Mục lục LỜI CẢM ƠN LỜI NÓI ĐẦU MỘT SỐ DẠNG HỆ VÀ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN 1.1 1.1.1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 1.1.2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG 1.1.3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP 15 1.1.4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG HỐN VỊ VỊNG QUANH 19 PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN 24 1.2.1 PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ 24 1.2.2 1.2 MỘT SỐ DẠNG HỆ CƠ BẢN PHƯƠNG PHÁP THẾ 27 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 32 2.1 PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 32 2.2 PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH 37 2.3 PHƯƠNG PHÁP DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC 43 2.4 PHƯƠNG PHÁP DÙNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 46 2.5 PHƯƠNG PHÁP DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC 51 2.6 PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HOÁ 54 2.7 PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG SỐ PHỨC 58 3 MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH 62 3.1 ỨNG DỤNG TRONG XÉT TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ 62 3.2 ỨNG DỤNG TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 63 3.3 ỨNG DỤNG TRONG TÌM GTLN, GTNN 66 3.4 ỨNG DỤNG TRONG GIẢI BÀI TOÁN KINH TẾ 68 KẾT LUẬN 71 TÀI LIỆU THAM KHẢO 72 LỜI CẢM ƠN Hoàn thành luận văn này, nỗ lực thân, nhận bảo, giúp đỡ từ nhiều phía thầy, giáo, gia đình bạn bè Lời đầu tiên, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Phạm Văn Quốc, người thầy tận tình hướng dẫn bảo tơi suốt q trình làm luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn thầy, cô giáo khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học tự nhiên-Đại học Quốc gia Hà Nội, người trực tiếp giảng dạy giúp đỡ tơi q trình học tập trường toàn thể bạn bè người thân đóng góp ý kiến, giúp đỡ, động viên tơi q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Mặc dù thân cố gắng nghiêm túc học tập nghiên cứu khoa học thời gian có hạn, kiến thức thân cịn hạn chế nên q trình thực khơng tránh khỏi sơ suất Kính mong nhận góp ý thầy bạn Tôi xin trân trọng cảm ơn! LỜI MỞ ĐẦU Chuyên đề hệ phương trình nội dung quan trọng, cần thiết, xem dạng tốn chương trình đại số bậc trung học Các toán giải hệ phương trình xuất hầu hết kì thi Đại học, Cao đẳng kì thi Học sinh giỏi Đứng trước hệ phương trình học sinh cần phải biết phân tích, nhận dạng chọn lựa phương pháp giải thích hợp Mỗi tốn có nhiều cách giải Tuy nhiên, việc hệ thống hố phương pháp giải cho phép nhìn nhận tốn theo hệ thống qn Do lựa chọn nghiên cứu đề tài “ Một số phương pháp giải hệ phương trình” Bản luận văn chia làm chương: Chương Một số dạng hệ phương pháp Chương nhắc lại số dạng hệ phương pháp giải như: Hệ phương trình bậc hai ẩn, hệ đối xứng, đẳng cấp, hốn vị vịng quanh phương pháp cộng Chương Một số phương pháp giải hệ phương trình Ở chương này, luận văn nêu số phương pháp giải nghĩ tới gặp hệ phương trình mà không sử dụng dạng chương Chương Một vài ứng dụng hệ phương trình Luận văn trình bày ứng dụng thường gặp hệ phương trình là: Ứng dụng việc xét tương giao hai đồ thị; giải phương trình; tìm GTLN, GTNN tốn kinh tế Hà nội, tháng 12 năm 2013 Tác giả luận văn NGUYỄN THỊ KIM NGỌC Chương MỘT SỐ DẠNG HỆ VÀ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN 1.1 MỘT SỐ DẠNG HỆ CƠ BẢN 1.1.1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN *) Cơ sở phương pháp a) Định nghĩa: Hệ phương trình bậc hai ẩn hệ có dạng    a1 x + b1 y = c1   a2 x + b2 y = c2 b) Cách giải: Thông thường sử dụng ba cách sau: Cách 1: Phương pháp Cách 2: Phương pháp cộng Cách 3: Phương pháp dùng định thức Kí hiệu: a1 b1 c1 b1 a1 c1 = a1 c2 − a2 c1 a2 c2 c2 b2   x = Dx  D TH1: D = 0, hệ có nghiệm Dy  y = D TH2: D = Dx = Dy = 0, hệ có vơ số nghiệm dạng {(x0 ; y0 )|a1 x0 + b1 y0 = c1 } D= = a1 b2 − a2 b1 , Dx = = c1 b2 − c2 b1 , a2 b2 Dy =  D =     TH3: , hệ vô nghiệm   Dx =     D =0 y *) Ví dụ áp dụng Ví dụ 1.1 Cho hệ phương trình    8X + Y = 17   − 3X + 7Y = Sử dụng phương pháp dễ dàng tìm nghiệm (2;1) Bằng cách thay X, Y biểu thức khác ẩn ta sáng tác vô số hệ Ví dụ:   + = 17 X =   x ta hệ x y ˙ Thay    7x − 3y = xy Y = y      X = x2 + x  8x + 8x + y − = 17 Thay ta hệ   Y = y −  y − − 3x2 − 3x =    x + 4x2 + y − 4y = Ví dụ 1.2 Giải hệ phương trình   x y + 2x2 + 6y = 23 Giải Đặt t = y hệ trở thành    t − 4y = − x4 − 4x2 Ta có   0t + (x2 + 6)y = 23 − 2x2 D = x2 + 6; Dt = −x6 − 10x4 − 30x2 + 104; Dy = 23 − 2x2  −x6 − 10x4 − 30x2 + 104 Dt   = t = D x2 + ⇒   y = Dy = 23 − 2x  D x2 + Do t = y suy (x2 + 6)(−x6 − 10x4 − 30x2 + 104) = (23 − 2x2 ) ⇔ (1 − x)(1 + x)(1 + x2 )(x4 + 16x2 + 95) =  Dy x = ⇔ = ⇒y= D x = −1 Vậy hệ cho có hai nghiệm (1;3), (-1;3) 1.1.2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG *) Cơ sở phương pháp 1) Hệ phương trình đối xứng loại a) Định nghĩa: Hệ phương trình đối xứng loại hệ có dạng    F (x; y) =   G(x; y) = Trong F (x; y), G(x; y) đa thức đối xứng với x, y b) Cách giải: Đặt S = x + y; P = (điều kiện S ≥ 4P ) x.y   F1 (S; P ) = Dùng tính đối xứng ta đưa hệ dạng   G1 (S; P ) = Giải hệ tìm S, P từ theo định lý Viet đảo, x, y nghiệm phương trình: X − SX + P = -Một số biểu diễn biểu thức đối xứng qua S, P : +) x2 + y = (x + y)2 − 2xy = S − 2P +) x3 + y = (x + y)3 − 3xy(x + y) = S − 3P S +) x2 y + xy = P S +) x4 + y = (x + y)4 + 2x2 y − 4xy(x + y)2 = S + 2P − 4P S 2) Hệ phương trình đối xứng loại a) Định nghĩa: Hệ phương trình đối xứng loại hệ có dạng    F (x; y) =   F (y; x) = Trong F (x; y) đa thức không đối xứng b) Cách giải: Trừ hai phương trình vế theo vế ta F (x; y) − F (y; x) = (*) Coi x ẩn số, y tham số đặt F (x; y) := f (x) + g(y), g(y) độc lập với x F (y; x) = f (y) + g(x) Khi (∗) ⇔ G(x) := f (x) + g(y) − f (y) − g(x) = Ta có G(y) = f (y) + g(y) − f (y) − g(y) = Suy y nghiệm phương trình G(x) = Chứng tỏ G(x) có chứa nhân tử (x − y) theo định lý Bezout Như ta có cách giải hệ đối ứng loại là: trừ hai phương trình vế theo vế để G(x; y) = (x − y).M (x; y) = Sau giải hệ trường hợp x = y M (x; y) = *) Ví dụ áp dụng Loại 1: Hệ phương trình đối xứng loại Ví dụ 1.3 Giải hệ phương trình   a + b =   a + b2 = Giải   a + b =   a + b2 = ⇔   a + b = ⇔   (a + b)2 − 2ab =   a + b =   ab = ⇔   a =  b = Vậy hệ có nghiệm a = b = √ √ √ Thay a = xy; b = x +  ta hệ: y √  √  xy + x + √y = Ví dụ 1.4 Giải hệ phương trình   x + y + 4xy + 2√xy = Nhận xét: Đây hệ phương trình đối xứng loại ta khơng đặt S, P (vì √ √ chứa x + y) Ta theo cách tạo hệ này: Giải √ √ √ Điều kiện: ≥ 0; y ≥ Đặt a = xy; b = x + y ⇒ x + y = b2 − a x    a + b = a = Hệ trở thành ⇔    a + b2 = b =   √  xy = √ √ Thay vào bước đặt ta √ ⇔ x = y = ⇔ x = y = (tmđk) √   x+ y =2 Vậy hệ cho có nghiệm (1;1) Tương tự xét hệ: Ví dụ 1.5 Giải hệ phương trình    9y (3x3 − 1) = −125 (1)   45x2 y + 75x = 6y (2) Giải Nhận xét y = không thoả mãn hệ phương trình suy y = Chia vế phương trình (1) cho y phương trình (2) cho y thu hệ     9(3x3 − 1) = − 125   (3x)3 + ( ) =  u = 3x     y y Đặt Có hệ ⇔  x2  v =  3x (3x + ) =   45 + 75 x =   y y y y y2        u + v3 =  (u + v)3 − 3uv(u + v) = S = u + v ⇔ Đặt (S ≥ 4P )     uv(u + v) =  uv(u + v) =  P = uv           S − 3P S = S = u + v = u = u =  Hệ trở thành ⇔ ⇒ ⇔ ∨     PS = P =  uv = v = v =  10  x =  u=2 ⇔ + ⇒    =1 y = v =    y x =   3x =  u =  ⇔ + ⇒    =2 y = v =  y 2 Vậy hệ cho có nghiệm ( ; 5) ( ; )   x(1 + x) + ( + 1) =  y y Ví dụ 1.6 Giải hệ phương trình  3  x y + x2 y + xy + = 4y      3x =  Giải ĐK y =    x + x2 + + =  (x + ) + (x2 + ) =     y2 y y y2 Hệ tương đương ⇔  x  x x +  (x + ).(x2 + ) =   + + =4 y y2 y y y   u = x +   u + v =  y Hệ trở thành Đặt ⇔ u = v =    uv =  v = x2 +  y2     x + = x + = x + =    x =     y y y ⇔ ⇔ x = y = ⇒ ⇔ ⇔     =1  x = x + =  (x + ) − x =     y y2 y y y Qua ví dụ ta thấy hệ ban đầu chưa phải hệ đối xứng loại qua biến đổi đặt ẩn phụ ta đưa hệ đối xứng loại Loại 2: Hệ phương trình đối xứng loại Đối với hệ phương trình đối xứng loại 2, f (x, y) đa thức ta thường trừ vế với vế hai phương trình ta phương trình dạng (x − y).M (x, y) = Trong trường hợp M (x, y) = M (x, y) đa thức đối xứng ta thường cộng vế theo vế hai phương trình để hệ đối xứng loại    x = 2x − 3y Ví dụ 1.7 Giải hệ phương trình   y = 2y − 3x (1) (2) Giải Trừ vế theo vế hai phương trình ta x3 − y = 5x − 5y ⇔ (x − y)(x2 + y + xy − 5) =  x − y = ⇔ x2 + y + xy − = 11 +) x − y = ⇔ x = y thay vào (1): x3 = −x ⇔ x = ⇒ y = +) x2 + y + xy − = Cộng vế theo vế phương trình (1) (2) ta x3 + y = −x − y      x + y + xy − =  (x + y)2 − xy − = Ta có hệ ⇔    x + y3 + x + y =  (x + y)3 − 3xy(x + y) + x + y = Đặt S = x + y; P = xy; (S ≥ 4P ) hệ trở thành     S − P − =  P = S2 − ⇔    S − 3SP + S =  S − 3S(S − 5) + S =   S =   (tm)     P = −5 P = S −  ⇔ ⇔     S = ±2√2  S(−2S + 16) =   (loai)  P = √ x=− ⇒ ⇔ √ ∨ √     P = −5  xy = −5 y = − y =  √ √ √ Vậy hệ cho có nghiệm (0, 0); (5, − 5); (− 5, 5) √  x−1+ y+6=7 Ví dụ 1.8 Giải hệ phương trình √   y−1+ x+6=7       S=0 x+y =0    x= √    Giải ĐK x ≥ 1; y ≥ Trừ vế theo vế phương trình ta √ ⇔ x−1+ y+6= (x − 1)(y + 6) = y−1+ √ x+6 (y − 1)(x + 6) ⇔ x = y √ Thay vào hệ ta x − + x + = √ √ Mặt khác ta có (x − 1) − (x + 6) = −7 ⇒ x − − x + = −1   √ √ √  x−1+ x+6=7  x−1=3 ⇒ √ ⇔ √ ⇔ x = 10 √    x − − x + = −1  x+6=4 √ Vậy hệ cho có nghiệm x = y = 10 Nếu ta thay đổi hệ số tự  chút ta có tốn sau: √ √  x−1+ y+6= Ví dụ 1.9 Giải hệ phương trình √ √   y−1+ x+6= 12 (−x, −y, −z) nghiệm hệ, nên ta giả sử x, y, z dương B C A Đặt x = tan , y = tan , z = tan , A, B, C ∈ (0; π) 2 Thì từ phương trình thứ hai suy A + B + C = π ⇒ A, B, C ba góc tam giác Phương trình thứ viết lại 10 12R 16R 20R a b c = = ⇔ = = ⇔ = = ⇒ a2 + b2 = c2 sin A sin B sin C a b c 1 Vậy tam giác ABC vuông C, từ tìm x = , y = 1 1 Vậy nghiệm hệ ( ; ; 1), (− ; − ; −1) 3 Bài tập tương tự Giải  hệ phương trình  x − 3z − 3z x + z =     y − 3x − 3x2 y + x3 = HD: Đặt z = tan α ĐS: (0;0;0)      z − 3y − 3y z + y =   2z(x + y) + = x2 − y     x3 − 3x = tan 3α y + z = + 2xy + 2zx − 2yz HD: Đặt x = tan α ⇒  3x −     y(3x2 − 1) = −2x(x2 + 1)    x + 3y − 2y = √ √ √   36(x x + 3y ) − 27(4y − y) + (2 − 9) x − = √  3x = sin t     HD: Đặt 3y − = cos t      t ∈ [0; π] 2.7 PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG SỐ PHỨC *) Cơ sở phương pháp Một phương trình nghiệm phức f (z) = với z = x + iy ta biến đổi thành h(x; y) + i.g(x; y) = ⇔    h(x; y) =   g(x; y) = Nghĩa phương trình nghiệm phức cách tách phần thực phần ảo ln đưa hệ phương trình Ngược lại, việc giải hệ phương trình đưa việc giải 58 phương trình nghiệm phức *) Ví dụ áp dụng   u + 8u + v =  u2 + v Ví dụ 2.38 Giải hệ phương trình   v + u − 8v = −1 u2 + v Bài toán xây dựng sau:    z1 + z2 = − i Từ hai số phức z1 = − 3i, z2 = + 2i suy   z1 z2 = + i Vậy z1 , z2 nghiệm phương trình z − (3 − i)z + + i = 8+i =3−i z (8 + i)¯ z ⇔z+ = − i zz ¯ ⇔z+ Giả sử z = u + iv, u, v ∈ R phương trình trở thành u − iv 8u + v (u − 8v)i = − i ⇔ u + iv + + =3−i + v2 u u +v u + v2   u + 8u + v =  8u + v u − 8v u2 + v ⇔u+ + (v + )i = − i ⇔ 2  u +v u +v  v + u − 8v = −1 u2 + v u + iv + (8 + i) Đi ngược lại phần xây dựng toán ta lời giải toán Nếu thay u, v biểu thức khác x, y ta nhiều toán Ta xét toán tương tự  √   x + 7x + 2y = 3√2   x2 + y Ví dụ 2.39 Giải hệ phương trình √    y + 2x − 7y =  x2 + y 2 + y2 = Giải ĐK: x (1) (2) Nhân hai vế phương trình (2) với i cộng vế theo vế với phương trình (1) có √ √ √ 7x + 2y 2x − 7y x + iy + + i = + 2i x + y2 x + y2 √ √ 7(x − iy) 2(x − iy) ⇔ x + iy + + i = + 2i 2 + y2 x +y x Đặt z = x + iy ⇒ z = x − iy, z.¯ = x2 + y phương trình trở thành ¯ z 59 √ √ 7¯ z 2¯ z z+ + i = + 2i z.¯ z z.¯ z √ √ ⇔z+ + i = + 2i z z √ √ ⇔ z − (3 + 2i)z + + 2i = (3) √ √ √ √ Có ∆ = (3 + 2i) − 4(7 + 2i) = −14 + 2i có hai bậc hai ±( + 4i) √ √ Phương trình (3) có nghiệm z1 = 2 + 3i, z2 = − i √ √ Nên hệ cho có nghiệm (2 2; 3),  2; −1) (  √3x(1 + ) =   x+y Ví dụ 2.40 Giải hệ phương trình √   2y(1 − ) =  x+y √ √ Giải ĐK: x > 0, y > Đặt u = x, v = y, u > 0, v > hệ phương trình trở thành  √ √ u u + = (1) )=2  u2 + v u2 + v √ √ ⇔   v(1 −  iv − iv = i 10 (2) ) = 10 + v2 + v2 u u   u(1 +  Cộng vế theo vế (1) (2) ta u + iv + √ √ u − iv = + i 10 u2 + v (3) Đặt z = u + iv ⇒ z = u − iv, z.¯ = u2 + v ¯ z (3) ⇔ z + √ √ √ z ¯ = + i 10 ⇔ z − 2( + i z.¯ z )z + = (4) 2 √ 15 ) −1=− +2 i có hai bậc hai ±( + i 3) 2 2  √ √ 5  z = ( + ) + ( + )i Phương trình (4) có nghiệm   √ 5 √ )+( − 3)i z =( 3− 2 √ 11 √ Vì z = u + iv, u > 0, v > nên u = v = + Do x = y = u2 = + 30 2 11 √ Vậy hệ cho có nghiệm x = y = + 30   (1 + 16 )√5x = 10   2x + y Ví dụ 2.41 Giải hệ phương trình   (1 − 16 ) 2y =  y √ 2x + √ Giải ĐK: x > 0, y > Đặt u = 2x, v = y ⇒ u > 0, v > hệ trở thành √ Ta có ∆ = ( + i 60 √ 16 )u = 10 +v √ 16   (1 − )v = 2 + v2 u   (1 +  u2 (1) (2) Nhân phương trình (2) với i cộng vế theo vế với phương trình (1) ta u + iv + 16 √ √ u − iv = 2( 10 + i 2) (3) + v2 u Đặt z = u + iv ⇒ z = u − iv, z.¯ = u2 + v Khi ¯ z (3) ⇔ z + 16 √ √ √ √ z ¯ = 2( 10 + i 2) ⇔ z − 2( 10 + i 2)z + 16 = z.¯ z (4) √ √ √ ∆ = −8 + 5i có hai bậc hai ±( + i 10) Phương trình (4) có nghiệm √ √ √ √  z = ( 10 + 2) + ( 10 + 2)i  √ √ √ √ z = ( 10 − 2) + ( − 10)i  Vì z = u + iv, u > 0, v > nên   √ √ √    2x = ( 10 + 2) x = + √ √ u = v = 10 + ⇒ ⇔ √ √ √    y = ( 10 + 2)2  y = 12 +  √  x = + Vậy hệ cho có nghiệm √   y = 12 + Bài tập tương tự Giải  hệ phương trình sau:  x + 3x − y =   x2 + y ĐS: (2;1), (1;-1)   y − x + 3y =  x2 + y  √ √  x(2 +  )=3  2x + 5y ĐS: (2; ) √   5y(2 −  )= 2x + 5y   (1 − 12 )√x =   √ √ y + 3x ĐS: (4 + 3; 12 + 3)   (1 + 12 )√y =  y + 3x 61 Chương MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH 3.1 ỨNG DỤNG TRONG XÉT TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ Ta biết giao điểm hai đồ thị f (x; y) = g(x; y) = nghiệm hệ phương   f (x; y) = trình Vì việc tìm giao điểm hai hay nhiều đồ thị việc giải hệ   g(x; y) = phương trình Ta xét ví dụ minh hoạ: Ví dụ 3.1 Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(0; 1), B(2; 1) đường thẳng d1 : (m − 1)x + (m − 2)y + − m = 0; d2 : (2 − m)x + (m − 1)y + 3m − = a) Chứng minh d1 d2 cắt b) Gọi P giao điểm d1 d2 , tìm m cho P A + P B lớn Giải a) Xét hệ    (m − 1)x + (m − 2)y + − m = m−1 m−2 có D = m−2 2−m Dx = = 4m2 − 14m + 12; Dy = = 2m2 − 6m + 5; 2−m m−1   (2 − m)x + (m − 1)y + 3m − = 2−m m−1 = −2m2 + 4m − 3m − − m m − 3m − 2 Do D = 2(m − ) + > 0, ∀m ∈ R nên hệ phương trình có nghiệm Vậy d1 d2 cắt điểm P 62  − 2m  x = Dx = +  D 2m2 − 6m + b) Toạ độ P − 2m   y = Dy = −1 + − 6m + D 2m 4 =8− = Ta có P A ; PB ⇒ P A2 + P B = − 6m + − 6m + 2m 2m Theo bất đẳng thức Bunyacopxki ta có (P A + P B)2 ≤ 2(P A2 + P B ) = 16 ⇒ P A + P B ≤ ⇒ max(P A + P B) = Đạt 4 = − 6m + − 6m +  2m m = ⇔ m2 − 3m + = ⇔  m=2 √ Ví dụ 3.2 Cho hai đường thẳng d1 : ay + x = 0, d2 : x − a = 0, (a = 0) đường tròn P A = P B ⇔ P A2 = P B ⇔ − 2m2 (C) : x2 + y = Tìm a để d1 , d2 (C) đồng quy Giải   √  ay + x = a = ±         √ √ Xét hệ: x − a = ⇔ x = ±          x + y2 =  y = −√3 √ Vậy với a = ± hệ có nghiệm tức d1 , d2 (C) đồng quy 3.2 ỨNG DỤNG TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Chúng ta đưa phương trình hệ phương trình hai ẩn ẩn ẩn phương trình, tìm nghiệm hệ sau tìm nghiệm phương trình √ √ √ Ví dụ 3.3 Giải phương trình x − + x + = 2x + √ √ Giải Đặt u = x − 2; v = x  ta có hệ +     u + v = u3 + v  u + 3uv(u + v) + v = u3 + v ⇔    u − v = −5  u − v = −5     √    u = − u + v =   uv(u + v) = u = ⇔ ⇔ ∨ ∨ √     u − v = −5 v = v =   u − v = −5 ⇒ x = ∨ x = −3 ∨ x = − Vậy phương trình cho có nghiệm x ∈ 2; −3; − 63 Ví dụ 3.4 Giải phương trình 8x − 5(5x2 − 1) = −4 Ý tưởng: Phương trình xây dựng để giải hệ phương trình đối xứng loại sau: Đặt ay + b = 5x2 − ta có hệ    ay + b = 5x − ⇒   8x − 5(ay + b)2 = −4    ay + b + = 5x2   8x + − 5b2 = 5a2 y + 10aby   a = = b+1   a = 5a2 − 5b2 ⇒ Để hệ hệ đối xứng loại    10ab = b = Giải Đặt 2y = 5x2 − (1) ta có hệ    2y = 5x2 −    2y = 5x2 − ⇔    8x − 5.4y = −4  2x = 5y −  y=x  Trừ vế theo vế ta 2(y − x) = 5(x2 − y ) ⇔  5x + y=− √ − 2x − = ⇔ x = ± +) Với y = x thay vào (1) ta 5x 5x + +) Với y = − thay vào (1) ta có 10x + −1 ± − = 5x2 − ⇔ 25x2 + 10x − = ⇔ x = 5 √ √ √ ± −1 ± ; 5 Vậy phương trình cho có tập nghiệm S = √ √ Ví dụ 3.5 Giải phương trình 3x − + − 5x − = (∗) Giải ĐK: x ≤   √    u = 3x −  u = 3x − ⇔ ⇒ 5u3 + 3v = (1) Đặt √    v = − 5x  v = − 5x Phương trình (*) trở thành 2u + 3v = (2) Từ (1) (2) ta có hệ    2u + 3v =    v = − 2u    u = −2 ⇔ ⇔ ⇒ x = −2   4u2 − 32u + 64   5u + 3v =  5u + v = =8 Vậy phương trình có nghiệm x = −2 √ √ • Dạng tổng quát: k ax + b + m cx + d = e  √   u = ax + b Đặt chuyển phương trình hệ phương trình hai ẩn u, v √   v = cx + d 64 √ Ví dụ 3.6 Giải phương trình x3 + = 2x − Giải Đặt y =    √ 2x − ⇒ y = 2x − ta có hệ sau x3 + = 2y ⇒ x3 − y = 2(y − x) ⇔ (x − y)(x2 + y + xy + 2) = ⇔ x = y   y + = 2x √ −1 ± x = y ⇒ 2x − = x ⇔ − 2x + = ⇔ x = ∨ x = √ −1 ± Vậy phương trình có tập nghiệm S = 1; x3 Ví dụ 3.7 Giải phương trình: 3x2 + 6x − = Giải √ x+7 (∗) ĐK: x ≥ −7 1 Ta có (∗) ⇔ (x + 1)2 − = (x + 1) + 3  u = x +   Đặt (1)   v = (x + 1) + (v ≥ 0)  √  + 73  u = v = 6√   u2 − = v   + 69 ⇔ Ta có hệ:  u = −    v2 − = u √    v = 69 − √ √ + 73 73 − thay vào (1) ta có x = +) Với u = v = 6  √ + 69  √  u = − + 69 +) Với thay vào (1) ta có x = − √    v = 69 − √ √ 73 − + 69 ,x=− Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = 6 • Dạng tổng quát: +) f n (x) + a = b n bf (x) − a     n  u = f (x)  u + a = bv Đặt ta có hệ   n  v = n bf (x) − a  v + a = bu +) f n (x) + a n b − af (x) = b     n  u = f (x)  u + av = b Đặt ta có hệ   n  v = n b − af (x)  v + au = b 65 3.3 ỨNG DỤNG TRONG TÌM GTLN, GTNN Sau ta xét số ví dụ ứng dụng giải hệ phương trình đối xứng loại việc tìm GTLN, GTNN Ví dụ 3.8 Cho x, y hai số thực dương thoả mãn x + y = 12 x2 y Tìm GTNN biểu thức A = + y x Giải   x + y = 12  Xét hệ phương trình y2 x  + =A y x    x + y = 12  x + y = 12    ⇔ ⇔ 3 + y3 x  (x + y) − 3xy(x + y)   =A =A  xy xy      S = 12  S = 12 S = x + y   Đặt ta hệ ⇔ 3   12   P = xy   P = 12 − 36 = A 36 + A P 4.123 12 − A Hệ có nghiệm S ≥ 4P ⇔ 122 ≥ ⇔ ≤ ⇔ A ≥ 12 36 + A 36 + A    x + y = 12 A = 12 ⇒ P = 36 ⇒ ⇔ x = y =   xy = 36 Vậy GTNN A 12 x = y = Ví dụ 3.8 Cho số thực x = 0, y = thoả mãn (x + y)xy = x2 + y − xy 1 Tìm GTLN biểu thức A = + x y Giải   1+1 = + −  (x + y)xy = x2 + y − xy    x y x2 y xy Xét hệ phương trình ⇔  + =A     + =A 3 x y x y    a + b = a2 + b2 − ab 1 Đặt a = , b = , a, b = Ta có hệ  x y  a + b3 = A       S2 = A S = a + b  S = S − 3P  Đặt hệ trở thành ⇔     S(S − 3P ) = A P = S − S  P = ab 2 ≥ 4P ⇔ S ≥ 4(S − S) ⇔ S − 4S ≤ ⇔ ≤ S ≤ Hệ có nghiệm S ⇒ S ≤ 16 ⇒ A ≤ 16 66 Dấu xảy ⇔   S =  P = ⇔a=b=2⇔x=y= Vậy GTLN A 16 x = y = √ √ Ví dụ 3.10 Cho hai số thực x, y thoả mãn x − + x = y − − y Tìm GTLN, GTNN biểu thức A = x + y Giải Xét hệ phương trình Đặt a = √ + y, b = √  √  x − + x = y − − y  x + y = A y − 3, a, b ≥ Suy x = a2 − 8, y = b2 + Hệ trở thành    a − − 2a = 2b − b2 −    a + b2 − 2(a + b) − = ⇔    a − + b2 + = A  a + b2 = A +   a + b = A := S  Hệ có nghiệm ⇔  A2 − 4A − 20  ab = := P    A ≥0  S ≥ A ≥              A − 4A − 20 ⇔ A2 − 4A − 20 ≥ ⇔ ≥0 P ≥0            A − 4A − 20  A − 8A − 40 ≤  S ≥ 4P  A   ≥  A ≥     √ √ √ √ ⇔ A ≤ − ∨ A ≥ + ⇔ + ≤ A ≤ + 14      − 2√14 ≤ A ≤ + 2√14   √ √   a = + x = −      √   b =  y = S = a + b = − √    ⇔ ⇔ A = +    P = ab =  a =   x = −8     √ √   b = +  y = 10 +  √   x = 10 + 14 √ √ A = + 14 a = b = + 14 ⇒ √   y = 21 + 14 Vậy 67 √ A = + ⇔  √  x = −    x = −8 ∨ √   y =  y = 10 +  √   x = 10 + 14 √ maxA = + 14 ⇔ √   y = 21 + 14 3.4 ỨNG DỤNG TRONG GIẢI BÀI TỐN KINH TẾ Khi phân tích hoạt động thị trường hàng hoá, nhà kinh tế học sử dụng hàm cung hàm cầu để biểu diễn phụ thuộc lượng cung lượng cầu vào giá hàng hố Để xét mơ hình cân thị trường n hàng hố liên quan ta kí hiệu biến số sau: Qsi lượng cung hàng hoá i Qdi lượng cầu hàng hoá i pi giá hàng hoá i Với giả thiết yếu tố khác không thay đổi, hàm cung hàm cầu tuyến tính có dạng: Hàm cung hàng hố i: Qsi = ai0 + ai1 p1 + ai2 p2 + + ain pn (i = 1, 2, , n) Hàm cầu hàng hoá i: Qdi = bi0 + bi1 p1 + bi2 p2 + + bin pn (i = 1, 2, , n) Mơ hình cân thị trường n hàng hố có dạng sau:   Q = a + a p + a p + + a p  si  i0 i1 i2 in n       Qdi = bi0 + bi1 p1 + bi2 p2 + + bin pn   Qsi = Qdi        i = 1, 2, , n Từ hệ phương trình ta suy hệ phương trình xác định giá cân bằng:   a + a p + a p + + a p = b + b p + b p + + b p  10  11 12 1n n 10 11 12 1n n       a20 + a21 p1 + a22 p2 + + a2n pn = b20 + b21 p1 + b22 p2 + + b2n pn          an0 + an1 p1 + an2 p2 + + ann pn = bn0 + bn1 p1 + bn2 p2 + + bnn pn Đặt cik = aik − bik với i = 1, 2, n k = 1, 2, , n ta hệ phương trình: 68   c p + c p + + c p = −c  11  12 1n n 10       c21 p1 + c22 p2 + + c2n pn = −c20          cn1 p1 + cn2 p2 + + cnn pn = −cn0 Giải hệ phương trình tuyến tính ta xác định giá cân tất n hàng hố, sau thay vào hàm cung (hoặc hàm cầu) ta xác định lượng cân Ví dụ 3.11 Giả sử thị trường gồm mặt hàng: hàng hoá hàng hoá 2, với hàm cung hàm cầu sau: Hàng hoá 1: Qs1 = −2 + 3p1 ; Qd1 = 10 − 2p1 + p2 Hàng hoá 2: Qs2 = −1 + 2p2 ; Qd2 = 15 + p1 − p2 Hệ phương trình xác định giá cân là:    − + 3p1 = 10 − 2p1 + p2   − + 2p2 = 15 + p1 − p2 ⇔    5p1 − p2 = 12   − p1 + 3p2 = 16 Giải hệ phương trình ta tìm giá cân mặt hàng: 46 26 ¯ Hàng hoá 1: p1 = ; Hàng hoá 2: p2 = ¯ 7 Thay giá cân vào biểu thức hàm cung ta xác định lượng cung cân : 64 85 ¯ ¯ Hàng hoá 1: Q1 = −2 + 3¯1 = ; Hàng hoá 2: Q2 = −1 + 2¯2 = p p 7 Ví dụ 3.12 Giả sử thị trường gồm mặt hàng: hàng hoá hàng hoá hàng hoá 3, với hàm cung hàm cầu sau: Hàng hoá 1: Qs1 = −10 + 2p1 ; Qd1 = 100 − 5p1 + 3p2 − p3 Hàng hoá 2: Qs2 = −20 + 5p2 ; Qd2 = 120 + 2p1 − 8p2 − 2p3 Hàng hoá 3: Qs3 = 13p3 ; Qd3 = 300 − 10p1 − 5p2 − p3 Hãy xác định giá cân lượng cân mặt hàng? Giải Hệ phương trình xác định giá cân là:    7p1 − 3p2 + p3 = 110  − 10 + 2p1 = 100 − 5p1 + 3p2 − p3         − 20 + 5p2 = 120 + 2p1 − 8p2 − 2p3 ⇔ 2p1 − 13p2 − 2p3 = 140          10p + 5p + 14p = 300  13p = 300 − 10p − 5p − p 3 Giải hệ phương trình ta tìm giá cân mặt hàng sau: 495 320 25 Hàng hoá 1: p1 = ¯ ; Hàng hoá 2: p2 = ¯ ; Hàng hoá 3: p3 = ¯ 23 23 23 69 Thay giá cân vào biểu thức hàm cung ta xác định lượng cung cân : 760 ¯ ; Hàng hoá 1: Q1 = −10 + 2¯1 = p 23 1140 ¯ Hàng hoá 2: Q2 = −20 + 5¯2 = p 23 325 ¯ Hàng hoá 3: Q3 = 13¯3 = p 23 70 KẾT LUẬN Sau thời gian học tập Khoa Toán - Cơ – Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy cô trực tiếp giảng dạy hướng dẫn, đặc biệt TS Phạm Văn Quốc, tơi hồn thành luận văn với đề tài “Một số phương pháp giải hệ phương trình” Luận văn đạt số kết sau: Luận văn trình bày cách hệ thống phương pháp giải hệ phương trình theo trình tự tư Đồng thời đưa phân tích, bình luận phương pháp, ý tưởng giải hệ phương trình Trình bày cách thiết lập phương trình, hệ phương trình từ hệ phương trình hay từ hai số phức cho trước Đưa số ứng dụng quan trọng hệ phương trình Bước đầu tiếp cận với toán cao cấp Luận văn đưa nhiều ví dụ minh hoạ áp dụng phương pháp đa dạng kèm theo tập tương tự trích từ kì thi học sinh giỏi Tốn Quốc gia, kì thi tuyển sinh Đại học Cao đẳng năm Vì luận văn tài liệu tham khảo nhằm nâng cao mở rộng kiến thức cho học sinh bậc trung học phổ thông Mặc dù cố gắng thời gian có hạn, luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận đóng góp ý kiến thầy bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện 71 Tài liệu tham khảo [1] Hà Văn Chương (2012), "Tuyển chọn giải hệ phương trình, hệ bất phương trình, phương trình, bất phương trình khơng mẫu mực", NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [2] Phan Huy Khải (2012), "Phương trình bất phương trình", NXB Giáo dục Việt Nam [3] PGS.TS Nguyễn Văn Lộc (chủ biên) Th.S Phan Anh Tài-Nguyễn Văn Cộng-Nguyễn Ngọc Giang (2012), "Các phương pháp khơng mẫu mực giải tốn phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình kì thi đại học thi vơ địch Tốn", NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [4] PGS.TS Nguyễn Văn Lộc (chủ biên) (2012), "Tuyển chọn thi vô địch Toán địa phương" – Quốc gia – Quốc tế, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [5] Nguyễn Vũ Lương (Chủ biên)- Phạm Văn Hùng – Nguyễn Ngọc Thắng (2006), "Hệ phương trình phương trình chứa thức", NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [6] Nguyễn Văn Mậu, "Phương pháp giải phương trình bất phương trình", Nhà xuất Giáo dục [7] Nguyễn Tất Thu (2013), "Cẩm nang luyện thi đại học đại số sơ cấp", NXB Tổng hợp Thành phố Hồ Chí Minh [8] Ban tổ chức kì thi (2013), "Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng 4", lần thứ XIX – 2013 Toán học, NXB Đại học sư phạm 72 ... Chương MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2.1 PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ *) Cơ sở phương pháp: Khi giải hệ phương trình ta thường biến đổi phương trình cách hợp lý để nhận hệ mà phương trình. .. vịng quanh phương pháp cộng Chương Một số phương pháp giải hệ phương trình Ở chương này, luận văn nêu số phương pháp giải nghĩ tới gặp hệ phương trình mà khơng sử dụng dạng chương Chương Một vài... dụng phương pháp thấy số phương trình hệ số ẩn Tuy nhiên có hệ số phương trình số ẩn ta sử dụng phương pháp Ví dụ 2.27 Giải hệ phương trình  √  4x + + 4y + + √ 4z + =  x + y + z = Giải Đây hệ