ܽଷ ൅ ܾ ଷ ൅ ܿ ଷ െ 3ܾܽܿ ൌ ሺܽ ൅ ܾ ൅ ܿሻሺܽଶ ൅ ܾ ଶ ൅ ܿ ଶ െ ܾܽ െ ܾܿ െ ܿܽሻ L n lư t thay ܽ, ܾ, ܿ b i ‫ ݔ‬൅ ‫ ݔ ,ݕ‬൅ ‫ ,ݖ‬െሺ‫ ݖ‬൅ ‫ݔ‬ሻ ta ñư c ሺ‫ ݔ‬൅ ‫ݕ‬ሻଷ ൅ ሺ‫ ݔ‬൅ ‫ݖ‬ሻଷ ൅ 3ሺ‫ ݔ‬൅ ‫ݕ‬ሻሺ‫ ݕ‬൅ ‫ݖ‬ሻሺ‫ ݖ‬൅ ‫ݔ‬ሻ ൑ 5ሺ‫ ݕ‬൅ ‫ݖ‬ሻଷ ֞ ሺ‫ ݔ‬൅ ‫ݕ‬ሻଷ ൅ ሺ‫ ݔ‬൅ ‫ݖ‬ሻଷ െ ሺ‫ ݕ‬൅ ‫ݖ‬ሻଷ ൅ 3ሺ‫ ݔ‬൅ ‫ݕ‬ሻሺ‫ ݕ‬൅... ࢂ࢏ࢋ࢚ࡺࢇ࢓ ࡵ࢔ࢋ࢛ࢗࢇ࢒࢏࢚࢟ ࡹࢇ࢚ࢎࢋ࢓ࢇ࢚࢏ࢉ Olympiad Resources Page 16 http://www.vimf.tk/ http://www.vimf.co.cc/ B t ð ng Th c Sáng T o Và Sưu T m ng u LTG ðây là nh ng bài toán mà chúng tôi sưu t m ñư c t nhi u ngu n tài li u khác nhau, ch y u là trên các di n ñàn Toán, ñ c bi t là Di n ðàn B t ð ng Th c Vi t Nam www.vimf.co.cc/ và chúng tôi ch tư ng thu t l i theo nguyên văn c a ngư i ñã g i bài lên BÀI ST1 Cho các... ܽሻ൫ܽ ൅ √ܾܽ ൅ ܾ൯ሺܽ ൅ ܾ ൅ ܿሻ ଷ య ܽ ൒ ൒ ൫ܽ ൅ √ܾܽ ൅ √ܾܽܿ ൯ 2 3 27 T ñây ta có ngay ñi u ph i ch ng minh య L I GI I 2 Theo b t ñ ng th c ‫ ܯܣ‬െ ‫ ܯܩ‬thì ta s ch ng minh b t ñ ng th c m nh hơn là ܽ ൅ ඨܾܽ య Hay ඨ య య ሺܽ ൅ ܾሻ ܽ ൅ ܾ ൅ ܿ ܽ൅ܾ య ൅ √ܾܽܿ ൑ 3 ඨܽ 2 2 3 య య 6ܽଶ 3ܾ 6ܾܿ ൅ඨ ൅ඨ ൑3 ሺܽ ൅ ܾሻሺܽ ൅ ܾ ൅ ܿሻ ሺܽ ൅ ܾሻሺܽ ൅ ܾ ൅ ܿሻ ܽ൅ܾ൅ܿ Theo b t ñ ng th c ‫ ܯܣ‬െ ‫ ܯܩ‬thì ඨ య య 6ܽଶ 2ܽ 3ܽ 1 2ܽ 3ܽ ൌ ඨ1 ൑ ൬1 ൅ ൅ ൰, ሺܽ... 4 ൅ 2‫ ݖ‬൒ 2ඥ‫ ݔݖ ݖݕ‬൑ ‫ ݖݕ‬൅ ‫ ݔݖ‬ሺ2ሻ T ሺ1ሻ và ሺ2ሻ ta suy ra 2ሺ‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬൅ ‫ݖ‬ሻ ൑ 2‫ ݖ‬൅ ‫ ݕݔ‬൅ 4 ൑ ‫ ݕݔ‬൅ ‫ ݖݕ‬൅ ‫ݔݖ‬ V y, ta có ñi u ph i ch ng minh ð ng th c x y ra khi và ch khi ‫ ݔ‬ൌ ‫ ݕ‬ൌ ‫ ,ݖ hay ܽ ൌ ܾ ൌ ܿ ൌ 1 BÀI ST 4 Cho ܽ, ܾ, ܿ là ñ dài 3 c nh c a m t tam giác sao cho ܽଶ ൅ ܾ ଶ ൅ ܿ ଶ ൌ 3 Ch ng minh r ng ܽ ൅ ܾ ൅ ܿ ൒ ܾܽܿ ൅ 2 NGUY N ANH TU L I GI I (VIMF) N ð t ‫ ݌‬ൌ ܽ ൅ ܾ ൅ ܿ, ‫ ݍ‬ൌ ܾܽ ൅ ܾܿ . thi bất ñẳng thức, … - Bất ñẳng thức sưu tầm và sáng tạo: tuyển chọn những bất ñẳng thức hay mà chúng tôi tự sáng tạo hoặc sưu tầm ñược từ các bài toán trên các diễn ñàn, ñặc biệt là Diễn ðàn Bất. Bình phương 2 vế của bất ñẳng thức này ta ñược bất ñẳng thức tương ñương là ݉ ଶ ݊ ସ ൅ ݊ ଶ ݌ ସ ൅ ݌ ଶ ݉ ସ ൒3݉ ଶ ݊ ଶ ݌ ଶ Bất ñẳng thức này hiển nhiên ñúng theo bất ñẳng thức ܣܯ െ ܩܯ 3 số. Vậy. nào ñó giúp giải quyết ñược ñược một lớp các bài toán bất ñẳng thức, những tìm tòi mở rộng cho một bất ñẳng thức hay nào ñó,… Tập tài liệu không chỉ là người bạn ñồng hành với chúng ta mà tôi