BÀI TẬP CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY BÀI 1 (Trang 148) CM: Xét tứ giác A 1 A 2 A 4 A 5 có A 1 A 2 //= A 4 A 5 (gt) ⇒A 1 A 2 A 4 A 5 là hình bình hành. Gọi 0 là giao của A 1 A 4 với A 2 A 5 Ta có 0A 1 =OA 4 (1) Xét tứ giác A 1 A 3 A 4 A 6 có: A 1 A 6 //=A 3 A 4 (gt) ⇒A 1 A 3 A 4 A 6 là hình bình hành. Gọi 0 ’ là giao của A 1 A 4 với A 3 A 6 Ta có 0 ’ A 1 = 0 ’ A 4 (2) Từ 1 và 2 suy ra 0≡ 0 ’ hay A 1 A 4, A 2 A 5 , A 3 A 6 đồng quy B ÀI 2 (Trang 148) Cho tứ giác ABCD có AB không song song với CD; AD không song song với BC. M,I,N,K,H,G lân lượt là trung điểm của AD, DC, CB, BA, DB, AC. Chứng minh rằng MN, ỊK, HG đông quy. H G N M I K A D B C CM : lục giác A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 , A 1 A 2//= A 4 A 5 ; A 2 A 3//= A 5 A 6 ; A 3 A 4//= A 6 A 1. A 1 A 4, A 2 A 5 , A 3 A 6 đồng quy gt kl O A1 A2 A5 A4 A3 A6 Vì M, I lần lượt là trung điểm của AD và DC ⇒ MI là đường trung bình của tam giác ADC ⇒ MI //=1/2 AC (1) Vì N, K lần lượt là trung điểm của BC và AB ⇒NK là đường trung bình của tam giác ABC ⇒ NK //=1/2 AC (2) Từ 1 và 2 suy ra MI //= NK. Suy ra tứ giác MINK là hình bình hành.Gọi 0 làgiao điểm của MN và NK. Ta có 0M=0N ( *) Chứng mịnh tương tự ta có : NG là đường trung bình của tam giác CHB suy ra NG//= ½ AB (3) MH là đường trung bình của tam giác ABD suy ra MH //= ½ AB (4) Từ 3 và 4 suy ra MH //= NG. Suy ra tứ giác GNKM là hình bình hành. Gọi 0 ’ giao của MN và GH .Ta có 0 ’ M= 0 ’ N (**) Từ ( *) và (**) suy ra 0≡ 0 ’ hay MN, ỊK, HG đông quy . BÀI 3 (Trang 148) Cho tam giác ABC, ở miên ngoài tam giác ABC dựng hai hình vuông ABEF và ACGH, kẻ đường cao AD của tam giác ABC. Chứng minh rằng AD, EC, BG đồng quy. Q G A B C H F E I D Chứng minh : Kẻ hình bình hành AFIH . Xét tam giác AIE và tam giác ABC có : AB= AF (gt) Góc BAC=AFI (cùng +FAH=180 O ) AC=AH=FI (tứ giác ACGH là hình vuông) ctam giác AIF=tam giác ABC (c.g.c) ⇒AI=BC và góc FAI= góc ABC (1) Mặt khác AD là đường cao của tam giác ABC ⇒ góc ABD+BAD= 90 0 (2) Từ (1) và (2) ⇒ góc FAI= BAD=90 0 ⇒ A, I, D thẳng hàng . Xét hai tam giác AID và tam giác BGC có AI= BC (CMT) Góc IAH=ACB (+DAC = 90 0 )⇒ góc IAC=BCG( =IAH+90 0 =ACB+90 0 ) AC=CG(gt) ⇒∆AIC =∆CBG (c.g.c) ⇒ góc GBC=AIC gọi Q =IC ∩ BG Xét ∆BQC có :QBC +QCB=90 0 ⇒ ∆BQC là tam giác vuông tại Q nên ta có BQ vuông góc với IC (3) Tương tự xét ∆ IAB và ∆ EBC ta có góc ECB= BID gọi P =EC ∩ IB ⇒ IBC+PCB=90 0 ⇒EC vuông góc với BI (4) Từ (3) và (4) ⇒ BQ, CP là hai đường cao của tam giác AIC Suy ra A, I, D thẳng hàng ⇒ID là đường cao của tam giác AIC⇒ID, CP, BQ đ ồng quy hay CE, AD, BG đ ồng quy BÀI 4 ( trang 148) Cho hai đường thẳng a và b. Trên a lấy các điểm A, B, C thoả mãn OA=AB=BC, trên b lấy các điểm L, M, N thoả mãn LO=OM=ML. Chứng minh rằng LA,BN, CM đồng quy,. a b O A B C L M N CM Vì OL=OM (gt) ⇒CO là trung tuyến của tam giác COL Mặt khác OA= 1/3 OC ⇒A là trọng tâm tam giác LCM ⇒ LA, MA là hai đường trung tuyến của tam giác CML Gọi I = MC ∩ LA Vì OA=AB và OM=MN (gt) ⇒ AM //=1/2 BN (1) Mặt khác LA là đường trung tuyến của tam giác CMN ⇒ta có AB=BC (gt) và IC=IM (CMT). ⇒AB// BI (2) Từ (1) và (2) ⇒ I∈ BN ⇒LA, BN, CM đồng quy, BÀI 5 (Trang 148) Cho hình vuông A 1 A 2 A 3 A 4 , lấy một điểm P bất kì thuộc miền trong của hình vuông kẻ A 1 M vuông góc với A 2 P kẻ A 2 I vuông góc với A 3 P, kẻ A 3 K vuông góc với A 4 P, k ẻ A 4 N vu ông g óc v ới A 1 P. Ch ứng minh r ằng A 1 M, A 2 I, A 3 K, A 4 N đồng quy. I K A2 A3 A4 P A1 N N M CM: giả sử A 1 M vuông góc với A 2 P tại M, A 2 I vuông góc với A 3 P tại I, A 1 M cắt A 2 I tại L Ta có tứ giác MPIL là tứ giác nội tiếp ( =M ˆ N ˆ =90 0 ) M L ˆ I= M P ˆ I=180 0 Tam giác A 1 LA 2 và tam giác PA 2 A 3 có A 2 A 3 =A 1 A 2 (2 cạnh góc vuông ) M IL ˆ =A 1 L ˆ A 2 =A 2 P ˆ A 3 (+I P ˆ M =180 0 ) L A ˆ 2 A 1 =P A ˆ 3 A 2 (+I A ˆ 2 A 3 =90 0 ) ⇒L A ˆ 2 A 1 =P A ˆ 2 A 3 ⇒∆LA 2 A 1 =∆ PA 2 A 3 (c.g.c) ⇒LA 2 =PA 3 Xét hai tam giác LA 2 A 3 và tam giác PA 3 A 4 có LA 2 = PA 3 (CMT) L A ˆ 2 A 3 =P A ˆ 3 A 4 (CMT) A 2 A 3 = A 3 A 4 (2 cạnh góc vuông) ⇒∆LA 2 A 3 = ∆PA 3 A 4 (c.g.c) ⇒A 3 L ˆ A 2 = A 4 P ˆ A 3 ⇒ K L ˆ I= K P ˆ I ⇒ tứ giác KLPI nội tiếp ⇒ P I ˆ L= P K ˆ L=90 0 ⇒A 4 P= A 3 L Chứng minh tương tự ta có A 4 L vuông góc với A 1 P ⇒ A 1 M, A 2 I, A 3 K, A 4 N đồng quy t ại L B ÀI 6 (trang 149) Cho tam giác ABC vẽ về phía ngoài 3 tam giác đều ABC 1 , AB 1 C, A 1 BC 1 . Chứng minh rằng AA 1 , BB 1 , CC 1 đồng quy. CM: 0 A B C C' B' A' +) Q- 60 C : B ’ →A Q- 60 C : B→A ’ ⇒ Q 60 C :B ’ B→AA ’ ⇒ BB ’ = AA ’ v à (BB ’ , AA ’ )=60 0 (1) +)Q -60 B : A→C ’ Q -60 B : A ’ →C ⇒ Q -60 B : AA ’ →C ’ C ⇒ AA ’ =CC ’ v à (AA ’ ,C ’ C)= 60 0 (2) tương tự: BB ’ = CC ’ v à (BB ’ , CC ’ )= 60 0 (3) từ (1)(2)(3) ⇒ AA ’ , BB ’ , CC ’ đ ồng quy B ÀI 7 (trang 147) Trong mặt phẳng ta kẻ những đường thẳng từng đôi một khong song song, qua giao điểm của hai đ ường thẳng bất ki (trong số đường thẳng đã kẻ ) đi qua . Chứng minh rằng tất cả cac đường thẳng đều đồng quy tại một điểm . l A B D Q C CM: Gỉa sử tất cả các đường thẳng khong đồng quy. Xét giao điểm của cac đường thẳng và chọn khoảng cách nhỏ nhất từ các điểm đó đến các đường thẳng đã cho. G ỉa sử khoảng cách ngắn nhất là khoảng cách từ C đến đường thẳng l. Qua điểm A có ít nhất 3 đường thẳng đã cho đi qua A. Gọi B, C, D là giao điểm của đường thẳng l với 3 đường thẳng đó .Vẽ từ điểm A đường thẳng vuông góc AQ đ ến đường thẳng l . Hai trong ba điểm B, C, D nằm cùng phía đối với điểm Q giả sử là điểm C, D . Khi đó khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AD l à nhỏ hơn khoảng cách từ A đến đường thẳng l , điều này mâu thuẫn với cách chọn điểm A và đương thẳng l. B ÀI 9 Cho 3 đường tròn cùng bán kính R cắt nhau tại I. Đường tròn (O 1 , R)∩ (O 2, ,R)= A; (O 1 ,R)∩(O 3 , R)=B; (O 3 ,R) ∩(O 2 , R)= C. Chứng minh rằng AO 3 , CO 1 , BO 2 đồng quy. CM: K B C A O1 O3 I O2 Theo giả thiết ta có : O 2 A= AO 1 = O 1 B= BO 3 =CO 3 = CO 2 =R L ại có : O 1 I= IO 3 = IO 2 =R ⇒tứ giác O 2 AO 1 I là hình thoi ⇒AO 2 //O 1 I (1) Tương tự tứ giác O 1 IO 3 B là hình thoi ⇒O 1 I //O 3 B (2) T ừ (1)(2) ⇒AO 2 //O 3 B Mặt khác AO 2 =BO 3 =R ⇒Tứ giác AO 2 O 3 B là hình bình hành. ⇒AO 3 ∩BO 2 tại trung điểm mỗi đường . ⇒ AO 3 ∩ BO 2 =K (*) Chứng minh tương tự tứ giác AO 1 O 3 C là hình bình hành ⇒ AO 3 ∩ CO 1 tại trung điểm mỗi đường gỉa sử tại K (**) Tương tự tứ giác O 1 BCO 2 là hình bình hành ⇒O 1 C ∩ BO 2 =K (***) Từ (*)(**)(***) ⇒CO 1 ∩BO 2 ∩ AO 3 = K BÀI 10(Trang 149) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. Lấy các điểm A ’ , B ’ , C ’ , D ’ lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, CDA, DAB, ABC. MA=MB, NB=NC, PC= PD, QD= QA. Kẻ các đường thẳng qua M, N, P, Q lần lượt vuông góc với CD, AD, AB, BC. CMR a) AA ’ , BB ’ , CC ’ , DD ’ đi qua một điểm cố định và các điểm A ’, B ’ , C ’ ,D ’ nội tiếp một đường tròn. b) Các đường thẳng qua M, N, P, Q lần lượt vuông góc với CD, AD, AB, BC đ ồng quy. BL: A' B' D' C' M P N Q O B A D C A ’ là trọng tâm ∆BCD ⇒ BP P'A = 3 1 B ’ là trọng tâm ∆ACD ⇒ AP P'B = 3 1 ⇒A ’ B ’ //AB và AB 'B'A = 3 1 (1) ⇒Tứ giác A ’ B ’ AB là hình thang; gọi I=AA ’ ∩BB ’ ⇒ IA 'IA = IB 'IB = BA 'A'B = 3 1 (2) C ’ là trọng tâm ∆ABD ⇒ MD M'C = 3 1 D ’ là trọng tâm ∆ABC ⇒ MC 'MD = 3 1 ⇒ C ’ D ’ //= 3 1 CD (3) ⇒C ’ D ’ CD là hình thang. Gọi I ’ =CC ’ ∩ DD ’ ⇒ C'I 'C'I = D'I 'D'I = CD 'D'C = 3 1 (4) C ’ là trọng tâm ∆ABD ⇒ QB 'QC = 3 1 B ’ là trọng tâm ∆ACD⇒ QB 'QB = 3 1 ⇒B ’ C ’ //= 3 1 BC (5) ⇒Tứ giác B ’ C ’ BC là hình thang. Gọi I ’’ = BB ’ ∩ CC ’ ⇒ C''I 'C''I = B''I 'B''I = BC 'C'B = 3 1 (6) Từ (2)(4)(6) ⇒BB ’ ,CC ’ , AA ’ , DD ’ đồng quy tại I Lại có: A ’ là trọng tâm ∆BCD ⇒ ND 'NA = 3 1 D ’ là trọng tâm ∆ABC⇒ NA 'ND = 3 1 ⇒A ’ D ’ //= 3 1 AD (7) ⇒Từ (1) và (7) suy ra :B ’ A ˆ ’ D ’ =B A ˆ D (2 góc có cạnh tương ứng song song). từ (3)và (5) suy ra : B ’ C ˆ ’ D ’ =B C ˆ D (2 góc có cạnh tương ứng song song). Suy ra :B ’ A ˆ ’ D ’ + B ’ C ˆ ’ D ’ = B A ˆ D + B C ˆ D . Mà tứ ABCD là tứ giác nội tiếp : ⇒ B A ˆ D+ B C ˆ D =180 0 ⇒ B ’ A ˆ ’ D ’ + B ’ C ˆ ’ D ’ =180 0 ⇒tứ giác A ’ B ’ C ’ D ’ nội tiếp. BÀI 11 (trang 149) Cho tam giác ABC , lấy một điểm P thuộc miền trong tam giác ABC sao cho MA=MB, NA=NC, BQ=QC, PQ=QA ’ , PN=NB ’ , PM=MC ’ . Chứng minh rằng AA ’ , BB ’ , CC ’ đồng quy. Q M N A B C P A' B' C' CM Ta có :+) AN=NC và BQ=QC ⇒ QN //= 2 1 AB +) PN= NB’ và PQ=QA ’ ⇒QN //= 2 1 A ’ B ’ ⇒AB //= A ’ B ’ ⇒Tứ giác ABA’B’ là hình bình hành⇒BB’ ∩ AA’ =I (*) ⇒ IA=IA’ ; IB=IB’ (1) Lại có :MA=MB và BQ=QC⇒ MQ //= 2 1 AC MP=MC’ và PQ=QA’ ⇒MQ //= 2 1 A’C’ ⇒AC //=A’C’⇒Tứ giác ACA’C’ là hình bình hành ⇒AA’ ∩CC’ =I’. I’A=I’A’; I’C=I’C’ (2) Từ (1)(2) ⇒I ≡ I’ ⇒ AA ’ , BB ’ , CC ’ đồng quy tại I. BÀI 12 (149) Cho hình thang ABCD đáy lớn AB. Từ D kẻ đường thẳng DX // BC, DX ∩ AC =M . Từ C kẻ đường thẳng CY // AD; CY ∩AB = F. Từ F kẻ đường thẳng Fm //AC; Fm ∩ BC=P. Chứng minh rằng MP, CF, BD đồng quy. M I C D B A F N P F ∈ AB ⇒CD //BF ⇒CDFB là hình thang. Gọi I =CF ∩BD ⇒ IF IC = IB ID = BF CD (1) CA // FP và M ∈ AC⇒ CM //PF ⇒ tứ giác CMFP là hình thang. Gọi I’ =CF ∩ MF ⇒ P'I M'I = F'I C'I = PF CM (2) Gọi Dx ∩ AB= N ⇒ Tứ gíac CDNB là hình bình hành ⇒C D ˆ N=N B ˆ P FP // CA ⇒P F ˆ B = C A ˆ F (ĐV) và FC // AD⇒ C A ˆ F= A C ˆ D (SLT) ⇒ P F ˆ B = A C ˆ D X ét ∆ CDM v à ∆ FBP có [...]... như vậy đồng quy tại K BÀI 16 (Trang 149) Cho đường tròn tâm O1 và đường tròn tâm O2, (O1) ∩ (O2) tại 2 điểm M, N và O1M ∩ (O1) = A1, O1M ∩ (O2) = A2, O2M ∩ (O1)= B1, O2M ∩ (O2) =B2 Chứng minh rằng A1B1, A2B2, MN đồng quy A2 B1 M O1 A1 O2 N B2 Xét ∆ A1MB2 có A2B2 vuông góc với A1M A1B1vuông góc với MB2 MN vuông góc với A1B2 ⇒A1B1, A2B2, MN là 3 đường cao của ∆ A1MB2 ⇒ A1B1, A2B2, MN đồng quy BÀI 17 (Trang... H qua AB, H2 đối xứng với H qua AC, H1H2 ∩ AB =K, H1H2 ∩ AC=I Chứng minh rằng AH, BI, CK đồng quy A I K H2 H1 B H C Ta s ẽ chứng minh bài toán này bằng cách lật ngược vấn đề Gỉa sử AH, CK, BI là 3 đường cao của ∆ ABC Từ H kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt KI tại H1 Từ H kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt KI tại H2 Ta sẽ chứng minh rằng H1,H2 là điểm đối xứng với H qua AB, AC Ta c ó : ˆ ˆ Tứ giác...BÀI 13 (Trang 149) Cho tứ giác ABCD có EF // AC, HG // AC Chứng minh rằng BD, EG, HF đồng quy A G B N H E C D F K Kéo dài GE cắt BD tại K, ta cần chứng minh HF đi qua K Thật vậy từ giả thiết ta suy ra : AE CF = ED FD BG BH = GA HC Xét ∆ ABD với cát tuyến GEK, áp dụng định lí Mênlaus ta có : AE DK BG BH CF DK... thẳng d bằng tổng khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d với khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng d Chứng minh rằng các đường thẳng d như vậy đồng quy tại một điểm CM: A H3 H1 H2 O B K I M C Ta có AH1 =BH2 + CH3 Gọi M là trung điểm BC và I là trung điểm H2H3 ⇒MI là đường trung bình của hình thang BCH2H3 1 1 ⇒MI= ( BH2+ CH3) = AH1 2 2 ∩ H2H3 Gọi K= AM Ta có ∆ H1AK ∼ ∆ IMK (AH1, MI cùng vuông góc với... ∩ AC= I là duy nhất ⇒AH, CK, BI là 3 đường cao của ∆ ABC ⇒ AH, BI, CK đồng quy BÀI 18 (Trang 150) Cho ∆ ABC có 3 góc nhọn H là trực tâm ∆ ABC A’, B’, C’ lần lượt là điểm đối xứng của H qua BC, CA, AB G ọi R= A’B’ ∩ BC; S= A’B’ ∩ CA ; M= B’C’ ∩ AC ; N= B’C’ ∩ AB; P= A’C’ ∩ AB; Q= A’C’ ∩ BC Chứng minh rằng PS, QM, NR đồng quy tại H A M N B' C ' S H P B Q C R A' Gọi L=AH vuông góc với BC; I = CH vuông... thoi ⇒HS //B’C’ Tứ giác NC’PH l à hình thoi ⇒PH// B’C’ ⇒S,H,P thẳng hàng ⇒PS đi qua H CMTT ta có QM, NR qua H ⇒PS, QM, NR đồng quy tại H B ÀI 20 (Trang 150) Cho A,E,F,B thuộc một đường thẳng Vẽ các hình vuông ABCD, EFGH thuộc nửa mặt phẳng bờ AB Chứng minh rằng AG, BH, CE, GH đồng quy D C H A E G F B Gọi O= AG ∩ BH Do HG //AB ⇒ Mà : OG OH HG = = OA OB AB HG HE OH HE = ⇒ = AB BC OB BC ˆ ˆ Mà E H O= O B... Mà : OG OH HG = = OA OB AB HG HE OH HE = ⇒ = AB BC OB BC ˆ ˆ Mà E H O= O B C (SLT) ˆ ˆ ⇒ ∆ HOE ∼ ∆ BOC (c.g.c)⇒H O E= B O C ⇒E, O, C thẳng hàng ⇒ EC đi qua O CMTT⇒ DF đi qua O Vậy AG, BH, CE, DF đồng quy tại O . ỊK, HG đông quy . BÀI 3 (Trang 148) Cho tam giác ABC, ở miên ngoài tam giác ABC dựng hai hình vuông ABEF và ACGH, kẻ đường cao AD của tam giác ABC. Chứng minh rằng AD, EC, BG đồng quy. Q G A B C H F E I D Chứng. đ ồng quy hay CE, AD, BG đ ồng quy BÀI 4 ( trang 148) Cho hai đường thẳng a và b. Trên a lấy các điểm A, B, C thoả mãn OA=AB=BC, trên b lấy các điểm L, M, N thoả mãn LO=OM=ML. Chứng minh rằng. đồng quy tại I. BÀI 12 (149) Cho hình thang ABCD đáy lớn AB. Từ D kẻ đường thẳng DX // BC, DX ∩ AC =M . Từ C kẻ đường thẳng CY // AD; CY ∩AB = F. Từ F kẻ đường thẳng Fm //AC; Fm ∩ BC=P. Chứng minh