CÁCH GIẢI MỘT DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ BẬC HAI Nguyễn Thành Bửu Trong các tài liệu ôn thi vào đại học – cao đẳng, ta thường gặp phương trình vô tỉ dạng 2 p ax b kx lx m+ = + + . Tuy nhiên, không phải phương trình nào cũng được giải dễ dàng. Ở đây, tôi chỉ giới thiệu cách giải lớp phương trình dạng 2 p ax b cx d ( x )+ + + = α + β trong đó 2 2 p a c p b d  − = α   − = β   (*) Theo các sách tham khảo, cách giải như sau: Đặt p ax b y+ = α + β , khi đó ta có hệ 2 2 2 2 ( x ) y cx d ( y ) p ax p b  α + β = α +β + +   α + β = +   (a) Hệ phương trình trên được giải dễ dàng bằng cách trừ hai phương trình của hệ cho nhau. Ví dụ 1: Phương trình 2 x x 5 5+ + = ⇔ 2 x 5 5 x− + + = Phương trình này thoả mãn điều kiện (*), nên đặt x 5 y− + = và có hệ 2 2 x y 5 y x 5  = +   = +   Ví dụ 2: Phương trình 2 2x 1 x 3x 1 0− + − + = ⇔ 2 2x 1 x (x 1)− − + = − Phương trình này thoả mãn điều kiện (*), nên đặt 2x 1 y 1− − = − và có hệ 2 2 (x 1) y 1 x (y 1) 2x 1  − = − +   − = −   Ví dụ 3: Phương trình 2 4x 3x 1 5 13x+ + + = ⇔ 2 3x 1 x 4 (2x 3)− + + + = − Phương trình này thoả mãn điều kiện (*), nên đặt 3x 1 2y 3− + = − và có hệ 2 2 (2x 3) 2y x 1 (2y 3) 3x 1  − = + +   − = +   Ví dụ 4: Phương trình 2 32x 32x 2x 15 20+ = + + ⇔ 2 8x 60 56 (8x 4)+ + = + Phương trình này thoả mãn điều kiện (*), nên đặt 8x 60 8y 4+ = + và có hệ 2 2 (8x 4) 8y 60 (8y 4) 8x 60  + = +   + = +   Ví dụ 5: Phương trình 2 x 3 2x 4x 2 + + = ⇔ 2 2x 6 4 (2x 2)+ + = + Phương trình này thoả mãn điều kiện (*), nên đặt 2x 6 2y 2+ = + và có hệ 2 2 (2x 2) 2y 6 (2y 2) 2x 6  + = +   + = +   Ví dụ 6: Phương trình 2 4x 9 7x 7x 28 + + = ⇔ 2 28x 63 49 7 7x 4 4 2 +   + = +  ÷   Phương trình này thoả mãn điều kiện (*), nên đặt 28x 63 7 7y 4 2 + = + và có hệ: 2 2 7 63 7x 7y 2 4 7 63 7y 7x 2 4    + = +   ÷      + = +  ÷     Tổng quát, ta thử giải tiếp hệ (a). Từ hệ (a), lấy phương trình thứ nhất trừ phương trình thứ hai theo vế ta có: 2 2 2 2 ( x ) ( y ) y (c p a)x d p bα + β − α + β = α + − + β + − ⇔ ( x y)( x y 2 ) x y 0α − α α + α + β + α − α = ⇔ ( x y)( x y 2 1) 0α − α α + α + β + = ⇔ x y 0 x y 2 1 0 α − α =   α + α + β + =  ⇔ 1 1 x y 2 2 1 1 x y 2 2  α + β + = α +β +    α + β + = −α −β −   ⇔ 2 2 1 1 x y 2 2     α +β + = α + β +  ÷  ÷     ⇔ 2 2 1 1 p ax b x 2 2     + + = α + β +  ÷  ÷     (b) Trở lại các ví dụ trên, ta có: Ví dụ 1: 2 x x 5 5+ + = ⇔ 2 2 1 1 x 5 x 2 2     − + + = +  ÷  ÷     ⇔ x 5 x x 5 x 1  + = −  + = +   Ví dụ 2: 2 2x 1 x 3x 1 0− + − + = ⇔ 2 2 1 1 2x 1 x 2 2     − − + = −  ÷  ÷     ⇔ 2x 1 1 x 2x 1 x  − = −  − =   Ví dụ 3: 2 4x 3x 1 5 13x+ + + = ⇔ 2 2 1 5 3x 1 2x 2 2     − + + = −  ÷  ÷     ⇔ 3x 1 2x 3 3x 1 2x 2  + = − +  + = −   Ví dụ 4: 2 32x 32x 2x 15 20+ = + + ⇔ 2 2 1 9 8x 60 8x 2 2     + + = +  ÷  ÷     ⇔ 8x 60 8x 4 8x 60 8x 5  + = +  + = − −   Ví dụ 5: 2 x 3 2x 4x 2 + + = ⇔ 2 2 1 5 2x 6 2x 2 2     + + = +  ÷  ÷     ⇔ 2x 6 2x 2 2x 6 2x 3  + = +  + = − −   Ví dụ 6: 2 4x 9 7x 7x 28 + + = ⇔ ( ) 2 2 28x 63 1 7x 4 4 2   + + = +  ÷  ÷   ⇔ 28x 63 7 7x 4 2 28x 63 9 7x 4 2  + = +    + = − −   Ghi chú: 1) Bước biến đổi phương trình ban đầu về dạng 2 p ax b cx d ( x )+ + + = α + β trong đó 2 2 p a c p b d  − = α   − = β   là khó nhất, các em học sinh phải “khéo léo” biến đổi ở bước này. 2) Khi trình bày bài toán bằng cách thứ hai, chỉ cần viết trực tiếp: Phương trình đã cho ⇔ 2 2 1 1 p ax b x 2 2     + + = α + β +  ÷  ÷     (không cần viết bước trung gian 2 p ax b cx d ( x )+ + + = α + β ) 3) Nhớ khai triển ngược 2 2 1 1 p ax b x 2 2     + + = α + β +  ÷  ÷     để kiểm tra. 4) Các bạn đồng nghiệp có thể dựa vào dạng 2 2 1 1 p ax b x 2 2     + + = α + β +  ÷  ÷     để “sản xuất” hàng loạt bài khác. . CÁCH GIẢI MỘT DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ BẬC HAI Nguyễn Thành Bửu Trong các tài liệu ôn thi vào đại học – cao đẳng, ta thường gặp phương trình vô tỉ dạng 2 p ax b kx lx m+. 2 p ax b kx lx m+ = + + . Tuy nhiên, không phải phương trình nào cũng được giải dễ dàng. Ở đây, tôi chỉ giới thiệu cách giải lớp phương trình dạng 2 p ax b cx d ( x )+ + + = α + β trong đó. khảo, cách giải như sau: Đặt p ax b y+ = α + β , khi đó ta có hệ 2 2 2 2 ( x ) y cx d ( y ) p ax p b  α + β = α +β + +   α + β = +   (a) Hệ phương trình trên được giải dễ dàng bằng cách