Mục lục Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Định nghĩa chuỗi Fourier 1.1.2 Tính hội tụ chuỗi Fourier Tích phân Fourier 10 1.2.1 Khái niệm biến đổi tích phân 10 1.2.2 1.2 Chuỗi Fourier Cơng thức tích phân Fourier 11 Biến đổi tích phân Fourier tính chất 14 2.1 Định nghĩa ví dụ 14 2.2 Biến đổi Fourier hàm suy rộng 20 2.3 Tính chất biến đổi Fourier 32 2.4 Biến đổi Fourier - cosine Fourier - sine 44 2.5 Tổng Poisson 50 Ứng dụng biến đổi Fourier thống kê toán học 57 3.1 Đại lượng ngẫu nhiên hàm 57 3.2 Các đặc trưng số đại lượng ngẫu nhiên 62 3.3 Một số định lý quan trọng ví dụ 72 Kết luận 79 Tài liệu tham khảo 80 LỜI NĨI ĐẦU Tốn giải tích chuyên ngành nghiên cứu quan trọng hàng đầu tốn học đại Nó bao gồm nhiều lĩnh vực người quan tâm, nghiên cứu Và biến đổi Fourier số có nhiều ứng dụng khoa học, ví dụ vật lý, số học, xác suất, thống kê, hải dương học, quang học, hình học nhiều lĩnh vực khác Ngày nhà khoa học cố gắng khám phá kết có tầm quan trọng nhằm nâng cao ứng dụng Trong luận văn tìm hiểu biến đổi tích phân Fourier ứng dụng thống kê toán học Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương mở đầu phần kiến thức chuẩn bị, nhắc lại chuỗi Fourier tính chất Trong q trình tìm hiểu chuỗi Fourier cho thấy khởi nguồn biến đổi tích phân Qua ta đưa khái niệm biến đổi tích phân Fourier Chương hai trình bày khái niệm định lý quan trọng liên quan tới biến đổi Fourier Phần đầu, ta nghiên cứu định nghĩa biến đổi Fourier ví dụ Tiếp theo ta nói biến đổi Fourier hàm suy rộng Phần trọng tâm chương nghiên cứu tính chất biến đổi Fourier, tích chập, đẳng thức Parseval Cuối ta tìm hiểu biến đổi Fourier cosine Fourier sine, tổng Poisson Trong chương cuối ta đề cập tới khái niệm hàm đặc trưng, hàm phân bố, hàm mật độ tính chất liên quan Đồng thời đưa cách tính mơmen, phương sai phương pháp biến đổi Fourier Trong trình thực luận văn nhận bảo, hướng dẫn tận tình PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn Các thầy khoa Tốn - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự Nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội giúp tơi có thêm nhiều kiến thức để hồn thành luận văn khóa học cách tốt đẹp Bên cạnh cịn có giúp đỡ nhiệt tình thầy phịng Sau Đại học tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành thủ tục bảo vệ, thầy bạn seminar Tốn Giải Tích có góp ý hữu ích để tơi hồn thiện luận văn tốt Tôi xin chân thành cảm ơn tất đóng góp quý báu Cuối cùng, tơi xin gửi lời biết ơn tới gia đình, người thân động viên, ủng hộ suốt thời gian học tập hồn thành khóa luận Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp q thầy bạn Hà Nội, tháng 10 năm 2014 Nguyễn Thị Phương Chương Kiến thức chuẩn bị Phần đầu luận văn tơi trình bày lại cách ngắn gọn kiến thức chuỗi Fourier biến đổi tích phân 1.1 1.1.1 Chuỗi Fourier Định nghĩa chuỗi Fourier Trước hết luận văn nhắc lại chuỗi Fourier số tính chất quan trọng Trong giáo trình giải tích hàm số biến, đa làm quen với khái niệm chuỗi Fourier hàm khả tích xem xét sơ tính hội tụ Định nghĩa 1.1.1 Chuỗi hàm dạng ∞ a0 + (an cos nx + bn sin nx) , n=1 (1.1) a0 , an , bn (n = 1, 2, ) số, gọi chuỗi lượng giác Giả sử f (x) hàm liên tục khoảng (−∞, +∞), tuần hoàn với chu kỳ 2π Ta xác định hệ số a0 , an , bn (n = 1, 2, ) theo công thức: a0 = π an = π bn = π π f (x)dx, (1.2) f (x) cos(nx)dx, (1.3) f (x) sin(nx)dx (1.4) −π π −π π −π Khi chuỗi lượng giác (1.1) với hệ số xác định theo công thức (1.2),(1.3),(1.4) gọi chuỗi Fourier hàm f (x) ký hiệu ∞ a0 f (x) ∼ + (an cos nx + bn sin nx) n=1 (1.5) Chú ý f (x) hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π nên cơng thức (1.2), (1.3), (1.4) thay tích phân từ −π đến π cách tích phân đoạn có độ dài 2π Nếu f (x) hàm chẵn từ cơng thức (1.2), (1.3), (1.4) ta có bn = 0(n = 1, 2, ) π a0 = f (x)dx, π an = f (x) cos(nx)dx, π Khi (n = 1, 2, ) ∞ a0 + an cos nx f (x) ∼ n=1 Nếu f (x) hàm lẻ a0 = 0, an = 0(n = 1, 2, ) bn = π π f (x) sin(nx)dx, (n = 1, 2, ) Khi ∞ f (x) ∼ bn sin nx n=1 Tiếp theo ta đề cập chuỗi Fourier theo Định nghĩa 1.1.2 Định nghĩa 1.1.2 [7] Cho f (x) hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π khả tích đoạn [−π, π] Khi hệ số xác định ˆ f (n) = 2π π f (x)e−inx dx, n ∈ Z, (1.6) −π gọi hệ số Fourier hàm f (x) Chuỗi hàm +∞ ˆ f (n)einx (1.7) n=−∞ gọi chuỗi Fourier hàm f (x) ˆ Thông thường ta ký hiệu hệ số Fourier f (n) cn chuỗi Fourier hàm f (x) viết dạng +∞ cn einx f (x) ∼ (1.8) n=−∞ Nếu chuỗi Fourier hàm f hội tụ hàm f (x) +∞ cn einx f (x) = n=−∞ Trường hợp tổng quát, f : [a, b] → C tuần hoàn với chu kỳ L = b − a hệ số Fourier chuỗi Fourier xác định sau: ˆ f (n) = L b f (x)e−2πinx/L dx, a +∞ (1.9) ˆ f (n)e2πinx/L f (x) ∼ n=−∞ Định nghĩa 1.1.3 Cho hàm f khả tích tuần hoàn với chu kỳ 2π Với số tự nhiên N, tổng riêng thứ N chuỗi Fourier f xác định N ˆ f (n)einx SN (f )(x) = n=−N Tiếp theo ta trình bày tính hội tụ chuỗi Fourier 1.1.2 Tính hội tụ chuỗi Fourier Đầu tiên ta nói tính chuỗi Fourier Giả sử f g hai hàm khả tích [−π, π], tuần hồn với chu kỳ 2π ˆ có hệ số Fourier f g xác định theo công thức (1.6) ˆ ˆ f (n) = 2π g (n) = ˆ 2π π f (x)e−inx dx, −π π g(x)e−inx dx, n ∈ Z −π ˆ Nếu ta có hàm f = g f (n) = g (n) với n ∈ Z Nhưng ngược lại, ˆ ˆ hệ số Fourier f (n) = g (n) chưa f = g Ví dụ ˆ f (x) = x3 + = g(x) = x + [−π, π], ta lại có π π f (x)dx = −π g(x)dx = 4π −π Định lý 1.1.1 [7] Giả sử f hàm khả tích [−π, π], tuần hồn với chu ˆ kỳ 2π f (n) = với n ∈ Z Khi đó, f liên tục x0 f (x0 ) = ˆ Hệ 1.1.1 [7] Nếu f liên tục [−π, π] f (n) = với n ∈ Z f = Từ kết ta có định lý tính chuỗi Fourier sau Định lý 1.1.2 Giả sử f g hai hàm liên tục [−π, π] có hệ số ˆ Fourier f (n) g (n) xác định theo (1.6) ˆ ˆ f (n) = 2π g (n) = ˆ 2π π f (x)e−inx dx, −π π g(x)e−inx dx, −π n ∈ Z Khi đó, ta có f =g ˆ f (n) = g (n) ˆ Tiếp theo ta nhắc lại số kết hội tụ chuỗi Fourier Định lý 1.1.3 [7] Giả sử f hàm liên tục [−π, π], tuần hoàn với chu kỳ 2π f (x) ∼ ∞ n=−∞ ˆ f (n)einx có hệ số thỏa mãn ∞ −∞ ˆ |f (n)| < ∞ chuỗi Fourier hội tụ đến hàm f , tức SN (f )(x) f (x), N → ∞ Chứng minh Ta nhắc lại dãy hàm liên tục hội tụ giới hạn liên tục Ta có π ˆ |f (n)einx | = 2π Theo giả thiết f (x)e −π ∞ n=−∞ inx dx ≤ 2π π ˆ |f (x)||einx |dx = |f (n)| −π ˆ |f (n)| < ∞ nên theo dấu hiệu Weierstrass SN (f )(x) hội tụ đến hàm liên tục g(x) suy ∞ ∞ ˆ f (n)einx ˆ f (n)einx = lim g(x) = N →∞ n=−∞ n=−∞ ˆ ˆ Hơn nữa, hệ số Fourier hàm g(x) f (n) f (n) = g (n) hay ˆ ˆ f (n) − g (n) = Khi đó, áp dụng Hệ 1.1 cho hàm liên tục f − g ta ˆ f − g = hay f = g Vậy SN (f )(x) f (x), N → ∞ Định lý chứng minh Định lý 1.1.4 Nếu f hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π khả vi, liên tục k cấp k [−π, π], tức f ∈ C[−π,π] Khi ta có đánh giá cho hệ số Fourier ˆ f (n) = O(1/|n|k ) |n| → ∞, ˆ nói cách khác tồn số C > cho f (n) ≤ C |n|k Và k ≥ ta có chuỗi Fourier hội tụ [−π, π] Trong phần tìm hiểu tích phân Fourier mối liên hệ với chuỗi Fourier 1.2 1.2.1 Tích phân Fourier Khái niệm biến đổi tích phân Định nghĩa 1.2.1 Cho hàm f (x) xác định [a, b] Khi F{f (x)} = F (k) xác định b F{f (x)} = F (k) = K(x, k)f (x)dx (1.10) a gọi biến đổi tích phân hàm f , K(x, k) gọi nhân biến đổi, hàm số với hai biến x k Toán tử F thường gọi tốn tử biến đổi tích phân đơn giản phép biến đổi tích phân Biến k hàm biến đổi F (k) gọi biến biến đổi Tương tự, biến đổi tích phân hàm nhiều biến xác định F{f (x)} = F (k) = K(x, k)f (x)dx, (1.11) S x = (x1 , x2 , , xn ), k = (k1 , k2 , , kn ) S ⊂ Rn Ý tưởng tốn tử biến đổi tích phân tương tự tốn tử vi phân tuyến tính thường gặp, D ≡ d , tác động đến hàm số f (x) để dx đem lại hàm số f (x) khác Df (x) = f (x) (1.12) Thông thường, f (x) gọi đạo hàm hay ảnh f (x) phép biến đổi tuyến tính D 10 khơng đổi Mật độ phân bố cho công thức    x ∈ (a, b), f (x) = b − a  0 x ∈ (a, b) / Hàm f (x) có tính chất mật độ phân bố Thật vậy, f (x) ≥ với x ∞ b f (x)dx = −∞ a dx = b−a Ta xác định hàm phân bố F (x) sau   x < a,    x−a x a < x < b, F (x) = f (x)dx =  b−a −∞     x > b Ta xác định đặc trưng số phân bố Kỳ vọng toán học ∞ mx = xf (x)dx = b−a −∞ b xdx = a a+b Mômen trung tâm bậc k bằng: µk = b−a b a a+b x− k dx (3.18) Với l = ta nhận giá trị phương sai Dx = µ2 = (b − a)2 12 Từ ta có độ lệch bình phương trung bình σx = b) Dx = b−a √ Luật phân bố chuẩn[1] Trên thực tế thường gặp đại lượng ngẫu nhiên mà mật độ phân bố chúng có dạng f (x) = (x−a)2 √ e− 2σ2 σ 2π 66 (3.19) Luật phân bố đặc trưng (3.19) phổ biến, nên gọi luật phân bố chuẩn, đại lượng ngẫu nhiên có mật độ phân bố gọi đại lượng ngẫu nhiên phân bố chuẩn Ta có mx = √ σ 2π ∞ xe− (x−a)2 2σ dx (3.20) −∞ Đổi biến tích phân (3.20) t= ta x−a √ , σ (3.21) ∞ √ mx = √ ( 2σt + a)e−t dt −∞ √ ∞ σ ∞ −t2 a = √ te dt + √ e−t dt π −∞ π −∞ (3.22) Tích phân thứ (3.22) khơng tích phân hàm lẻ miền giới hạn đối xứng, tích phân thứ hai tích phân Poisson biết, √ π Từ mx = a, tức tham số a hàm (3.19) kỳ vọng toán học đại lượng ngẫu nhiên Tiếp theo Dx = √ σ 2π ∞ (x − a)2 e− (x−a)2 2σ dx (3.23) −∞ Sử dụng phép đổi biến (3.21) tích phân (3.23) ta 2σ Dx = √ π ∞ t2 e−t dt (3.24) −∞ Lấy tích phân phần (3.24) ta Dx = σ Do đó, tham số σ độ lệch bình phương trung bình đại lượng ngẫu nhiên Như vậy, mật độ xác suất luật phân bố chuẩn xác định hai tham số kỳ vọng toán học đại lượng ngẫu nhiên độ lệch bình phương 67 trung bình phương sai Ta tính mơmen trung tâm phân bố chuẩn µk = √ σ 2π ∞ k − (x − a) e (x−a)2 2σ dx (3.25) −∞ Sử dụng phép đổi biến (3.21) vào tích phân ta nhận √ ( 2σ)k ∞ k −t2 µk = √ t e dt π −∞ Lấy tích phân phần ta có √ (k − 1)(σ 2)k √ µk = π Vì µk−2 √ (σ 2)k−2 √ = π ∞ tk−2 e−t dt −∞ ∞ tk−2 e−t dt, −∞ nên ta nhận cơng thức truy hồi sau µk = (k − 1)µ2 k−2 Vì µ0 = µ1 = đại lượng ngẫu nhiên nên tất mômen trung tâm bậc lẻ phân bố chuẩn không Đối với mơmen trung tâm bậc chẵn ta có µ2 = σ ; µ4 = 3σ ; µ2l = (2l − 1)!!σ 2l Hàm phân bố đại lượng ngẫu nhiên X phân bố chuẩn xác định dạng F (x) = √ σ 2π x e − (x−a)2 2σ dx −∞ Ví dụ 3.2.1 Tìm mơmen phân bố chuẩn xác định hàm mật độ sau (x − m) f (x) = √ exp − 2σ σ 2π 68 (3.26) Hàm đặc trưng phân bố chuẩn biến đổi Fourier f (x), tức ∞ φ(t) = √ σ 2π e itx −∞ (x − m) exp − 2σ 2 dx Ta đổi biến x − m = y sử dụng Ví dụ 1.1.1 φ(t) = exp(itm) √ σ 2π ∞ eity exp − −∞ y2 2σ dy = exp itm − t2 σ (3.27) Vì m1 = (−i)φ (0) = m; m2 = −φ (0) = (m2 + σ ); m3 = m(m2 + 3σ ) Cuối cùng, phương sai phân bố chuẩn m2 − m2 = σ c) (3.28) Luật phân bố Rơle Măcxoen[1] Đại lượng ngẫu nhiên X gọi tuân theo luật phân bố Rơle hàm mật độ phân bố có dạng  x  x e− 2σ22  f (x) = σ  0 x ≥ 0, (3.29) x < Hàm phân bố Rơle xác định sau  x2  − e− 2σ2 x ≥ 0, F (x) =  x < (3.30) Ta xác định đặc trưng số phân bố Rơle mx = σ2 ∞ x2 x2 e− 2σ2 dx Sau lấy tích phân phần ta nhận x2 mx = −xe− 2σ2 ∞ ∞ 69 x2 e− 2σ2 dx + (3.31) Số hạng thứ (3.31) 0, số hạng thứ hai sau thay biến √ x = 2σt dẫn đến tích phân Poisson Từ ta có mx = √ ∞ e−t dt = 2σ π σ Theo (1.2.12), phương sai Dx = σ ∞ x− π σ 2 x2 xe− 2σ2 dx = − Hàm f (x) xác định dạng  2 − x22 x  e 2σ f (x) = σ π   π σ2 x ≥ 0, (3.32) x < 0, gọi luật phân bố Măcxoen Giống phân bố Rơle, phân bố Măcxoen xác định tham số σ Tương tự làm phân bố Rơle, ta nhận biểu thức sau hàm đặc trưng, mômen, kỳ vọng phân bố Măcxoen  x  Φ x − x e− 2σ22  x ≥ 0, σ σ F (x) =  0 x < 0; mx = Dx = σ; π 3− σ2 π Ví dụ 3.2.2 Quay trở lại Ví dụ 2.1.1 ta tìm mơmen với hàm đặc trưng φ(t) = exp λ(eit − 1) Ta có φ (t) = iλeit e[λ(e it −1)] ; φ (t) = i2 λeit e[λ(e it −1)] = i2 λeit e[λ(e it −1)] 70 + i2 λ2 e2it e[λ(e + λeit ; it −1)] φ (t) = i3 λeit e[λ(e it −1)] + λeit + i3 λ2 e2it e[λ(e + i3 λ2 e2it e[λ(e = i3 λeit e[λ(e it −1)] = i3 λeit e[λ(e it −1)] it it −1)] + λeit −1)] + λeit + λeit (1 + λeit + λeit (1 + 3λeit + λ2 e2it ) Khi đó, mômen tương ứng m1 = (−i)φ (0) = λe0 e[λ(e −1)] m2 = (−i)2 φ (0) = λe0 e[λ(e m3 = (−i)3 φ (0) = λe0 e[λ(e = λ; −1)] + λe0 = λ(1 + λ); −1)] + 3λe0 + λ2 e0 = λ(1 + 3λ + λ2 ) Ví dụ 3.2.3 Tương tự, ta tìm mơmen Ví dụ 2.1.2 với hàm đặc trưng n φ(t) = + p(eit − 1) Ta có φ (t) = inpeit + p(eit − 1) n−1 ; φ (t) = inp ieit + p(eit − 1) n−1 + (n − 1)e2it ip + p(eit − 1) + p(eit − 1) n−1 + (n − 1)eit p + p(eit − 1) = i2 npeit = −npeit φ (t) = −inpeit + p(eit − 1) + p(eit − 1) n−1 + (n − 1)eit p + p(eit − 1) − npeit ip(n − 1)eit + p(eit − 1) n−2 + p(eit − 1) − inp2 e2it (n − 1) n−1 +(n − 2)2 peit + p(eit − 1) n−2 n−3 + + p(eit − 1) Khi đó, mơmen tương ứng xác định sau m1 = −iφ (0) = −i2 npe0 + p(e0 − 1) 71 n−2 n−3 + (n − 1)eit p + p(eit − 1) + p(eit − 1) ; + i(n − 1)eit p + p(eit − 1) + (n − 1)(n − 2)2 ip2 e2it + p(eit − 1) = −inpeit n−2 n−2 + (n − 1)eit p + p(eit − 1) n−1 n−2 n−1 = np; n−2 n−2 n−2 m2 = (−i)2 φ (0) = npe0 + p(e0 − 1) n−1 + (n − 1)e0 p + p(e0 − 1) n−2 n−1 + (n − 1)e0 p + p(e0 − 1) n−2 = np [1 + p(n − 1)] ; m3 = (−i)3 φ (0) = npe0 + p(e0 − 1) − inp2 e0 (n − 1) + + p(e0 − 1) + p(e0 − 1) n−2 n−2 + (n − 2)2 pe0 + p(e0 − 1) n−3 = n(n − 1)p2 + n(n − 1)p2 + p(n − 2)2 = n(n − 1)p2 + p(n − 2)2 3.3 Một số định lý quan trọng ví dụ Định lý 3.3.1 [6] Hàm đặc trưng tổng số hữu hạn biến ngẫu nhiên độc lập tích hàm đặc trưng Chứng minh Giả sử X1 , X2 , , Xn biến ngẫu nhiên độc lập Z = X1 + X2 + · · · + Xn Sau đó, giả sử φ1 (t), φ1 (t), , φn (t), φn (t) hàm đặc trưng X1 , X2 , , Xn Z tương ứng Khi ta có φ(t) = E [exp(itZ)] = E [exp{it(X1 + X2 + · · · + Xn )}] = E(eit X1 )E(eit X2 ) E(itXn ) (3.33) = φ1 (t)φ2 (t) φn (t) Định lý chứng minh Ví dụ 3.3.1 Tìm hàm đặc trưng độ lệch tiêu chuẩn tổng n biến ngẫu nhiên độc lập Giả sử X1 , X2 , , Xn n biến ngẫu nhiên độc lập với phân bố chuẩn 72 N (mr , σr ), r = 1, 2, , n Hàm đặc trưng tương ứng phân bố φr (t) = exp itmr − t2 σr , r = 1, 2, , n (3.34) Vì X1 , X2 , , Xn độc lập, biến ngẫu nhiên Z = X1 + X2 + + Xn có hàm đặc trưng φ(t) = φ1 (t)φ2 (t) φn (t) 2 = exp it(m1 + m2 + + mn ) − (σ1 + σ2 + + σn )t2 (3.35) Đây hàm đặc trưng tương ứng phân bố chuẩn N (m1 + 2 m2 + + mn ) độ lệch tiêu chuẩn (σ1 + σ2 + + σn ) Tiếp theo ta xét tới định lý Giới hạn trung tâm Định lý 3.3.2 (Định lý Levy - Cramer) Giả sử {Xn } dãy biến ngẫu nhiên, Fn (x) φn (t) tương ứng hàm phân bố hàm đặc trưng Xn Khi dãy {Fn (x)} hội tụ tới hàm phân bố F (x) với t trục thực, dãy {φn (t)} hội tụ hàm φ(t) liên tục lân cận điểm gốc Hàm giới hạn φ(t) hàm đặc trưng hàm phân bố giới hạn F (x) φn (t) → φ(t) hội tụ khoảng hữu hạn trục t Định lý 3.3.3 (Định lý giới hạn trung tâm xác suất, [5]) Giả sử f (x) hàm khả tích tuyệt đối khơng âm R có tính chất sau: ∞ ∞ f (x)dx = 1, −∞ ∞ x2 f (x)dx = xf (x)dx = 1, −∞ −∞ Nếu f n = f ∗ f ∗ ∗ f tích tích chập n lần f , √ b n lim n→∞ f (x)dx = √ 2π b √ a n e−x dx, − ∞ < a < b < ∞ n (3.36) a Để chứng minh cho định lý ta tham khảo Chandrasekharan (1989) Tiếp theo ta tìm hiểu số ví dụ 73 Ví dụ 3.3.2 Tìm hàm đặc trưng phân bố gamma, phân bố tương ứng với hàm mật độ sau ap p−1 −ax f (x) = x e H(x) Γ(p)  0, x < 0,     f (x) = 1, ≤ x ≤ a,     0, x > a (a) (b) Lời giải (a) Theo công thức tính hàm đặc trưng nhờ hàm mật độ ta có ∞ f (x)eitx dx φ(t) = −∞ ∞ ap p−1 −ax x e H(x)eitx dx Γ(p) = −∞ Ở Γ(p) = ∞ xp−1 e−x dx ∈ R Nên ∞ ∞ p p−1 −ax itx φ(t) = a x e e xp−1 e−x dx dx 0 ∞ ∞ xp−1 e−x dx ap xp−1 ex(it−a) dx = 0 Đặt u = x(a − it), nên dx = du a−it Khi ∞ φ(t) = = = ap u a − it a − it a a − it p a − it a −p p−1 ∞ e −u xp−1 e−x dx du ∞ ∞ up−1 e−u du = xp−1 e−x dx 1− it a −p 74 (b) Tương tự ta có ∞ f (x)eitx dx φ(t) = −∞ = f (x)e −∞ a = dx + f (x)e itx f (x)eitx dx dx + eitx dx = = ∞ a itx a eitx a it [exp(ita) − 1] it Ví dụ 3.3.3 Tìm phân bố Cauchy với hàm mật độ sau f (x) = Lời giải λ π [λ2 + (x − µ)2 ] Từ cơng thức (3.2) ta có ∞ φ(t) = −∞ = π = = e ∞ λeit(x−µ) eitµ d(x − µ) λ2 + (x − µ)2 −∞ ∞ itµ π e λ · eitx dx π λ + (x − µ) itµ π −∞ ∞ −∞ λ eit(x−µ) d(x − µ) + (x − µ)2 λ λ2 λ eitx dx + x2 Theo Ví dụ 2.1.2 ta có λ · = F (x) π (λ + x2 ) F{exp(−λ|t|)} = từ Định nghĩa 2.1.2 F −1 {F (x)} = f (t) = √ 2π Nên ta có eitµ φ(t) = √ 2π eitµ =√ 2π ∞ ∞ eitx F (x)dx −∞ λ eitx dx + x2 πλ −∞ ∞ F (x)eitx dx −∞ 75 =e itµ ∞ · 2π F (x)eitx dx −∞ = eitµ f (t), f (t) = exp(−λ|t|) = exp(iµt − λ|t|) Ví dụ 3.3.4 Tìm phân bố Laplace hàm mật độ tương ứng |x − u| exp − 2λ λ f (x) = Lời giải ∞ −∞ µ = −∞ = λ > Từ công thức (3.2) ta có φ(t) = = , |x − µ| exp(itx)dx exp − 2λ λ ∞ x−µ x−µ exp itx + dx + exp itx − 2λ λ 2λ λ µ e−µ/λ 2λ µ e(it+1/λ)x dx + −∞ e(it+1/λ)x e−µ/λ 2λ it + 1/λ µ −∞ eµ/λ 2λ + eµ/λ dx ∞ e(it−1/λ)x dx µ e(it−1/λ)x it − 1/λ ∞ µ (it−1/λ)µ (it+1/λ)µ −µ/λ e µ/λ e −λe + λe = 2λ itλ − itλ + 1 eitµ eitµ = − + λit λit − eitµ = = (1 + λ2 t2 )−1 exp(itµ) + λ t2 Sau ta tìm hàm mật độ biết hàm đặc trưng qua ví dụ Ví dụ 3.3.5 Tìm hàm mật độ biến ngẫu nhiên X với hàm đặc trưng φ(t) = (1 − |t|)H(1 − |t|) Lời giải Theo cơng thức (3.3) ta có f (x) = 2π = 2π ∞ exp(−itx)φ(t)dt −∞ ∞ (1 − |t|)H(1 − |t|) exp(−itx)dt −∞ 76 = 2π = 2π (1 − |t|) exp(−itx)dt −1 (1 + t)e −itx −1 −itx e = (1 + t) 2π −ix 2π = 2π = 2π = 2π = (1 − t)e−itx dt dt + 0 −1 + −1 e−itx e−itx dt + (1 − t) ix −ix 1 1 · · e−itx d(−itx) − ix −ix −1 ix −ix 1 −ixt e − e−ixt x2 x −1 · − eix − e−ix + x − cos x − cos x = x2 πx2 1 + 0 e−itx dt −ix e−itx d(−itx) (3.37) Ta thấy hàm đặc trưng hữu dụng cho việc nghiên cứu vấn đề thống kê toán học Cuối cùng, ta thống kê mômen hàm đặc trưng phân bố thường gặp Bảng 3.1 77 Phân bố Hàm môment MX (t) Hàm đặc trưng ϕ(t) Bernoulli P(X = 1) = p − p + pet − p + peit Geometric (1 − p) k−1 p pet , − (1 − p)et p − (1 − p)eit với t < − ln(1 − p) Nhị thức B(n, p) (1 − p + pet )n Poisson P(λ) eλ(e Đều (liên tục) U (a, b) etb −eta t(b−a) eitb −eita it(b−a) χ-bình phương χ2 k (1 − 2t)−k/2 (1 − 2it)−k/2 Đều (rời rạc) U(a, b) t −1) eλ(e eat − e(b+1)t (b − a + 1)(1 − et ) (1 − p + peit )n 2 −1) eait − e(b+1)it (b − a + 1)(1 − eit ) etµ+ σ Gamma Γ(k, θ) (1 − tθ)−k (1 − itθ)−k Mũ Exp(λ) (1 − tλ−1 )−1 , (t < λ) (1 − itλ−1 )−1 Chuẩn đa chiều N (µ, Σ) et Degenerate δa eta eita Laplace L(µ, b) etµ 1−b2 t2 eitµ 1+b2 t2 Nhị thức âm NB(r, p) Cauchy Cauchy(µ, θ) µ+ tT Σt (1 − p)r (1 − pet )r khơng tồn eitµ− σ 2 Chuẩn N(µ, σ ) T t it T eit t µ− tT Σt (1 − p)r (1 − peit )r eitµ−θ|t| Bảng 3.1: Thống kê mơmen hàm đặc trưng phân bố thường gặp 78 KẾT LUẬN Luận văn trình bày cách chi tiết hệ thống lý thuyết biến đổi tích phân Fourier ứng dụng việc giải tốn thống kê Nội dung luận văn bao gồm: Định nghĩa biến đổi Fourier hàm khả tích tuyệt đối, tính chất Đánh giá số biến đổi Fourier tính chất, định lý liên quan Trên sở kết thu biến đổi Fourier ta ứng dụng vào giải toán xác suất thống kê tìm hàm đặc trưng, hàm phân bố, mơmen, phương sai Đóng góp luận văn Đưa tính chất có liên quan tới biến đổi Fourier, đồng thời chứng minh chi tiết kết Trình bày ví dụ tập Tài liệu tham khảo [1] D.I Kazakevits (2005), Cơ sở Lý thuyết Hàm ngẫu nhiên ứng dụng Khí tượng Thủy văn (Người dịch: Phạm Văn Huấn, Nguyễn Thanh Sơn, Phan Văn Tân), NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Vũ Viết Yên (2009), Bài tập Lý thuyết xác suất, NXB Đại học Sư phạm [3] Joseph Beyene (2001), Use of the fast Fourier transform in exact statistical inference, University of Toronto [4] R N Bracewell (1986), The Fourier transform and its applications, McGraw Hill [5] K Chandrasekharan (1989), Classical Fourier transforms, SpringerVerlag, New York [6] Lokenath Debnath and Dambaru Bhatta (2007), Integral transforms and their applications, Taylor and Francis group [7] Elias M Stein and Rami Shakarchi (2003), Fourier analysis an introduction, Princeton university Press, Princeton and Oxford ... nhân biến đổi, hàm số với hai biến x k Toán tử F thường gọi toán tử biến đổi tích phân đơn giản phép biến đổi tích phân Biến k hàm biến đổi F (k) gọi biến biến đổi Tương tự, biến đổi tích phân. .. 13 Chương Biến đổi tích phân Fourier tính chất 2.1 Định nghĩa ví dụ Chúng ta sử dụng cơng thức tích phân Fourier (1.16) để đưa định nghĩa biến đổi Fourier Định nghĩa 2.1.1 [6] Biến đổi Fourier. .. suất, thống kê, hải dương học, quang học, hình học nhiều lĩnh vực khác Ngày nhà khoa học cố gắng khám phá kết có tầm quan trọng nhằm nâng cao ứng dụng Trong luận văn tìm hiểu biến đổi tích phân Fourier