MỤC LỤC Lời nói đầu 1 Chƣơng I. Các bài toán về đƣờng thẳng , đƣờng tròn 2 1.1. Bài toán về ba đƣờng thẳng hàng, ba đƣờng thẳng đồng quy. 2 1.2. Một số bài toán về đƣờng thẳng và đƣờng tròn, tứ giác nội tiếp 14 Chƣơng II. Các bài toán về vectơ và ứng dụng của vectơ 26 2.1. Vectơ, tâm tỉ cự 26 2.2. Tích ngoài của hai vectơ và ứng dụng 42 2.3. Phƣơng tích của điểm đối với đƣờng tròn. Trục đẳng phƣơng, tâm đẳng phƣơng 62 KẾT LUẬN 79 Tài liệu tham khảo 80 1 Lời mở đầu Hình học phẳng là dạng toán quen thuộc đối với học sinh trung học cơ sở cũng nhƣ học sinh trung học phổ thông. Nó không chỉ xuất hiện trong đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh đối với khối học sinh lớp 9của các trƣờng THCS, các đề thi vào THPT mà còn có trong các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, cấp quốc gia, quốc tế của học sinh các trƣờng THPT, đồng thời cũng có trong đề thi vào các trƣờng đại học với phần trăm điểm không nhỏ. Chính vì vậy đề tài em lựa chọn cho luận văn của mình là : “ Một số chuyên đề về đƣờng thẳng và đƣờng tròn trong hình học phẳng “. Hình học phẳng trong toán THPT với chủ yếu là các bài toán về đƣờng thẳng và đƣờng tròn, với đối tƣợng học sinh khá giỏi, còn đƣợc bổ sung thêm các định lí thƣờng dùng nhƣ Mê-nê-la-uýt , Xê- va ,…Để giải các bài toán về đƣờng thẳng và đƣờng tròn trong hình học phẳng nhanh và dễ dàng hơn, trong luận văn của mình em nêu ra những nội dung sau : Chƣơng 1 trình bày các bài toán về đƣờng thẳng, đƣờng tròn.Gồm có các bài toán về ba điểm thẳng hàng, ba đƣờng thẳng đồng quy; đƣờng thẳng và đƣờng tròn, tứ giác nội tiếp. Chƣơng 2 nêu trọng tâm của luận văn các bài toán về vectơ và ứng dụng của vectơ gồm có 3 phần. Vectơ, tâm tỉ cự; tích ngoài của hai vectơ và ứng dụng; phƣơng tích của điểm đối với đƣờng tròn. Trục đẳng phƣơng, tâm đẳng phƣơng. Luận văn này đƣợc hoàn thành với sự hƣớng dẫn tận tình của PGS.TS.Vũ Đỗ Long – Trƣờng Đại Học Khoa Học Tự Nhiên – Đại học Quốc Gia Hà Nội. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Vũ Đỗ Long đối với sự quan tâm, chỉ bảo tận tình của thầy. Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Trƣờng Đại học Khoa Học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, đã dạy dỗ, trang bị những kiến thức bổ ích và giúp đỡ em trong suốt quá trình theo học. Em xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Toán- Cơ- Tin học đã tạo điều kiện, giúp đỡ cho em hoàn thành luận văn này. Hà Nội, tháng 01 năm 2015 Tác giả Lê Đình Trƣờng 2 Chƣơng I Các bài toán về đƣờng thẳng , đƣờng tròn 1.1.Bài toán về ba đƣờng thẳng hàng, ba đƣờng thẳng đồng quy. Bài toán 1. Định lí Mê-nê-la-uýt. Cho tam giác ABC .Ba điểm Q, R, P theo thứ tự thuộc các đƣờng thẳng BC, CA, AB. Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng khi và chỉ khi. PA     PB     . QB     QC     . RC     RA     = 1 . (1) Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử P, Q, R thẳng hàng. Qua C vẽ đƣờng thẳng song song với PQ cắt AB tại C ′ (h.1) theo định lí Ta- lét ta có: PA     PB     . QB     QC     . RC     RA     = PA     PB     . PB     PC ′     . PC ′     PA     = 1 Vậy PA     PB     . QB     QC     . RC     RA     = 1 . Điều kiện đủ. Ngƣợc lại, ta chứng minh rằng nếu thỏa mãn (1) thì ba điểm P, Q, R thẳng hàng. Gọi P ′ giao điểm của QR và AB . Vì Q, R, P ′ thẳng hàng nên theo chứng minh trên : P ′ A     P ′ B     . QB     QC     . RC     RA     = 1 . (2) Từ (1) và (2) rút ra PA      PB       = P ′ A     P ′ B     => P ′ Vậy ba điểm P , Q, R thẳng hàng. Bài toán 2. Định lí Xê – va . Cho tam giác ABC .Các điểm M, N, P lần lƣợt thuộc các đƣờng thẳng BC, CA, AB. Chứng minh rằng AM, BN, CP đồng quy A B C P R Q C ′ Hình 1 P ′ 3 hoặc song song khi và chỉ khi MB     MC     . NC     NA     . PA     PB     = 1 . (1) Chứng minh.(h.2) Điều kiện cần. Giả sử AM, BN, CP đồng quy tại O. Vẽ qua A đƣờng thẳng Δ song song với BC, đặt X= BN ∩ Δ, Y = CP ∩Δ . Theo định lí Ta- lét ta có MB      MC      . NC     NA      . PA     PB     = AX     AY     . CB     AX     . AY     BC     = CB     BC     = 1 . Giả sử ba đƣờng thẳng AM, BN, CP song song (h.3). Ta có MB     MC     . NC     NA     . PA     PB     = MB     MC     . BC     BM     . CM     CB     = MB     BM     . BC     CB     . CM     MC     = 1 Điều kiện đủ. Ngƣợc lại, giả sử ba điểm M, N, P tƣơng ứng trên các đƣờng thẳng BC, CA, AB thỏa mãn hệ thức (1). - Nếu hai trong ba đƣờng thẳng AM, BN, CP cắt nhau, chẳng hạn AM và BN cắt nhau tại O . Đặt P ′ = OC AB . Theo phần thuận ta có MB     MC     . NC     NA     . P ′ A     P ′ B     = 1. (2) Từ (1) và (2) rút ra PA     PB     = P ′ A      P ′ B      => AM, BN, CP đồng quy tại O. - Nếu không có hai đƣờng nào trong ba đƣờng thẳng AM, BN, CP cắt nhau thì hiển nhiên cả ba đƣờng thẳng song song với nhau. Bài toán 3.Định lí Đờ - dác.Cho hai tam giác ABC và A ′ B ′ C ′ . Nếu các đƣờng thẳng AA ′ , BB ′ , CC ′ đồng quy thì các giao điểm AB A ′ B ′ , BC B ′ C ′ , AC A ′ C ′ thẳng hàng, Ngƣợc lại nếu các giao điểm của chúng thẳng hàng thì các đƣờng thẳng AA ′ , BB ′ , CC ′ đồng quy. A X Y N O P B M C Hình 2 N B A C P Hình 3 4 Chú ý : Các đƣờng thẳng AA ′ , BB ′ , CC ′ gọi là đƣờng thẳng nối các đỉnh tƣơng ứng của hai tam giác ABC và A ′ B ′ C ′ , các giao điểm AB ∩ A' B', BC B ′ C ′ , AC  A ′ C ′ gọi là các giao điểm tƣơng ứng của hai tam giác đó. Khi đó định lí Đờ - dác đƣợc phát biểu nhƣ sau. Các đƣờng thẳng nối các đỉnh tƣơng ứng của hai tam giác đồng quy (hoặc song song) khi và chỉ khi giao điểm các cạnh tƣơng ứng thẳng hàng. Chứng minh. a) Điều kiện đủ. Giả sử các đƣờng thẳng AA ′ , BB ′ , CC ′ đồng quy tại O.(h.4) và AB A ′ B ′ = P BC B ′ C ′ = Q, AC A ′ C ′ = R. Áp dụng định lí Mê-nê-la-uýt vào tam giác ABO và ba điểmP, A ′ , B ′ ta có. PA     PB     . B ′ B      B ′ O . A ′ O      A ′ A      = 1 Vào trong tam giác BCO và ba điểm Q, B ′ , C  ta có QB     QC     . C ′ C      C ′ O      . B ′ O      B ′  B = 1 và vào tam giác CAO và ba điểm R, A ′ , C ′ ta có RC     RA     . A ′ A      A ′ O      . C ′ O      C ′ C     = 1. Nhân ba đẳng thức trên ta đƣợc kết quả sau PA     PB     . QB     QC     . RC     RA     = 1 từ đó theo định lí Mê-nê-la-uýt ta suy ra ba điểm P, Q, R thẳng hàng. b) Điều kiền đủ. nếu ba điểm P, Q, R thẳng hàng, thì ba đƣờng thẳng AA ′ , BB ′ , CC ′ đồng quy. Giả sử hai đƣờng thẳng AA ′ và CC ′ cắt nhau tại O. Xét hai tam giác AA ′ P và CC ′ Q ta có các đƣờng thẳng nối các đỉnh tƣơng ứng AC, A ′ C ′ , PQ đồng quy tại R cho nên theo phần thuận a) thì giao điểm các cạnh tƣơng ứng phải thẳng hàng, ba giao điểm đó là AA  C C  = O, A  P ∩ CC  Q = B  , AP CQ = B. Vậy đƣờng thẳng AA ′ , BB ′ , CC ′ đồng quy tại O . O A R C B P Q B ′ C ′ Hình 4 A ′ 5 Bài toán 4. Cho hai hình bình hành ABCD và AB  C  D  trong đó ba điểm A, B, B  thẳng hàng, ba điểm A, D, D  thẳng hàng. Gọi I là giao điểm của hai đƣờng thẳng BD ′ vàB  D. Chứng minh rằng I, C  , C thẳng hàng. Bài Giải. Áp dụng định lí Mê-nê-la-uýt vào tam giác ABD  với ba điểm thẳng hàng B  , I, D (h.5) ta có B  A       B  B      . IB    ID       . DD        DA      = 1 () . Gọi M là giao điểm của BC và D  C  theo định lí Ta – lét ta có B  A       B  B      = C  D         C  M       và DD ′      DA      = CM      CB     . Vậy từ (*) suy ra IB    ID       . C  D         C  M       . CM      CB     = 1 Áp đụng định lí Mê-nê-la-uýt vào tam giác BD  M và ba điểm I, C  , C ta có ba điểm I, C  , C thẳng hàng Bài toán 5. Cho tứ giác ABCD không phải hình thang, AB và CD cắt nhau tại E, AD và BC cắt nhau tại F. Gọi I , J, K lần lƣợt là trung điểm các đoạn thẳng AC, BD, EF. Chứng minh rẳng I , J, K thẳng hàng. Bài giải. Gọi M, N, P lần lƣợt là trung điểm các cạnh BE, EC và CB của tam giác BEC (h.6). Khi đó các điểm I , J, K lần lƣợt nằm trên các đƣờng thẳng NP,PM, MN. Áp dụng đinh lí Mê-nê-la-uýt vào tam giác BEC và ba điểm thẳng hàng A, D, F ta có. AB     AE     . DE     DC     . FC     FB     = 1 () vì IN // AE nên AB     AE     = IP    IN     JM // DE nên DE     DC     = JM     JP    và KM // FB nên FC     FB = KN      KM      . Vậy từ (*) suy ra IP    IN     . JM     JP    . KN      KM      = 1, áp dụng định lí Mê-nê-la-uýt vào tam giác MNP và ba điểm I,J, K ta suy ra ba điểm I, J, K thẳng hàng. A D  D B M C B  C  I Hình 5 A D F K B J I C P N M E Hình 6 6 Bài toán 6. Cho hình bình hành ABCD với tâm O. Trên các đƣờng thẳng BD, BC, AC lần lƣợt lấy các điểm P, Q, R sao cho AP // OQ // DR. Chứng minh rằng P, Q, R thẳng hàng. Bài giải. Qua C vẽ đƣờng thẳng song song với RD, đƣờng thẳng này cắt BD tại C  (h.7). Theo định lí Ta – lét ta có RC     RO     = DC       DO      = BP     BO     vì CC ′ // RD và B đối xứng với D qua O , C  đối xứng với P qua O. Ta lại có QB     QC     = OB     OC       ( do OQ // CC ′ ) và OB     OC       =  OB     OP     Suy ra PO     PB     . QB     QC     . RC     RO     =  PO     PB     . OB     OP     . BP     BO     = (1) = 1 ( do P, O, B thẳng hàng ). Áp dụng định lí Mê-nê-la-uýt vào tam giác OBC và ba điểm P, Q, R ta đƣợc ba điểm P, Q, R thẳng hàng Bài toán 7. Đƣờng tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC, CA, AB lần lƣợt tại M, N, P. Chứng minh rằng AM, BN, CP đồng quy. Bài giải. Cách 1. Áp dụng định lí Xê – va (h.8). Ta có PA     PB     . MB      MC      . NC     NA      =  PA PB .  MB MC .   NC NA () Do tam giác ABC nội tiếp đƣờng tròn (I) nên PB= MB ; MC = NC ; PA = NA. Từ (*) suy ra PA     PB     . MB      MC      . NC     NA      =  PA PB  MB MC .   NC NA =  PA PB .  PB MC .   MC PA =1 Theo định lí Xê- va cho tam giác ABC và ba điểm M, N, P ta đƣợc AM, BN, CP đồng quy. . A B D Q C R C  O P Hình 7 A B C P M N I Hình 8 7 Cách 2. Áp dụng định lí Mê-nê-la-uýt(h.9). Gọi AN ∩ CP = I , từ A vẽ đƣờng thẳng song song với BC cắt CP tại Q ta có NA     NC     . BC     BM     . IM     IA    =  NA NC .  BC BM .   IM IA     Do tam giác ABC nội tiếp đƣờng tròn nên ta có BM = BP, AN = AP, CM = NC; AQ // BC nên PA PB = AQ BC ; IM IA = MC AQ từ    suy ra NA      NC     . BC     BM      . IM     IA    = AP MC . BC BP . MC AQ = AP BP . BC AQ = AQ BC . BC AQ = 1. Theo định lí Mê-nê-la-uýt cho tam giác AMC và ba điểm B, I, N ta đƣợc B, I, N thẳng hàng. Vậy ba đƣờng thẳng AM, BN, CP đồng quy. Bài toán 8. Cho tam giác ABC, M là điểm nằm trong tam giác. AM, BM, CM lần lƣợt cắt BC, CA, AB tại P, Q, R ( P không phải là trung điểm của BC). Lấy T trên đƣờng thẳng BC. Chứng minh rằng PB     TB     . TC     PC     = 1 khi và chỉ khi T, Q, R thẳng hàng. Bài giải (h.10) Điều kiện đủ. Giả sử PB     TB     . TC     PC     = 1(1) Theo định lí Xê-va ta có PB     PC     . QC     QA     . RA     RB     = -1 (2). Lấy (2) chia cho (1) ta đƣợc TB     TC     . QC     QA     . RA     RB     = 1. Theo định lí Mê-nê-la-uýtcho tam giác ABC và ba điểm T, Q, R ta đƣợc ba điểm T, Q, R thẳng hàng. Điều kiện cần. Ngƣợc lại, giả sử T, Q, R thẳng hàng. Lấy T  trên đƣờng thẳng BC sao cho PB     T  B      . T  C      PC     = 1. Theo chứng minh trên thì R, Q, T  thẳng hàng suy ra T ≡T  . Vậy PB     TB     . TC     PC     = 1. A B C M N P Q I Hình 9 A B C T P R M Q Hình 10 8 Bài toán 9. Cho tam giác ABC, điểm O nằm trong tam giác. Các đƣờng thẳng AO, BO, CO lần lƣợt cắt các cạnh BC, CA, AB tại M, N, P. Đƣờng thẳng qua O , song song với BC lần lƣợt cắt MN, MP tại E và F. Chứng minh rằng OE = OF. Bài giải. Trƣờng hợp 1: NP// BC (h.11). Theo định lí Xê- va ta có MB      MC      . NC     NA      . PA     PB     = -1. (1) Vì NP // BC nên theo định lí Ta- lét ta có PA     PB     = NA      NC     => NC     NA      . PA     PB     = 1. (2) Từ (1) và (2) suy ra MB      MC      = 1 => LP     LN     = 1 => OE     OF     = 1 = > OE = OF.( ở đây L = AO ∩ PN ) Trƣờng hợp 2: NP và BC không song song với nhau (h.12) Đặt Q = NP ∩ BC. Áp dụng định lí Mê-nê-la-uýt vào tam giác ABC và ba điểm thẳng hàng P, L, Q ta có PA     PB     . QB     QC     . NC     NA      = 1. (3) Theo định lí Xê- va vào tam giác ABC và ba đƣờng thẳng N, P, M ta đƣợc MB      MC      . NC     NA      . PA     PB     = -1. (4) Từ (3) và (4) suy ra MB      MC      . QC     QB     = 1. Theo tính chất của bốn điểm thẳng hàng : Cho bốn đƣờng thẳng a, b, c, d đồng quy tại O, đƣờng thẳng Δ cắt chúng tại bốn điểm phân biệt A, B, C, D. -Nếu đƣờng thẳng Δ 1 cắt bốn đƣờng thẳng a, b, c, d lần lƣợt tại A 1 , B 1 , C 1 , D 1 thì AC     AD      . BD     BC     = A 1 C 1        A 1 D 1         . B 1 D 1         B 1 C 1        . - Một đƣờng thẳng song song với OA cắt các tia OB, OC, OD lần lƣợt tại Y, X, Z thì AC     AD      . BD     BC     = 1 khi và chỉ khi YX = YZ A B C M N P O E F Hình 11 A B C O E F P L M Q Hình 12 N 9 Áp dụng tính chất trên với bốn đƣờng thẳng OB, OM, OC, OQ và đƣờng thẳng BQ và PQ cắt nhau ta đƣợc MB      MC      . QC     QB     = LN     LP     . QP     QN      = 1 hay LN     LP     . QP     QN      = 1. Áp dụng tính chất trên với bốn đƣờng thẳng MQ, MN, ML, MP và LN     LP     . QP     QN      = 1.Ta đƣợc OE= OF. Bài toán 10. Cho tam giác ABC, D là trung điểm của cạnh BC và E là một điểm nằm giữa B và D sao cho BE = 2 ED. Một đƣờng thẳng bất kì đi qua C khác với CA, CB cắt hai đƣờng thẳng AB và AD lần lƣợt tại M và N. Chứng minh rằng ba đƣờng thẳng BN, DM và AE đồng quy. Bài giải. Vì E nằm giữa B và D (h.13) nên ta có: EB     ED     =  EB ED = 2 , vì C nằm ngoài đoạn thẳng BD nên CB     CD     = CB CD = 2 . Vậy CB     CD     =  EB     ED     . Áp dụng định lí Mê-nê-la-uýt vào tam giác ABD và ba điểm M, C, N ta có MA      MB      . CB     CD     . ND      NA      = 1 hay MA      MB      . EB     ED     . ND      NA      = 1. Từ đó áp định lí Xê- va vào tam giác ABD và ba điểm M. E, N ta suy ra ba đƣờng thẳng BN, DM và AE đồng quy. Bài toán 11. Cho hình bình hành ABCD, các điểm X, Y, Z, T nằm giữa DA, AB, BC, CD sao cho XA XD = YB YA = ZC ZB = TD TC = 2. Gọi a, b, c, là các đƣơng thẳng lần lƣợt đi qua A, B, C và lần lƣợt song song với XT, YT và TZ. Chứng minh rằng ba đƣờng thẳng a, b, c đồng quy. Bài giải Theo giả thiết ta có AX = 2DX, BY = 2AY, CZ = 2BZ, DT = 2CT. A B C M N D E Hình 13 [...]... 2 1 3 2 = 3 − = −1 Áp dụng định lí Xê-va vào tam giác BDC và ba điểm X, Y, Z ta suy ra ba đƣờng thẳng BI, DJ, CK đồng quy 13 1.2 Một số bài toán về đƣờng thẳng và đƣờng tròn, tứ giác nội tiếp Bài toán 16.( Bất đẳng thức Ptoleme) Cho tứ giác ABCD, ta có AB.CD + BC.AD ≥ AC.BD Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tứ giác ABCD nội tiếp đƣờng tròn Bài giải Lấy điểm E trong tứ giác ABCD sao cho EAD = BAC ,EDA... minh tƣơng tự các điểm còn lại cách J một khoảng 2 Ta xác định đƣợc tâm J là trung điểm của đoạn thẳng nối trực tâm và tâm đƣờng R tròn ngoại tiếp của tam giác, bán kính đƣờng tròn chín điểm là 2 Bài toán 27.Chứng minh rằng trong một tam giác đƣờng tròn ơle tiếp xúc trong với đƣờng tròn nội tiếp Bài giải Gọi các điểm nhƣ hình vẽ (h.30) Gọi SQ là đƣờng kính đƣờng tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC, kẻ... từ đó suy raPQ2 = PK PE (2) 20 Từ (1) và (2) suy ra PB = PQ từ đó suy ra PC PB = PC PQ = 2 Bài toán 26 Chứng minh rằng trong một tam giác ba trung điểm của các cạnh, ba chân đƣờng cao tam giác, và ba trung điểm các đoạn nối đỉnh đến trực tâm của tam giác đó cùng nằm trên một đƣờng tròn ( Đường tròn ơle hay đường tròn chín điểm ) A Bài giải Cách 1 Gọi các điểm nhƣ hình vẽ (h.29) .A′ Ta có BB′ ⊥ AC nên... − rnên đƣờng tròn ơle tiếp xúc trong với đƣờng tròn nội tiếp Bài toán 28 Cho tam giác ABC nội tiếp đƣờng tròn (O) Đƣờng thẳng Δ thay đổi đi qua trực tâm H của tam giác ABC cắt các đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABH, ACH lần lƣợt tại M và N ( M ≠ H, N ≠ H ) Xác định vị trí của đƣờng thẳng Δ để diện tích tam giác AMN lớn nhất 22 C Bài giải Kéo dài đƣờng thẳng BH cắt AC tại E và cắt đƣờng tròn (O) tại... P và P′ lần lƣợt là giao điểm của AB và hai đƣờng thẳng song song c và ZT (h.14) Khi đó CPP′ T là hình bình hành nên 1 1 3 P′ B A Y 3 PP′ = CT = DC = AB Hai tam giác ZBP′ và Z 1 ZCT đồng dạng với nhau và BZ = CZ nên M 2 1 2 X 1 6 P′ B = CT = AB Từ đó ta có : 1 3 2 D T 2 PB = PP′ + P′ B = = AB, PA = PB + BA = = AB Hình 14 Vậy ta có PA PB = 3 N′ C M′ N (1) Gọi M và M′ lần lƣợt là giao điểm của BC và. .. Z′ X Hình 18 N D C Vì I là trung điểm của MA và BM // AM′ nên I cũng là trung điểm của BM′ và do đó ABMM′ là hình bình hành, suy ra AM′ = BM và DM′ = CM Ta có ′ DM // CB nên thẳng DC nên XD XC XD XC = DM ′ CB = CM CB 2 = Ngoài ra hiển nhiên X nằm ngoài đoạn 3 2 = 3 Giả sử đƣờng thẳng DJ cắt AB tại N ′ và cắt BC tại Y Vì J là trung điểm của NA và AN ′ // ND nên J cũng là trung điểm của DN ′ và do... góc giữa hai tia Om, On song song và cùng hƣớng với hai vectơ ấy, kí hiệu là (a , b) − Tích vô hƣớng của hai vectơ a , b là một số thực, kí hiệu a b, xác định nhƣ sau: a b = a b cos(a , b) − Các hằng đẳng thức (a ± b)2 = a2 ± 2a b + b2 ; (a + b) (a – b ) = a2 − b2 2.1.2 Một sốbài toán về vectơ và tâm tỉ cự Bài toán 32 Cho hai điểm A, B phân biệt và hai số α và β không đồng thời bằng 0 Chứng minh... của BC và hai đƣờng thẳng song song a và XT, khi đó AMM′ X là hình bình hành nên: 2 2 3 3 MM′ = AX = AD = BC Hai tam giác TCM′ và TDX đồng dạng với nhau và 1 1 1 1 1 2 2 6 6 2 CT = DT nên CM′ = DX = AD = BC Từ đó ta có MC = MM′ − CM′ = MB hay M là trung điểm của BC, tức là MC BC = −1 (2) Gọi N và N ′ lần lƣợt là giao điểm của đƣờng thẳng b với AC và DC thì BYTN ′ là 2 1 1 3 3 3 hình bình hành nên :... I, N, B′ , HB cùng nằm trên đƣờng tròn đƣờng kính IB′ C HC I J C O ′ N B′ B HA Hình 29 Tƣơng tự các điểm còn lại cũng thuộc đƣờng tròn đƣờng kính IB′ Cách 2 Gọi các điểm nhƣ hình vẽ (h.29) Đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC có bán kính T và J là giao điểm của HO và IB′ Suy ra OI ⊥ AC nên OI // BH Vì OI = B′ H nên IOB′ Hlà hình bình hành từ đó JH = JO Vì A′ HMO là hình bình hành nên JA′ = JM Xét ΔAHO... DMB = 1800 14 B D Hình 20 C suy ra DMB = EMAnên EKA = DKB Do đó D, E, K thẳng hàng Nhận xét Trong trƣờng hợp α = 900 , thì đƣờng thẳng DEK là đƣờng thẳng Simsơn Bài toán 18.Cho tam giác ABC nội tiếp đƣờng tròn, tiếp tuyến tại A, B, C cắt các đƣờng thẳng BC, CA, AB lần lƣợt tại P, Q, R Chứng minh rằng P.Q, R thẳng hàng.(Trục lemoine) Bài giải (h.21) Ta có PA là tiếp tuyến của đƣờng tròn ngoại tiếp tam . vậy đề tài em lựa chọn cho luận văn của mình là : “ Một số chuyên đề về đƣờng thẳng và đƣờng tròn trong hình học phẳng “. Hình học phẳng trong toán THPT với chủ yếu là các bài toán về đƣờng thẳng. Chƣơng I. Các bài toán về đƣờng thẳng , đƣờng tròn 2 1.1. Bài toán về ba đƣờng thẳng hàng, ba đƣờng thẳng đồng quy. 2 1.2. Một số bài toán về đƣờng thẳng và đƣờng tròn, tứ giác nội tiếp 14. đầu Hình học phẳng là dạng toán quen thuộc đối với học sinh trung học cơ sở cũng nhƣ học sinh trung học phổ thông. Nó không chỉ xuất hiện trong đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh đối với khối học