Leonhard Euler (1707-1783) .: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT : www.VNMATH.com CHỦ ĐỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Kiến thức bản: Định nghĩa: Số nguyên A đƣợc gọi số phƣơng tồn số nguyên dƣơng a cho: A = a2 Phát biểu: Số phƣơng số bình phƣơng số tự nhiên Lƣu ý: Mƣời số phƣơng là: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, Tính chất: Số phƣơng có chữ số tận 0, 1, 4, 5, 6, Số phƣơng chia cho dƣ Kí hiệu: 3n 3n + 1, (n N) Số phƣơng chia cho dƣ Kí hiệu: 4n 4n + 1, (n N) Vận dụng tính chất: Nếu hai số tự nhiên a b nguyên tố có tích số phƣơng số a, b số phƣơng Khi phân tích số phƣơng thừa số nguyên tố ta đƣợc thừa số lũy thừa số nguyên tố với số mũ chẳn Ví dụ: 3600 = 602 = 24.32.52 Một số cách nhận biết số khơng phương N: (1) Chứng minh N có chữ số tận 2,3,7,8 (2) Chứng minh N chứa số nguyên tố với mũ lẽ (3) Xét số dƣ N cho cho cho cho (4) Chứng minh N nằm hai số phƣơng liên tiếp (5) N chia cho dƣ 2; N chia cho 4; có số dƣ 2; (6) Một số tính chất số dƣ chia cho 5, 6, 7, bạn tự suy cách đặt số ban đầu nk + q (Ví dụ: 5k + 1, 5k + 2, 5k + 3, ) Lưu ý: Khi Giải tốn số phƣơng ta áp dụng "phƣơng pháp modun (mod)", nghĩa xét số dƣ số phƣơng chia cho số ngun Ví dụ 1: Tìm k để 4k + = a2 Giải Giả sử: 4k + = a2 Khi đó: a2  (mod 4) (1) Ta lại có, a số phƣơng a2  0, (mod 4) (2) Từ (1) (2) vơ lý Vậy khơng có số k thỏa mãn 4k + số phƣơng Ví dụ 2: Tìm a  N* để phƣơng trình sau có nghiệm nguyên: x2 + 2ax - 3a = Giải Xét ' = a2 + 3a Để phƣơng trình có nghiệm ngun a2 + 3a phải số phƣơng a2 < a2 + 3a < a2 + 4a +  a2 < a2 + 3a < (a + 2)2 Do đó: a2 + 3a = a2 + 2a +  a = Với a = phƣơng trình có nghiệm ngun x = hay x = -3 Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Tìm số tự nhiên n cho số sau số phƣơng: a n2 + 2n + 12 b n (n+3) c n + n + 1589 Giải Biên soạn: Trần Trung Chính .: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT : a) Vì n2 + 2n + 12 số phƣơng nên đặt: n2 + 2n + 12 = k2 (k  N)  (n2 + 2n + 1) + 11 = k2  k2 – (n + 1)2 = 11  (k + n + 1)(k - n - 1) = 11 Nhận xét thấy k + n + > k - n - chúng số nguyên dƣơng, nên ta viết k + n +1 = 11 k = (k + n + 1)(k - n - 1) = 11.1    k - n -1 = n = Vậy n = Bài tập 2: Cho A số phƣơng gồm chữ số Nếu ta thêm vào chữ số A đơn vị ta đƣợc số phƣơng B Hãy tìm số A B Giải Gọi A = abcd = k2 Nếu thêm vào chữ số A đơn vị ta có số B = (a +1)(b +1)(c +1)(d +1) = m2, với k, m  N 32 < k < m < 100; a, b, c, d  N ; ≤ a ≤ ; ≤ b, c, d ≤  m2 – k2 = 1111  (m - k)(m + k) = 1111 Xét trƣờng hợp, kết quả: A = 2025 , B = 3136 Bài tập 3: Tìm a để 17a + số phƣơng Giải Giả sử ln tồn y  N cho: 17a + = y2 Khi đó:  17(a - 1) = y2 - 25  17(a - 1) = (y + 5(y - 5)  y - 517    y + 517  y = 17n   a = 17n2  10n + Bài tập 4: Chứng minh 3n + 63 khơng phƣơng, (n N, n ≠ 0, 4) Giải Xét n lẻ Đặt: n = 2k + 1, (k N) Ta có: 32k+1  (-1)2k+1(mod 4)  -1 (mod 4) 63  (mod 4)  32k+1 + 63  (mod 4)  3n + 63 khơng phƣơng Xét n chẵn Đặt n = 2k, (k ≠ 0) Vì y  nên ta đặt: y = 3t, (t  N) Khi đó, ta có: 32k + 63 = 9t2 32k-2 + = t2  t2 - (3k-1)2 =  (t - 3k-1)(t + 3k+1) =  t - 3k-1 =    t + 3k+1 =   3k-1 =  3k-1 = k=2  n= (trái với giả thiết đề bài) Vậy 3n + 63 khơng số phƣơng với (n ≠ 0, 4) Biên soạn: Trần Trung Chính .: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT : www.VNMATH.com Bài tập 5: Chứng minh phƣơng trình x2 + y2 + = z2 có vơ số nghiệm nguyên Giải n  N*, ta chọn x = 2n2; y = 2n; z = 2n2 + Ta có: x2 + y2 + = (2n2)2 + (2n)2 + = (2n2 + 1)2 = z2 Do phƣơng trình có vơ số nghiệm Bài tập 6: Cho p tích n số nguyên tố (n > 1) Chứng minh p - số phƣơng Giải Giả sử p - số phƣơng Do p tích n số nguyên tố (n > ) Suy ra: p3 Do p -  -1 (mod 3) Đặt: p - = 3k - Một số phƣơng khơng có dạng 3k - Từ ta có điều mâu thuẫn Bài tập 7: Chứng minh n7 + 34n + khơng phƣơng Giải Bổ đề x2  i (mod 7); i  {0; 1; 2; 4} Theo định lý Fermat, ta có: n7  n (mod 7)  n7 + 34n +  35n + (mod 7)  n7 + 34n +  (mod 7) Giả sử n7 + 34n + = x2, x  N Suy ra: x2  (mod 7) (vơ lý) Do n7 + 34n + khơng phải số phƣơng Bài tập 8: Cho k1 < k2 < k3 < số ngun dƣơng, khơng có hai số liên tiếp đặt S n = k1 + k2 + + kn, n = 1, 2, Chứng minh với số nguyên dƣơng, khoảng [S n, Sn+1) chứa số phƣơng Giải Nhận xét: Khoảng [Sn, Sn+1) có số phƣơng khoảng  Sn , Sn+1 có   số ngun dƣơng, tức là: Ta có: Sn 1  Sn   Sn 1    Sn   Sn  k n 1   Sn 1  Sn   Sn   k n 1  Sn  Theo đề bài, ta thấy: k n 1  k n  2, n  N*  Sn  nk n 1  n  n  1 Ta cần chứng minh: k n 1  nk n 1  n  n  1   k 1  2k n 1   4nk n 1  4n  n  1 n  k 1   2n  1 k n 1   2n  1  n   k n 1  2n  1  Bất đẳng thức cuối Do với số nguyên dƣơng n, khoảng [S n, Sn+1) chứa số phƣơng Bài tập 9: Chứng minh với số kN số: A = + 92k + 772k + 19772k Không phải số phƣơng Giải Biên soạn: Trần Trung Chính .: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT : Bất kỳ số phƣơng có dạng 3t 3t + 1, với t  N Ta có: A = + 92k + 772k + 19772k có dạng 3l + với l N Do A khơng phải số phƣơng Bài tập 10: Chứng minh với số mN số: A = + 92m + 802m + 19802m Có phải số phƣơng khơng? Giải Bất kỳ số phƣơng có dạng 4n 4n+1, n N Ta có: A = + 92m + 802m + 19802k Có dạng 4q + 2, với q  N Suy A không số phƣơng Bài tập 11: Tích hai số tự nhiên liên tiếp, hai số chẵn liên tiếp số lẻ liên tiếp có thẻ số phƣơng không? Giải Ta chứng minh với hai số tự nhiên liên tiếp: Ta có: n2 < n(n + 1) < (n + 1)2, nN Do n(n + 1) khơng phƣơng Ta chứng minh với hai số chẵn liên tiếp: Gọi a = 2k(2k + 2), với k N Nhận xét rằng: 4k2 < a < (2k + 1)2 Suy a khơng số phƣơng Ta chứng minh với hai số lẻ liên tiếp: Đặt: b = (2k + 1)(2k + 3), k N (2k + 1)2 < (2k + 1)(2k + 3) < (2k + 3)2 Suy b khơng số phƣơng Bài tập 12: Chứng minh tổng bình phƣơng hai số lẻ khơng phải số phƣơng Giải a b hai số lẻ nên a2 = 4l + b2 = 4m + 1m với l , m N Suy ra: a2 + b2 = 4t + 2, t  N Do đó: a2 + b2 khơng thể số phƣơng Bài tập 13: Chứng minh tích số tự nhiên liên tiếp thêm số phƣơng Giải Ta có: n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) + = (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + = (n2 + 3n + 1)2 Đây số phƣơng (Đpcm) Bài tập 14: Tổng bình phƣơng số tự nhiên liên tiếp có phải số phƣơng khơng? Giải Gọi A = n2 + (n + 1)2 + (n + 2)2 + (n + 3)2 + (n + 4)2 A = 5n2 + 20n + 30 = 5(n2 + 4n + 6) Giả sử A số phƣơng Suy ra: n2 + 4n + = 5t2  (n + 2)2 + = 5t2  (n + 2)2 = 5t2 -  (n + 2)2 = 5q + Điều vơ lý Vậy tổng bình phƣơng số tự nhiện liên tiếp khơng thể số phƣơng Bài tập 15: Các số: abab, abba, abcabc Có phải số phƣơng khơng? Biên soạn: Trần Trung Chính .: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT : www.VNMATH.com Giải Ta có: abab  101ab Do abab khơng thể số phƣơng abcabc  1001abc Suy điều phải chứng minh Bài tập 16: Có số phƣơng chia hết cho 55 có dạng abca khơng? Giải Giả sử tồn số phƣơng k2 có dạng abca chia hết cho 55 Suy ra: k2  k2  11 Mà (5, 11) = nên k2  55 Khi đó: k2 = 55t, t  N Ta có: 1000  (55t)2 = 55m  9999  1000  3025t2  9999   t2   t2 =  t =  k2 = 3025  abca Vậy khơng tồn số phƣơng có dạng abca chia hết cho 55 Bài tập 17: Tìm số phƣơng có dạng 22ab Giải Ta có: 2116 < 22ab < 2304  462 < 22ab < 482 Do đó: Nếu 22ab số phƣơng 22ab = 472 = 2209 Vậy số phƣơng phải tìm 2209 Bài tập 18: Tìm số phƣơng có chữ số cho chữ số đầu cuối giống Giải 1) Giả sử abbb số phƣơng Nếu chữ số hàng đơn vị số lẻ chữ số hàng chục chữ số chẵn, b khơng thể lẻ Mặt khác abbb phƣơng b 0, 1, 4, 6, Do b = 0, 4, Nếu b = a000 khơng phƣơng Nếu b = a444 phƣơng a = Nếu b = a666 khơng phƣơng Ta có 1444 số phƣơng 2) Khơng có số phƣơng có dạng aaab Bài tập 19: Nghiên cứu số phƣơng có chữ số giống Giải Xem số A = aa aa (n chữ số a) Suy ra: A = a.11 11 (n chữ số 1) Khơng có số phƣơng tận chữ số: 2, 3, 7, Suy ra: a  2, 3, 7, Nếu chữ số hàng đơn vị chữ số lẻ chữ số hàng chục phải chữ số chẵn Suy a  1, 3, 5, 7, Nếu chữ số hàng đơn vị chữ số hàng chục phải chữ số lẻ Biên soạn: Trần Trung Chính .: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT : Suy a  4, Dĩ nhiên a  Vậy khơng có số phƣơng mà tất chữ số giống Bài tập 20: Cho số A = n4 + 14n3 + 71n2 + 154n + 120, với n  N a) Phân tích A thành nhân tử b) Chứng minh A số phƣơng (Đề thi vào lớp 10 chun tốn Lê Q Đơn Nha Trang năm học 1996 - 1997) Giải a) Ta có: A = n4 + 14n3 + 71n2 + 154n + 120 = (n4 + 14n3 + 49n2) + (22n2 + 154n) + 120 = (n2 + 7n)2 + 22(n2 + 7n) + 120) = (n2 + 7n + 10)(n2 + 7n + 12) = (n + 2)(n + 5)(n + 3)(n + 4) Vậy A = (n + 2)(n + 3)(n + 4)(n + 5) b) Các bạn làm tƣơng tự 11 Bài tập 21: Cho a b số tự nhiên, a2 - b2 số phƣơng khơng? Giải Ta có: a2 - b2 = (a - b)(a + b) Giả sử a > Muốn cho a2 - b2 số phƣơng, ta cần chọn: a  b  du2   a  b  dv , u > v   d u2  v2 a    d u  v2  b   Trong d chẵn u v tính chất chẵn, lẻ (u > v) Lúc đó, ta có: a2 - b2 = c2  a2 = b2 + c2 Các nghiệm phƣơng trình là: a  d u2  v2 , b  d u2  v2         Vậy a - b số phƣơng Bài tập 22: 1) Tìm số có hai chữ số ab cho số n  ab  ba số phƣơng 2) Tìm số có hai chữ số ab cho số m  ab  ba số phƣơng Giải 1) Ta có: n  ab  ba = k2, k N*, với a, b, k N a  0, b  9, a   9(a - b) = k2 Do (a - b) số phƣơng Mặt khác, ta có: a - b  Do ta có: a - b = v a - b = v a - b = Xét trƣờng hợp a - b =  a = b + Có số thỏa: 10; 21; 32; 43; 54; 65; 76; 87; 98 Xét trƣờng hợp a - b =  a = b + có số thỏa: 40; 51; 62; 73; 84; 95 Xét trƣờng hợp a - b =  a = b + có số thỏa 90 Vậy có 16 số thảo mãn yêu cầu 2) Ta có: m  ab  ba = q2, q N*  11(a + b) = q2 Do đó, ta có: a + b = 11t2, t  N* Biên soạn: Trần Trung Chính .: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT : www.VNMATH.com Mặt khác, ta có:  a + b  18  t2 =  a + b = 11 Có số thỏa mãn yêu cầu toán là: 29; 38; 47; 56; 65; 74; 83; 92 Bài tập 23: Tìm số a  N cho số sau số phƣơng: a) a2 + a + 1589 b) 13a + c) a(a + 3) d) a2 + 81 e) a2 + a + 43 f) 3a + 72 Giải a) Đặt: a2 + a + 1589 = k2, k  N Suy ra: (2a + 1)2 + 6355 = 4k2  (2k + 2a + 1)(2k - 2a - 1) = 6355 Nhận xét rằng: 2k + 2a + 2k - 2a - lẻ 2k + 2a + > 2k - 2a - > Do ta viết: (2k + 2a + 1)(2k - 2a - 1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.42 Suy a có giá trị sau: 1588, 316, 42, 28 b) Đặt: 13a + = y2, y  N  13(a - 1) = y2 - 16 = (y + 4)(y - 4)  (y + 4)(y - 4)  13, (13 số nguyên tố)  y +  13 y -  13  y = 13n  4, n nguyên tố, không âm  13(a - 1) = (13n  4)2 - 16 = 13n(13n  8)  a = 13n2  8n + c) Đặt: a(a + 3) = y2, y  N  (2a + 3)2 = 4y2 +  (2a + 2y + 3)(2a - 2y + 3) = 2a + 2y +  2a - 2y + > 2a + 2y + 3, 2a - 2y + nguyên Do đó: 2a  2y   a    2a  2y   y   d) Đặt: a2 + 81 = z2, z  N  z2 - a2 = 81  (z + a)(z - a) = 81 Ta có: z + a  z - a > Và z + a, z - a  N Do đó, ta có khả sau: z  a  81 a  40 z  a  27 a  21     z  a  z  41 z  a  z  15 z  a  a    z  a  z  e) Đặt: a2 + a + 43 = k2, k  N  4a2 + 4a + 172 = 4k2  (2a + 1)2 + 171 = 4k2  4k2 - (2a + 1)2 = 171  (2k + 2a + 1)(2k - 2a - 1) = 171 = 57 = 9.19 Các bạn tự giải tiếp Bài tập 24: Tìm a  N cho (23 - a)(a - 3) số phƣơng Giải Đặt: (23 - a)(a - 3) = b2, b  N Suy ra: (a - 13)2 = 100 - b2  (a - 13)2 + b2 = 102 Đây ba số "Pitago" nên ta có: b = 0; 6; 8; 10 Do đó: a = 23; 21; 19; 13; 3; 5; Vậy có giá trị thỏa mãn yêu cầu toán: a= 3; 5; 7; 13; 19; 21; 23 Bài tập 25: Tìm tất số tự nhiên n khác cho số: q = n4 + n3 + Biên soạn: Trần Trung Chính .: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT : số phƣơng Giải Ta có: n4 + n3 + > (n2)2 Do đó: n4 + n3 + = (n2 + k)2, k  N*  n2(n - 2k) = k2 - (*)  k2 -  n2 Suy ra: k2 - = v k2 - = n2 Với k2 - = 0, k  N* k=1 n=2 q = 52 (thỏa mãn) Xét k  N*, k > Ta có: n2  k2 - < k2  n < k, (*) vơ lý Do có giá trị n thỏa mãn yêu cầu toán n = Bài tập 26: Tìm số tự nhiên n cho n + 24 n - 65 hai số phƣơng (Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán Quốc học Huế năm học 2001 - 2002) Giải Theo đề bài, ta có: n  24  p2  , p, q  N, p > q  n  65  q   p2 - q2 = 89  (p + q)(p - q) = 89 Ta có: p, q  N p > q  p + q, p - q  N p + q > p - q > Do đó, ta có:  p  q  89 p  45   n  2001  p  q  q  44 Vậy số tự nhiên phải tìm n = 2001 Bài tập 27: Tìm tất số nguyên n cho n2 + 2002 số phƣơng (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Đại học KHTN - ĐHQG Hà Nội năm học 2002 - 2003) Giải Giả sử n2 + 2002 số phƣơng n2 + 2002 = m2, với n, m  Z  (m + n)(m - n) = 2002 m + n m - n hai số chẵn  (m + n)(m - n)   2004  4, vô lý Vậy không tồn số nguyên n để n2 + 2002 số phƣơng Bài tập 28: Thay dấu (*) chữ số cho số sau số tự nhiên: A  4**** Giải Ta có: A  4****  A6  4**** A6 có chữ số bên trái  10000  A6  100000  100  A3  317 4 0) Đặt: a + b = 2x a - b = 2y, với x, y  Z Suy ra: a = x + y b = x - y Do đó: 2n = 2(x2 + y2) Vậy n = x2 + y2, (đpcm) Bài tập 38: Tìm số tự nhiên A cho A chia hết cho 359 có số dƣ số thƣơng a) Tìm số nhỏ chia hết cho 35 b) Có số A số phƣơng nhỏ khơng? Có số A phƣơng? Giải Đặt: A = 359q + r, (q, r  N, q = r < 359), q  Vì q = r nên A = 360q a) A  35  360q  35  q  7, q  Vì A nhỏ nên q = Ta có: A = 2520 b) A = n2, (n N)  360q = n2  q = 10m2, (m  Z)  q = 10 (A nhỏ nhất) Ta có: A = 360 A = 360q = e2  q = 10t2, (t  N) Suy có số nhƣ (vì q < 359) 3600, 14400, 32400, 57600, 90000) Bài tập 39: Tìm số có chữ số biết số có ƣớc số, gấp lần ƣớc số số phƣơng chia hết cho dƣ Giải 2.abcd phƣơng nên abcd  22m 1 t 2n , t nguyên tố m , n N Ta có: 2m(2n + 1) =  m = 1, n =  abcd  2t Ta lại có: abcd  4  t  7k   t  7l  Hoặc t = 7l + 4, k, l  N 2k 2k 2k Biên soạn: Trần Trung Chính 11 .: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT : 1000  abcd < 10000  23  t  70, t nguyên tố có dạng 7l + 7l + Suy ra: t = 31, 53, 59, 67 Suy ra: abcd = 1992, 5618, 6962, 8978 Vậy có số thỏa yêu cầu: 1992, 5618, 6962, 8978 Bài tập 40: Cho A số tự nhiên gồm 100 chữ số, 99 chữ số chữ số khác Chứng minh A số phƣơng Giải Giả sử A = k2, với kN A tận 0, 1, 4, 5, 6, Nếu A tận  k = 5l, l  N A lẻ, suy k lẻ  l = 2m +  k = 5(2m + 1), m  N A = k2 = 25(2m + 1)2 = 100m2 + 100m + 25 Suy A tận 25 A = 555 500 + 25  m(m + 1), vô lý Lần lƣợt chứng minh A tận 0, 1, 4, 6, Do A khơng phải số phƣơng Bài tập 41: Một số gồm chữ số, đọc ngƣợc lại không đổi chai hết cho 5, số phƣơng khơng? Giải Giả sử A số phƣơng A nên A tận Loại số Theo giả thiết, ta có: A  5aa5 Vì A số phƣơng nên a = nhƣng số 5225 khơng phải số phƣơng Vậy A khơng phƣơng Bài tập 42: Tìm số dƣ phép chia số phƣơng lẻ cho Áp dụng: Nếu số chẵn tổng hai số bình phƣơng, số dƣ phép chia số cho bao nhiêu? Nếu số lẻ tổng bình phƣơng, số dƣ phép chia số cho bao nhiêu? Giải 1) x lẻ nên x lẻ Đặt: x = 2n + 1, n  N Suy ra: x2 = 4n(n + 1) +  x2 = 8t + 1, t  N Do số phƣơng lẻ chia cho dƣ 2) Cho z = 2n = x2 + y2  x y tính chất a) x y chẵn x = 2m, y = 2m' z = 4(m2 + m'2) - Nếu m m' chẵn m= 2k m' = 2k'  16(k2 + k'2) = 16p = 8q  đpcm - Nếu m m' trái tính chất, giả sử: m = 2k m' = 2k' +  z = 4[4k2 + 4k'(k' + 1) + 1] = 16p' + = 8q' +  đpcm b) Trƣờng hợp x y lẻ"  z = 8l +  đpcm 3) Cho b = 2a + = x2 + y2=  x y trái tính chất chẵn, lẻ Biên soạn: Trần Trung Chính 12 .: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT : www.VNMATH.com Giả sử x = 2m, y = 2m' +  b = 4m2 + 4m'(m' + 1) +  b = 4z +  đpcm Bài tập 43: Tìm số có hai chữ số mà bình phƣơng số lập phƣơng tổng chữ số Giải Số phải tìm có dạng ab , với a, b  N  a  9,  b  Theo giả thiết, ta có: ab   a  b   10a  b    a  b  3 (1) Hệ thức (1) chứng tỏ ab số lập phƣơng ab = t3, t  N Và (a + b) số phƣơng a + b = l2, l  N 10  ab  99  ab = 27 ab = 64 ab = 27  a + b = ab = 64  a + b = 10  l2 (loại) Vậy số phải tìm ab = 27 Bài tập 44: Tìm số lẻ liên tiếp mà tổng bình phƣơng số có chữ số giống Giải Cách 1: A = (2n - 1)2 + (2n + 1)2 + (2n + 3) = 12n2 + 12n + 11 = aaaa = 1111a, (vì a lẻ  a  9)  11(101a - 1) = 12n(n + 1)  101a -  Mà  2a - 1 17 2a - lẻ nên 2a - = 3, 9, 15 Vì a lẻ đó: a =  n = 21 Vậy số phải tìm 41, 43, 45 Cách 2: A = x2 + (x + 2)2 + (x + 4)2 = 3x2 + 12x + 20 = aaaa = 1111a, a lẻ  3(x + 2) = 1111a -  1111a - 8  a -   a = 5, Mà a lẻ nên a =  x = 41 Suy số phải tìm 41, 43, 45 Bài tập 45: Cho x2 + 2y số phƣơng với x, y  N Chứng minh x2 + y tổng số phƣơng Giải Vì x, y  N nên x2 + 2y > x Do x2 + 2y số phƣơng, ta có: x2 + 2y = (x + t)2, với t  N  2y = t2 + x  t = 2k, k  Z+ Do đó: 2y = 4k2 + 4kx  y = 2k2 + 2kx,  x2 + y = (x + k)2 + k2, đpcm Bài tập 46: Tìm số nhỏ triệu chia hết cho 61 cho phần cịn lại tìm Biên soạn: Trần Trung Chính 13 .: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT : bậc hai chúng lại nửa giá trị bậc hai Giải Gọi số phải tìm abcdef , với a, b, c, d, e, f số tự nhiên nhỏ 9, chữ số a, b, c, d, e, f khác Theo giả thiết, ta có:   pqr pqr 2pqr   2 pqr bậc hai thiếu chƣa tới abcdef Theo giả thiết, ta suy r chẵn  pqr  abcdef    2pqr  1 Do r = r = 2 abcdef = pqr  abcdef  61  pqr  61 Hoặc 2pqr  1 61 Xét: pqr  61  100  pqr  61t  1000, t  N   t  16 Vì r = nên t tận  t = 10 Nếu r = t tận  t = t = 12 Do đó: pqr = 122, 610, 732 Suy số phải tìm: Xét: 2pqr  1 61  2pqr   61k, k  N  k  32 pqr tận nên pqr + tận Do đó: K = 1, 5, 11, 15, 21, 25, 31  pqr = 30, 152, 335, 457, 640, 762, 945 Mặt khác: r = 0,  pqr = 30, 152, 640, 762 Suy số phải tìm Vậy số phải tìm 915, 14945, 23180, 372405, 409920, 536190, 581025 Bài tập 47: Tìm số phƣơng có chữ số chia hết cho 33 Giải Đặt: abcd  A2 A2 33  A2 3, A2 11 Suy A  A 11 Do đó: A2  A2  121 (121, 9) = nên A2  1089 Hay A2 1089t2, t  N Mặ khác 1000  abcd  9999   t  abcd = 1089, 4356, 9801 Vậy có ba số thỏa mãn yêu cầu 1089, 4356, 9801 Bài tập 48: Tìm số có chữ số vừa số phƣơng vừa số lập phƣơng Giải abcd = x2 = y3, x, y  N Do y số phƣơng 1000  abcd  9999 Biên soạn: Trần Trung Chính 14 .: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT : www.VNMATH.com  10  y  21 Do y phƣơng, suy y = 16 abcd = 4096 Vậy có số thỏa yêu cầu 4096 Bài tập 49: Tìm số tự nhiên a b cho tích chứng số phƣơng hiệu chúng số nguyên tố p Giải Gọi d = (a, b) a  da'   a, b    b  db' ab = k2  d2a'b' = k2 (*)  k2  d2  k  d  k = dk' Từ (*)  a'b' = k'2 Vì (a', b') = 1, a'b' = k'2 Nên a' b' số phƣơng a' = u2, b' = v2 với (u, v) =  a = du2, b = dv2 Mặt khác, ta có: p a - b = p  a' - b' = d Bài tập 50: Cho S1 = 1.2.3; S2 = 2.3.4; S3 = 3.4.5, , Sn = n(n + 1)(n + 2) Đặt: S= S1 + S2 + + Sn Chứng minh 4S + số phƣơng Giải Ta có: 4S= 4(S1 + S2 + + Sn) = 4(1.2.3 + 2.3.4 + + n(n + 1)(n + 2)) = 1.2.3(4 - 0) + 2.3.4(5 - 1) + + n(n + 1)(n + 2)((n + 3) - (n - 1)) = 1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + + n(n + 1)(n + 2)(n + 3)-(n-1)n(n+1)(n + 2) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) Suy ra: 4S + = (n2 + 3n + 1)2 Vậy 4S + số phƣơng Bài tập 51: Tìm số có hai chữ số biết lập phƣơng số tự nhiên tổng chữ số bình phƣơng số tự nhiên Giải Theo giả thiết, ta có: ab  t a + b = t2, với t  N  a + b  18   t2  18 1t4 ab  10  t  10  t   t  v t = (loại) Vậy ab  27 Bài tập 52: Tìm số có chữ số biết số bình phƣơng tổng chữ số Giải Gọi số phải tìm là: ab , với a, bN  a  9,  b  Theo giả thiết, ta có: ab = (a + b)2 Một số học sinh nhận xét ab số phƣơng có chữ số Do ab số: 16, 25, 36, 49, 64, 81 Thử thấy có số 81 thích hợp Do số phải tìm số 81 Suy nghĩ nhƣ đơn giản Cần phải tìm cách Giải hay Biên soạn: Trần Trung Chính 15 .: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT : Bài tập 53: Tìm số cho tổng bình phƣơng số gấp lần tổng tích số lấy đôi Giải 2 x + y + z2 = 2(xy + yz + zx)  4xy = (x + y - z)2 Chọn x = ha2 y = kb2, với a, b, k  N Giả sử a > b Ta có: z = k(a  b)2 Vậy số phải tìm ka2, kb2, k(a  b)2, với k, a, b  N a > b Bài tập 54: Tìm số có hai chữ số cho tích số với tổng chữ số tổng lập phƣơng chữ số số Giải ab (a + b) = a3 + b3  10a + b = a2 - ab + b2 = (a + b)2 - 3ab  3a(3 + b) = (a + b)(a + b - 1) a + b a + b - nguyên tố a  b  3a a  b   b Do đó:   a  b    b a  b   3a Suy ra: a = 4, b = a = 3, b = Suy ra: ab = 48 ab = 37 Vậy có số thỏa mãn u cầu tốn 37; 48 Bài tập 55: Tìm số phƣơng có chữ số cho số gồm chữ số cuối chia hết cho số gồm chữ số đầu Giải Gọi số phƣơng phải tìm A2 = abcd , với a, b, c, d  N  a  9;  b, c, d  Theo giả thiết, ta có: cd  k ab đó: c  1, với k  N  k  Ta suy ra: A2 = 100 ab + cd = (100 + k) ab Vì ab < 100 nên 100 + k số nguyên tố 101  100 + k  109 k  1, 3, 7, Ta xét lần lƣợt k = 2, 4, 5, 6, Với k = Ta có: A2 = 102 ab = 2.3.17 ab  ab = 2.3.17t2, tN Điều vô lý Ta xét tƣơng tự với số cịn lại Số phải tìm abcd = 1296 = 362, (ứng với k = 8) Bài tập 56: Tìm số phƣơng có chữ số chia hết cho 147 tận Giải Gọi số phải tìm A A 147  A A phƣơng, nguyên tố nên A   A 441 Đặt A = 441k, k phƣơng Vì 1000  441k  10000 Biên soạn: Trần Trung Chính 16 .: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT : www.VNMATH.com   k  22 Vì A tận nên k tận 9, k phƣơng, k = Suy A = 3969 Vậy số phải tìm 3969 Bài tập 57: Tìm số phƣơng gồm chữ số tận chữ số khác Giải Khơng có số phƣơng tận chữ số 2, 3, 7, Do ta xét xem có số phƣơng tận 11, 44, 55, 66, 99 Xem số ab = 10a + b  ab = 100a2 + 10.2ab + b2 Ta suy ra: - Chữ số hàng đơn vị số ab chữ số hàng đơn vị số b2 - Chữ số hàng chục số ab chữ số hàng đơn vị số 2ab cộng với chữ số hang chục số b2 Do đó: - Nếu b lẻ chữ số hàng chục ab số chẵn  b có số chẵn Số phải tìm 1444 = 382; 7744 = 882 Bài tập 58: Tìm số phƣơng có chữ số chia hết cho 54 Giải A  54  A2  A2  27 A2  A2  A2  27  A2  81 A2  324  A2  324t2, t  N Mà 10000  A2  9999   t  17 Suy ra: A2 Bài tập 59: Chứng minh số phƣơng có chữ số hàng đơn vị chữ số chữ số hàng trăm chữ số chẵn Giải Số cho có dạng A5 Ta có: A5 = (10A + 5)2 = 100A2 + 100A + 25 = 200A(A + 1) + 25 Chữ số hàng trăm số A5 chữ số hành đơn vị số A(A + 1) nghĩa số chẵn Vậy số A5 có chữ số hàng trăm số chẵn Bài tập 60: Cho số tự nhiên a, chia [(a - 1)2 + a2]2 cho 4a2 Chứng minh thƣơng số dƣ phép chia số phƣơng Giải Ta có: [(a - 1)2 + a2] = 4a2(a - 1)2 + (2a - 1)2 Nếu chia [(a - 1)2 + a2] cho 4a2, rõ ràng thƣơng số (a - 1)2 số dƣ (2a - 1)2 (2a-1)2 < 4a2 Suy đpcm Bài tập 61: Chứng minh 4n + số phƣơng Suy phƣơng trình x2 + y2 = 4n + khơng có nghiệm ngun Giải Số phƣơng có dạng 4a 4n + Do 4n + khơng phải số phƣơng Nếu x y số tự nhiên x2 + y2 có ba dạng 4k, 4k+1 4k + Suy điều phải chứng minh Bài tập 62: Cho số: Biên soạn: Trần Trung Chính 17 .: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT : A = 11 11 (2m chữ số 1) B = 11 11 [(2m + 1) chữ số 1] C = 66 66 (m chữ số 6) Chứng minh A + B + C + số phƣơng Giải 102m  A  11 11  102m 1  102m 2   10   m 1 10  B  11 11  10m  10m 1   10   m 10  C  66 66  6.11 11  102m  10m 1  6.10m  64  10m   Suy ra: A + B + C =   = (33 336) [(m - 1) chữ số 3) đpcm   Bài tập 63: Cho A, B hợp số: A = 11 11 (2m chữ số 1) B = 44 44 (m chữ số 4) Chứng minh A + B + số phƣơng Giải Ta có: 102m  A = 11 11     2n ch÷ sè 10m  B = 44 44   m ch÷ sè 102m  4.10m   10m   A+B+1=   = 33.334 (có (m - 1) chữ số 3)   Vậy A + B + số phƣơng Bài tập 64: Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất, a  cho a chia hết cho 1000a số phƣơng Giải Ta có: a 6, a   a=6k, k  N* Suy ra: 1000a = 6000k = 202.15k 1000a số phƣơng K = 15p2, p  N  a = 90p2, p  N Do số tự nhiên a nhỏ phải tìm a = 90 Bài tập 65: Tìm số tự nhiên b nhỏ cho số (b - 1) không chia hết cho 9, b chia hết cho tích bốn số nguyên tố liên tiếp 2002.b số phƣơng Giải Ta có: 2002 = 2.7.11.13 2002.b số phƣơng nên ta có: b = 2002k2, k  N* b chia hết cho bốn số nguyên tố liên tiếp mà b chứa ba thừa số nguyên tố liên tiếp 7, 11 13 nên thừa số nguyên tố thứ tƣ 17, b nhỏ nên ta chọn thừa số nguyên tố  b = 2002.25t2, t  N Nếu t2 =  b = 50049  b - = 50049 (không thỏa yêu cầu) Nếu t2 =  b = 200200  b - = 200199  (thỏa yêu cầu tốn) Vậy số b phải tìm b = 200200 Bài tập 66: Tìm số nguyên m n đa thức: p(x) = x4 + mx3 + 29x2 + nx + 4, xZ số phƣơng Giải p(x) đa thức bậc hệ số x4 nên p(x) bình phƣơng tam Biên soạn: Trần Trung Chính 18 .: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT : www.VNMATH.com thức bậc có dạng: (x) = x2 + px + q Do đó, ta có: x4 + mx3 + 29x2 + nx + = (x2 + px + q)2 Sử dụng đồng hệ số hai vế ta có: q = 2; p =  5; m =  10; n =  20 Vậy (m, n) = (10, 20); (-10, -20) Bài tập 67: Tìm tất số tự nhiên n cho n + 26 n - 11 lập phƣơng số tự nhiên Giải Theo đề bài, ta có: n  26  p3  , với p, q  N p > q  n  11  q   p3 - q3 = 37  (p - q)(p2 + pq + q2) = 37 Ta có: p, q  N, p > q  p - q, p2 + pq + q2 N* Do đó, ta có:   p  q  p  q    2  p  pq  q  37 q  q  12    q  N  q =  p =  n = 38 Vậy số tự nhiên n phải tìm n = 38 Bài tập 68: Chứng minh có vơ số số tự nhiên (a, b, c) cho a, b, c nguyên tố số n = a2b2 + b2c2 + c2a2 số phƣơng Giải Chọn số tự nhiên a, b, c nguyên tố thỏa tính chất a=b+c Ta có: n = a2b2 + b2c2 + c2a2 = (b + c)2(b2 + c2) + b2c2 = b4 + c4 + 3b2c2 + 2b3c + 2bc3 = (b2 + c2 + bc)2 Do n số phƣơng Có vơ số ba số tự nhiên nguyên tố mà số tổng hai số Thí dụ: (2, 3, 5) = = +  n = 62 + 152 + 102 = 192 Bài tập 69: Cho dãy số: a1 = 14 a2 = 144 a3 = 1444 an  1444 44     n ch÷ sè Tìm tất số tự nhiên n cho an số phƣơng Giải Ta có: a1 = 14, khơng phải số phƣơng a2 = 144 = 122 a3 = 1444 = 382 Ta xét an, với n  Giả sử an số phƣơng an = k2, k  N* an tận 4444 Số dƣ phép chia an cho 16 số dƣ phép chia 4444 cho 16  an = 16q + 12, q  N Biên soạn: Trần Trung Chính 19 ... C + số phƣơng Giải 10 2 m  A  11 11  10 2 m ? ?1  10 2 m 2   10   m ? ?1 10  B  11 11  10 m  10 m ? ?1   10   m 10  C  66 66  6 .11 11  10 2 m  10 m ? ?1  6 .10 m  64  10 m   Suy ra: A +... 10 ) (k - 10 )  (k + 10 )  10 1 (k - 10 )  10 1 Mà (k - 10 , 10 1 ) =  k + 10  10 1 42  k + 10 < 11 0   k   10 1  cd  81, k= 91 Do đó:   k  10  cd  Vậy abcd  82 81  912 Số phải tìm 82 81 Bài... Cho số: Biên soạn: Trần Trung Chính 17 .: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT : A = 11 11 (2m chữ số 1) B = 11 11 [(2m + 1) chữ số 1] C = 66 66 (m chữ số 6) Chứng minh A + B + C + số