Đang tải... (xem toàn văn)
Câu 1:Cho số thực x,y thỏa mãn các điều kiện 1≤ x ≤ 2 ; 1≤ y ≤ 2 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Lời giải: Câu 2:Cho các số thực a,b,c không âm và thỏa mãn điều kiện (a + b)c >0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứcLời giải: Câu 3:(1,0 điểm) : Cho x, y, z là các số thực không âm và thỏa mãn điều kiện x2 + y2 + z2 = 2Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = Lời giải: Câu 4:Cho ba số x, y,z thuộc nửa khoảng (0;1 và thoả mãn: x + y ≥1+ z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = A. Pmin = 2 B. Pmin = 2 C. Pmin = D. Pmin = Lời giải:Do x, y ∊ (0;1 và x + y ≥ 1 + z => x ≥ z, y ≥ zTa có xy + z2 ≤ 2xy ≤ ≤ x + y do x + y ≤ 2P ≥ = (x+y) + ( y+z) +(z+x) ( ) 3 ≥ 3 = => P ≥ Dấu = xáy ra x = y =z =1Vậy Pmin = khi x = y =z =1Câu 5:Cho các số thực không âm x, y thỏa mãn x2 + y2 + (3x − 2)(y −1) = 0.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x2 + y2 + x+ y+8 A. MaxP = 6+8√2 B. MaxP = 68√2 C. MaxP = 5+8√2 D. MaxP = 5 8√2Lời giải:Ta có giả thiết x2 + y2 + (3x 2)(y1) = 0 (x+y)2 – 3(x+y) + 2 = xy – yVì x, y không âm nên –xy – y ≤ 0. Suy ra (x+y)2 – 3(x+y) + 2 ≤ 0 1 3 > 0 với mọi t ∊ (1;2)Suy ra f(t) đồng biến trên 1;2. Do đó maxf(t) = f(2) = 6+8√2Suy ra P ≤ 6+8√2, dấu đẳng thức xảy ra khi . x=2, y=0Vậy giá trị lớn nhất của P là 6+8√2, đạt khi x=2, y=0
100 CÂU BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT Câu 1:Cho số thực x,y thỏa mãn các điều kiện 1≤ x ≤ 2 ; 1≤ y ≤ 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Lời giải: Câu 2:Cho các số thực a,b,c không âm và thỏa mãn điều kiện (a + b)c >0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Lời giải: Câu 3:(1,0 điểm) : Cho x, y, z là các số thực không âm và thỏa mãn điều kiện x 2 + y 2 + z 2 = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = Lời giải: Câu 4:Cho ba số x, y,z thuộc nửa khoảng (0;1] và thoả mãn: x + y ≥1+ z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = A. P min = -2 B. P min = 2 C. P min = D. P min = - Lời giải: Do x, y ∊ (0;1] và x + y ≥ 1 + z => x ≥ z, y ≥ z Ta có xy + z 2 ≤ 2xy ≤ ≤ x + y do x + y ≤ 2 P ≥ = [(x+y) + ( y+z) +(z+x)] ( ) -3 ≥ - 3 = => P ≥ Dấu " = " xáy ra <=> x = y =z =1 Vậy P min = khi x = y =z =1 Câu 5:Cho các số thực không âm x, y thỏa mãn x 2 + y 2 + (3x − 2)(y −1) = 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x 2 + y 2 + x+ y+8 A. MaxP = 6+8√2 B. MaxP = 6-8√2 C. MaxP = 5+8√2 D. MaxP = 5- 8√2 Lời giải: Ta có giả thiết x 2 + y 2 + (3x -2)(y-1) = 0 <= > (x+y) 2 – 3(x+y) + 2 = -xy – y Vì x, y không âm nên –xy – y ≤ 0. Suy ra (x+y) 2 – 3(x+y) + 2 ≤ 0 <= > 1<x+y ≤2 Đặt t = x+y, khi đó t ∊ [1;2] Ta có P = x 2 + y 2 + x +y + 8 ≤ (x+y) 2 + (x+y) + 8 = t 2 + t + 8 Xét hàm số f(t) = t 2 + t + 8 với t ∊ [1;2] Ta có f’(t) = 2t +1 - , với mọi t ∊ [1;2] Chú ý rằng f’(t) > 3 - > 0 với mọi t ∊ (1;2) Suy ra f(t) đồng biến trên [1;2]. Do đó maxf(t) = f(2) = 6+8√2 Suy ra P ≤ 6+8√2, dấu đẳng thức xảy ra khi . <= > x=2, y=0 Vậy giá trị lớn nhất của P là 6+8√2, đạt khi x=2, y=0 Câu 6:Cho x và y là hai số thực thay đổi thuộc nửa khoảng (0;1] và x+y= 4xy. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x 2 y + xy 2 - ( ) A. MaxP = - ;MinP = - B. MaxP = - ;MinP = - C. MaxP = - ;MinP = - D. MaxP = - ;MinP = - Lời giải: Ta cos 4xy = x+y ≥ 2 => xy ≥ x; y ∊ (0;1] => (1-x)(1-y) ≥ 0 => 1 - (x+y) + xy ≥ 0 => 1 -4xy +xy ≥ 0=> xy ≤ P = x 2 y + xy 2 - ( ) = xy(x+y) - [ = 4(xy) 2 + - Đặt t = xy thì P = 4t 2 + - = f(t) với t ∊ [ ; ] f'(t) = 8t - = < 0, với mọi t ∊ [ ; ] * MaxP = - đạt được khi và chỉ khi x = y = * MinP = - đạt được khi và chỉ khi x = 1; y = hoặc x = ; y=1 Câu 7:Cho x, y, z là những số thực dương thoả mãn điều kiện x 2 + y 2 +z 2 =1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = A. MaxP = B. MaxP = - C. MaxP = D. MaxP = Lời giải: Do x, y, z > 0 và x 2 + y 2 + z 2 =1 nên x, y, z ∊ (0;1) Ta có = -x 3 + x Khi đó P = (-x 3 + x) + (-y 3 + y)+ (-z 3 + z) Xét hàm số f(t) = -t 3 + t, t ∊ (0;1) f’(t) = -3t 2 + 1 <=> <=> t = Lập bảng biến thiên suy ra max f(t) = P ≤ . Vậy giá trị lớn nhất của biếu thức P là đạt được khi x = y = Câu 8:Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn a +b+ c = 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = A. MaxP = 4 B. MaxP = 5 C. MaxP = 8 D. MaxP = 3 Lời giải: Ta chứng minh bất đẳng thức vơi mọi x ∊ [0;3] Bình phương rồi biến đổi tương đương ta được 5x(x-3) ≤ 0 đúng với mọi x ∊ [0;3] Lần lượt cho x = a; b ;c rồi cộng các vế của bất đẳng thức ta được P ≤ = 8 Giá trị lớn nhất của P là 8 xảy ra khi chẳng hạn a=3, b=c=0 Câu 9:Cho các số thực không âm x,y,z thoả mãn xz +yz +1 = xy. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P = A. maxP = -1 B. maxP = C. maxP = 1 D. maxP = - Lời giải: [...]... thiên: Vậy P ≥ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi hoặc Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là Câu 19:Cho x,y là các số thực và thoả mãn x,y >1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P= A minP =-5 B minP =8 C minP =-8 D minP =5 Lời giải: Đặt t=x+y, điều kiện t>2 Áp dụng bất đẳng thức 4xy ≤(x+y)2 ta có xy ≤ P= do 3t-2 > 0 => -xy ≥ - P≥ Xét hàm số f(t) = trên (2;+∞) nên ta có: Có f’(t) = => f’(t) =0 => f(t)= +∞;... ⇔a=b= , c = d = 6 + 3√2 Câu 27:Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A B C D Lời giải: Theo bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân ta có: Ta có a + b + c = abc(a + b + c) = ab.ac + bc.ba + ca.cb ≤ (ab)2 + (bc)2 + (ac)2 ((ab)(ac) + (ab)(bc) + (ca)(cb)) => a + b + c Khi a = b = c = 1 thì P = nên giá trị nhỏ nhất của P là Câu 28:Cho x, y, z là... Ta có f'(t) = , t ∈ (0; 1) ≥ 0, ∀t ∈ (0; 1) vậy hàm số f(t) đồng biến trên (0; 1) Suy ra b > a ta có f(b) > f(a) từ đó có điều phải chứng minh Trường hợp 2: b < a Chứng minh tương tự Câu 26:Cho a, b, c, d là bốn số thực thỏa mãn các điều kiện: a2 + b2 + 1 = 2(a + b); c2 + d2 + 36 = 12(c + d) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biều thức: E = (a - c)2 + (b - d)2 A min E = và max E = B min E = và. .. 0 Câu 15:Cho a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác có chu vi bằng 3.Tìm giá trị nhỏ nhất của P= + + A 0 B 1 C 2 D 3 Lời giải: Áp dụng BĐT Cauchy ta có : + => + ≥3 =a+b-c ≥a+b- Tương tự : - ≥b+c≥c+a- - Suy ra P ≥ (a + b + c) - 1 = 1 - P = 1 khi a= b = c = 1 Vậy MinP = 1 khi a = b = c = 1 Câu 16:Cho các số thực dương a, b, c : ab+bc+ca =3 Chứng minh rằng: Lời giải: Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta có: 3... => x2y2z2 ≤ 1 => xyz ≤ 1 (1) Áp dụng bất đẳng thức cosi cho 3 số dương zx + yz, xy + zx, yz + xy: (zx + yz)(xy + zx)(yz + xy) ≤ = 8 (2) Từ (1) và (2) suy ra: x2y2z2(x + y)(y + z)(z + x) ≤ 8 Vậy + ≥ ≥ Câu 24: Cho các số thực x, y thuộc đoạn [1; 2] Tìm tất cả các giá trị thực của z để biểu thức P= có giá trị lớn nhất là M thỏa mãn M ≥ 2 A z ≥ B z ≥ C z ≥ D z ≥ Lời giải: Đặt t = , vì x, y ∈ [1; 2] => t... tục trên [ ; 2] nên có Max f(t) = M ≥2 có nghiệm t ∈ [ ; 2] Vì M ≥ 2 Bất phương trình ẩn t : có nghiệm t ∈ ( ; 2] z ≥ Xét hàm số g(t) = , t ∈ ( ; 2] Từ bảng biến thiên suy ra z ≥ Câu 25:Cho hai số a, b ∈ (0; 1) và a ≠ b Chứng minh rằng: (log2012 – log2012 )>4 Lời giải: Bất đẳng thức ⇔ (log2012b – log2012(1 - b) - log2012a + log2012(1 - a)) > 4 Trường hợp 1: Nếu b > a thì bất đẳng thức ⇔ log2012b... f’(x) = 0 x = ± Ta có f(- ) = f( )=- , f( ) = f( )= Do đó f(x) ≤ Suy ra minP = x = ,y=z=- Câu 22:Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= + A minP = 3 B minP = -3 + - C minP = 1 D minP = -1 Lời giải: Dễ dàng chứng minh được 3t ≥ 1 + t, ∀t ≥ 0, từ đó áp dụng vào bài toán ta có: P ≥ 3 + |x - y| + |y - z| + |z - x| Mặt khác ta có (|x - y| + |y -... đạt được khi x = y = 2 + √3, z = √3 Chú Ý : Có thể giải bài BPT theo phương pháp lượng giác hóa = tan ; = tan ; z = tan , (A, B,C ∈ (0;π)) => A + B + C = π Câu 12:Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn:2x + 4y + 7z = 2xyz.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x + y + z A minf(x;y) = -4 B minf(x;y) = - C minf(x;y) = D minf(x;y) = 4 Lời giải: Từ giả thiết ta có: z = Ta đưa bài toán về tìm min của f(x,y)... ra đpcm Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1 Câu 18:Cho x và y là hai số thực dương thay đổi sao cho log2 (x+y)= 3+log2 x+log2 y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P= A -10 B C - D 10 Lời giải: Từ giả thiết log2 (x+y)= 3+log2 x+log2 ysuy ra x+y = 8xy ≤ 2(x+y)2 => x+y ≥ Ta có P = Đặt t= 3x+y Vì x+y ≥ nên t ≥ √3 = Lúc đó: P = = f(t) Xét hàm số f(t) = trên [√3; +∞) Ta có f’(t) = ; f’(t) = 0 < => t=3... 56 B minP = 58 C minP = 59 D minP = 57 Lời giải: Ta có a2 + b2 + c2 = 5(a + b + c) – 2ab ⇔ (a + b)2 + c2 = 5(a + b + c) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có ) (a + b)2 + c2 ≥ (a + b + c)2 => (a + b + c)2 ≤ 5(a + b + c) => 0 < a + b + c ≤ 10 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta lại có = = ; = => + 4) ≥ = => 4 ≤ ( ≤ = ≥ => P ≥ a = b +c + 48.12( + ) Áp dụng bất đẳng thức CauchySchwarz ta được + ≥ => P