Mục lục Phần mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Chương 1. Đa thức Trêbưsep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1. Định nghĩa . 4 1.2. Tính chất . 10 1.3. Một vài ứng dụng của đa thức Trêbưsep 22 1.3.1. Độ lệch của đa thức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3.2. Định lí Berstein- Markov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Chương 2. Xấp xỉ Trêbưsep. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1. Xấp xỉ một hàm số bởi đa thức Trêbưsep 35 2.2. Chuỗi Trêbưsep 42 2.3. Hệ số Trêbưsep . 46 2.4. Tính chất tối ưu của khai triển Trêbưsep. . . 49 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Tài liệu tham khảo 55 1 PHẦN MỞ ĐẦU Đa thức Trêbưsep (P.L. Chebyshev) có vị trí rất đặc biệt trong toán học. Nó xuất hiện ngay trong các bài toán trong toán học sơ cấp, đặc biệt trong các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế. Đa thức Trêbưsep cũng có rất nhiều ứ ng dụng trong toán học như Lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết nộ i suy, Vì đa thức Trêbưsep rất quan trọng, nên có rất nhiều bài báo và các công trình toá n học nghiên cứu về nó. Chính vì thế nên tôi được thầy hướng dẫn là PGS .TS. Nguyễn Minh Tuấn giao cho làm luận văn thạc sỹ khoa học vớ i tên đề tài "ĐA THỨC TRÊBƯSEP VÀ XẤP XỈ TRÊBƯSEP" Luận văn này được trình bày để làm rõ thế nào là đa thức Trêbư sep loại 1, loại 2 và một ứng dụng của đa thức Trêbưs ep trong chứng minh định lí Berstein- Markov, xấp xỉ Trêbưsep . Ngoài phần mở đầ u luận văn gồm hai chương, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1. Đa thức Trêbưsep. Chương này giới thiệu định nghĩa về đa thức Trêbưsep loại 1, loại 2 và một số tính chấ t của nó như tính chất trực giao, Phần cuối của chương này là một số ứ ng dụng của đa thức Trêbưsep là độ lệch của đa thức và ch ứng minh định lí Berstein- Markov. Chương 2. Xấp xỉ Trêb ưsep. Chương này giới thiệu xấp xỉ một hàm số bởi đa thức Trêbưsep, chuỗi Trêbưsep, hệ số Trêbư sep và tối ưu của khai triển Trêbưsep. Luận văn được trình bày dưới sự h ướng dẫn tận tình của thầy giáo PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn. Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn 3 sâu sắc đến Thầy. Tôi xin gửi lời cám ơn của mình tời toàn bộ các thầy cô giáo trong khoa Toán-Cơ-Tin học, Khoa sau đại họ c trư ờng Đại học KHTN- Đại học q uốc gia Hà Nội đã giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại đây. Tôi cũng xin cảm ơn các bạn trong lớp c a o học toán 2011-2013 nghành Toán Giải tích Khoa Toán Cơ-Tin h ọc trường Đại học Khoa học Tự nhiên- ĐHQG Hà Nội đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và làm luận văn này. Cuối cùng tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, các đồng nghiệp và các học sinh trường THPT Yên Phong số 2- Bắc Ninh đã động viên và tạo điều kiện, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và kh ả năng có hạn nên các vấn đề trong luận văn vẫn chưa được trình bày sâu sắc và không thể tránh khỏi có những sai sót trong cách trình bày. Mong được sự góp ý xây dựng của thầy cô và các bạn. Tôi xin chân th à nh cảm ơn! Chương 1 Đa thức Trêbưsep 1.1. Định nghĩa Trước hết, ta n hắc lại rằng một đa thức là một hàm số p(x) được viết dưới dạng p(x) = a 0 + a 1 x + ··· + a n x n , (1.1) trong đó a 0 , . . . , a n là các số thực và x là biến thực. Nếu a n = 0, thì ta nói rằng p là đa thức bậc n. Tập hợp các đa thức có bậc không vượt quá n ta kí hiệu là P n ; nghĩa là, nếu p(x) = a 0 + a 1 x + ···+ a k x k và k ≤ n thì p ∈ P n . Xét hàm số T n (x) = cos nθ, (1.2) trong đó n là một số tự nhiên, x = cos θ, và 0 ≤ θ ≤ π. Khi θ tăng từ 0 đến π thì x giảm từ 1 đến -1. Hàm số T n (x) được định nghĩa bởi (1.2) xác định trên khoảng −1 ≤ x ≤ 1, ta kí hiệu khoảng đó là I; có nghĩa là, cho x ∈ I, ta tìm được giá trị duy nhất của θ = arccos x thỏa mãn 0 ≤ θ ≤ π và T n (x) có giá trị cos nθ. Vì vậy T n (x) là một hàm s ố đơn trị 5 xác định trên I, có thể viết như sau T n (x) = cos n(arccos x), (1.3) trong đó 0 ≤ arccos x ≤ π. Ta nhắc lại rằng e iθ = cos θ + i sin θ, và e inθ = (cos θ + i sin θ) n = cos nθ + i sin nθ. (1.4) Dùng khai triển nhị thức Newton, ta có (cos θ + i sin θ) n = cos n θ + C 1 n cos n−1 θ(i sin θ) +C 2 n cos n−2 θ(i 2 sin 2 θ) + ···+ C n n (i sin θ) n . Cân bằng phần thực của phương trình (1.4), ta thu được cos nθ = cos n θ − C 2 n cos n−2 θ sin 2 θ + C 4 n cos n−4 θ sin 4 θ + ··· + (−1) [n/2] C 2[n/2] n cos n−2[n/2] θ sin 2[n/2] θ. (1.5) Thay sin 2 θ = 1 − cos 2 θ vào (1.5) ta thu được cos nθ = [n/2]  q=0 (−1) q C 2q n cos n−2q θ  q  k=0 (−1) k C k q cos 2k θ  . (1.6) Vế phải của (1.6) là một đa thức với x = cos θ, và vì vậy hàm số T n (x) được định nghĩa trong (1.3) là một đa thức. Ta tiến tới xác định các hệ số của chúng. Vế phải của (1.6) là có hình dạng tổng tam giác; cụ thể là, nếu ta viết A q = (−1) q C 2q n cos n−2q θ, q = 0, . . . ,  n 2  , và B k,q = (−1) k C k q cos 2k θ, k = 0, 1, . . . , q, 6 thì cos nθ = A 0 B 0,0 + A 1 B 0,1 + A 1 B 1,1 + . . . + A [n/2] B 0,[n/2] + ··· + A [n/2] B [n/2],[n/2] . (1.7) Cộng lại lấy tổng bên phải của ( 1.7 ) bằng cởi đường chéo kế tiếp, ta thu được cos nθ = (A 0 B 0,0 + A 1 B 1,1 + ··· + A [n/2] B [n/2],[n/2] ) + (A 0 B 0,1 + A 1 B 1,2 + ··· + A [n/2] B [n/2]−1,[n/2] ) + . . . + (A [n/2]−1 B 0,[n/2]−1 + A [n/2] B 1,[n/2] ) + A [n/2] B 0,[n/2] ; hoặc, bằng cách thay thế A q và B k,q với nhữ ng vị trí đứng của chúng cho cos nθ = [n/2]  k=0   (−1) k [n/2]  j=k C 2j n C k j   cos n−2k θ. (1.8) Đẳng thức (1.8) biểu thị rằng T n (x) là một đa thức bậc n. Nếu ta viết T n (x) = t 0 + t 1 x + ···+ t n x n . (1.9) Thì từ (1.8), ta rú t ra t n−(2k+1) = 0, k = 0, . . . ,  n − 1 2  , (1.10) t n−2k = (−1) k [n/2]  j=k C 2j n C k j , k = 0, . . . ,  n 2  . 7 Vậy T n (x) có các giá trị trong I, là một đa thức bậc n, xác định với mọi giá trị của x (đúng cho cả mọi số phức x). Đa thức T n (x) như vậy gọi là đa thức Trêbưsep bậc n, và ta có định nghĩa sau Định nghĩa 1.1.1. Với n ∈ N, đa thứ c Trêbưsep loại 1 là đa thức T n (x) thỏa mãn điều kiện T n (x) := cos(n arccos x). Với n = 0 T 0 (x) = 1, n = 1 T 1 (x) = x, n = 2 T 2 (x) = 2x 2 − 1, n = 3 T 3 (x) = 4x 3 − 3x, n = 4 T 4 (x) = 8x 4 − 8x 2 + 1, n = 5 T 5 (x) = 16x 5 − 20x 3 + 5x. Hình 1.1: Đồ thị của T 0 , T 1 , T 2 , T 3 , T 4 , T 5 Đặt cos θ = x (θ = arccos x), ta có cos(k − 1)θ = T k−1 (cos θ), cos kθ = T k (cos θ). 8 Từ hệ thức cos(k + 1)θ + cos(k −1)θ = 2 cos θ cos kθ, suy ra T k+1 (cos θ) = 2 cos θ cos kθ − cos(k − 1)θ = 2 cos θT k (cos θ) − T k−1 (cos θ). Hay T k+1 (x) = 2xT k (x) − T k−1 (x). Từ đó ta đưa đến định nghĩa sa u tương đương với Đ ịnh nghĩa 1.1.1 như sau Định nghĩa 1.1 .2. Với n ∈ N, đa thức Trêbưsep (loại 1) bậc n là đa thức T n (x) ,xác định như sau  T 0 (x) = 1, T 2 (x) = x T n+1 (x) = 2xT n (x) − T n−1 (x) (n ≥ 1). Lấy vi phân T n (x) = cos nθ đối với x ta thu được T ′ n (x) =  d dθ cos nθ  dθ dx = −n sin nθ −sin θ = n sin nθ sin θ , x = cos θ. Từ đó ta có định nghĩa sau Định nghĩa 1.1.3. Các đa thức U n (x) (n ∈ N) được xác định như sau U n (x) = 1 n + 1 T ′ n+1 (x) = sin(n + 1)θ sin θ = sin(n + 1) arccos x √ 1 − x 2 , (trong đó cos θ = x (θ = arccos x)) được gọi là các đa thức Trêbưsep loại 2. Theo Định nghĩa 1.1.3, ta có n = 0 U 0 (x) = 1; n = 1 U 1 (x) = 2x; n = 2 U 2 (x) = 4x 2 − 1; n = 3 U 3 (x) = 8x 3 − 4x; n = 4 U 4 (x) = 16x 4 − 12x 2 + 1; n = 5 U 5 (x) = 32x 5 − 32x 3 + 6x. 9 U 0 , U 1 , U 2 , U 3 , U 4 , U 5 được mô tả bởi hình dưới đây Hình 1.2: Đồ thị của U 0 , U 1 , U 2 , U 3 , U 4 , U 5 Mặt khác từ hệ thức sin(n + 2)θ + sin nθ = 2 cos θ sin(n + 1)θ, suy ra sin(n + 2)θ sin θ = 2 cos θ sin(n + 1)θ sin θ − sin nθ sin θ . Hay U n+1 (x) = 2xU n (x) − U n−1 (x). Từ đó ta đưa ra định nghĩa sau tương đương với Định nghĩa 1.1.3 như sau Định nghĩa 1.1.4. Các đa thức U n (x) (n ∈ N) được xác định như sau  U 0 (x) = 1; U 1 (x) = 2x U n+1 (x) = 2xU n (x) − U n−1 (x) (n ≥ 2), được gọi là các đa thức Trêbưsep loại 2. 10 1.2. Tính chất Từ cô ng thức (1.10), ta quan sát thấy rằng, các hệ số của T n (x) là các số nguyên và đan xen dấu, hệ số bậ c cao nhất là một số dương. Nếu n > 0, thì ta có t n = [n/2]  j=0 C 2j n = 1 2 [(1 + 1) n + (1 − 1) n ] = 2 n−1 (1.11) Tính chất 1.2.1. i) Đa thức T n (x) có bậc n có hệ số cao nhất bằng 2 n−1 . ii) Đa thức U n (x) là đa thức bậc n có hệ số bậc cao nhất bằng 2 n . Chứng minh. i) Sử dụng Định nghĩa 1.1.2 và phép quy nạp theo n, ta dễ chứng minh được đa thức T n (x) có bậc n có hệ số cao nhất bằng 2 n−1 . ii) Sử dụng Định nghĩa 1.1.4 và phép quy nạp theo n, ta dễ chứng minh được đa thức U n (x) có bậc n có hệ số cao nhấ t bằng 2 n .  Công thức (1.10) cũng cho thấy n chẵn thì tất cả các lũy thữa của x trong T n (x) là chẵn, còn khi n lẻ thì tất cả các lũy thừ a của x cũng là lẻ. Vì vậy với mọi số nguyên không âm n, ta có T n (−x) = (−1) n T n (x). Do đó, ta có tính chất sau Tính chất 1.2.2. i) Đa thức T n (x) là hàm chẵn khi n chẵn; là hàm lẻ khi n lẻ. ii) Đa thức U n (x) là hàm chẵn khi n chẵn; là hàm lẻ khi n lẻ. Chứng minh. Sử dụng Định nghĩa 1.1.1, ta có: T n (−cos θ) =T n [cos(π + θ)] = cos n(π + θ) = cos(nπ + nθ) = (−1) n cos nθ =(−1) n T n (cos θ). [...]... vân, bậc cao hơn của x cũng biểu diễn qua các chuỗi của Tn (x) Đa thức Trêbưsep có thể được sử dụng để làm xấp xỉ một số đa thức để ngược lại việc sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu Sử dụng các tính chất trực giao của đa thức Trêbưsep cho phép xấp xỉ hàm số bởi đa thức Trêbưsep Trong phần này chúng ta sẽ xấp xỉ một hàm số bởi đa thức Trêbưsep ... − 2) · · · (n − k + 1)]2 ∀x ∈ [−1; 1] Chương 2 Xấp xỉ Trêbưsep 2.1 Xấp xỉ một hàm số bởi đa thức Trêbưsep Ta đã biết, một đa thức Chebyshev Tn (x) có thể biểu diễn tuyến tính qua tổ hợp của các x0 , x1 , , xn và ta có thể xác định được các hệ số của chúng Vậy một đa thức có bậc n có thể biểu diễn tuyến tính thông qua các T0 (x), T1 (x), , Tn (x) và ta có thể xác định được hệ số của chúng không?... um , và vân vân Do đó hệ số của un trong khai triển F (u, x/2) ở trên và Tn x 2 [(n−1)/2] = k=0 nπ 1 k k , (−1)k Cn−k − Cn−1−k xn−2k + cos 2 2 và đẳng thức này đúng với mọi x ∈ I , nhưng 1 k 1n−k k k Cn−k − Cn−1−k = Cn−k , 2 2 k và khi thay thế x bởi 2x thì cho ta kết quả tn−2m = (−1)m n C m 2n−2m−1 , n − m n−m m = 0, 1, , n 2 22 1.3 Một vài ứng dụng của đa thức Trêbưsep 1.3.1 Độ lệch của đa thức. .. 1.3.1 Độ lệch của đa thức Một khâu quan trọng trong việc xấp xỉ, là với một đa thức P (x), cần xác định "độ lệch" của đa thức đó trên đoạn [-1; 1], tức là xác định M = max |P (x)| −1≤x≤1 và người ta muốn M càng nhỏ càng tốt Có hai cách làm giảm độ lệch 1) Nếu đa thức P (x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an có độ lệch M trên đoạn [-1; 1], thì đa thức kP (x) = ka0 xn + ka1 xn−1 + · · · + kan−1 x + kan... trị x0 , x1 , , xn Do đó H(x) có ít nhất n nghiệm (mâu thuẫn với degH(x) ≤ n − 1 và H(x) = 0) Hệ quả 1.3.1 Cho đa thức P (x) = 2n−1 xn + a1 xn−1 + a2 xn−2 + · · · + an Khi đó |P (x)| ≤ 1, ∀x ∈ [−1; 1] khi và chỉ khi P (x) ≡ Tn (x) Các đa thức Chebyshev có vai trò quan trọng trong lý thuyết xấp xỉ các hàm số bằng đa thức, thực hiện trên một đoạn [a; b] Bằng phép thay biến số t ∈ [a; b] bởi t= b+a... thức xảy ra khi và chỉ khi P (x) = Tn (x) = 1 Tn (x) 2n−1 ∗ Tức là max |Tn (x)| là bé nhất trong các số max |Pn (x)| −1≤x≤1 −1≤x≤1 23 Chứng minh Từ Tính chất 1.2.4 của đa thức Tn (x), ta có max |Tn (x)| = 1, −1≤x≤1 nên ∗ max |Tn (x)| = −1≤x≤1 1 max |Tn (x)| = 2n−1 −1≤x≤1 1 2n−1 ∗ Tn (x) là đa thức bậc n có hệ số cao nhất là 2n−1 , nên Tn (x) là đa thức bậc n có hệ số cao nhất là 1 Giả sử tồn tại đa. .. Ps (x) là đa thức có bậc không vượt quá s có dạng sau Ps (x) = a0 xs + as−1 + · · · + as−1 + as 1 (1.17) Mệnh đề 1.3.1 Cho đa thức Pn−1 (x) bậc không vượt quá n − 1 có hệ số bậc cao nhất a0 thỏa mãn điều kiện 1 − x2 |Pn−1 (x)| ≤ 1, ∀x ∈ [−1; 1] Khi đó a0 ≤ 2n−1 Chứng minh Ta viết đa thức đã cho dưới dạng nội suy Lagrange theo các nút nội suy xj = cos 2j − 1 π là các nghiệm của đa thức Trêbưsep Tn... hạn chế với các đa thức P (x) bậc n có dạng P (x) = xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an , với hệ số cao nhất (hệ số của lũy thừa bậc cao nhất) bằng 1 2) Với các đa thức bậc n có hệ số cao nhất bằng 1, thay đổi các hệ số của đa thức Việc thay đổi này có giới hạn của nó trong việc giảm độ lệch Vì vậy ta có kết quả quan trọng sau đây Định lý 1.3.1 ([6], Tính chất 6 trang 239) Với mọi đa thức P (x) bậc n... của giá trị cực đại của mọi đa thức bậc n có hệ số d với trung tâm bậc cao nhất bằng 1 Khi đó, ta có µn = 2 và d l 2 − d2 16 l 2 − d2 16 n−1 2 ≤ µn ≤ l n 2 nếu n là chẵn , l 2 − d2 16 n−1 2 nếu n là lẻ 25 Chứng minh Ta có thể giả sử rằng β > 0, α = −β, d < 2β Nếu P (x) là đa thức, thì Q(x2 ) với n chẵn, xQ(x2 ) P (x) + (−1)n P (−x) = 2 với n lẻ, n 2 trong đó Q(ξ) là đa thức có bậc [ ] với hệ số bậc... = Q0 (x2 ) = P0 (x) Hệ quả 1.3.4 Với đa thức f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an thỏa mãn điều kiện |f (x)| ≤ 1 ∀x ∈ [−1; 1] Khi đó đa thức f ∗ (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 có tính chất |f ∗ (x)| ≤ 2n−1 với mọi x ∈ [−1; 1] Chứng minh Với x = 0, ta có 1 f ∗ (x) = xn f ( ) x Vì đa thức f (x) có bậc không quá n, nên ta có thể áp dụng công thức kπ nội suy Lagrange cho f (x) tại . vớ i tên đề tài " ;ĐA THỨC TRÊBƯSEP VÀ XẤP XỈ TRÊBƯSEP" Luận văn này được trình bày để làm rõ thế nào là đa thức Trêbư sep loại 1, loại 2 và một ứng dụng của đa thức Trêbưs ep trong chứng. quốc gia và quốc tế. Đa thức Trêbưsep cũng có rất nhiều ứ ng dụng trong toán học như Lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết nộ i suy, Vì đa thức Trêbưsep rất quan trọng, nên có rất nhiều bài báo và các công. . . . . . 29 Chương 2. Xấp xỉ Trêbưsep. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1. Xấp xỉ một hàm số bởi đa thức Trêbưsep 35 2.2. Chuỗi Trêbưsep 42 2.3. Hệ số Trêbưsep . 46 2.4. Tính