CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Bảng giá trị các hàm số lượng giác của các góc đặc biệt: x HS LG 0 6 π 4 π 3 π 2 π π 3 2 π 2π 0 o 30 o 45 o 60 o 90 o 180 o 120 o 270 o 360 o Sinx 0 1 2 2 2 3 2 1 0 3 2 - 1 0 Cosx 1 3 2 2 2 1 2 0 - 1 1 2 0 1 Tanx 0 3 3 1 3 || 0 3 || 0 Cotx || 3 1 3 3 0 || 3 3 0 || Giá trị lượng giác của góc(cung) có liên quan đặc biệt: Hai góc đối nhau: Hai góc hơn kém Hai góc hơn kém nhau π sin(-α) = -sin α sin(α+π)=-sin α cos(-α) = cosα cos(α+π)=-cosα tan(-α) = -tan α tan(α+π)= tan α cot(-α) = -cot α cot(α+π) = cot α Hai góc bù nhau Hai góc phụ nhau sin(π – α) = sinα cos(π – α) = -cosα tan(π – α) = -tanα cot(π – α) = -cotα Các hệ thức cơ bản : 2 2 sin x cos x 1+ = sinx t anx= ,(x k ) cosx 2 π ≠ + π cosx cotx= ,(x k ) sinx ≠ π k t anx.cotx=1,(x ) 2 π ≠ 2 2 1 1 tan x,(x k ) 2 cos x π = + ≠ + π 2 2 1 1 cot x,(x k ) sin x = + ≠ π Công thức góc nhân đôi: 2 2 2 2 cos2x=cos x sin x 1 2sin x 2cos x 1− = − = − sin2x = 2sinx.cosx 2 2t anx tan 2x 1-tan x = Công thức nhân ba: 1 3 sin3x 3sinx-4sin x= 3 cos3x=4cos x 3cosx− 3 2 3t anx-tan x tan3x 1 3tan x = − Công thức chia đôi: t = tan x ,x (2k 1) 2 ≠ + π : Công thức hạ bậc: 2 2 2 1 cos2x 1 cos2x 1 cos2x cos x , sin x , tan x 2 2 1+cos2x + − − = = = Hằng đẳng thức thường dùng ( ) 2 2 4 4 2 6 6 2 2 2 2 2 2 1 3 sin cos 1 sin cos 1 sin 2a sin cos 1 sin 2 2 4 1 1 1 tan 1+cot 1 sin 2 sin cos cos sin a a a a a a a a a a a a a a + = + = − + = − + = = ± = ± Công thức cộng : Cos(x+y) = cosx.cosy-sinx.siny Cos(x-y) = cosx.cosy+sinx.siny Sin(x+y) =sinx.cosy+siny.cosx Sin(x-y) =sinx.cosy-siny.cosx tanx+tany t an(x+y)= 1-tanx.tany tanx-tany t an(x-y)= 1+tanx.tany cotx.coty-1 cot(x+y)= cotx+coty cotx.coty+1 cot(x-y)= coty-cotx Công thức biến đổi tích thành tổng: Công thức biến đổi tổng thànhtích: [ ] 1 cosx.cosy= cos(x+y)+cos(x-y) 2 x+y x-y cosx+cosy=2cos .cos 2 2 [ ] 1 sinx.siny= - cos(x+y)-cos(x-y) 2 x+y x-y cosx-cosy=-2sin .sin 2 2 [ ] 1 sinx.cosy= sin(x+y)+sin(x-y) 2 x+y x-y sinx+siny=2sin .cos 2 2 [ ] 1 cosx.siny= sin(x+y)-sin(x-y) 2 x+y x-y sinx-siny=2cos .sin 2 2 sin(x+y) t anx+tany= cosx.cosy sin(x-y) t anx-tany= cosx.cosy sin(x y) cot x cot y sinx.siny + + = Phương trình lượng giác cơ bản: (k Z)∈ u v k2 sin u sin v u v k2 = + π  = ⇔ = π − + π   cosu=cosv u v k2⇔ = ± + π u & v đều có ẩn đối với tan & cot phải đk tan u tan v u v k= ⇔ = + π cot u cot v u v k= ⇔ = + π 2 ( ) ( ) Đk: Chú ý: Phương trình bậc I theo 1 hs lượng giác sinx = m sinx = m vô nghiệm khi |m|>1 & có nghiệm khi Nếu m không nằm trong các giá trị lượng giác đặc biệt: Chú ý: sinx=±1  x= ± +k2� ; sinx=0  x=kπ cosu = m cosx = m vô nghiệm khi |m|>1 & có nghiệm khi Nếu m không nằm trong các giá trị lượng giác đặc biệt: Chú ý: cosx=1  x= k2π; cosx = -1  x= π +k2π; cosx = 0  x= + kπ tanx=m tanx=0⇔ sinx=0⇔ x= kπ cotx = m cotx=0⇔cosx=0⇔x= + kπ Công thức dạng: A= acosu + bsinu A= acosu + bsinu 3 **** Phương trình bậc 2 theo 1 hàm số lượng giác asin 2 u + bsinu+c =0 acos 2 u + bcosu+c =0 Cách giải: Đặt: t= sinu (hay t= cosu) Đk: -1≤ t ≤ 1 atan 2 u + btanu+c =0 acot 2 u + bcotu+c =0 Cách giải: Đặt: t= tanu (hay t= cotu) Phương trình bậc I đối với sin & cos: acosu + bsinu = c (1) (với ab≠0) Đk để pt có nghiệm: a 2 +b 2 ≥ c 2 Cách giải: (1) ⇔ ⇔ ⇔ *** Phương trình thuần bậc II cho sin & cos: asin 2 x + bsinxcosx + ccos 2 x = d (1) a 2 +b 2 +c 2 ≠ 0 Cách giải: C1: Chia làm 2 trường hợp TH1: cosx = 0 (1) ⇔ a=d - Nếu a=d (sai) - Nếu a=d (đúng) thì pt có 1 họ nghiệm: x= + kπ TH2: cosx ≠ 0 chia 2 vế của (1) cho cos 2 x (1) ⇔ atan 2 x + btanx + c = d(1 + tan 2 x) C2 hạ bậc: (1) *** Phương trình đối xứng theo sin & cos: (1) (với ab≠0) Cách giải: Đặt t = cosx- sinx = Đk: - ≤ t ≤ t 2 = (cosx- sinx) 2 = 1 – 2sinxcosx sinxcosx = (1) at + b +c =0 *** Phương trình đẳng cấp bậc 2,bậc 3 theo sin &cos: Asin 2 x+bsinxcosc+csin 2 x =d Cách giải: 4 TH1:cosx =0.thế vào pt rồi giải. TH2:cosx khác 0.chia cả 2 vế cho cos 2 x.ta được pt chứa tanx. 5 . CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Bảng giá trị các hàm số lượng giác của các góc đặc biệt: x HS LG 0 6 π 4 π 3 π 2 π π 3 2 π 2π 0 o 30 . anx+tany= cosx.cosy sin(x-y) t anx-tany= cosx.cosy sin(x y) cot x cot y sinx.siny + + = Phương trình lượng giác cơ bản: (k Z)∈ u v k2 sin u sin v u v k2 = + π  = ⇔ = π − + π   cosu=cosv u v. π 2 ( ) ( ) Đk: Chú ý: Phương trình bậc I theo 1 hs lượng giác sinx = m sinx = m vô nghiệm khi |m|>1 & có nghiệm khi Nếu m không nằm trong các giá trị lượng giác đặc biệt: Chú ý: sinx=±1