Chuyên đề: Rút gọn biểu thức (Dùng Cho dạy và học ôn thi vào THPT) Các kiến thức cần nhớ 1) Những hằng đẳng thức đáng nhớ: (A+B) 2 = A 2 +2AB+B 2 (A-B) 2 = A 2 -2AB+B 2 A 2 -B 2 = (A-B)(A+B) (A+B) 3 =A 3 +3A 2 B+3AB 2 +B 3 (A-B) 3 =A 3 -3A 2 B+3AB 2 -B 3 A 3 +B 3 =(A+B)(A 2 -AB+B 2 ) A 3 -B 3 =(A-B)(A 2 +AB+B 2 ) 2) Các công thức biến đổi căn thức: 2 A A= .A B A B= (Với A0; B0) A A B B = (Với A0; B>0) 2 A B A B= (Với B0) 2 A B A B= (Với A0; B0) 2 A B A B= - (Với A<0; B0) 1A A B B B = (Với A.B0; B0) A A B B B = (Với B>0) 2 ( )C A B C A B A B = - m (Với A0; A 2 B) ( )C A B C A B A B = - m (Với A0; B0 và AB) 1 Bài tập Bài 1 Cho biểu thức: 1 1 1 1 a a a a A a a ổ ửổ ử + - ữ ữ ỗ ỗ = + - ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ố ứố ứ + - a) Tìm các giá trị của a để A có nghĩa b) Rút gọn A c) Tìm a để A=-5; A=0; A=6 d) Tìm a để A 3 = A e) Với giá trị nào của a thì A A= Bài 2: Cho biểu thức: 1 1 2 2 2 2 1 x Q x x x = + + - + - a/ Tìm điều kiện để Q có nghĩa b/ Rút gọn Q c/ Tính giá trị của Q khi 4 9 x = d/ Tìm x để 1 2 Q = - e/ Tìm những giá trị nguyên của x để giá trị của Q nguyên. Bài 3 Cho biểu thức: 2 1 1 x x P x x x - = - - - a) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa b) Rút gọn P c) Tìm x để P>0 d) Tìm x để P P= e) Giải phơng trình 2P x= - f) Tìm giá trị x nguyên để giá trị của P nguyên Bài 4 Cho biểu thức: 1 1 1 4 1 1 a a A a a a a a ổ ửổ ử + + ữ ữ ỗ ỗ = - + - ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ố ứố ứ - - a) Tìm điều kiện để A có nghĩa 2 b) Tính giá trị của A khi 5 2 6 5 2 6 5 2 6 5 2 6 a + - = + - + c) Tìm các giá trị của a để A A> d) Tìm a để A=4; A=-16 e) Giải phơng trình: A=a 2 +3 Bài 5 Cho biểu thức: 1 2 2 1 1 a a a a a M a a a ổ ửổ ử - + ữ ữ ỗ ỗ = - - ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ố ứố ứ + - với a>0; a1 a) Rút gọn M b) Tìm giá trị của a để M=-4 c) Tính giá trị của M khi 6 2 5 6 2 5a = - + + d) Chứng minh rằng M0 với a>0; a1 Bài 6 Cho biểu thức: ( ) 2 1 1 1 : 1 1 1 a a a a K a a a a a ộ ự ổ ửổ ử - + ữ ữ ỗ ỗ ờ ỳ = - + - + ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ờ ỳ ố ứố ứ - + ở ỷ với a>0; a1 a) Rút gọn K b) Tính giá trị của K khi a=9 c) Với giá trị nào của a thì K K= d) Tìm a để K=1 e) Tím các giá trị tự nhiên của a để giá trị của K là số tự nhiên Bài 7 Cho biểu thức: 3 1 1 1 x x x Q x x x - = + + - + - với x0; x1 a/ Rút gọn Q b/ Chứng minh rằng Q<0 với x 0; x1 c/ Tính giá trị của Q khi 20001 19999 20001 19999 20001 19999 20001 19999 x - + = + + - Bài 8 Cho biểu thức: 9 3 1 1 : 3 9 3 x x x T x x x x x ổ ử ổ ử + + ữ ữ ỗ ỗ = + - ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ + - - với x>0; x9 a/ Rút gọn T 3 b/ Tinh giá trị của T khi 7 5 7 5 7 5 7 5 x + - = + - + c/ Tìm x để T=2 d/ Với giá trị nào của x thì T<0 e/ Tìm x Z để T Z Bài 9 Cho biểu thức: 15 11 3 2 2 3 2 3 1 3 x x x L x x x x - - + = - - + - - + với x0; x1 a) Rút gọn L b) Tính giá trị của L khi 2 3 2 3 2 3 2 3 x + - = + - + c) Tìm giá trị lớn nhất của L Bài 10 Cho biểu thức: 1 3 6 2 3 5 6 x A x x x x + = + - - - - + a) Tìm điều kiện để A có nghĩa b) Rút gọn A c) Tìm x để A=1; A=-2 d) Tìm x để A A= e) Tìm x Z để T Z f) Tìm giá trị lớn nhất của A Bài 11: Cho 2 3 6 2 3 6 2 3 6 x y xy K xy x y xy x y + = + + + + a) Rút gọn K b) CMR: Nếu 81 81 y K y + = thì y x là số nguyên chia hết cho 3 c) Tìm số nguyên x để K là số nguyên lớn hơn 5 Bài 12:Cho biểu thức 3 2 1 1 : 1 ( 2)( 1) 1 1 a a a a P a a a a a + + + = + ữ + + 1/Rút gọn biểu thức P. 2/Tìm a để 1 1 1 8 a P + 4 Bài 13: Cho a b a b N ab b ab a ab + = + + a) Rút gọn N b) Tính N khi 4 2 3; 4 2 3a b = + = c) CMR: Nếu 1 5 a a b b + = + thì N có giá trị không đổi Bài 14:Cho biểu thức 2 2 (2 3)( 1) 4(2 3) ( 1) ( 3) x x x A x x = + a) Rút gọn A b) Tìm x để A = 3 Bài 15:Cho 3 1 1 1 1 1 x x A x x x x x = + + + a) Rút gọn rồi tính số trị của A khi x = 53 9 2 7 b) Tìm x để A > 0 Bài 16: Cho biểu thức A = 2 3 1 2 2 x x x x x + a/ Rút gon A b/ Tính giá trị của A khi x = 841 Bài 17: Cho 2 9 3 2 1 5 6 2 3 x x x P x x x x + + = + d) Rút gọn P e) Tìm x để P < 1 f) Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên Bài 18: Cho 1 2 1 : 1 1 1 x x K x x x x x x = + ữ ữ ữ ữ + + a) Rút gọn K b) Tính giá trị của K khi 4 2 3x = + c) Tìm giá trị của x để K >1 Bài 19: Cho biểu thức 2 2 1 1 1 . 1 1 1 x K x x x x = ữ + + a) Tìm điều kiện của x để biểu thức K xác định. b) Rút gọn biểu thức K và tìm giá trị của x để K đạt giá trị lớn nhất Bài 20: Cho biểu thức: A = a aab a b 2 . 1/. Tìm điều kiện đối với ba , để biểu thức A đợc xác định. 2/. Rút gọn biểu thức A. Bài 21: Cho biểu thức 2 2 1 1 4 1 2003 . 1 1 1 x x x x x K x x x x + + = + ữ + 5 a) Tìm điều kiện đối với x để K xác định b) Rút gọn K c) Với những giá trị nguyên nào của x thì biểu thức K có giá trị nguyên? Bài 22:Cho 2 3 3 2 2 : 1 9 3 3 3 x x x x P x x x x + = + ữ ữ ữ ữ + a) Rút gọn P b) Tìm x để P < -1/2 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P Bài 23: Cho biểu thức 3 2 2( 1) 10 3 1 1 1 x x x M x x x x + + = + + + + 1. Với giá trị nào cỉu x thì biểu thức có nghĩa 2. Rút gọn biểu thức 3. Tìm x để biểu thức có giá trị lớn nhất Bài 24: Cho biêủ thức A = a(2 a 1) a 4 a 2 A 8 2 a a a 2 4 a + + + = + + + 1) Rút gọn A 2) Tìm a để A nhận giá trị nguyên Bài 25: Cho biểu thức: 2 3 3 1 1 1 x x x x x x A x x x x x + + = ì ữ ữ + + . a) Tìm điều kiện đối với biến x để biểu thức A đợc xác định. b) Rút gọn biểu thức A. Bài 26: Cho biểu thức: 2 10 2 1 6 3 2 x x x Q x x x x + = Với x 0 và x 1 1) Rút gọn biểu thức Q 2) Tìm giá trị của x để 1 3 Q = Bài 27: Cho biểu thức : P = ( ) 3 1 4 4 a > 0 ; a 4 4 2 2 a a a a a a + + + a) Rút gọn P . b) Tính giá trị của P với a = 9 . Bài 28: Cho biểu thức A = 3 1 1 1 8 : 1 1 1 1 1 m m m m m m m m m m + ữ ữ ữ ữ + a) Rút gọn A. b) So sánh A với 1 Bài 29: Cho biểu thức + + = + + ữ ữ ữ ữ + + 3 1 2 : 2 2 2 2 1 1 x x x x P x x x x x x a) Rút gọn P 6 b) Chứng minh rằng P > 1 c) Tính giá trị của P, biết 2 3x x+ = d) Tìm các giá trị của x để : ( ) ( )( ) 4222522 +=++ xxpx Bài 30: Cho biểu thức + = ữ ữ ữ + + x 2 x 4 x P x : 1 x x 1 x 1 a/ Rút gọn P b/ Tìm x để P < 1 ; c/ Tìm x để đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 31: Cho biểu thức : A = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a a a a a a a + + + + + + + + 1) Rút gọn biểu thức A . 2) Chứng minh rằng biểu thức A luôn dơng với mọi a Bài 32: Cho M = 6 3 a a a + + a) Rút gọn M. b) Tìm a để / M / 1 c) Tìm giá trị lớn nhất của M. Bài 33: Cho biểu thức C = 3 3 4 5 4 2 : 9 3 3 3 3 x x x x x x x x x x + + ữ ữ ữ ữ + a) Rút gọn C b) Tìm giá trị của C để / C / > - C c) Tìm giá trị của C để C 2 = 40C. Bài 34: Cho biểu thức A = 2 1 2 1 1 1 2 1 x x x x x x x x x x x x + + + ữ ữ a) Rút gọn A. b) Tìm x để A = 6 6 5 c) Chứng tỏ A 2 3 là bất đẳng thức sai 7 Bài 35: Cho biểu thức 4 1 3 : 1 2 3 3 2 x x x x P x x x x + = + ữ ữ ữ ữ a/ Rút gọn P b/ Tìm x để P < 0 ; c/ Tìm x để P < 1 Bài 36: Cho biểu thức 1 2 2 1 2 : 1 1 1 1 x P x x x x x x x = ữ ữ ữ + + a/ Rút gọn P b/ Tìm x để P < 1 ; c/ Tìm x để P đạt giá trị nhỏ nhất Bài 37: Cho biểu thức 2 3 2 : 2 5 6 2 3 1 x x x x P x x x x x + + + = ữ ữ ữ ữ + + a/ Rút gọn P b/ Tìm x để 2 5 1 P Bài 38: Cho biểu thức : A = 1 1 2 : 2 a a a a a a a a a a + + ữ ữ + a) Với những giá trị nào của a thì A xác định . b) Rút gọn biểu thức A . c) Với những giá trị nguyên nào của a thì A có giá trị nguyên Bài 39: Cho biểu thức M = 25 25 5 2 1 : 25 3 10 2 5 a a a a a a a a a a + ữ ữ ữ ữ + + a) Rút gọn M b) Tìm giá trị của a để M < 1 c) Tìm giá trị lớn nhất của M. Bài 40: Cho biểu thức P = 2 1 . 1 1 2 1 2 1 x x x x x x x x x x x x x x + + + ữ ữ + a) Rút gọn P 8 b) Tìm giá trị lớn nhất của A = 5 3 . x P x x + c) Tìm các giá trị của m để mọi x > 2 ta có: ( ) ( ) . 1 3 1P x x m x x+ + > + Bài 41: Cho biểu thức 4 3 2 4 : 2 2 2 x x x x P x x x x x + = + ữ ữ ữ ữ a) Rút gọn P b) Tìm các giá trị của x để P > 0 c) Tính giá trị nhỏ nhất của P d) Tìm giá trị của m để có giá trị x > 1 thoả mãn: ( ) 4123 = xmpxm Bài 26: Cho biểu thức ( ) + = + ữ ữ ữ ữ + + 2 1 1 1 : . 1 1 1 x x x x x x P x x x x x a) Rút gọn P b) Xác định giá trị của x để (x + 1)P = x -1 c) Biết Q = 1 3x P x + Tìm x để Q max. Bài 43: Cho biểu thức : 1 1 1 1 1 A= : 1- x 1 1 1 1x x x x + + ữ ữ + + a) Rút gọn biểu thức A . b) Tính giá trị của A khi x = 7 4 3+ c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất Bài 44: Cho 1 1 2 : 1 1 1 x x P x x x x x x + + = + + ữ ữ + + (Với 0; 1x x ) a/ Rút gọn P b/ Tìm x để P = 7 Bài 45: Cho biểu thức: + + + + + = 1 x1 1 x 2x 2x 1x 2xx 3)x3(x P 9 a/ Rút gọn P b/ Tìm các giá trị x nguyên để P nguyên ; c/ Tìm các giá trị của x để xP = Bài 46: Cho biểu thức P = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 3 2 1 2 1 1 3 1 a a a a a a a + + a) Rút gọn P. b) So sánh P với biểu thức Q = 2 1 1 a a Bài 47: Cho biểu thức 2 2 2 2 1 : xy x xy y xy xy P x y x xy y xy + = + + ữ ữ ữ ữ + + + a) Rút gọn P b) Tìm m để phơng trình P = m 1 có nghiệm x, y thoả mãn 6x y+ = Bài 48: Cho biểu thức: 1x 2x 2x 3x 2xx 3)x3(x P + + + + + = a/ Rút gọn P b/ Tìm x để 4 15 P < Bài 49: Cho biểu thức : 2 2 2 1 2 1 .) 1 1 1 1 ( x x xx A + + = 1) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa . 2) Rút gọn biểu thức A . 3) Giải phơng trình theo x khi A = -2 . Bài 50: Cho biểu thức : 2 1 2 : 1 1 1 x x x A x x x x x + + = ữ ữ ữ ữ + + a) Rút gọn biểu thức . b) Tính giá trị của A khi 324 +=x 10 [...]... x 4 3 x +2 : Bài 51: Cho biểu thức: P = x2 x 2 x x x x 2 a/ Rút gọn P ; b/ Tìm x để P = 3x - 3 x c/ Tìm các giá trị của a để có x thoả mãn : P( x + 1) > x +a Dạng : Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến: a) A = a b+b a 1 : - (a a - b b) ab a- b x y - y x ( x + y )2 - 4 xy b) B = xy x- . định. b) Rút gọn biểu thức K và tìm giá trị của x để K đạt giá trị lớn nhất Bài 20: Cho biểu thức: A = a aab a b 2 . 1/. Tìm điều kiện đối với ba , để biểu thức A đợc xác định. 2/. Rút gọn biểu. để biểu thức A có nghĩa . 2) Rút gọn biểu thức A . 3) Giải phơng trình theo x khi A = -2 . Bài 50: Cho biểu thức : 2 1 2 : 1 1 1 x x x A x x x x x + + = ữ ữ ữ ữ + + a) Rút gọn biểu. 25: Cho biểu thức: 2 3 3 1 1 1 x x x x x x A x x x x x + + = ì ữ ữ + + . a) Tìm điều kiện đối với biến x để biểu thức A đợc xác định. b) Rút gọn biểu thức A. Bài 26: Cho biểu thức: