Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii 1 Các kiến thức chuẩn bị 1 1.1 Hàm cộng tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Giá trị trung bình Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Tỷ sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.4 Giá trị trung bình Pompeiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 Phương trình hàm liên quan đến giá trị trung bình Lagrange. 16 2.1 Phương trình hàm với cặp biến tự do . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Phương trình hàm với 3 biến tự do . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3 Phương trình hàm với n biến tự do . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4 Một số ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3 Phương trình hàm liên quan đến giá trị trung bình Pompeiu. 39 3.1 Các phương trình dạng Stamate . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2 Phương trình Kuczma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.3 Phương trình chuyển động theo quy tắc Simpson . . . . . . . 50 3.4 Một số mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.5 Một số ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Kết luận 81 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 i MỞ ĐẦU Phương trình hàm là một chuyên đề rất khó, hay xuất hiện trong các đề thi Olympic hay đề thi HSG quốc gia, quốc tế. Tuy nhiên, chuyên đề này lại không được dạy một cách chính thống cho học sinh cũng như trong các trường sư phạm. Điều này đã gây ra khó khăn cho giáo viên khi tham gia bồi dưỡng HSG. Là một giáo viên dạy chuyên, tôi muốn nghiên cứu sâu hơn về phương trình hàm và chọn phương trình hàm làm luận văn thạc sĩ của mình. Phương trình hàm vô cùng rộng lớn, trong thời gian ngắn, tôi chỉ có thể nghiên cứu lĩnh vực nhỏ trong đó. Được sự định hướng của thầy hướng dẫn, tôi chọn phương trình hàm liên quan tới các đại lượng trung bình. Có 4 đại lượng trung bình cơ bản là: trung bình cộng, trung bình nhân, trung bình điều hòa và trung bình bình phương. Phương trình hàm chuyển đổi các đại lượng trung bình cơ bản trên được trình bày rõ ràng và cụ thể trong tài liệu [1]. Do đó, trong luận văn của mình, tôi sẽ trình bày các phương trình hàm liên quan đến các giá trị trung bình trong giải tích là trung bình Lagrange và trung bình Pompeiu. Nội dung Luận văn gồm có 3 chương: Chương I. Những kiến thức chuẩn bị. Chương II. Phương trình hàm liên quan đến giá trị trung bình Lagrange. Chương III. Phương trình hàm liên quan đến giá trị trung bình Pompeiu. Hà Nội, Ngày 2 tháng 12 năm 2014 Học viên thực hiện Lê Thị Nhàn. ii Chương 1 NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Mục đích của chương này là trình bày một số kiến thức nhằm chuẩn bị cho chương II và chương III, bao gồm định nghĩa hàm cộng tính, giá trị trung bình Lagrange, giá trị trung bình Pompeiu và một số tính chất của chúng. Nội dung chương này được tham khảo chủ yếu trong tài liệu [1], [2], [3]. 1.1 Hàm cộng tính Định nghĩa 1.1. Hàm số f : R −→ R được gọi là hàm cộng tính nếu nó thỏa mãn f(x + y) = f(x) + f(y), ∀x, y ∈ R. (1.1) Phương trình (1.1) được đề cập đầu tiên bởi A.M. Legendre (1791) và C.F. Gauss (1809), nhưng A.L. Cauchy (1821) là người đầu tiên tìm ra nghiệm liên tục tổng quát. Định nghĩa 1.2 (Xem [1]). Hàm số f : R −→ R được gọi là hàm tuyến tính nếu nó có dạng f(x) = ax, ∀x ∈ R, trong đó, a ∈ R là hằng số tùy ý. Định lý 1.1 (Xem [8]). Cho hàm số f : R −→ R là một hàm cộng tính liên tục. Khi đó, f là một hàm tuyến tính, nghĩa là f(x) = ax, ∀x ∈ R, trong đó, a là hằng số thực tùy ý. Định lý 1.2 (Xem [8]). Nếu một hàm cộng tính liên tục tại một điểm thì nó liên tục tại mọi điểm trên R. 1 Như vậy, chúng ta đã chứng tỏ các hàm cộng tính liên tục là tuyến tính. Thậm chí nếu chúng ta giảm điều kiện liên tục về liên tục tại một điểm, các hàm cộng tính vẫn còn tuyến tính. Trải qua nhiều năm, sự tồn tại của hàm cộng tính gián đoạn là một bài toán mở. Các nhà toán học không thể chứng minh mọi hàm cộng tính là liên tục và không đưa ra được một ví dụ về hàm cộng tính gián đoạn. Nhà toán học người Đức G. Hamel vào năm 1905 là người đầu tiên thành công trong việc chứng minh sự tồn tại các hàm cộng tính gián đoạn (xem [8]). 1.2 Giá trị trung bình Lagrange Định lý 1.3 (Định lý Lagrange). Mọi hàm f : R → R liên tục trên [x 1 , x 2 ], khả vi trên (x 1 , x 2 ), luôn tồn tại một điểm η ∈ (x 1 , x 2 ) sao cho f(x 1 ) − f(x 2 ) x 1 − x 2 = f  (η). (1.2) Ý nghĩa hình học của Định lý Lagrange: Nếu có cát tuyến cắt đồ thị (C) của hàm f tại hai điểm A(x 1 , f(x 1 )) và B(x 2 , f(x 2 )) thì trên đồ thị (C) tồn tại điểm C(η, f(η)), η ∈ (x 1 , x 2 ) sao cho tiếp tuyến tại C song song với đường thẳng AB. Tỷ số f(x 1 ) − f(x 2 ) x 1 − x 2 được gọi là tỷ sai phân của hàm f đối với hai điểm phân biệt x 1 , x 2 . Trong mục tiếp theo, chúng tôi tìm hiểu và trình bày một số kết quả có liên quan đến tỷ sai phân. 1.3 Tỷ sai phân Định nghĩa 1.3 (Xem [8]). Tỷ sai phân của hàm f : R → R đối với n điểm phân biệt x 1 , x 2 , . . . , x n được kí hiệu là f[x 1 , x 2 , . . . , x n ] và được xác định bởi: f[x 1 ] = f(x 1 ) và f[x 1 , x 2 , . . . , x n ] = f[x 1 , x 2 , . . . , x n−1 ] − f[x 2 , x 3 , . . . , x n ] x 1 − x n , ∀n ≥ 2. 2 Theo định nghĩa trên, ta có f[x 1 , x 2 ] = f(x 1 ) − f(x 2 ) x 1 − x 2 , và f[x 1 , x 2 , x 3 ] = (x 3 − x 2 )f(x 1 ) + (x 1 − x 3 )f(x 2 ) + (x 2 − x 1 )f(x 3 ) (x 1 − x 2 )(x 2 − x 3 )(x 3 − x 1 ) . Định lý 1.4. Tỷ sai phân n- điểm của f có thể được biểu diễn thành f[x 1 , x 2 , . . . , x n ] = n  j=1 f(x j ) n  k=1 k=j (x j − x k ) , ∀n ∈ N ∗ . (1.3) Chứng minh. : Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp theo n. Với n = 1 và n = 2, ta có f[x 1 ] = f(x 1 ) và f[x 1 , x 2 ] = f(x 1 ) x 1 − x 2 + f(x 2 ) x 2 − x 1 = f(x 1 ) − f(x 2 ) x 1 − x 2 . Do đó, biểu thức đúng khi n = 1 và n = 2. Giả sử biểu thức đúng với n, ta cần chứng minh biểu thức đúng với n + 1. Theo định nghĩa của tỷ sai phân (Định nghĩa 1.3), ta có f[x 1 , x 2 , . . . , x n+1 ] = 1 x 1 − x n+1 (f[x 1 , x 2 , . . . , x n ] − f[x 2 , x 3 , . . . , x n+1 ]). Theo giả thiết quy nạp, vế phải (VP) của biểu thức trên trở thành V P = 1 x 1 − x n+1  n  j=1 f(x j ) n  k=1 k=j 1 x j − x k − n+1  j=2 f(x j ) n+1  k=2 k=j 1 x j − x k  . Phân tích n  j=1 f(x j ) n  k=1 k=j 1 x j − x k = f(x 1 ) n  k=2 1 x 1 − x k + n  j=2 f(x j ) n  k=1 k=j 1 x j − x k và n+1  j=2 f(x j ) n+1  k=2 k=j 1 x j − x k = f(x n+1 ) n  k=2 1 x n+1 − x k + n  j=2 f(x j ) n+1  k=2 k=j 1 x j − x k . 3 Khi đó V P = f(x 1 ) x 1 − x n+1 n  k=2 1 x 1 − x k + 1 x 1 − x n+1 n  j=2 f(x j ) n  k=1 k=j 1 x j − x k − f(x n+1 ) x 1 − x n+1 n  k=2 1 x n+1 − x k − 1 x 1 − x n+1 n  j=2 f(x j ) n+1  k=2 k=j 1 x j − x k = f(x 1 ) x 1 − x n+1 n  k=2 1 x 1 − x k + f(x n+1 ) x n+1 − x 1 n  k=2 1 x n+1 − x k + n  j=2 f(x j ) x 1 − x n+1  n  k=1 k=j 1 x j − x k − n+1  k=2 k=j 1 x j − x k  = f(x 1 ) n+1  k=2 1 x 1 − x k + f(x n+1 ) n  k=1 1 x n+1 − x k + n  j=2 f(x j ) x 1 − x n+1  1 x j − x 1 − 1 x j − x n+1  n  k=2 k=j 1 x j − x k . Mặt khác n  j=2 f(x j ) x 1 − x n+1  1 x j − x 1 − 1 x j − x n+1  n  k=2 k=j 1 x j − x k = n  j=2 f(x j ) (x j − x 1 )(x j − x n+1 ) n  k=2 k=j 1 x j − x k = n  j=2 f(x j ) n+1  k=1 k=j 1 x j − x k . Do đó V P = f(x 1 ) n+1  k=2 1 x 1 − x k + n  j=2 f(x j ) n+1  k=1 k=j 1 x j − x k + f(x n+1 ) n  k=1 1 x n+1 − x k . 4 Vậy ta có hệ thức f[x 1 , x 2 , . . . , x n+1 ] = n+1  j=1 f(x j ) n+1  k=1 k=j 1 x j − x k . Nhận xét 1.1. Vai trò của x i , i = 1, n trong định nghĩa f[x 1 , x 2 , . . . , x n ] là như nhau. Định lý 1.5. Giả sử f(x) = x l , l ∈ N, khi đó f[x 1 , x 2 , . . . , x n ] =    0 nếu n > l + 1, 1 nếu n = l + 1, x 1 + · · · + x n nếu n = l với mọi số nguyên dương n. Chứng minh. : Với f(x) = x l , l ∈ N, ta đánh giá f[x 1 , x 2 , . . . , x n ]. Khi n = 2, ta có f[x 1 , x 2 ] = f(x 1 ) − f(x 2 ) x 1 − x 2 = x l 1 − x l 2 x 1 − x 2 = (x 1 − x 2 ) l−1  k=0 x k 1 x l−1−k 2 x 1 − x 2 = l−1  k=0 x k 1 x l−1−k 2 =  p 1 +p 2 =l−1 x p 1 1 x p 2 2 , trong đó p 1 , p 2 là các số nguyên không âm. Khi n = 3, ta có f[x 1 , x 2 , x 3 ] = f[x 1 , x 3 ] − f[x 2 , x 3 ] x 1 − x 2 =  p 1 +p 3 =l−1 x p 1 1 x p 3 3 −  p 2 +p 3 =l−1 x p 2 2 x p 3 3 x 1 − x 2 = 1 x 1 − x 2 [(x 1 −x 2 )x l−2 3 +(x 2 1 −x 2 2 )x l−3 3 +· · ·+(x l−2 1 −x l−2 2 )x 3 +(x l−1 1 −x l−1 2 )] = x l−2 3 +(x 1 +x 2 )x l−3 3 +(x 2 1 +x 1 x 2 +x 2 2 )x l−4 3 +· · ·+  p 1 +p 2 =l−3 x p 1 1 x p 2 2 x 3 +  k 1 +k 2 =l−2 x k 1 1 x k 2 2 5 =  p 1 +p 2 +p 3 =l−2 x p 1 1 x p 2 2 x p 3 3 , với p 1 , p 2 , p 3 , k 1 , k 2 là các số nguyên không âm. Tương tự, bằng phép quy nạp, ta có f[x 1 , x 2 , . . . , x n ] =  p 1 +p 2 +···+p n =l−n+1 x p 1 1 x p 2 2 . . . x p n n , trong đó p 1 , p 2 , . . . , p n là các số nguyên không âm. Khi đó với n = l, ta có f[x 1 , x 2 , . . . , x l ] =  p 1 +···+p l =1 x p 1 1 x p 2 2 . . . x p l l . Vì p 1 , p 2 , . . . , p l là các số nguyên không âm nên từ p 1 + · · · + p l = 1, suy ra p k = 1 và p j = 0, ∀j = k. Do đó ta có  p 1 +···+p l =1 x p 1 1 x p 2 2 . . . x p l l = l  j=1 x j và như vậy f[x 1 , x 2 , . . . , x l ] = l  j=1 x j . Tương tự, khi n = l + 1 thì f[x 1 , x 2 , . . . , x l+1 ] =  p 1 +···+p l+1 =0 x p 1 1 x p 2 2 . . . x p l+1 l+1 = 1 và f[x 1 , x 2 , . . . , x l+2 ] = f[x 1 , x 2 , . . . , x l+1 ] − f[x 2 , x 3 , . . . , x l+2 ] x 1 − x l+2 = 0. Định lý được chứng minh. Định lý 1.6. Giả sử f : R → R có đạo hàm cấp n liên tục trong đoạn [min {x 0 , x 1 , . . . , x n } , max {x 0 , x 1 , . . . , x n }]. Nếu tất cả các điểm x 0 , x 1 , . . . , x n là phân biệt thì f[x 0 , x 1 , . . . , x n ] = 1  0 dt 1 t 1  0 dt 2 . . . t n−1  0 f (n)  x 0 + n  k=1 t k (x k − x k−1 )  dt n , n ≥ 1. (1.4) 6 Chứng minh. : Ta chứng minh định lý bằng phương pháp quy nạp. Với n = 1, biểu diễn (1.4) trở thành f[x 0 , x 1 ] = 1  0 f   t 1 (x 1 − x 0 ) + x 0  dt 1 , x 0 = x 1 . Xét tích phân 1  0 f   t 1 (x 1 − x 0 ) + x 0  dt 1 . Với x 0 = x 1 , đặt z = t 1 (x 1 − x 0 ) + x 0 . Khi đó dz = (x 1 − x 0 )dt 1 hay dt 1 = dz x 1 − x 0 . Khi t 1 = 0 thì z = x 0 và khi t 1 = 1 thì z = x 1 . Do đó, ta có 1  0 f   t 1 (x 1 − x 0 ) + x 0  dt 1 = x 1  x 0 f  (z) dz x 1 − x 0 = x 1  x 0 f  (z)dz x 1 − x 0 = f(x 1 ) − f(x 0 ) x 1 − x 0 = f[x 0 , x 1 ]. Giả sử biểu diễn (1.4) đúng với n − 1, nghĩa là f[x 0 , x 1 , . . . , x n−1 ] =  1 0 dt 1  t 1 0 dt 2 . . .  t n−2 0 f (n−1)  x 0 + n−1  k=1 t k (x k − x k−1 )  dt n−1 . Ta sẽ chỉ ra rằng (1.4) đúng với n. Thật vậy, đặt w = t n (x n − x n−1 ) + · · · + t 1 (x 1 − x 0 ) + x 0 . Khi đó dt n = dw x n − x n−1 , x n = x n−1 . 7 Nếu t n = 0 thì w = w 0 , với w 0 = t n−1 (x n−1 − x n−2 ) + · · · + t 1 (x 1 − x 0 ) + x 0 . Tương tự, nếu t n = t n−1 , thì w = w 1 , với w 1 = t n−1 (x n − x n−2 ) + · · · + t 1 (x 1 − x 0 ) + x 0 . Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có  1 0 dt 1  t 1 0 dt 2 . . .  t n−1 0 f (n)  x 0 + n  k=1 t k (x k − x k−1 )  dt n =  1 0 dt 1  t 1 0 dt 2 . . .  t n−2 0 f (n−1) (w 1 ) − f (n−1) (w 0 ) x n − x n−1 dt n−1 = f[x 0 , x 1 , . . . , x n−2 , x n ] − f[x 0 , x 1 , . . . , x n−2 , x n−1 ] x n − x n−1 = f[x 0 , x 1 , . . . , x n ]. Định lý 1.7 (Định lý giá trị trung bình đối với tỷ sai phân). Cho f : [a, b] → R là một hàm giá trị thực, có đạo hàm cấp n liên tục và x 0 , x 1 , . . . , x n ∈ [a, b]. Khi đó, tồn tại điểm η trong đoạn [min {x 0 , x 1 , . . . , x n } , max {x 0 , x 1 , . . . , x n }] sao cho f[x 0 , x 1 , . . . , x n ] = f (n) (η) n! . Chứng minh. : Vì hàm f (n) (x) liên tục trên [a, b] nên f (n) (x) có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên [a, b]. Đặt m = min f (n) (x) và M = max f (n) (x). Khi đó, từ biểu diễn f[x 0 , x 1 , . . . , x n ] dưới dạng tích phân (Định lý 1.6), ta có m n  k=1  t k−1 0 dt k ≤ f[x 0 , x 1 , . . . , x n ] ≤ M n  k=1  t k−1 0 dt k , 8 [...]... h(0) và b = g(0)) (2.14) Thế f (x) = ax + b vào phương trình (2.13), ta được ax + b − g(y) = (x − y)h(ty), ∀x, y ∈ R, x = y, x = 0 Đồng nhất hai vế của phương trình trên, ta được h(ty) = a và g(y) = h(ty)y + b = ay + b, ∀y ∈ R (2.15) Cho x = 0 trong phương trình (2.13) và sử dụng phương trình (2.15), ta được f (0) = b Do đó phương trình (2.14) đúng với mọi số thực x Từ các phương trình (2.14) và (2.15),... Đặt f (η(x1 , x2 )) = h(x1 , x2 ), ta có phương trình hàm f [x1 , x2 ] = h(x1 , x2 ) Chương này sẽ trình bày một số bài toán phương trình hàm nảy sinh từ định lý giá trị trung bình Lagrange Các kết quả trong chương II và chương III được tham khảo chủ yếu trong tài liệu [4], [5], [6], [7], [8] 2.1 Phương trình hàm với cặp biến tự do Bài toán 2.1 Tìm tất cả các hàm f, h : R → R thỏa mãn f [x, y] = h(x... , mn ; xk ] Vậy ηx − a [m1 , , mn ; xk ] lim = k x→0+ x n−1 1.4 1 k+1−n Giá trị trung bình Pompeiu Vào năm 1946, Pompeiu đưa ra một dạng biến thể của định lý giá trị trung bình Lagrange mà ngày nay gọi định lý giá trị trung bình Pompeiu Định lý 1.11 Với mọi hàm giá trị thực f khả vi trên một đoạn [a, b] không chứa 0 và với mọi x1 = x2 trong [a, b], tồn tại điểm ξ thuộc (x1 , x2 ) sao cho x1 f (x2... theo vế phương trình (2.31) và phương trình (2.32), ta có f (x) − g(x) + f (y) − g(y) = −(x − y)h((x − y)t) + (x − y)h(−(x − y)t) Sử dụng kết quả của phương trình (2.30), suy ra γ f (x) − g(x) + f (y) − g(y) = − + 2(b − c) t (2.33) Kết hợp phương trình (2.17) và phương trình (2.27), ta có A(tx) = txh(tx) + (b − c)t = t[g(x) − c] (x = 0) (2.34) Tương tự, kết hợp phương trình (2.18) và phương trình (2.27),... Chương 2 PHƯƠNG TRÌNH HÀM LIÊN QUAN ĐẾN GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH LAGRANGE Từ biểu thức của Định lý Lagrange là f (x1 ) − f (x2 ) = f (η), xuất hiện x1 − x2 phương trình hàm f (x) − g(y) = h(sx + ty), x−y với mọi x, y ∈ R, x = y và s, t là các tham số thực Cũng theo định nghĩa tỷ sai phân, phương trình (1.2) được viết dưới dạng f [x1 , x2 ] = f (η(x1 , x2 )) (2.1) (để chỉ sự phụ thuộc của η đối với x1 và x2... ∈ (a, x) như một hàm của x (ηx phụ thuộc x) sao cho f [a, x] = f (ηx ) (1.5) Phần cuối của mục này, chúng tôi trình bày một số tính chất của giá trị trung bình ηx khi x → a+ Xét hàm f (t) = t2 trên đoạn [1, 2] Áp dụng Định lý Lagrange đối với hàm f trên đoạn [1, x], x ∈ (1, 2), ta có được f (x) − f (1) = f (ηx ), ηx ∈ (1, x) x−1 Từ phương trình trên, ta xác định được giá trị trung bình 1 ηx = (x +... xh(x) (2.4) Từ phương trình (2.3) và phương trình (2.4), ta có xh(x) − yh(y) = (x − y)h(x + y) (2.5) Tương tự như trên, nếu h thỏa mãn phương trình (2.5) thì h + c (c là hằng số tùy ý) cũng thỏa mãn phương trình (2.5) Vì vậy có thể giả sử h(0) = 0 Khi đó, thay x bởi −y vào phương trình (2.5), ta thu được −yh(−y) − yh(y) = 0 hay −yh(−y) = yh(y) Suy ra h là một hàm lẻ Thay y bởi −y vào phương trình (2.5),... cả các nghiệm của phương trình (2.2) đều có dạng f (x) = ax2 + bx + c và h(x) = ax + b, với a, b, c là các hằng số tùy ý Ngược lại, với f (x) = ax2 + bx + c và h(x) = ax + b, ta thấy phương trình (2.2) được thỏa mãn Kết luận: f (x) = ax2 + bx + c và h(x) = ax + b, với a, b, c là các hằng số thực tùy ý Kết quả dưới đây được suy ra trực tiếp từ Bài toán 2.1 Nhận xét 2.1 Hàm f : R → R thỏa mãn phương trình. .. từ các phương trình (2.34), (2.35) và (2.29), suy ra A(−tx) + A(tx) +b−c t γ = − + b − c t f (x) − g(x) = − Suy ra γ f (x) − g(x) + f (y) − g(y) = −2 + 2(b − c) t Kết hợp phương trình (2.33) và phương trình (2.36), ta có γ = 0 Khi đó, phương trình (2.29) trở thành (2.36) A(x) + A(−x) = 0, ∀x ∈ R \ {0} Vậy A(x) + A(−x) = 0 = A(0) Do đó A là hàm cộng tính trên R Từ các phương trình (2.27), (2.17) và. .. (x) = xh(sx) + c , ∀x = 0 (c = g(0)) (2.18) và Từ các phương trình (2.16), (2.17) và (2.18), ta có xh(sx) − yh(ty) + c − b = (x − y)h(sx + ty), 21 với mọi x, y ∈ R \ {0} và x = y x y Thay x bởi và y bởi vào phương trình trên, ta có s t x y x y h(x) − h(y) + c − b = − h(x + y), s t s t (2.19) với mọi x, y ∈ R \ {0} và tx = sy Trường hợp 1 Xét s = t Từ phương trình (2.19), ta có xh(x) − yh(y) = (b − c)t . lượng trung bình. Có 4 đại lượng trung bình cơ bản là: trung bình cộng, trung bình nhân, trung bình điều hòa và trung bình bình phương. Phương trình hàm chuyển đổi các đại lượng trung bình cơ. . . . . . . 2 1.4 Giá trị trung bình Pompeiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 Phương trình hàm liên quan đến giá trị trung bình Lagrange. 16 2.1 Phương trình hàm với cặp biến tự do. x k ]  k n−1   1 k+1−n . 1.4 Giá trị trung bình Pompeiu Vào năm 1946, Pompeiu đưa ra một dạng biến thể của định lý giá trị trung bình Lagrange mà ngày nay gọi định lý giá trị trung bình Pompeiu. Định lý 1.11. Với mọi hàm