Trýờng THPT Hùng Výõng Chuyên ðề pt vô tỉ GV: Hồ Ðình Sinh Tổ Toán 1 * Phýõng Trình Vô Tỉ I. Các Công Thức Cõ Bản 1) 2 0 B A B A B        2) 0 (hoac 0) B A A B A B         3)          2 2 0 0 tABBA B A tBA 4) 0 22  BABA nn 5) 2 1 2 1n n A B A B      6)       n n BA B BA 2 2 0 7) 12 12    n n BABA II. Bài Tậpử Dạng I: Luỹ thừa hai vế và dùng các công thức cõ bản Bài 1: Giải các phýõng trình sau: a) 31 2  xxx b) 10 2 x x    Bài 2: Giải các phýõng trình sau: a) xxx  6321 b) 7455  xx Bài 3: Giải các phýõng trình sau: a) 21717  xx (ÐH – 2000) b) 5485 22  xxxx Bài 4: Giải các phýõng trình sau: a) 262  xx ( có thể ðặt 6;2  xvxu ) b) 6621  xx c) xxx 2443  Bài ụử Giải các phýõng trình sauử 3 3 3 3 3 1) 34 3 1 2) 1 3 1 1 x x x x x          Bài ộử Giải các pt sauử ệ Nên dùng pt hệ quảở ) 4 9 11 1 7 4 0 ) 3 3 1 2 2 2 a x x x b x x x x             Dạng II: Phýõng Pháp Ðặt Ẩn Phụ I. Dạng ẳ: .0;0)()(.  acxfbxfa Ph ýõng pháp: Ðặt 0,)(  txft phýõng trình trở thành: .0. 2  cbtta II. Dạng ể: 0)()()()((  cxgxfbxgnxfma với kxgnxfm  )()( 22 Phýõng pháp: Ðặt )()( xgnxfmt  , suy ra )()( xgxf theo t bằng cách lấy 2 t pdfMachine A pdf writer that produces quality PDF files with ease! Produce quality PDF files in seconds and preserve the integrity of your original documents. Compatible across nearly all Windows platforms, simply open the document you want to convert, click “print”, select the “Broadgun pdfMachine printer” and that’s it! Get yours now! Trýờng THPT Hùng Výõng Chuyên ðề pt vô tỉ GV: Hồ Ðình Sinh Tổ Toán 2 III. Dạng ệ: 0.).(  cBAbBAa Phýõng pháp: Ðặt B At , suy ra BA theo t bằng cách lấy 2 t . Chú ý: Ðối với phýõng trìng này cần thử lại nghiệm. IV. Dạng ấ: 0)2()(  cABBAbBAa Phýõng pháp: Ðặt BAt  . Bài 1: Giải các phýõng trình sau: a) 2152153 22  xxxx b) 7353 22  xxxx Bài 2: Giải các phýõng trình sau: a) 2 )4(3 2323 22   x xxx , ðặt 232 2  xxt b) xxxx 33)2)(5( 2  , ðặt xxt 3 2  (ÐH NThýõng A – 2000) Bài 3: Giải các phýõng trìng sau: a) 3111 22  xx b) 0131)1(  xxx c) 431132 22  xxxx Bài 4: Giải các phýõng trình sau: a) 2 340558 xxxx  Hd: C 1 : ðặt xxt  58 C 2 : ðặt 8 xu và xv  5 ta có:                  03)(2)( 5 132)( 5 13 .5 2222 vuvu vuuv uvvu uvvu vu vuvu Chú ý: Ðối với cách 1 ta có thể tìm ðiều kiện của t hoặc giải xong rồi ta thử lại nghiệm; ðối với cách 2 ta ðýa về hệ ðối xứng loại I và cần xem ðiều kiện của u và v là không âm. b) 05)20)(5(205 2222  xxxx ; Týõng tự câu a). Bài 5: Giải các phýõng trình sau: a) xxxx  1 3 2 1 2 b) 5)4)(1(41  xxxx Bài 6:Giải phýõng trình: a*) )1(2)1( 2323 xxxx  b) 5545 2  xxxx c) xxxx  101173023 2 d) 642316214 2  xxxx Bài 7: Giải phýõng trình sau : a) 22 4324 xxxx  b) 2 2 11 2    x x Bài 8:Giải phýõng trình sau: a) 91717 22  xxxx b) 1635223132 2  xxxxx c) 5237237 22  xxxxxx Bài 9: phýõng trình: 782152 22  xxxx Bài 10: Giải các phýõng trình sau: a) 16522252 22  xxxx b) 123 22  xxxx ( Ðặt tề 2 3 t x x    ) pdfMachine A pdf writer that produces quality PDF files with ease! Produce quality PDF files in seconds and preserve the integrity of your original documents. Compatible across nearly all Windows platforms, simply open the document you want to convert, click “print”, select the “Broadgun pdfMachine printer” and that’s it! Get yours now! Trýờng THPT Hùng Výõng Chuyên ðề pt vô tỉ GV: Hồ Ðình Sinh Tổ Toán 3 Dạng IIIẫ Phýõng trình dạng: 0)(.))((.)(. 22  n n n xcxxbxa  Phýõng pháp: Ðây là phýõng trình ðẳng cấp bậc hai. + Kiểm tra xem   x có phải là nghiệm không? + Nếu   x ; chia hai vế của phýõng trình cho n x 2 )(   và ðặt n x x t      ta ðýợc: 0 2  ctbta và giải tìm t, suy ra x. Bài 1: Giải phýõng trình: 0)2(3)4(7)2(4 3 2 3 2 3 2  xxx Bài ữử Giải phýõng trình a) 32 2 2 3 3 2 (1 ) 3 1 (1 ) 0 x x x       b) 6 2 3 3 1 1 1 x x x      Bài ọử Giải phýõng trình 2 2 2 2 ( 1) 3 1 (1 ) 0 n n n x x x       Dạng IV: các bài toán ðặt ẩn phụ vẫn còn xẫ Ta lýu ý có những phýõng trình khi ta lựa chọn ẩn phụ cho một biểu thức thì các biểu thức còn lại không biểu diễn ðýợc triệt ðể qua ẩn phụ ðó hoặc nếu biểu diễn ðýợc thì công thức biểu diễn lại quá phức tạpẳ Khi ðó ta lựa chọn một trong hai hýớng sauử Hýớng ợử Lựa chọn phýõng pháp khácẳ Hýớng ữử Thử ðể pt ở dạngử”chứa ẩn phụ nhýng hệ số vẫn còn x”ẳ Trong hýớng này ta ðýợc một phýõng trình bậc ữ theo ản phụ ệhoặc theo ẩn xở có biệt số  một số chính phýõngẳ Bài 1: Giải phýõng trình: 021)1(2 22  xxxxx (1) Hd: TXÐ: D = R   01)1(21)1(21)1( 22  xxxxxx Ðặt .0;1 2  txxt phýõng trình trở thành: 0,012)1(2 2  txtxt , 2 ' x   1 1 2 t t x        Với .1;011:1 2  xxxxt Với 0 53 2 1 )21(1 021 211:21 2 22 2                x xx x xxx x xxxxt Vậy phýõng trình có 2 nghiệm: .1;0    xx Bài ữử Giải phýõng trìnhử 1212)1(2 22  xxxxx Bài ọ: Giải phýõng trìnhử 2 2 3 1 ( 3) 1 x x x x      . Bài 4: Giải phýõng trình: 1221)14( 22  xxxx Bài ụ: Giải phýõng trình: 3 3 3 1 (3 ) ( 1) 2 1 3 x x x x x x         Bài 6: Giải phýõng trình: 0341)32(2 22  xxxxx Bài 7: Giải phýõng trình: 045)32(241035 323  xxxxx Dạng V: Ðýa ra khỏi cãn thức bằng cách dùng hằng ðẳng thức (R ) pdfMachine A pdf writer that produces quality PDF files with ease! Produce quality PDF files in seconds and preserve the integrity of your original documents. Compatible across nearly all Windows platforms, simply open the document you want to convert, click “print”, select the “Broadgun pdfMachine printer” and that’s it! Get yours now! Trýờng THPT Hùng Výõng Chuyên ðề pt vô tỉ GV: Hồ Ðình Sinh Tổ Toán 4 Chú ý: .; 12 122 2 AAAA n nn n    Bài 1: Giải phýõng trình: 1322  xx Bài 2: Giải phýõng trình: 2 3 1212   x xxxx Bài 3: Giải các phýõng trình sau: 5242221  xxxx Bài 4:( Khối D_ữủủụở Giải phýõng trình 2 2 2 1 1 4 x x x       . Bài 5: Giải phýõng trình: 6142142  xxxx (Nghiệm 1 2 x  ) (HD: 2 1 1 1 1 1 1 2 4 1 2( ) 2 2( ). 2 4 4 2 2 2 2 x x x x x                   . Bài 6  : Giải phýõng trình: 1168143  xxxx ( Nghiệm 5 10) x   Bài ứử Giải và biện luận phýõng trình 1 1 2 4 x x x a      . HD:( 2 1 1 , 4 2 x a            Nếu 1 4 a  VN; 1 4 a  pt có x a a   ) Dạng VI: Dùng biểu thức liên hiệp vào giải phýõng trình và hệ phýõng trình vô tỉẫ(R ) Chú ý: 1) Khi nhân với một biểu thức khác 0 thì ta nhân tự nhiên mà không xét thêm ðiều kiện gìẳ 2) Nếu biểu thức ðó không biết dấu thì ta phải xét trýờng hợp biểu thức ðó bằng ủ có nghiệm thoả mãn phýõng trình hay khôngừ Khi biểu thức ðó khác không thì ta nhân vào hai vế hay vào tử số và mẫu sốẳ 3) Các công thức liên hiệp: TT Biểu thức Biểu thức liên hiệp Tích 1 BA  BA  B A  2 33 BA  3 2 3 3 2 BABA  B A  3 33 BA  3 2 3 3 2 BABA  B A  Bài 1: Giải phýõng trình sau: 5 3 2314   x xx HD: ÐK 3 2 x ; ta có 02314  xx Nhân 2 vế cho 2314  xx ta ðýợc phýõng trình: pdfMachine A pdf writer that produces quality PDF files with ease! Produce quality PDF files in seconds and preserve the integrity of your original documents. Compatible across nearly all Windows platforms, simply open the document you want to convert, click “print”, select the “Broadgun pdfMachine printer” and that’s it! Get yours now! Trýờng THPT Hùng Výõng Chuyên ðề pt vô tỉ GV: Hồ Ðình Sinh Tổ Toán 5           5214 3 0)5214)(3( )214( 5 3 3 xx x xxx xx x x + 3   x (loại) + (*)5214  xx Giải pt (*): Bình phýõng ữ vế ta ðýợc 2 0684344 7 26 3 2 )726()2512(4 7 26 3 2 72625122 2 22 2                    x xx x xxx x xxx Bài 2. Giải phýõng trình: 6232  xxx ( THTT – 372) (Nghiệm 3 x  , các nghiệm khác 6 2 5 x   loạiở Bài 3: Giải phýõng trình: 4 46 2242 2    x x xx ( Nghiệm 2 2 3 x x    ) Bài ẩử Giải phýõng trìnhử 2 2 4 1 3 x x x x x x x       . Nghiệm 9 1 16 x x    Bài ụố Giải phýõng trìnhử 4 1 3 1 2 3 x x x      . Nghiệmệ 1 7 ; 1; ) 4 4 x x x    . Bài ộử Giải phýõng trìnhử 3 2 1 4 x x x      Nghiệm ệxềợởẳ ( Chú ý ử 3 2 1 0 4 x x x       ta kiểm tra với xềẩ có phải là nghiệm của pt hay khôngởẳ Bài ứử Giải phýõng trìnhử 2 1 3 1 1 x x x     . Nghiệm ệ 1 1 3 x x    ) Bài ạử Giải phýõng trìnhử   2 2 4 1 1 x x x     . Nghiệmệxềạở Bài ễử Giải hýõng trình:   2 1 1 1 x x x     Nghiệmệxềủở Dạng VII: Phýõng pháp ðýa về hệ phýõng trình Loại1. Ðýa về hệ thông thýờng Bài 1: Giải phýõng trình: 55 2  xx HD: ÐK 5   x . Ðặt 55 2  xyxy ; ta ðýợc hệ: 2 2 5 (1) 5 (2) x y y x          Giải hệ trên bằng cách lấy ệợở-(2). B ài 2: Giải phýõng trình: 4 2 2009 2009 x x   HD: TX Ð: D = R pdfMachine A pdf writer that produces quality PDF files with ease! Produce quality PDF files in seconds and preserve the integrity of your original documents. Compatible across nearly all Windows platforms, simply open the document you want to convert, click “print”, select the “Broadgun pdfMachine printer” and that’s it! Get yours now! Trýờng THPT Hùng Výõng Chuyên ðề pt vô tỉ GV: Hồ Ðình Sinh Tổ Toán 6 Ðặt 200920092009 222  xyxy . Ta ðýợc hệ:        2009 2009 22 4 xy yx và ta giải hệ này bằng cách trừ vế theo vế. Bài 3: Giải phýõng trình: 112 3  xx HD: ÐK 1  x ; ðãt 1;2 3  xvxu ta có hệ:                  0 1)1( 1 0 1 1 2323 v uu uv v vu vu và giải tiếp. Bài 4: Giải phýõng trình: 333 1232  xxx HD: Ðặt: 33 3;2  xvxu                       5 0)(3 5 )( 5 33 33 333 33 3 33 uv vuuv uv vuvu uv vuvu Loại 2: Phýõng pháp ðýa hệ phýõng trình chứa cãn về hệ ðối xứng. Hệ ðối xứng có 2 loại: + Hệ ðối xứng loại I: Là hệ mà nếu (x; y) là nghiện thì (y; x) cũng là nghiệm, nhýng mỗi phýõng trình của hệ không thay ðổi. Ðể giải hệ này ta thýờng ðặt S = x + y và P = xy + Hệ ðối xứng loại II: Là hệ khi thay x bởi y, y bởi x thì phýõng trình này biến thành phýõng trình kia của hệ. Ðể giải hệ loại này ta thýờng trừ vế theo vế hai phýõng trình của hệ. Bài 1: Giải phýõng trình: 91717 22  xxxx HD: ÐK 17x ; ðặt 2 17, xvxu  Từ ðó ta có hệ:                  17))(9(2)( )(9 172)( 9 17 9 2222 vuvu vuuv uvvu uvvu vu uvvu       35)(2)( )(9 2 vuvu vuuv giải hệ này ðõn giản. Bài 2: Giải các phýõng trình sau: a) 2 2 11 2    x x b) 3)7)(2()7()2( 3 3 2 3 2  xxxx c) 2151 44  xx d) 52213 33  xx e) 54057 44  xx Loại ệ:Phýõng trình dạng (*) n n abxbax  Týõng tự (**) n n abxbax  Phýõng pháp giải (*):Ðặt         bxay byax abxy n n n ðây là hệ ðối xứng loại II; giải rồi thử lại nghiệm. Bài 1: Giải phýõng trình: 22 2  xx HD: ÐK 2   x . Ðặt xyxy  22 2 ta ðýợc hệ:        xy yx 2 2 2 2 và giải. pdfMachine A pdf writer that produces quality PDF files with ease! Produce quality PDF files in seconds and preserve the integrity of your original documents. Compatible across nearly all Windows platforms, simply open the document you want to convert, click “print”, select the “Broadgun pdfMachine printer” and that’s it! Get yours now! Trýờng THPT Hùng Výõng Chuyên ðề pt vô tỉ GV: Hồ Ðình Sinh Tổ Toán 7 Hoặc PT týõng ðýõng        2)2( 02 22 2 xx x sau ðó giải hệ này. Bài 2: Giải PT: 3 3 1221  xx HD: Ðặt xyxy 2112 3 3  . Từ ðó ta có hệ:        xy yx 21 21 3 3 DạngVIII: Phýõng pháp ðánh giá ể vế; dùng bất ðẳng thứcẫ + BÐT Côsi: Cho 2 số thực dýõng a, b: abba 2 . Dấu “ ề “ xẩy ra .ba   + BÐT Bunhiacôpxki: Cho các số thự 2121 ,,, bbaa :   ))(( 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2211 bbaababa  . Dấu “ ề “ xảy ra 2 2 1 1 b a b a  + Xét PT dạng: VT = VP Nếu VPmVT   thì PT       mVP mVT Nếu VPmVT   thì PT       mVP mVT . Bài 1: Giải PT 11642 2  xxxx HD: ÐK 42   x Sử dụng BÐT Bunhiacôpxki Ta có       24421142 22 2  VTxxxx Mặt khác 222)3(116 22  VPxxx Vậy từ PT ta có VT = VP 3 03 1 4 1 2            x x xx . Vậy PT có nghiệm x = 3. Bài 2: Giải PT 222 215178254 xxxxxx  HD: ÐK 53    x Ta có 431178254 99)2(21782 11)2(54 22 22 22         xxxxVT xxx xxx Mặt khác 2 2 2 15 2 16 (1 ) 16 15 2 4 x x x VP x x            Vậy PT             1 2 4 4 x x VP VT . Suy ra PTVN. Bài 3: Giải PT 2152 2  xxx (ÐHNN) HD: ÐK 21    VTx ( sử dụng p 2 ðánh giá 2 vế) Bài 4: Giải các PT a) 222 2314105763 xxxxxx  (Sdụng p 2 ðánh giá 2 vế) b) 0642532 2  xxxx (ÐHGTVT) HD: (Sdụng BÐT (Bu) và ðánh giá 2 vế) pdfMachine A pdf writer that produces quality PDF files with ease! Produce quality PDF files in seconds and preserve the integrity of your original documents. Compatible across nearly all Windows platforms, simply open the document you want to convert, click “print”, select the “Broadgun pdfMachine printer” and that’s it! Get yours now! Trýờng THPT Hùng Výõng Chuyên ðề pt vô tỉ GV: Hồ Ðình Sinh Tổ Toán 8 pdfMachine A pdf writer that produces quality PDF files with ease! Produce quality PDF files in seconds and preserve the integrity of your original documents. Compatible across nearly all Windows platforms, simply open the document you want to convert, click “print”, select the “Broadgun pdfMachine printer” and that’s it! Get yours now! . xảy ra 2 2 1 1 b a b a  + Xét PT dạng: VT = VP Nếu VPmVT   thì PT       mVP mVT Nếu VPmVT   thì PT       mVP mVT . Bài 1: Giải PT 11642 2  xxxx HD: ÐK.  Vậy PT             1 2 4 4 x x VP VT . Suy ra PTVN. Bài 3: Giải PT 2152 2  xxx (ÐHNN) HD: ÐK 21    VTx ( sử dụng p 2 ðánh giá 2 vế) Bài 4: Giải các PT a) 222 2314105763. khác 222)3(116 22  VPxxx Vậy từ PT ta có VT = VP 3 03 1 4 1 2            x x xx . Vậy PT có nghiệm x = 3. Bài 2: Giải PT 222 215178254 xxxxxx  HD: ÐK 53    x