THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 1 Công thức khai triển nhị thức Niu-tơn PHẦN 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Công thức khai triển nhị thức Niu-tơn   n k n k k n k n 0 a b C a b      , n   . 2. Tam giác Pa-xcan Từ công thức ta thấy k n C là hệ số của n k k a b  trong khai triển   n a b  . Như vậy, với mỗi n   cố định thì hệ số của các lũy thừa trong khai triển là 0 n C , 1 n C , …, n n C . Ta xếp các hệ số của các lũy thừa vào một bảng sao cho +) dòng n là các hệ số của các lũy thừa trong khai triển   n a b  , +) cột k là hệ số của lũy thừa n k k a b  , ta được một tam giác. Tam giác này được gọi là tam giác Pascal. 0 0 0 1 1 1 0 1 2 2 2 2 0 1 2 3 3 3 3 3 0 k k 1 n n n n 0 0 k k 1 n n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 C C C C C C C C C C C C C C C C C C C                          . Theo công thức Pa-xcan, ta nhận thấy trong tam giác Pa-xcan tổng hai phần tử liên tiếp ở hàng trên bằng phần tử cùng cột với phần tử thứ hai ở hàng dưới ( k k 1 k 1 n n n 1 C C C      ). Hơn nữa, ta thấy trong tam giác này, các phần tử nằm trên cột thứ nhất và trên cạch huyền bằng 1 . Từ các nhận xét trên, ta có cách xác định nhanh các phần tử trong tam giác Pa-xcan. THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 2 Ví dụ. Xét khai triển   5 a b  . Viết 6 dòng đầu tiên của tam giác Pa-xcan, ta có 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 . Vậy   5 5 4 3 2 2 5 4 5 a b a 5a b 10a b 10a b 5ab a        . THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 3 PHẦN 2. CÁC LOẠI BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH Loại 1. Các đẳng thức suy ra trực tiếp từ công thức khai triển nhị thức Niu-tơn A. Một số ví dụ Ví dụ 1. Với n là số nguyên dương, hãy rút gọn các biểu thức sau. 1) 0 1 2 n 1 n n n n S C C C C      , 2)   n 0 1 2 n 2 n n n n S C C C 1 C       . Giải 1) Ta có   n n n k k n k k n 1 n n k 0 k 0 S C C 1 1 1 1 2           . 2) Ta có       n n n k k k k n k n 2 n n k 0 k 0 S 1 C C 1 1 1 1 0 0                   . Nhận xét: Kết quả ở câu 1) nhận được từ công thức khai triển nhị thức Niu-tơn khi cho a b 1   . Kết quả ở câu 2) nhận được khi cho a 1  , b 1   . Ví dụ 2. Rút gọn   1 1 1 1 S 0!2012! 1!2011! k! n k ! 2012!0!         . Giải Ta có   2012 k 0 1 S k! 2012 k !      2012!S   2012 k 0 2012! k! 2012 k !     2012 k n k 0 C    2012 k 2012 k k n k 0 C 1 1       2012 2012 1 1 2   . THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 4  2012 2 S 2012!  . Ví dụ 3. Với n là số nguyên dương, hãy rút gọn các biểu thức sau: 0 2 4 2n 1 2n 2n 2n 2n S C C C C      , 1 3 5 2n 1 2 2n 2n 2n 2n S C C C C       . Giải Ta có   2n 2n 2n k k 2n k k 2n 1 2 2n 2n k 0 k 0 S S C C 1 1 1 1 2            .   1       2n 2n 2n k k k k 2n k 2n 1 2 2n 2n k 0 k 0 S S 1 C C 1 1 1 1 0 0                    .  1 2 S S  .   2 Từ   1 ,   2 suy ra 2n 2n 1 2 1 2 2 S S 2     . Ví dụ 4. Với n là số nguyên dương, hãy rút gọn biểu thức 0 1 2 n 2n 2n 2n 2n S C C C C      . Giải Áp dụng công thức k n k n n C C   ta có 2n 2n 1 2n 2 n n n 1 n 2 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n S C C C C C C C C                  2n 2n 2n k k 2n k k 2n 2n 2n k 0 k 0 2S C C 1 1 1 1 2            2n 2n 1 2 2 S 2    . Ví dụ 5. Với n là số nguyên dương, hãy rút gọn các biểu thức sau: 1)   n 0 1 2 2 n n 1 n n n n S C 2C 2 C 1 2 C       . 2)   2 n 0 1 2 n n 1 2 2 2 n n n n n n 1 n 2 3 3 3 S C C C 1 2 C         . Giải 1)         n n n k k n k k n k 1 n n k 0 k 0 S 2 C C 1 2 1 2 1                   . THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 5 2)             n n k n n n k n k 5 5 1 1 2 n 3 3 3 3 k 0 S C 2 2 1                 . THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 6 B. Bài tập Bài 1. Giải phương trình x 1 x 2 x 3 x 8 x 9 x 10 x x x x x x C C C C C C 1023               . Bài 2. Tính   k 2010 0 2009 1 2008 2 2010 k k 2010 2010 2010 2010 2010 2010 S 4 .C 4 .C 4 .C 1 4 C C.          . Bài 3. Chứng minh 2004 0 2 2 4 4 2002 2002 2004 2004 2004 2004 2004 2004 2004 3 1 C 2 C 2 C 2 C 2 C 2       . Bài 4. Tìm số nguyên dương n sao cho 1 3 5 2n 1 2n 2n 2n 2n C C C C 2048      . Bài 5. Rút gọn 1) n 0 n 2 2 n 4 4 n n n n n S 2 C 2 C 2 C C        ( n là số nguyên dương chẵn). 2) n 1 n 3 n 3 n n 3 n n 5 n 1 S 2 C 2 C 2 C C        ( n là số nguyên dương lẻ). THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 7 Loại 2. Các đẳng thức thu được nhờ biến đổi số hạng tổng quát A. Nội dung phương pháp Ta đặc biệt quan tâm đến một số biến đổi sau đây. *           n 1 ! k k 1 n! n n 1 k! n k ! k 1 ! n 1 k 1 ! kC k n. nC                . Tương tự ta cũng có     k k 2 n n 2 k k 1 C n n 1 C      , … . *           k 1 k C n 1 ! C n! n 1 1 n 1 k 1 k 1 n 1 n 1 k! n k ! k 1 ! n 1 k 1 ! .                    . Tương tự ta cũng có       k 2 k C C n n 2 k 1 k 2 n 1 n 2        , … . B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Với n là số nguyên dương, hãy rút gọn các biểu thức sau: 1)   2 3 n n 0 1 2 3 n 2 2 2 1 n n n n n 3 4 n 1 S C C C C 1 C         . 2)     n 2 3 4 n 1.2 2.3 3.4 2 n n n n n 2 n 3 n 4 3 3 3 S C C C 1 n 1 nC           . Giải 1)   n k 2 k 1 n k 1 k 0 S C      . Với mọi k 0  , 1 , 2 , …, n , ta có           n 1 ! k k 1 n!1 1 1 1 n n 1 k 1 k 1 n 1 n 1 k! n k ! k 1 ! n 1 k 1 ! C . . C                    .  1 S    n k k 1 1 n 1 n 1 k 0 2 C          n 1 h 1 h 1 n 1 n 1 h 1 2 C        ( h k 1   )    n 1 h h 1 n 1 n 1 h 1 2 C           n 1 h h n 1 h 1 n 1 n 1 h 0 C 1 2 1                           THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 8    n 1 1 2 1 n 1              n 1 1 n 1    . Vậy   n 1 1 1 n 1 S     . 2)     n k 1 k k 1 k 2 n n k 3 k 2 S C       . Với mọi k 2  , 3 , 4 , …, n ta có:                   n 2 ! k k 2 n! n n 2 k! n k ! k 2 ! n 2 n k ! k k 1 C k k 1 . n n 1 . n n 1 C                    . THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 9 C. Bài tập Bài 6. Tính 1) 0 2009 1 2008 k 2009 k 2009 0 2010 2010 2010 2009 2010 2010 k 2010 1 S C C C C C C C C        . 2) [ĐHB2003] 2 2 2 0 1 2 n 2 1 2 1 2 1 n n n n 2 3 n 1 C C C C        . Bài 7. Với n là số nguyên dương, rút gọn 1)   1 2 n 1 n n n n n S C 2C n 1 C nC       . 2)   n 1 n n n n n 0 1 S C 2C nC n 1 C       . 3)    n 2 3 n n n n S 2.1C 3.2C n n 1 1 C      . 4)    n n n n 0 1 S 3.2C .3C n4 n 3 2 C     . 5) 1 2 n 0 n n n n C C C S C 2 3 n 1      . 6) 1 2 n n 0 n 1 n 2 n n n n C C C S 2 C 2 2 2 3 n 1        . Bài 8. Chứng minh 1) 0 2001 1 2000 k 2001 k 2001 0 2002 2002 2002 2002 2001 2002 2002 k 2002 1 C C C C C C C C 1001.2        . 2) 1 n 1 2 n 2 3 n 3 n n 1 n n n n C 3 2C 3 3C 3 nC n4          ( n nguyên dương). 3)   2n 2n 2n 2n 2n 0 1 2 3 2n 3 4 .C 2C C C 2n 0 C1        ( n nguyên dương). 4) [ĐHA07] 1 3 5 2n 1 2n 2n 2n 2n 2n C C C C 2 1 2 4 6 2n 2n 1         ( n nguyên dương). 5) 0 1 2 n 2n 1 2n 2n 2n 2n C C C C 2 1 3 6 9 3n 3 3n 3          ( n nguyên dương). Bài 9. [ĐHA05] Tìm số nguyên dương n sao cho   1 2 2 3 3 4 2n 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 C 2.2C 3.2 C 4.2 C 2n 1 .2 C 2005              . ĐS: 1002 . THS. PHM HNG PHONG GV TRNG HXD D: 0983 0707 44 WEBSITE: violet.vn/phphong84 10 Loi 3. Cỏc bi toỏn v h s ca ly tha trong khai trin A. Mt s vớ d Vớ d 1. [HD04] Tỡm s hng khụng cha x trong khai trin 7 3 1 4 x x , vi x 0 . Gii p dng cụng thc khai trin nh thc Niu-tn ta cú 7 k 28 7k 7 7 7 k k k 3 3 1 1 12 7 7 4 4 x x k 0 k 0 x C x C x . h s ca 28 7k 12 x trong khai trin l k 7 C . Ta cú 28 7k 12 0 k 4 s hng khụng cha x trong khai trin l 4 7 C 35 . Vớ d 2. [HA12] Cho n l s nguyờn dng tha món n 1 3 n n 5C C . Tỡm s hng cha 5 x trong khai trin nh thc Niu-tn ca n 2 nx 1 14 x , x 0 . Gii * Ta cú n 1 3 n n 5C C n n 1 n 2 6 5n n 1 n 2 6 5 (do n nguyờn dng) 2 n 3n 28 0 thoỷa maừn loaùi n 7 n 4 . * n 7 7 k 7 k k 7 7 7 k 1 C2 2 k 3k 7 x 1 x 1 7 7 2 x 2 x k 2 k 0 k 0 C x . h s ca 3k 7 x trong khai trin l 7 k k 1 C 7 k 2 . Ta 3k 7 5 k 4 h s ca 5 x trong khai trin l 3 4 1 C 35 7 4 16 2 . [...]... trong khai triển là  35 x5 16 Ví dụ 3 [ĐHD07] Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của 5 10 P  x  1  2x   x 2  1  3x  Giải Hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của P là tổng các hệ số của x5 trong các khai triển 5 10 P1  x  1  2x  và P2  x 2 1  3x  5 Hệ số của x5 trong khai triển P1 là hệ số của x4 trong khai triển  1  2x  10 Hệ số của x5 trong khai triển P2...  212 Tìm số lớn nhất trong các số a0 , a1 , a 2 , , an 2 22 2n Bài 7 [ĐHD03] Gọi a 3n  3 là hệ số của x3n  3 trong khai triển thành đa thức của  x2  1  n  x  2n Tìm n để a3n  3  26n n Bài 8 Tìm số nguyên dương bé nhất n sao cho trong đa thức  1  x  có hai lũy thừa liên tiếp có tỷ số các hệ số bằng 7 5 n Bài 9 Khai triển biểu thức  1  2x  ta được đa thức có dạng a0  a1x  a 2 x2... 6x10  4x11  x12  hệ số của x8 trong khai triển P4 là 1 Vậy hệ số của x8 trong khai triển ban đầu là 3C3  C4  238 8 8 9 Ví dụ 5 Tìm lũy thừa có hệ số lớn nhất của đa thức  3x  2  Giải Áp dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn ta có 9 9 k0 k 0  3x  2 9   Ck  3x k 29  k     3k 29  k Ck xk  9  9     hệ số của xk trong khai triển là ak  3k 29  k Ck ( k  0,1, , 9... Vậy các lũy thừa số hệ số lớn nhất trong khai triển là x5 và x6 n Ví dụ 6 Tìm n để đa thức  x  2  chỉ có một lũy thừa hệ có hệ số lớn nhất là x10 Giải 12 THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 Áp dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn ta có  x  2 n n    Ck x k 2n  k  n k 0 n   2n k Ck xk  n k 0  hệ số của xk trong khai triển. .. triển P2 là hệ số của x 3 trong khai triển  1  3x  Áp dung công thức khai triển nhị thức Niu-tơn ta có : k k k 0 k 0  1  2x 5   Ck 15 k  2x k      2 k Ck xk  5  5        4  hệ số của x4 trong khai triển này là  2  C4  80  1  5 10  1  3x  10   k0 Ck 15  k  3x k    5    10 k   3k C10xk  k 0 3  hệ số của x 3 trong khai triển này là 33 C10  3240... này là 33 C10  3240  1  Từ  1  ,  2  suy ra hệ số của x5 trong khai triển P là 80  3240  3320 8 Ví dụ 4 [ĐHA04] Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của 1  x 2  1  x     11 THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 Giải Áp dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn ta có 8 1  x 2  1  x      8 8 k  k 8k  2   ... x2    an xn Tìm hệ số của x5 biết a0  a1  a 2  71 14 THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 C Đáp số Bài 1 6528 Bài 2 22 Bài 3 495 Bài 4 210 Bài 5 400995 Bài 6 a8 Bài 7 5 Bài 8 21 Bài 9 672 15 ... n đều thỏa mãn yêu cầu bài toán 13 THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 B Bài tập 18  1  Bài 1 [CĐAB08] Tìm số hạng không chứa x trong khai triển  2x  , với x  0 5  x  n Bài 2 [ĐHB07] Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong đa thức  2  x  , biết n 0 2 n 3n Cn  3n 1 C1  3n  2 Cn      1  Cn  2048 n n  1  Bài 3 [ĐHA03] Tìm hệ số... [ĐHA03] Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển   x5  biết rằng 3 x  8 Cn  1  Cn  3  7  n  3  n 4 n n Bài 4 [ĐHA06] Tìm hệ số của số hạng chứa x 26  1  trong khai triển   x7  , biết rằng  x4  2 C1  1  C2n 1    Cn  1  220  1 2n 2n 2 3 20 Bài 5 Tìm hệ số của x15 trong đa thức  1  x   2  1  x   3  1  x    20  1  x  Bài 6 [ĐHA08] Giả sử  1  2x n  a0...   C8 1  x  1  x      8   k 0  k 0  k Trong khai triển Pk  x 2k  1  x  lũy thừa bậc thấp nhất và bậc cao nhất lần lượt là x 2k và x 3k Do đó muốn trong khai triển Pk có chứa x8 thì 2k  8  3k  8  k  4  k   3;4 3 3   +) P3  x6  1  x   x6 1  3x  3x2  x 3  x6  3x7  3x 8  x9  hệ số của x8 trong khai triển P3 là 3 4   +) P4  x8  1  x   x8 1  4x  6x2 . 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 1 Công thức khai triển nhị thức Niu-tơn PHẦN 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Công thức khai triển nhị thức Niu-tơn   n k n k k n k n 0 a b C a b   . 2. CÁC LOẠI BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH Loại 1. Các đẳng thức suy ra trực tiếp từ công thức khai triển nhị thức Niu-tơn A. Một số ví dụ Ví dụ 1. Với n là số nguyên dương, hãy rút gọn các biểu thức. đa thức của P là tổng các hệ số của 5 x trong các khai triển   5 1 P x 1 2x   và   10 2 2 P x 1 3x   . Hệ số của 5 x trong khai triển 1 P là hệ số của 4 x trong khai triển