S GD&T VNH PHC KTCL ễN THI I HC LN 2 NM HC 20132014 Mụn: TON Khi D Thi gian lm bi: 180 phỳt, khụng k thi gian phỏt I. PHN CHUNG CHO TT C TH SINH (7,0 im) Cõu 1 (2,0 im). Cho hm s ( ) ( ) 3 2 2 3 3 2 1y x m m x m m = - + - + - + , trong ú m l tham s. a) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) vi 2m = . b) Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca m sao cho th hm s (1) ct ng thng 2y = ti ba im phõn bit cú honh ln lt l 1 2 3 , ,x x x v ng thi tha món ng thc 2 2 2 1 2 3 18x x x + + = . Cõu 2 (1,0 im). Gii phng trỡnh: 2 2 4 sin cos cos 3 3 2 x x x p p + ổ ử ổ ử + + - = ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ . Cõu 3 (1,0 im). Gii h phng trỡnh: ( ) 2 2 4 , 7 3 6 x y x y x y ỡ + + - = ù ẻ ớ + + + = ù ợ Ă Cõu 4 (1,0 im). Tớnh tớch phõn: ( ) 1 2 0 2014 x I x e dx = - ũ . Cõu 5 (1,0 im). Cho hỡnh chúp .S ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thang vuụng ti A v B, , , 2 .AB a BC a AD a = = = ng thng SA vuụng gúc vi mt phng ( )ABCD , gúc gia mt phng ( ) SCD vi mt phng ( )ABCD bng 0 60 . Tớnh theo a th tớch khi chúp .S ABCD v khong cỏch t nh B n mt phng ( ) SCD . Cõu 6 (1,0 im ). Tỡm cỏc s thc dng ,x y tha món h phng trỡnh sau: 2 2 2 2 2 (4 1) 2 (2 1) 32 1 2 x x y y y x y x y ỡ + + + = + ù ớ + - + = ù ợ II. PHN RIấNG (3,0 im) Thớ sinh ch c lm mt trong hai phn (phn A hoc phn B) A. Theo chng trỡnh Chun Cõu 7.a (1,0 im). Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng thng ( ): 2 2 0d x y - + = v hai im (46), (0 4)A B - . Tỡm trờn ng thng ( )d im M sao cho vộc t AM BM + uuuur uuuur cú di nh nht. Cõu 8.a (1,0 im). Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho 4 im ( ) ( ) ( ) 1 0 1 , 1 23 , 01 2A B C - - v ( ) 1 1 1 6D m m - + . Tỡm m bn im , , ,A B C D cựng thuc mt mt phng. Cõu 9.a (1,0 im ). Ly ngu nhiờn ln lt 3 ch s khỏc nhau t 5 ch s { 0123 4} v xp thnh hng ngang t trỏi sang phi . Tớnh xỏc sut nhn c mt s t nhiờn cú 3 ch s. B. Theo chng trỡnh Nõng cao Cõu 7.b (1,0 i m ). Trong mt phng vi h ta Oxy, cho tam giỏc ABC cõn ti nh A, bit ( ) 3 3A - , hai nh B, C thuc ng thng 2 1 0x y - + = , im ( ) 3 0E nm trờn ng cao k t nh C. Tỡm ta hai nh B v C. Cõu 8. b (1,0 im ). Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai im (0 1 3), (30 3)A B - - - v mt cu (S) cú phng trỡnh : 2 2 2 2 2 2 6 0x y z x y z + + + + + - = . Vit phng trỡnh mt phng ( )P i qua hai im ,A B v mt phng ( )P ct mt cu (S) theo mt ng trũn cú bỏn kớnh l 5 Cõu 9.b (1,0 im). Gii phng trỡnh: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 3 2log 4 3 log 2 log 2 4x x x - + + - - = . Ht Thớ sinh khụng c s dng ti liu. Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm ! S GD&T VNH PHC KTCL ễN THI I HC LN 2 NM HC 20132014 Mụn: TON Khi D HNG DN CHM I. LU í CHUNG: Hng dn chm ch trỡnh by mt cỏch gii vi nhng ý c bn phi cú. Khi chm bi hc sinh lm theo cỏch khỏc nu ỳng v ý thỡ vn cho im ti a. im ton bi tớnh n 0,25 v khụng lm trũn. Vi Cõu 5 nu thớ sinh khụng v hỡnh phn no thỡ khụng cho im tng ng vi phn ú. II. P N: Cõu í Ni dung trỡnh by im 1 a Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi 2m = . 1,0 Khi 2m = hm s (1) cú dng 3 3y x x = - a) Tp xỏc nh D = Ă . b) S bin thiờn +) Chiu bin thiờn: 2 ' 3 3y x = - , ' 0 1y x = = . Hm s ng bin trờn cỏc khong ( ) 1 -Ơ - v ( ) 1 + Ơ . Hm s nghch bin trờn khong ( ) 11 - . 0.25 +) Cc tr: Hm s t cc i ti 1, 2 CD x y = - = . Hm s t cc tiu ti 1, 2 CT x y = = - . +) Gii hn: 3 3 2 2 3 3 lim lim 1 lim lim 1 x x x x y x y x x x đ-Ơ đ-Ơ đ+Ơ đ+Ơ ổ ử ổ ử = - = -Ơ = - = +Ơ ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ . 0.25 +) Bng bin thiờn: x -Ơ 1 - 1 +Ơ / y + 0 - 0 + y 2 +Ơ -Ơ 2 - 0.25 c) th: 3 0 3 0 0, 3y x x x x = - = = = . th hm s ct trc Ox ti cỏc im ( ) ( ) ( ) 00 , 30 , 30 - . '' 0 6 0 0y x x = = = ị th hm s nhn im ( ) 00 lm im un. 0.25 b Tỡm tt c cỏc giỏ tr thc ca m sao cho th hm s (1) ct ng thng 2 y = ti 4 2 2 4 10 5 5 10 1 1 2 1 2 1 0 (ỏp ỏn cú 06 trang) 1.0 bađiểmphânbiệtc ó h o à n h độl ầ n l ư ợ t là 1 2 3 , ,x x x v à đồngthờithỏamãnđẳngthức 2 2 2 1 2 3 18x x x + + = . Phương trình h o à n h độgiao điểmc ủ a đồ thị h à m số( 1 ) v à đườngthẳng2y = : ( ) ( ) 3 2 2 3 2 2 3 3 2 2 3 3 0x m m x m m x m m x m m - + - + - + = Û - + - + - = 0 . 2 5 ( ) ( ) ( ) 2 2 3 0 3 0 2 x m x m x m x m x mx m = é Û - + - + = Û ê + - + = ë Đ ồ thị h à m số (1)cắt đườngthẳng 2y = tại 3điểmphânbiệtk h i vàchỉ khi(2)có h a i n g h i ệ m phânbiệtkhácm ( ) 2 2 2 3 0 2 6 4 3 0 m m m m m m m ì + - + ¹ > é ï Û Û í ê < - D = - - + > ë ï î 0 . 2 5 G i ả sử 1 2 3 ; ,x m x x = l à 2n g h i ệ m của ( 2 ) . Khi đót h e o địnhl í V i e t ta được: 2 3 2 3 . 3 x x m x x m + = - ì í = - + î D o đó ( ) 2 2 2 2 2 1 2 3 2 3 2 3 18 2 1 8x x x m x x x x + + = Û + + - = 0 . 2 5 ( ) 2 2 2 3 2 3 18 1 2 0 4 m m m m m m m = é Û + - - + = Û + - = Û ê = - ë . So sánh v ớ i điềuk i ệ n củam ta được 3m = thỏa mãn. 0 . 2 5 2 G i ả i phươngtrình: 2 2 4 sin cos cos 3 3 2 x x x p p + æ ö æ ö + + - = ç ÷ ç ÷ è ø è ø 1.0 Ta c ó : 2 2 4 sin cos cos 3 3 2 x x x p p + æ ö æ ö + + - = ç ÷ ç ÷ è ø è ø 2 2 1 c o s 2 1 c o s 2 4 sin 3 3 2 2 2 x x x p p æ ö æ ö + + + - ç ÷ ç ÷ + è ø è ø Û + = 0 . 2 5 2 2 2 sin 2 cos 2 cos 2 0 sin 2 2cosc o s 2 0 3 3 3 x x x x x p p p æ ö æ ö Û - - + + + - = Û - - + = ç ÷ ç ÷ è ø è ø 0 . 2 5 2 sin 2 cos 2 0 2sinsin 3 0x x x x Û - - - = Û - - = 0 . 2 5 sin 1 3 sin ( ) 2 x x VN = - é ê Û ê = ë 2 2 x k p p Û = - + (kÎZ ) 0 . 2 5 3 G i ả i h ệ phươngtrình: 2 2 4 7 3 6 x y x y ì + + - = ï í + + + = ï î 1,0 Đ i ề u kiện: 2 2 x y ³ - ì í ³ î . Ta c ó : 2 2 4 7 2 3 2 1 0 7 3 6 7 2 3 2 2 x y x x y y x y x x y y ì ì + + - = + + + + + + - = ï ï Û í í + + + = + - + + + - - = ï ï î î 0 . 2 5 Đ ặ t 7 2u x x = + + + v à ( ) 3 2 ; 0v y y u v = + + - > ,ta đượch ệ 1 0 5 5 2 u v u v + = ì ï í + = ï î 10 5 25 5 u v u uv v + = = ì ì Û Û í í = = î î 0 . 2 5 K h i đóta c ó h ệ ( ) ( ) 7 2 5 1 3 2 5 2 x x y y ì + + + = ï í + + - = ï î 0 . 2 5 G i ả i pt( 1 ) ta được:x = 2 G i ả i pt(2)ta được:y = 6.Khi đ ó 7 2 5 2 6 3 2 5 x x x y y y ì + + + = = ì ï Û í í = + + - = î ï î V ậ y n g h i ệ m củah ệ phươngtrình là: (x;y ) = ( 2 ; 6) 0 . 2 5 4 Tính tích phân: ( ) 1 2 0 2014 x I x e dx = - ò 1,0 Đ ặ t 2 2 2014 1 2 x x d u dx u x v e d v e d x = ì = - ì ï Þ í í = = î ï î 0 . 2 5 ( ) 1 2 2 0 1 1 1 2014 02 2 x x I x e e dx Þ = - - ò 0 . 2 5 2 2 1 2 0 1 3 1 1007 0 2 4 x e e = - + - 0 . 2 5 2 4 0 2 9 4 0 2 7 4 e - = 0 . 2 5 5 C h o h ì n h chóp .S ABCDcó đáyABCD là h ì n h thang v u ô n g ở A v à B, ( ) , , 2 ,AB a BC a AD a SA ABCD = = = ^ , g ó c g i ữ a m ặ t phẳng ( ) SCD v ớ i mặtđáy bằng 0 60. Tính theoathể tích k h ố i c h ó p .S ABCDv à k h o ả n g cách từ đỉnhBđếnmặt phẳng ( ) SCD . 1,0 G ọ i O là trung điểmADta c ó ABCOl à h ì n h v u ô n g n ê n · 0 90 2 AD CO ACD = Þ = 0 . 2 5 D ễ thấy: ( ) CD SAC CDSC ^ Þ ^ , dođó g ó c g i ữ a (SCD)v à m ặ t đáylàgóc · SCA · 3 0 . 1 6 6 0 6 . . 3 2 2 S A B C D A D BC a S C A SA a V A B SA + Þ = Þ = Þ = = 0 . 2 5 Trong ( ) mpSAC k ẻ ( ) ( ) ( ) ,AH SC AH SCD AH d A SCD ^ Þ ^ Þ = . Trong tam giácv u ô n g SACta có: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 3 A S 2 a 6 2 A H a AH A C a = + = + Þ = 0 . 2 5 V ì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 6 / / , , , 2 4 2 2 a a B O SCD d B SCD d O SCD d A S C D Þ = = = = 0 . 2 5 6 Tìm ,x y dươngt h ỏ a mãnhệphươngtrình s a u : 2 2 2 2 2 (41 ) 2 (21 ) 3 2 1 2 x x y y y x y x y ì + + + = + ï í + - + = ï î 1,0 O A D B C S H 2 2 2 2 2 (41 ) 2 y (21 ) 3 2 ( 1 ) 1 (2) 2 x x y y x y x y ì + + + = + ï í + - + = ï î (2) 2 2 1 1 ( ) ( ) 1 2 2 x y Û - + + = . Đặt 2 2 1 1 , 1 2 2 x a y b a b - = + = Þ + = 1 1 a b ì £ ï Þ í £ ï î 0 . 2 5 (1) 3 2 3 2 8 1 4 8 4 4 30a a a b b Û + + + - = 2 2 (4a11 15)( 1 ) 2 ( 1 ) 0a a b b Û + + - + - = ( 3 ) V ì : 2 4 1 1 1 5 0 1 0 a a a ì + + > í - £ î ( d o 1a £ ) 2 (4a11 15)( 1 ) 0a a Þ + + - £ và: 2 2 ( 1 ) 0b b - £ ( do 1b £ ) 0 . 2 5 Þ (3) 0 1 1 0 1 b a b b a ì = é = ì ï ê Û Û = í í ë = î ï = î (vì 2 2 1a b + = ) 0 . 2 5 +Với 1 3 1 1 2 2 0 1 1 0 2 2 x x a b y y ì ì ì - = = ïïï = ïïï ïïï Û Û í í í = ï ï ï + = = - ï ï ï î î î (t h ỏ a mãn) Kết luận : Hệphươngtrình có nghiệm 3 1 ( ; ) ( ; ) 2 2 x y = 0 . 2 5 7.a Trongmặtphẳng với hệtọa độOxy,chođườngthẳng ( ) : 2 2 0d x y - + = và hai điểm (4;6),B(0;4 )A - .Tìmtrên đường t h ẳ n g ( )d điểmM saocho véc tơ AM BM + u u u u r u u u u r cóđộ dàinhỏ nhất. 1,0 0 0 ( ;22)( )M x x d + Î 0 0 ( 4 ; 2 4)AM x x Þ - - u u u u r , 0 0 (x;26)BM x + u u u u r . 0 . 2 5 0 0 (24 ; 4 2)AM BM x x Þ + = - + u u u u r u u u u r . 0 . 2 5 2 0 20 20 2 5AM BM x + = + ³ u u u u r u u u u r 0 . 2 5 AM BM + u u u u r u u u u r nhỏnhất 0 0x Û = (0;2)M Û 0 . 2 5 8.a Trong khôngg i a n v ớ i h ệ tọa độOxyz, cho 4điểm ( ) ( ) ( ) 1 ; 0 ; 1 , 1 ; 2 ; 3 , 0 ; 1 ; 2A B C - - v à ( ) 1 ; 1 ; 1 6D m m - + . Tìm m đểbốnđiểm , , ,A B C D cùng thuộc m ộ t mặtphẳng. 1.0 Ta c ó ( ) ( ) 0 ; 2 ; 4 , 1 ; 1 ; 3A B A C = - = - u u u r u u u r 0 . 2 5 Suy ra ( ) , 1 0 ; 4 ; 2n AB AC é ù = = - - - ë û r u u u r u u u r . C h ọ n ( ) 1 5 ; 2 ; 1n u r l à m vectơ pháptuyến củamặtphẳng( A B C ) 0 . 2 5 ( ) :5 2 4 0mpABC x y z Þ + + - = . Để A, B , C , D đ ồ n g phẳngthì ( ) D ABC Î 0 . 2 5 ( ) ( ) 5.1 2. 1 1 6 4 0 4 4 0 1m m m m Û + - + + - = Û + = Û = - 0 . 2 5 9.a Lấyngẫunhiênlần l ư ợ t 3chữ s ố k h á c nhau t ừ 5chữs ố } { 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 xếp t h à n h hàngngangtừ trái s a n g phải .Tínhxács u ấ t để nhận đượcmột sốtự nhiên có3 chữ s ố . 1,0 { } 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4X = +Số cách lấy 3chữ s ố khác nhaubấtkỳtừ X và xếp chúng thành hàngngangtừ trái sangphải : 3 A 5 60= (cách). Không gian mẫu: 60 W = 0 . 2 5 +Gọi A là biếnc ố : “ Nhận được 1s ố t ự nhiên có 3 chữ s ố k h á c nhau” Giả sửs ố có 3chữ s ố khác nhau được tạot h à n h là: abc( 0)a ¹ . 0a ¹ nên a có4 cách c h ọ n b có4cáchchọn c có 3cáchchọn 0 . 2 5 3.4.448 A Þ W = = 0 . 2 5 V ậ y xác suấtcầntính là: 4 8 4 ( ) 60 5 A P A W = = = W 0 . 2 5 7.b Trong mặtphẳngv ớ i h ệ tọa độOxy, c h o tamgiác ABC cân tạiđỉnhA,biết ( ) 3 ; 3A - , h a i đỉnhB, C thuộcđườngthẳng 2 1 0x y - + = , điểm ( ) 3 ; 0E nằmtrên đườngc a o k ẻ từ đỉnhC .Tìmt ọ a độ h a i đỉnhBv à C. 1,0 G ọ i Ilà trungđiểmBC,do ( ) 2 1 ;I BC I m m Î Þ - , màA(3;3) ( ) 2 4 ; 3A I m m Þ = - + u u r D o BC AI u ^ u u r r , mà ( ) 2 ; 1 BC u r ( ) ( ) ( ) 2 2 4 3 0 1 1 ; 1m m m I Þ - + + = Û = Þ 0 . 2 5 ( ) 2 1 ; , .B BC B b b b Î Þ - Î ¡ . D o C đ ố i xứng v ớ i B quaI , s u y ra ( ) 3 2 ;2C b b - - , ( ) ( ) 2 4 ; 3 , 2 ; 2AB b b CE b b = - + = - u u u r u u u r . 0 . 2 5 Do A B CE ^ u u u r u u u r n ê n tađược: ( ) ( ) ( ) 3 2 2 4 2 3 0 2; 5 b b b b b b - + - + = Û = = - 0 . 2 5 V ớ i ( ) ( ) 2 3 ; 2 , 1 ; 0b B C = Þ - . V ớ i 3 11 3 2113 ; , ; 5 5 5 5 5 b B C æ ö æ ö = - Þ - - ç ÷ ç ÷ è ø è ø . 0 . 2 5 8.b Trongk h ô n g gian với hệt ọ a độ Oxyz, c h o haiđiểm (0;1 ; 3 ) , ( 3 ; 0 ; 3 )A B - - - vàmặt cầu ( S)có phươngtrình : 2 2 2 2 2 2 6 0x y z x y z + + + + + - = .Viết phươngtrình mặtphẳng ( )P điqua haiđiểm,A B vàmặtphẳng( )P cắt mặtcầu( S)t h e o một đường tròn có bánkính là 5 . 1,0 Mặtcầu ( )S có tâm ( 1 ; 1 ; 1 )I - - - ,bánkính 3R = . Giả sử( P ) cóvéc t ơ pháp t u y ế n ( ; ; )n a b c r , 2 2 2 ( 0)a b c + + > . mp(P) điquaA nênphươngtrình mặtphẳng ( P ) là: ( 0 ) ( 1 ) ( 3 ) 0a x b y c z - + + + + = 3 0ax by c z b c Û + + + + = ( ):33 3 0 3B P a c b c b a Î - + + = Û = - 0 . 2 5 2 2 ( ,()) 3 ( 5)2d I P = - = 2 2 2 3 2 a b c b c a b c - - - + + Þ = + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 10a c a b c a c a c Û - + = + + Û - + = + 2 0 3 9 4 0 4 3 9 a a a c c a = é ê Û + = Û ê = - ë 0 . 2 5 Với 0a = thì 0b = .Tacó phươngtrình ( ) : 3 0P z + = 0 . 2 5 V ớ i 4 . 39 a c = - Chọn 39c = t h ì 4a = - 12b = . Tađượcphươngtrình( ) : 4 1 2 3 9 129 0P x y z - - - = 0 . 2 5 9.b G i ả i phươngtrình: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 3 2log4 3 l o g 2 log 2 4x x x - + + - - = . 1,0 Điều k i ệ n : ( ) ( ) ( ) ( ] ( ) 2 2 2 3 2 4 0 2 0 ; 3 2 ; l o g 2 0 2 0 x x x x x ì - > ï + > ïïï Û Î -¥ - È +¥ í + ³ ï ï - > ï î (*) 0 . 2 5 B i ế n đổiptđãcho ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 3 3 3 2 4 log 3 l o g 2 4 0 l o g 2 3 log 2 4 0 2 x x x x x - + + - = Û + + + - = - ( 3 ) 0 . 2 5 Đ ặ t ( ) ( ) 2 3 log 2 0t x t = + ³ thì pt( 3 ) trở thành ( ) 2 1 3 4 0 4 t t t t loai = é + - = Û ê = - ë ( ) ( ) 2 2 3 2 3 ( ) 1 l o g 2 1 2 3 2 3 x loai t x x x é = - + = Û + = Û + = Û ê = - - ê ë 0 . 2 5 V ậ y n g h i ệ m củaphươngtrình l à 2 3x = - - . 0 . 2 5 H ế t           . î 1,0 O A D B C S H 2 2 2 2 2 (41 ) 2 y (21 ) 3 2 ( 1 ) 1 (2) 2 x x y y x y x y ì + + + = + ï í + - + = ï î (2) 2 2 1 1 ( ) ( ) 1 2 2 x y Û - + + = . Đặt 2 2 1 1 , 1 2 2 x a y b a b - =. c b a Î - + + = Û = - 0 . 2 5 2 2 ( ,()) 3 ( 5)2d I P = - = 2 2 2 3 2 a b c b c a b c - - - + + Þ = + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 10a c a b c a c a c Û - + = + + Û - + = + 2 0 3 9 4 0 4 3 9 a a a c c a. í V i e t ta được: 2 3 2 3 . 3 x x m x x m + = - ì í = - + î D o đó ( ) 2 2 2 2 2 1 2 3 2 3 2 3 18 2 1 8x x x m x x x x + + = Û + + - = 0 . 2 5 ( ) 2 2 2 3 2 3 18 1 2 0 4 m m m m m m m