1 Bất phương trình logarit A. Tóm tắt lý thuyết B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Giải bất phương trình     2 2 2 log 16 log 4 11 x x   .   1 Giải   1  2 16 4 11 4 11 0 x x x          2 4 5 0 11 4 x x x           5 1 11 4 x x x                5 x  . Ví dụ 2. Giải bất phương trình     2log 1 . 5 log 5 1 x x         .   1 Giải Điều kiện: 1 0 5 0 x x         1 5 x   .   1      2 log 5 1 log 5 5 x x                 2 5 1 5 5 x x         2 1 5 x x     2 4 0 x x     1 17 2 1 17 2 x x           . Kết hợp điều kiện suy ra tập nghiệm của bất phương trình là 1 17 ;5 2          . Ví dụ 3. Giải bất phương trình   1 2 2 log log 3 1 1 x        .   1 Giải   1    2 2 log log 3 1 1 x            2 2 log log 3 1 1 x          2 0 log 3 1 2 x     1 3 1 4 x     3 3 x   1 x  . Ví dụ 4. Giải bất phương trình   2 log 5 8 3 2 x x x    .   1 Giải Điều kiện: 2 0 1 5 8 3 0 x x x            3 0; 1; 5 x          . 2   1  2 2 2 2 3 0 5 5 8 3 1 5 8 3 x x x x x x x x                           2 2 3 0 5 4 8 3 0 1 4 8 3 0 x x x x x x                           2 2 3 0 5 4 8 3 0 1 4 8 3 0 x x x x x x                           3 0 5 1 3 2 2 1 1 2 3 2 x x x x x                                          1 3 2 5 3 2 x x          . Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 1 3 3 ; ; 2 5 2               . Ví dụ 5. Giải bất phương trình   2 5 2 log 5 2 2log 2 3 0 x x      .   1 Giải Đặt   2 log 5 2 x t   , suy ra 1 t  và bất phương trình   1 trở thành 2 3 0 t t     2 3 2 0 t t     1 ( 2 ( ) loaïi) thoûa maõn t t      . Thay   2 log 5 2 x t   bất phương trình 2 t  , ta có   2 log 5 2 2 x    5 2 4 x    5 2 x   5 log 2 x  . Vậy tập nghiệm của bất phương trình là   5 log 2;  . Ví dụ 6. Giải bất phương trình 2 2 3 12 log 7 12 7 x x x x x x         .   1 Giải Điều kiện: 2 12 0 7 0 x x x          3 4 7 x x x                  ; 3 4;7 x    .   1    2 2 3 3 log 12 log 7 7 12 x x x x x x             2 2 3 3 12 log 12 7 log 7 x x x x x x          . Xét hàm   3 log f t t t   , 0 t  . Ta có   1 ' 1 0 ln3 f t t    0 t   , suy ra f đồng biến trên   0;  . Bất phương trình đã cho tương đương với 3     2 12 7fx f x x     2 12 7x x x      22 4 49 12 1xx xx      37 13 x  . Kết hợp với điều kiện suy ra tập nghiệm của bất phương trình là   37 ; 3 4; 13 x           . C. Bài tập Bài 1. Giải các bất phương trình sau 1)   3 log 2 1 x   . 2) 3 2 3 log 1 1 x x    3) 2 3 3 log log 3 0 x   . 4) 2 3 1 1 log 0 x x x    . 5)       0,5 0,5 log 2 1 log 5 2 2 0,08 x x x x     . 6)   1 1 3 3 3 1 2 log log 1 1 x x    . 7)   1 4 log 2 x x   . 8)     1 1 log 2 1 log 5 3 3 0,12 x x x x     . 9) 1 log 2004 2 x   . 10)     3 log 35 log 5 3 a a x x    . 11)     2 4 12.2 32 log 2 1 0 x x x     . 12) 2 4 2 2 1 log 2 x x x    . 13) 3 1 1 2 2 2 4 2 2 32 2 2 8 log log 9log 4log x x x x    . 14)     1 5 2 5 log 6 8 2log 4 0 x x x      15)   2 1 4 2 log log 5 0 x       . 16)   2 2 log 5 6 1 x x x    . 17) 3 2 log 5 1 x x   . 18)   3 log 3 1 1 1 x x    . Bài 2. Giải các bất phương trình sau 4 1)   2 2 2 log 1 log 2 2 0 x x x x      . 2) 2 3 2 3 2 4 log .log log log x x x x  . 3)   3 4 1 5 log 4 1 log 3 2 x x     . 4) 2 2 2 log log x x   . Bài 3. Giải các bất phương trình 1)   2 2 2 log 2 log 3 0 x x x x      . 2)         2 3 3 3 log 2 4 2 log 2 16 0 x x x x        . 5 hệ phương trình mũ và hệ phương trình logarit Giải các hệ phương trình: 1)     2 2 log 5 log l g l g 4 1 l g l g3 x y x y o x o o y o             2)     3 3 4 32 log 1 log x y y x x y x y            3) 2 5 51 10 1 5 x x y xy          4)   1 log 2 log 23 3 x x y y          5)     2 2 2 2 2 1 9 6 y x x y x y x y            6) 3 12 log 1 3 y y x x       7)   2 4 4 9 27.3 0 1 1 l g l g lg 4 4 2 xy y o x o y x           8)   5 3 .2 1152 log 2 x y x y          9)       2 2 l g 1 l g8 l g l g l g3 o x y o o x y o x y o             10)   3 3 .2 972 log 2 x y x y         11)         3 1 2log 5 5 5 3 48 2log 2 12 log log y x y x y x y x               12)       3 3 2 2 9 3 3 log log log x y x y x y      6 13)   18 log log 2 log 1 2 20 0 a a x y a x y a            14)     5 5 3 27 3log y x x y x y x y            15)     2 1 2 4 5 3 5 8 xy xy x y x y x y x y                16)     2 2 2 64 x 0 y y x x         17) 5 2 2 2 1 log log 12 1 2 5 3 x y x y y x             18)   2 7 10 1 8 x 0 y y x x y            19) 2 1 2 2 log 2log 5 0 32 x y x y xy                  20)     1 l g 3 l g 5 0 4 4 8 8 0 y xx y o x o y             21)     log 3 2 2 log 2 3 2 x y x y x y          29) 2 1 12 2 2log log 5 y x x y x y                30)   2 2 16 1 2 x 0 x y x x y            31)   2 lg 1 lg lg lg2 x y y x          32) 3 2 4 7.2 2 3 y x x y y x            7 33) 3 3 2 2 5 .2 200 5 2 689 y x y x         34)   2 2 1 l g 1,5 2 2 2 10 100 10 10 6 3 2 10 9 o x y x y x y               22)   2,5 1,5 64 y 0 x x x y y y            23)       l g l g5 l g l g l g6 l g 1 l g 6 l g l g6 o x y o o x o y o o x o y o y o                24)   2 2 log log 1 log 1 xy y y x x y x          25)     2 2 log log 1 x y x y x y x y           26)   2 6 36 4 2 log 9 x y x x y x           27)     2 2 2 2 log log 1 2 u v u v u v            28)   log log log p q vµ pq 0 p q a a a x y x x y y          35)     l g l g l g4 l g3 3 4 4 3 o x o y o o x y        36)   2 2 2 2 2 lg lg 2,5lg a 0 xy a x y a          37) 8 8 log log 4 4 4 log log 1 y x x y x y        38 )     2 2 8 2 16 2 1 0,37 1 x xy x y x xy x x y               39) 3 3 log log 3 3 2 27 log log 1 y x x y y x        8 40) 2 2 5 2 4 x y x y         41) 8 10 2 5 x x y y        42) 2 2 2 2 0,5log log 0 5 4 0 x y x y         43) log log 2 16 y x x y x y        44) log log log log log log 512 8 2 2 y y z z xz z z x y z x x z y x z y              45)   2 2 2 1 1 x x x y y            46) 9 9 2 1 x y x y x y x y          47) 2 .3 12 3 .2 18 x y x y        48)       2 2 log 3 log 2 2 9 3 2 1 1 1 xy xy x y            49) 2cot sin sin cot 9 3 9 81 2 x y y gx          50) 1 2 2 2 x y x y       51) 3 1 2 3 2 2 2 3.2 3 1 1 x y y x x xy x               52)   log 2,5 3 log .log 2 1 y x y yx x y y x         phương trình và bất phương trình mũ chứa tham số I) ứng dụng của định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai: (So sánh số với các nghiệm của phương trình bậc hai) 1) Giải và biện luận phương trình:       2 .2 5 .2 2 1 0 x x m m m        9 2) Giải và biện luận phương trình:     3 3 5 3 5 2 x x x a      3) Xác định m để phương trình sau có nghiệm:       2 2 2 1 1 2 2 2 1 .2 2 6 0 x x m m m         4) Tìm m để phương trình:     3 .16 2 1 .4 1 0 x x m m m       có hai nghiệm trái dấu 5) Cho phương trình: 1 4 .2 2 0 x x m m     a) Giải phương trình khi m = 2. b) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 sao cho x 1 + x 2 = 3 6) Giải và biện luận phương trình: a) .3 .3 8 x x m m    b)   2 .2 .2 0 x x m m m      7) Xác định m để các phương trình sau có nghiệm: a)     2 1 3 2 3 3 3 0 x x m m m       b)     4 4 2 2 2 1 0 x x m m m       8) Cho phương trình: .16 2.81 5.36 x x x m   a) Giải phương trình với m = 3 b) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất. 9) Cho phương trình:     3 2 2 3 2 2 tgx tgx m     a) Giải phương trình với m = 6. b) Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm  ; 2 2          . 10) Xác định m để bất phương trình:   .4 2 1 .2 5 0 x x m m m      nghiệm đúng với x < 0 11) Cho bất phương trình:   2 2 2 3 2 3 2 3 .9 6 16 1 4 0 x x x x x x m m          (1) a) Xác định m để mọi nghiệm của (1) thoả mãn bất phương trình 1 < x < 2 (2) b) Xác định m để mọi nghiệm của (2) đều là nghiệm của (1). 12) Xác định các giá trị của m để bất phương trình:     2 2 2 2 2 2 9 2 1 6 1 4 x x x x x x m m         0 nghiệm đúng với mọi x thoả mãn điều kiện 1 2 x  13) Cho bất phương trình:   1 1 4 2 1 0 x x m m       a) Giải bất phương trình khi m = -1. b) Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x. 14) Cho bất phương trình:   1 4 2 1 0 x x m     a) Giải bất phương trình khi m = 16 9 . b) Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x. 15) Xác định m để bất phương trình: a)   2 .4 1 2 1 0 x x m m m       nghiệm đúng với x. b) 4 .2 3 x x m m     0 có nghiệm. 10 c)   .9 2 1 6 .4 x x x m m m     0 nghiệm đúng với x  [0; 1] 16) Cho bất phương trình: 2 1 1 1 12 3 3 x x               (1) a) Giải bất phương trình (1) b) Xác định m để mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của bất phương trình: 2x 2 + (m + 2)x + 2 - 3m < 0 II) phương pháp điều kiện cần và đủ giải các bài toán mũ chứa tham số: 1) Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: 2 1 2 1 3 x m    2) Tìm m để hai phương trình sau tương đương: 2 2 1 9 3 4 0 x x     2 1 4 .2 .4 1 x x m m      3) Tìm m để hai phương trình sau tương đương: 1 4 2 4 2 2 16 x x x      2 1 9 .3 .9 1 x x m m      4) Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: 2 1 3 2 2 x m    phương trình và bất phương trình logarit chứa tham số I) ứng dụng của định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai: 1) Xác định m để phương trình sau có hai nghiệm dương:       2 3 3 .log 3 3 5 log 2 2 1 0 x x m m m        2) Xác định m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt  1 ;2 2       :       2 2 2 log log 2 2 2 6 2 1 0 x x m m x m        3) Xác định m để bất phương trình: 2 2 2 2 log log 1 x m x   nghiệm đúng với mọi x > 0. . 1 2 x  13) Cho bất phương trình:   1 1 4 2 1 0 x x m m       a) Giải bất phương trình khi m = -1. b) Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x. 14) Cho bất phương trình:   1 4. Giải phương trình với m = 3 b) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất. 9) Cho phương trình:     3 2 2 3 2 2 tgx tgx m     a) Giải phương trình với m = 6. b) Tìm m để phương trình.   1 4 2 1 0 x x m     a) Giải bất phương trình khi m = 16 9 . b) Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x. 15) Xác định m để bất phương trình: a)   2 .4 1 2 1 0 x x m m