Mục lục Lời Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Chương 1. Các kiến thức cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1. Phép chia trong tập hợp các số nguyên. . . . . 6 1.1.1. Phép chia hết . . . . . . . . 6 1.1.2. Phép chia có dư. . . . . . . . . . 7 1.1.3. Số nguyên tố, hợp số . . . . . . . 8 1.1.4. Ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất . . . . 8 1.1.5. Một số tính chất khác về chia hết . . . . . 9 1.1.6. Một vài hàm số học thông dụng . . . . . . 9 1.2. Đồng dư . . . . . . . . . . 11 1.2.1. Khái niệm đồng dư . . . . . . . . 11 1.2.2. Một số tính chất của đồng dư thức. . . . . 12 1.2.3. Hệ thặng dư và lớp thặng dư. . . . . 12 1.2.4. Một số định lý nổi tiếng trong lý thuyết đồng dư . . 13 Chương 2. Một số phương pháp giải bài toán chia hết. . . . . . . 15 2.1. Phương pháp áp dụng các tính chất của phép chia hết . . 15 2.1.1. Áp dụng các tính chất cơ bản của phép chia hết. . . 15 2.1.2. Phương pháp xét số dư . . . . . . 21 2.1.3. Áp dụng hằng đẳng thức. . . . . . . . 26 2.2. Phương pháp áp dụng đồng dư . . . . . . 28 2.2.1. Áp dụng tính chất của đồng dư thức . . . . . . 28 2.2.2. Áp dụng các định lý về đồng dư. . . . . . . 33 2 2.3. Một số phương pháp khác . . . . . . . 40 2.3.1. Phương pháp quy nạp toán học . . . . . . . 40 2.3.2. Phương pháp chứng minh phản chứng. . . . . 44 2.3.3. Sử dụng nguyên lý Dirichlet. . . . . . 46 Chương 3. Một số bài toán áp dụng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.1. Một số áp dụng trong giải phương trình nghiệm nguyên . 48 3.2. Một số bài toán về tính chia hết các số hạng của dãy số nguyên . 53 3.3. Một số bài toán về tìm số nguyên thỏa mãn điều kiện cho trước liên quan đến chia hết . . . . . . . . . 57 3.4. Một số bài tập khác . . . . . . . 62 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Tài liệu tham khảo . . . . 68 3 Lời mở đầu Số học là một phân môn quan trọng và là lĩnh vực cổ xưa nhất của Toán học. Số học sớm được giảng dạy trong chương trình phổ thông từ khi học sinh bắt đầu học Toán học, với việc làm quen với các con số và các khái niệm đơn giản như tính chia hết, ước số chung lớn nhất, bội số chung nhỏ nhất,. Cho đến các công trình nghiên cứu của các nhà khoa học, Số học cũng là lĩnh vực có nhiều những bài toán, giả thuyết đang được nghiên cứu và chưa được giải đáp. Trên con đường tìm kiếm lời giải cho những bài toán, giả thuyết đó, nhiều tư tưởng lớn, lý thuyết lớn của Toán học đã được nảy sinh. Trong chương trình phổ thông hiện nay, Số học chưa được giành nhiều thời gian để học chuyên sâu nhưng là lĩnh vực xuất hiện nhiều trong các đề thi Học sinh giỏi các cấp và trở thành một bộ phận quan trọng trong chương trình giảng dạy Toán ở các lớp chọn và các lớp chuyên Toán, là công cụ tốt để rèn luyện trí thông minh và tư duy Toán học. Tác giả đã lựa chọn đề tài “Bài toán chia hết trong số học” với mục đích tham khảo để tiếp cận và hoàn thiện thêm những vấn đề cơ bản của Số học, làm cơ sở học tập và nghiên cứu các lĩnh vực khác của lý thuyết số sơ cấp. Luận văn gồm 3 chương: Chương 1 – Các kiến thức cơ sở. Trong chương này, tác giả trình bày tóm tắt lại một số khái niệm, tính chất về phép chia trong tập các số nguyên và một số vấn đề liên quan. Trong đó, lý thuyết đồng dư là một công cụ cơ bản và mạnh mẽ để giải các bài toán chia hết. 4 Chương 2 – Một số phương pháp giải bài toán chia hết. Trong chương này, tác giả trình bày một số phương pháp phổ biến thường được sử dụng trong các bài toán liên quan đến chia hết như: phương pháp sử dụng các tính chất của phép chia hết, phương pháp sử dụng lý thuyết đồng dư và các định lý nổi tiếng, phương pháp quy nạp toán học, phương pháp chứng minh bằng phản chứng, phương pháp áp dụng nguyên lý Dirichlet, . Chương 3 – Một số bài toán áp dụng. Trong chương này, tác giả trình bày một số bài toán của Số học liên quan đến phép chia hết như: áp dụng trong giải các phương trình nghiệm nguyên, tính chất chia hết của các số hạng của dãy số nguyên, bài toán tìm số nguyên thỏa mãn tính chất cho trước,. Với tất cả sự cố gắng, nhưng với thời gian, năng lực có hạn, luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các Thầy giáo, Cô giáo và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. 5 Chương 1 Các kiến thức cơ sở Trong số học, tính chất chia hết giữ một vị trí quan trọng. Nó là cơ sở để đưa ra và giải quyết các bài toán về số nguyên tố, hợp số, ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất, lý thuyết đồng dư, Trong chương này, chúng ta cùng hệ thống lại một số kiến thức cơ bản và thường xuyên được áp dụng trong các bài toán về chia hết trong số học. 1.1. Phép chia trong tập hợp các số nguyên Trong tập hợp các số nguyên, các phép toán cộng, trừ, nhân luôn thực hiện được. Tuy vậy, phép chia một số nguyên a cho một số nguyên b = 0 không phải lúc nào cũng thực hiện được. Khi phép chia số nguyên a cho số nguyên b = 0 được thương là một số nguyên x thỏa mãn phương trình bx = a thì ta nói rằng a chia hết cho b. 1.1.1. Phép chia hết Định nghĩa 1.1. Cho a, b là các số nguyên, b khác 0. Ta nói rằng a chia hết cho b (hay b chia hết a) nếu tồn tại số nguyên c sao cho a = bc. Khi đó, ta còn nói a là bội số của b hay b là ước số của a. Ký hiệu là: a . . . b hay b |a. 6 Trên tập hợp các số nguyên, ta có các tính chất sau: Tính chất 1.2. 1. Với mọi số nguyên a = 0, ta có: a |0. 2. Với mọi số nguyên a, ta có: 1 |a. 3. (Tính chất phản xạ) a |a. 4. (Tính chất bắc cầu) Nếu a|b và b|c thì a|c. 5. Nếu a|b và a|c thì a |(mb + nc). Nếu a|b và a|(b ± c) thì a|c. 6. Nếu a|c và b|c thì (ab)|(cd). Nếu a|b thì với mọi số tự nhiên n, ta có: (a n ) |(b n ). 7. Nếu a|b thì |a| ≤ |b|. Vì vậy: Nếu a|b và a, b nguyên dương thì a ≤ b. Nếu a|b và b|a thì |a| = |b|. 8. Nếu a|b thì (±a) | (±b). Mọi số nguyên a đều có ±1 và ±a (nếu a = 0) là các ước số của a, gọi là các ước tầm thường của a. Các ước số còn lại gọi là ước thực sự của a. 1.1.2. Phép chia có dư Định lý 1.3. Cho a, b là các số nguyên, b khác 0. Khi đó tồn tại duy nhất cặp số nguyên (q, r), sao cho a = bq + r, 0 ≤ r < |b|. Định nghĩa 1.4. Cho a, b là các số nguyên, b khác 0. Khi đó, ta nói rằng a chia cho b có thương là q và số dư là r nếu a = bq + r, 0 ≤ r < |b|. Khi r = 0 thì ta được a chia hết cho b. Khi r = 0 thì ta nói rằng a không chia hết cho b. 7 1.1.3. Số nguyên tố, hợp số Định nghĩa 1.5. Số nguyên tố là số nguyên dương lớn hơn 1 và chỉ có hai ước số nguyên dương là 1 và chính nó. Số nguyên dương khác 1 và không là số nguyên tố được gọi là hợp số. Định lý 1.6 (Euclide). Tập hợp các số nguyên tố là vô hạn. Định lý 1.7 (Định lý cơ bản của số học). Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được thành tích các thừa số nguyên tố và phân tích đó là duy nhất nếu không kể đến thứ tự các thừa số nguyên tố. 1.1.4. Ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất Định nghĩa 1.8. Ước chung lớn nhất của hai số nguyên a, b không đồng thời bằng 0 là số nguyên lớn nhất chia hết cả a và b, ký hiệu là (a, b). Khi (a, b) = 1, ta nói rằng hai số a và b nguyên tố cùng nhau. Tính chất 1.9. 1. (ma, mb) = m (a, b), với mọi m nguyên dương. Nếu d > 0 là ước chung của a, b thì  a d , b d  = (a, b) d . Nếu (a, b) = d thì  a d , b d  = 1 . 2. Nếu m|a, m|b thì m|(a, b). 3. (a, b) = (a, −b) = (b, a) = (b, a + kb), với mọi số nguyên k. 4. Nếu (a, m) = (b, m) = 1 thì (ab, m) = 1. 5. Nếu m|(ab)và (m, a) = 1 thì m|b. 6. Nếu a . . .m, a . . .n và (m, n) = 1 thì a . . . (mn). Định lý 1.10. Cho a và b là các số nguyên, và d = (a, b). Khi đó tồn tại các số nguyên m, n sao cho d = ma + nb. 8 Hệ quả 1.11. 1. (a, b) = min {x = ma + nb : x > 0, m, n ∈ Z}. 2. (a, b) = 1 ⇔ ∃m, n ∈ Z : ma + nb = 1. Định nghĩa 1.12. Bội chung nhỏ nhất của hai số nguyên a, b khác 0 là số nguyên dương nhỏ nhất chia hết cho cả a và b, ký hiệu là [a, b]. Định lý 1.13. Cho a và b là các số nguyên dương. Ta có (a, b) [a, b] = ab. Tính chất 1.14. 1. [ma, mb] = m [a, b], với mọi m nguyên dương. 2. Nếu a|m, b|m thì [a, b] |m. 3. Nếu d > 0 là ước chung của a, b thì  a d , b d  = [a, b] d . 4. Cho k là một bội chung của a và b. Ta có k = [a, b] ⇔  k a , k b  = 1. Cách tìm ƯCLN, BCNN của hai số bằng cách phân tích thành thừa số nguyên tố. Giả sử a = k  i=1 p α i i , b = k  i=1 p β i i thì (a, b) = k  i=1 p min{α i ,β i } i , [a, b] = k  i=1 p max{α i ,β i } i 1.1.5. Một số tính chất khác về chia hết 1. Cho p là số nguyên tố. Khi đó nếu (ab) . . .p thì a . . .p hoặc b . . .p. 2. Cho p là số nguyên tố, a n . . .p ⇒ a . . .p. 3. Tích của n số nguyên liên tiếp thì chia hết cho n!. 1.1.6. Một vài hàm số học thông dụng Hàm phần nguyên: Cho x là số thực. Ta gọi phần nguyên của x, ký hiệu là [x], là số nguyên lớn nhất không vượt quá x. Ta gọi phần lẻ của x, ký hiệu là {x}, là số {x} = x −[x]. 9 Hàm số lượng các ước nguyên dương: Cho n là số nguyên dương. Khi đó ta ký hiệu τ (n) là số lượng các ước nguyên dương của n. Vài tính chất của τ (n) : 1. τ (n) là hàm nhân tính : Với mọi số nguyên dương n 1 , n 2 nguyên tố cùng nhau, ta có : τ (n 1 .n 2 ) = τ (n 1 ) .τ (n 2 ). 2. Nếu p là số nguyên tố thì τ (p) = 2. 3. Nếu số nguyên dương n có khai triển chính tắc n = p α 1 1 p α 2 2 ···p α k k thì τ (n) = (α 1 + 1) (α 2 + 1) (α k + 1). Hàm tổng các ước nguyên dương: Cho số nguyên dương n. Khi đó ta ký hiệu σ (n) là tổng tất cả các ước nguyên dương của n (kể cả 1 và n). Vài tính chất của hàm σ (n) : 1. σ (n) là hàm nhân tính : Với mọi số nguyên dương n 1 , n 2 nguyên tố cùng nhau, ta có : σ (n 1 .n 2 ) = σ (n 1 ) .σ (n 2 ). 2. Nếu p là số nguyên tố thì σ (p) = p + 1. 3. Nếu số nguyên dương n có khai triển chính tắc n = p α 1 1 p α 2 2 ···p α k k thì σ (n) = p α 1 +1 1 − 1 p 1 − 1 · p α 2 +1 2 − 1 p 2 − 1 · · · p α k +1 k − 1 p k − 1 . Hàm Eule: Cho n là số nguyên dương. Khi đó ta ký hiệu ϕ (n) là số lượng các số nguyên dương không vượt quá n và nguyên tố cùng nhau với n. ϕ (n) = {x ∈ N ∗ : 0 < x < n, (x, n) = 1} Vài tính chất của hàm ϕ (n) : 1. ϕ (n) là hàm nhân tính: Với mọi số nguyên dương n 1 , n 2 nguyên tố cùng nhau, ta có : ϕ (n 1 .n 2 ) = ϕ (n 1 ) .ϕ (n 2 ). 2. Nếu p là số nguyên tố thì: ϕ (p) = p−1; ϕ  p k  = p k −p k−1 , (k ∈ N ∗ ). 3. (Định lý Gauss) Với mọi số nguyên dương n, ta có :  d|n ϕ (d) = n. 10 4. Nếu số nguyên dương n có khai triển chính tắc n = p α 1 1 p α 2 2 ···p α k k thì ϕ (n) = n  1 − 1 p 1  1 − 1 p 2  ···  1 − 1 p k  . Hàm tổng các chữ số của n viết trong hệ thập phân: Cho n là số nguyên dương. Khi đó ta ký hiệu S (n) là tổng các chữ số của n viết trong hệ thập phân. Vài tính chất của S (n) : 1. Với mọi n nguyên dương, ta có : 0 < S (n) ≤ n. 2. S (n) = n ⇔ 1 ≤ n ≤ 9. 3. Với mọi m, n nguyên dương, ta có : S (m + n) ≤ S (m) + S (n) , S (m.n) ≤ S (m) .S (n) . 1.2. Đồng dư Lý thuyết đồng dư do nhà toán học Gauss (1777-1855) trình bày trong tác phẩm "Disquisitiones Arithmeticae". Phần chính của sách được viết khi ông còn là sinh viên và xuất bản năm 1801 khi ông mới 24 tuổi. Ngày nay lý thuyết được thừa nhận là một công cụ cực kỳ cơ bản và đầy sức mạnh khi nghiên cứu lý thuyết số. 1.2.1. Khái niệm đồng dư Định nghĩa 1.15. Cho số nguyên dương m. Nếu hai số nguyên a và b có cùng số dư khi chia cho m thì ta nói rằng a và b đồng dư với nhau theo modulo m, kí hiệu là a ≡ b (mod m). Nói cách khác, a và b đồng dư với nhau theo modulo m khi và chỉ khi a −b chia hết cho m. Hay a ≡ b (mod m) ⇔ ∃t ∈ Z : a = b + mt. Hệ thức a ≡ b (mod m) được gọi là một đồng dư thức. Cách viết như trên thuận tiện cho việc phát biểu và tính toán. 11 [...]... bài toán sau: Ví dụ 12 Cho x, y là các số nguyên Chứng minh rằng 1) Nếu x2 + y 2 chia hết cho 3 thì x và y cùng chia hết cho 3 2) Nếu x2 + y 2 chia hết cho 7 thì x và y cùng chia hết cho 7 Lời giải 1) +) Nếu trong hai số x, y chỉ có một số chia hết cho 3 thì rõ ràng x2 + y 2 không chia hết cho 3, trái với giả thiết +) Nếu cả hai số x, y không chia hết cho 3 thì x2 + y 2 chia cho 3 chỉ có thể nhận số. .. − (3a + b) chia hết cho 7 Nhưng (2; 7) = 1 nên 2a + 3b chia hết cho 7 2 2 Khi đó 5a2 +15ab−b2 = 14a2 +21ab−(3a + b) = 7a (2a + 3b)−(3a + b) chia hết cho 49 2 3) Ta có a2 − 3ab + 4b2 = (a + 2b) − 7ab +) Nếu a2 − 3ab + 4b2 chia hết cho 49 thì cũng chia hết cho 7 2 Suy ra (a + 2b) chia hết cho 7 nên 2a + b chia hết cho 7 2 Khi đó (a + 2b) chia hết cho 49 nên 7ab chia hết cho 49 hay ab chia hết cho 7 Từ... thừa cho số nguyên tố, 15 Ví dụ 1 Cho a, b, c là các số nguyên Chứng minh rằng: 1) Nếu 11a + 2b chia hết cho 19 thì 18a + 5b chia hết cho 19 và ngược lại 2) Nếu 5a2 + 15ab − b2 chia hết cho 49 thì 3a + b chia hết cho 7 và ngược lại 3) Nếu a2 − 3ab + 4b2 chia hết cho 49 thì a và b cùng chia hết cho 7 4) Nếu a2 + ab + b2 chia hết cho 9 thì a và b cùng chia hết cho 3 5) Nếu a3 + b3 + c3 chia hết cho 9... nhận số dư là 2 nên x2 + y 2 không chia hết cho 3, trái với giả thiết Vậy x và y cùng chia hết cho 3 2) +) Nếu trong hai số x, y chỉ có một số chia hết cho 7 thì rõ ràng x2 + y 2 không chia hết cho 7, trái với giả thiết 23 +) Nếu cả hai số x, y cùng không chia hết cho 7 thì x2 + y 2 chia cho 7 chỉ có thể nhận một trong các số dư là 1, 2, 3, 4, 5, 6 nên không chia hết cho 7, trái với giả thiết Vậy chỉ... n4 − 14n3 + 71n2 − 154n + 120 chia hết cho 24 với mọi số nguyên n 3) C = n4 − 4n3 − 4n2 + 16n chia hết cho 384 với mọi số nguyên n chẵn 4) D = n5 − 5n3 + 4n chia hết cho 120 với mọi số nguyên n 5) E = n12 − n8 − n4 + 1 chia hết cho 512 với mọi n là số nguyên lẻ 6) F = n8 − n6 − n4 + n2 chia hết cho 1152 với mọi n là số nguyên lẻ 7) G = n6 − n2 chia hết cho 60 với mọi số nguyên n Lời giải 18 1) Ta có... 9 thì abc chia hết cho 3 Lời giải 1) Ta có hiệu 5 (11a + 2b) − 2 (18a + 5b) = 19a chia hết cho 19 Từ đó suy ra: 11a + 2b chia hết cho 19 khi và chỉ khi 18a + 5b chia hết cho 19 2 2) Ta viết 5a2 + 15ab − b2 = 14a2 + 21ab − (3a + b) +) Nếu 5a2 + 15ab − b2 chia hết cho 49 thì nó cũng chia hết cho 7 2 Khi đó (3a + b) chia hết cho 7 Suy ra 3a + b chia hết cho 7 +) Ngược lại, nếu 3a + b chia hết cho 7 Ta... Một số phương pháp giải bài toán chia hết Có nhiều phương pháp để giải bài toán chia hết Trong chương này, chúng ta cùng hệ thống lại một số phương pháp chứng minh chia hết tiêu biểu thường được áp dụng: 2.1 Phương pháp áp dụng tính chất của phép chia hết, kết hợp với xét số dư, các hằng đẳng thức đáng nhớ, 2.2 Phương pháp áp dụng lý thuyết đồng dư 2.3 Một số phương pháp khác: phương pháp quy nạp toán. .. y, z khi chia cho 3 có cùng số dư, thì một trong các hiệu x − y, x − z, y − z chia hết cho 3, nhưng x + y + z lại không chia hết cho 3, mâu thuẫn Vậy ba số x, y, z có cùng số dư khi chia cho 3 Khi đó, mỗi hiệu x − y, x − z, y − z chia hết cho 3 nên (x − y) (x − z) (y − z) = x + y + z chia hết cho 27 Ví dụ 9 Cho n là số tự nhiên lớn hơn 3 Cho 2n = 10a + b (0 < b < 10) Chứng minh rằng ab chia hết cho... A chia hết cho 6 Có thể biến đổi biểu thức A để được các bài toán tương đương Chẳng hạn, chứng minh rằng: n3 + 5n chia hết cho 6 Bài toán này tương đương với bài toán trên vì ta có biến đổi n3 + 5n = n3 − n + 6n 2) Ta có B = n3 − n n2 + 1 nên chia hết cho 6 Mặt khác, theo định lý Fermat nhỏ, B = n5 − n chia hết cho 5 Do (5, 6) = 1 nên suy ra B chia hết cho 30 • Từ ví dụ trên, ta dễ dàng chứng minh bài. .. nên chia hết cho 2.3.5 = 30 Còn 5n(n − 1)(n + 1) chia hết cho 5.6 = 30 Do đó ta có B = n5 − n chia hết cho 30 • Bài toán này còn có thể chứng minh bằng cách xét số dư của n khi chia cho 3 hay 5 • Chúng ta cũng có thể nhờ định lý Fermat nhỏ để giải bài toán này như sau: 1) Trước hết nhận thấy n và n3 cùng tính chẵn lẻ nên A chia hết cho 2 Thêm nữa, theo định lý Fermat nhỏ, ta có A = n3 − n chia hết . giải các bài toán chia hết. 4 Chương 2 – Một số phương pháp giải bài toán chia hết. Trong chương này, tác giả trình bày một số phương pháp phổ biến thường được sử dụng trong các bài toán liên. Một số bài toán áp dụng. Trong chương này, tác giả trình bày một số bài toán của Số học liên quan đến phép chia hết như: áp dụng trong giải các phương trình nghiệm nguyên, tính chất chia hết. dư, Trong chương này, chúng ta cùng hệ thống lại một số kiến thức cơ bản và thường xuyên được áp dụng trong các bài toán về chia hết trong số học. 1.1. Phép chia trong tập hợp các số nguyên Trong