CHUYÊN ĐỀ I: RÚT GỌN BIỂU THỨC Phần 1: Kiến thức cần nhớ 1. Điều kiện để căn thức có nghĩa A Có nghĩa khi A ≥ 0 2. Các công thức biến đổi căn thức a. 2 A A= =    <− ≥ 0, 0, AA AA b. . ( 0; 0)AB A B A B= ≥ ≥ c. ( 0; 0) A A A B B B = ≥ > d. 2 ( 0)A B A B B= ≥ e. 2 ( 0; 0)A B A B A B= ≥ ≥ 2 ( 0; 0)A B A B A B= − < ≥ f. 1 ( 0; 0) A AB AB B B B = ≥ ≠ i. ( 0) A A B B B B = > k. 2 2 ( ) ( 0; ) C C A B A A B A B A B = ≥ ≠ − ± m m. 2 ( ) ( 0; 0; ) C C A B A B A B A B A B = ≥ ≥ ≠ − ± m Phần 2: Một số ví dụ và bài tập: Ví dụ 1: Cho M = a aa + +−− 3 6 a) Rút gọn M b) Tìm a để 1≥M c) Tìm giá trị lớn nhất của M Giải a) ĐK: a ≥ 0 M = ( ) a a aa a aa −= + −+ = + +−− 2 3 2)3( 3 6 Vậy với a ≥ 0 thì M = 2 - a b) Để       ≥ ≤ ⇔ ≥ ≤ ⇔    ≥− ≥− ⇔≥−⇔≥ 9 1 3 1 12 12 121 a a a a a a aM Vậy    ≥ ≤≤ ⇔≥ 9 10 1 a a M c) M = 2 - a ≤ 2 Vậy Max M = 2 0=⇔ a Ví dụ 2: Cho biểu thức M =         + + − − − − −+ −         − − − 5 2 2 5 103 25 :1 25 25 a a a a aa a a aa a) Rút gọn M b) Tìm giá trị của a để M < 1 1 c) Tìm giá trị lớn nhất của M Giải a) ĐK: a ≥ 0; a ≠ 4; a ≠ 25 M = ( ) ( )( ) ( )( )       + + − − − + −+ −       − +− − 5 2 2 5 25 25 :1 55 5 a a a a aa a aa aa M = 5 5 + − a : ( )( )       −+ +−−+− 25 42525 aa aaa M = ( )( ) 2 5 4 25 . 5 5 + =         − −+ + − a a aa a Vậy với a ≥ 0; a ≠ 4; a ≠ 25 thì M = 2 5 +a b)Để M < 1 2 5 + ⇔ a < 1 0 2 25 01 2 5 < + −− ⇔<− + ⇔ a a a 03 <−⇔ a (Vì 02 >+a ) 93 >⇔>⇔ aa Vậy với a > 9; a ≠ 25 Thì M < 1 c)Để M đạt giá trị lớn nhất ⇔ 2 5 +a lớn nhất 2+⇔ a nhỏ nhất a⇔ = 0 Vậy với a = 0 thì M đạt giá trị lớn nhất Bài 3: Rút gọn biểu thức P = 1 1 2 ( 0; 0) 2 2 2 2 1 x x x x x x x + − − − ≥ ≠ − + − Bài 4: Cho biểu thức P = 3x 3x2 x-1 2x3 3x2x 11x15 + + − − + −+ − a) Rút gọn P b)Tìm các giá trị của x sao cho P = 2 1 c) Chứng minh P ≤ 3 2 Bài 5: Cho biểu thức P = a 2a 2a 1a 2aa 39a3a 1 − − + + + − −+ −+ a) Rút gọn P. b) Tìm các giá trị nguyên của a để P nguyên. Bài 6: Cho biểu thức M = 1 2 1 1 x x x x x x + − + + − + a) Tìm x để biểu thức M có nghĩa. Rút gọn M c) Với giá trị nào của x thì M < 1 Bài 7: Cho biểu thức 2 P =                 − + +− − − 1a 2 1a 1 : aa 1 1a a a) Rút gọn P. b) Tính giá trị P khi a = 3 + 2 2 c) T ìm các giá trị của a sao cho P < 0. Bài 8: Cho biểu thức P =                 − − − − + + x 2 x2x 1x : x4 8x x2 x4 a) Rút gọn P. b) Tính x để P = -1 c)T ìm m để với mọi giá trị x >9 ta có m( x - 3)P > x + 1. Bài 9: Cho biểu thức P =                 + − + + ++ + + xy yx xxy y yxy x : yx xy y x a) Tìm x, y để P có nghĩa. b) Rút gọn P. c) Tìm giá trị của P với x = 3, y = 4 - 2 3 Bài 10: Cho biểu thức : a) Rút gọn A. b) Tìm x có giá trị nguyên để A nhận giá trị nguyên. Bài 11: Cho biểu thức P = 2 1 x x x + − + 1 1 x x x + + + - 1 1 x x + − a) Rút gọn P b) Chứng minh: P < 1 3 với x ≥ 0 với x ≠ 1. Bài 12: Cho biểu thức P = 2 2 x1 . 1x2x 2x 1x 2x                 − ++ + − − − a) Rút gọn P. b) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì P > 0. c) Tìm GTLN của P. Bài 13: Chứng minh giá trị của biểu thức P = 6x5x 10x 3x4x 1x5 2x3x 2x ++ + + ++ + + ++ Không phụ thuộc vào biến số x. Bài 14: Cho biểu thức 3 A =         − +         − − − − + 1 : 1 1 1 1 x x x x x x xx với x>0 vàx≠1 a) Rút gọn A b) Tìm giá trị của x để A = 3 Bài 15: Cho biểu thức M =       + − + − + ab ba ab ba 11 :       − ++ + ab abba 1 2 1 a) Rút gọn M b) Tính giá trị của M với a = 32 2 − c) Tìm giá trị lớn nhất của M Bài 16: Cho biểu thức P = 1x )12(x x x2x 1xx xx 2 − − + + − ++ − a) Rút gọn P. b) Tìm GTNN của P c) Tìm x để biểu thức Q = P x2 nhận giá trị là số nguyên. Bài 17: Cho biểu thức P = 1x2 x 1x2x 1x 1x xx 1xx xxx2x − + −+ − ⋅ − + − − −+         a) Tìm x để P có nghĩa b) Rút gọn P. c) Với giá trị nào của x thì biểu thức P đạt GTNN và tìm GTNN đó. Bài 18: Rút gọn biểu thức P = 5310 53 5310 53 −+ − − ++ + Bài 19: Rút gọn biểu thức a) A = 7474 −−+ b) B = 5210452104 +−+++ c) C = 532154154 −−−++ Bài 20: Tính giá trị biểu thức P = 123412724 −−++−++ xxxx Với 2 1 ≤ x ≤ 5. Bài21:Chobiểuthức P = 1 1 12 : 1 1 43 1 + − ++         − + − −+ − x xx x x xx x a) Rút gọn P 4 b) Tìm giá trị lớn nhất của P Bài 22: Cho biểu thức 2 2 2 1 2 1 .) 1 1 1 1 ( x x xx A −− − + + − = a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A c) Giải phương trình theo x khi A = -2 Bài 23: Cho biểu thức         ++ + − − − + = 1 2 :) 1 1 1 2 ( xx x xxx xx A a) Rút gọn A b) Tính giá trị của A khi 324 += x Bài 24: Cho biểu thức xxxxxx x A −++ + = 2 1 : 1 a) Rút gọn biểu thức A b) Coi A là hàm số của biến x, vẽ đồ thị hàm số A Bài 25: Cho biểu thức 1 1 1 1 1 A= : 1- x 1 1 1 1x x x x     + − +  ÷  ÷ + − + −     a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị của A khi x = 7 4 3+ c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất Bài 26: Cho biểu thức M = 1 1 2 : 2 a a a a a a a a a a   − + + −  ÷  ÷ − − +   a) Với giá trị nào của a thì M xác định b) Rút gọn M c) Với giá trị nguyên nào của a thì M có giá trị nguyên Bài 27: Cho biểu thức P = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a a a a a a a + − − + + + − + − + − + + a) Rút gọn biểu thức P b) Chứng minh rằng biểu thức P luôn dương với mọi a Bài 28:Cho biểu thức A =       −         + + − − − + a aa a a a a 1 4 1 1 1 1 a) Rút gọn A. b) Tính A với a=(4 + 15 )( 10 - 6 ) 154 − Bài 29: Cho biểu thức 5 P = ( ) 3 1 4 4 a > 0 ; a 4 4 2 2 a a a a a a + − − − + ≠ − − + a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị của P khi A = 9 Bài 30: Cho biểu thức P = xxx x xx x + + +++ +− + −+− −+ 1 1 11 11 11 11 a) Rút gọn P. b) So sánh P với 2 2 . Bài 31: Cho biểu thức P = 1 2 1 3 1 1 +− + + − + xxxxx a) Rút gọn P. b) Chứng minh: 0 ≤ P ≤ 1. Bài 32: Cho biểu thức P = a a a a aa a − + − − + − +− − 3 12 2 3 65 92 a) Rút gọn P. b) a = ? thì P < 1 c) Với giá trị nguyên nào của a thì P nguyên. CHUYÊN ĐỀ II: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ Phần I : Kiến thức cần nhớ: I. Hàm số bậc nhất : 1. Dạng tổng quát: y = ax + b (a ≠ 0 ) 2. Tính chất : + Đồng biến nếu a > 0 + Nghịch biến nếu a < 0 3. Đồ thị : Là một đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b, cắt trục hoành tại điểm có hoàng độ bằng a b− . 4. Sự tương giao của hai đồ thị hàm số bậc nhất: Cho hai hàm số : y = ax + b (d) y = a’x + b’ (d’) + Nếu a ≠ a’  (d) cắt (d’) + Nếu a = a’; b ≠ b’  (d) // (d’) + Nếu a = a’; b = b’ (d) ≡ (d’) + Nếu a.a’ = -1  (d) ⊥ (d’) II. Hàm số y = ax 2 (a≠0) 1. Tính chất : + Với a > 0 : - Hàm số đồng biến nếu x > 0 - Hàm số nghịch biến nếu x < 0 + Với a < 0 : - Hàm số đồng biến nếu x < 0 - Hàm số nghịch biến nếu x > 0 2. Đồ thị : Là một đường cong (Parabol) nhận trục tung là trục đối xứng, tiếp xúc với trục hoành tại gốc toạ độ. + Nằm phía trên trục hoành nếu a > 0 + Nằm phía dưới trục hoành nếu a < 0 6 3. Sự tương giao của đồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b (d) với đồ thị hàm số y = a’x 2 (P): +Nếu (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt  a’x 2 = ax+b có hai nghiệm phân biệt + Nếu (d) Tiếp xúc (P)  a’x 2 = ax + b có nghiệm kép + Nếu (d) và (P) không có điểm chung  a’x 2 = ax+b vô nghiệm III. Các bài toán về lập phương trình đường thẳng: 1.Bài toán 1: Lập phương trình đường thẳng có hệ số góc k cho trước và đi qua điểm M (x 0 ; y 0 ):  Cách giải: - Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b - Thay a = k và toạ độ điểm M (x 0 ; y 0 ) vào phương trình đường thẳng để tìm b  Phương trình đường thẳng cần lập Ví dụ: Lập phương trình đường thẳng đi qua M (2;-3) và song song với đường thẳng y = 4x -Giải- Giả sử phương trình đường thẳng cần lập có dạng y = ax + b , song song với đường thẳng y = 4x  a = 4. Đi qua M( 2;-3) nên ta có : -3 = 4.2 + b  b = -11 Vậy phương trình đường thẳng cần lập là y = 4x – 11 2.Bài toán 2: Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(x 1 ;y 1 )và B (x 2 ; y 2 ):  Cách giải: + Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b + Thay toạ độ điểm A và B vào phương trình đường thẳng :    += += baxy baxy 22 11 + Giải hệ phương trình tìm a và b  Phương trình đường thẳng cần lập Ví dụ : Lập phương trình đường thảng đi qua A (2; 1) và B(-3; - 4). - Giải- Giả sử phương trình đường thẳng cần lập có dạng: y = ax + b Đi qua A (2; 1) nên : 1 = a.2 + b (1) Đi qua B (-3; -4) nên : -4 = a.(-3) + b (2)  1 – 2a = 3a – 4  5a = 5  a = 1. Thay a = 1 vào (1)  b = -1 Vậy phương trình đường thẳng cần lập là y = x -1 3.Bài toán 3: Lập phương trình đường thẳng có hệ số góc k và tiếp xúc với đường cong y = a’x 2 (P)  Cách giải : + Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b (d) + Theo bài ra a = k + Vì (d) tiếp xúc với (P) nên phương trình: a’x 2 = kx + b có nghiệm kép  Δ = 0 (*) Giải (*) tìm b Thay vào (d) ta được phương trình đường thẳng cần lập Ví dụ : Lập phương trình đường thẳng song song với đường thẳng y = 2x + 1 và tiếp xúc với parabol y = -x 2 - Giải – 7 Giả sử phương trình đường thẳng cần lập có dạng: y = ax + b. song song với đường thẳng y = 2x + 1  a = 2. Tiếp xúc với parabol y = -x 2 nên phương trình : -x 2 = 2x + b có nghiệm kép  x 2 + 2x +b = 0 có nghiệm kép  Δ’ = 1 – b ; Δ = 0  1 – b = 0  b = 1 Vậy phương trình đường thẳng cần lập là y = 2x + 1 4.Bài toán 4: Lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm M(x 0 ; y 0 ) và tiếp xúc với đường cong y = a’x 2 (P)  Cách giải: + Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b (d) + Đi qua M (x 0 ; y 0 ) nên  y 0 = a.x 0 + b (1) + Tiếp xúc với y = a’x 2 nên phương trình : a’x 2 = ax + b có nghiệm kép  Δ = 0 (2) Giải hệ hai phương trình (1) và (2) tìm a, b  phương trình đường thẳng cần lập Ví dụ : Lập phương trình đường thẳng đi qua M(-1; 2) và tiếp xúc với parabol y = 2x 2 . -Giải- Giả sử phương trình đường thẳng cần lập có dạng: y = ax + b. Đi qua M (-1; 2) nên ta có: 2 = -a + b (1) Tiếp xúc với đường cong y = 2x 2 nên phương trình : 2x 2 = ax + b có nghiệm kép  2x 2 – ax – b = 0 có nghiệm kép  Δ = a 2 + 8b . Δ = 0  a 2 + 8b = 0 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ: -a + b = 2 (1) a 2 + 8b = 0 (2) Từ (1)  b = 2 + a (*) thay vào (2) ta được : a 2 + 8a + 16 = 0  (a + 4) 2 = 0  a = -4 Thay a = -4 vào (*) ta được b = -2 Vậy phương trình đường thẳng cần lập là y = -4x – 2 Phần II :Các bài tập về hàm số : Bài tập 1 : Cho hàm số y = (m 2 – 6m + 12)x 2 a) CMR hàm số nghịch biến trong (-∞; 0), đồng biến (0; +∞) với mọi m. b) Xác định giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua (1; 5) Bài tập 2: Cho hàm số y = ax 2 (P) a) Xác định a để đồ thị hàm số đi qua (-4; 8). Vẽ đồ thị trong trường hợp đó b) Xác định a để đường thẳng y = 2x + 3 cắt (P) tại hai điểm phân biệt Bài 3: Cho hàm số y = 2x 2 (P) a) Vẽ đồ thị hàm số b) Tìm trên đồ thị các điểm cách đều hai trục toạ độ c) Tuỳ theo m, hãy xác định số giao điểm của (P) với đường thẳn (d) có phương trình: y = mx – 1 d) Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc (P) và đi qua A(0; -2) Bài 4: Cho parabol y = 2 1 x 2 (P) a)Viết phương trình đường thẳng đi qua A(-1; 3) và B(2; 6) b)Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng AB với (P) Bài 5: Cho đường thẳng có phương trình : 2(m - 1)x + (m - 2)y = 2 (d) a) Xác định m để đường thẳng cắt parabol y = x 2 tại hai điểm phân biệt b) CMR đường thẳng đã cho luôn đi qua một điểm cố định với mọi m 8 Bài 6: Cho parabol y = 2 1 x 2 (P) a) Vẽ đồ thị hàm số b) Xác định m để đường thẳng y = x – m cắt (P) tại hai điểm phân biệt. Tìm toạ độ giao điểm với m = -2 c) Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) và đi qua A (2; -1) Bầi 7: Cho hàm số y = (m - 2)x + n (d) a) Tìm các giá trị của m và n để đường thẳng (d) đi qua hai điểm A (-1; 2) và B (3; -4) b) Xác định m và n để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ 1 - 2 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 2 + 2 Bài 8: Cho parabol y = ax 2 (P) a) Xác định a để đồ thị hàm số đi qua A(-2; 8) b) Tìm các giá trị của a để đường thẳng y = -x + 2 tiếp xúc với (P) Bài 9: Cho parabol y = x 2 – 4x + 3 (P) a) Viết phương trình đường thẳng đi qua A (2; 1) và có hệ số góc k b) CMR đường thẳng vừa lập luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của k. Bài 10: Cho parabol y = x 2 (P) và đường thẳng y = mx -1 d) Hãy tìm các giá trị của m để đường thẳng (d) tiếp xúc với (P). Khi đó hãy tìm toạ độ tiếp điểm. Bài 11: Cho hàm số y = (m 2 + 1)x – 1 a) Hàm số đã cho đồng biến hay nghịch biến? vì sao? b) Chứng tỏ rằng đồ thị của hàm số đã cho luôn đi qua một điểm cố đinh với mọi giá trị của m c) Biết rằng điểm (1; 1) thuộc đồ thị hàm số. Xác định m và vẽ đồ thị của hàm số ứng với m vừa tìm được Bài 12: Cho hàm số y = 2 1 x 2 và y = 2x – 2 a) Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng mặt phẳng toạ độ b) Tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị Bài 13: Cho hàm số y = -2x 2 (P) a) Vẽ đồ thị hàm số trên b) Một đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm (0; -4), cắt trục hoành tại điểm (2; 0). Viết phương trình đường thẳng (d) c) Tìm toạ độ giao điểm của (d) và (P) Bài 14: Cho hàm số y = 2 1 x 2 (P) a) Với giá trị nào của m thì đường thẳng y = -x + m cắt (P) tại hai điểm phân biệt b) Xác định toạ độ giao điểm trong trường hợp m = 2 3 c) Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) và đi qua A (1; -4). Tìm toạ độ tiếp điểm Bài 15: Cho hàm số y = 2x 2 a) Vẽ đồ thị hàm số b) Tìm các giá trị của x để 2x 2 -3x + 5 < -x + 17 Phần III. Lời giải – Hướng dẫn – đáp số Bài 1: hàm số y = (m 2 – 6m + 12)x 2 a) Vì m 2 – 6m + 12 = (m - 3) 2 + 3 > 0 với mọi m Vậy hàm số đồng biến với mọi m b) Đồ thị hàm số đi qua (1; 5) nên ta có: 5 = m 2 – 6m + 12 9  m 2 – 6m + 7 = 0    += −= ⇒ 23 23 m m Vậy với    += −= 23 23 m m thì đồ thị hàm số đi qua (1; 5) Bài 2: hàm số y = ax 2 (P) a)Đồ thị hàm số đi qua (-4; 8) nên ta có: 8 = (-4) 2 .a 2 1 168 =⇒=⇔ aa Vậy với 2 1 =a thì (P) đi qua (-4; 8) b)Đường thẳng y = 2x + 3 cắt (P) tại hai điểm phân biệt  phương trình : ax 2 = 2x + 3 có hai nghiệm phân biệt  ax 2 – 2x -3 =0 3 1 031' − >⇒>+=∆ aa Vậy với 3 1− >a thì đường thẳng y = 2x + 3 cắt (P) tại hai điểm phân biệt Bài 3: Cho hàm số y = 2x 2 (P) a) Học sinh tự vẽ b)Giả sử điểm M(x; y) cách đều hai trục toạ độ yx =⇒ Vậy tập hợp các điểm cách đều hai trục toạ độ thuộc đồ thị hàm số y = 2x 2 phải là nghiệm của hệ:    = = yx xy 2 2           −= =    = = ⇔ xy xy xy xy 2 2 2 2 )( )( II I Giải hệ (I) ta có 2x 2 = x  x(2x - 1) = 0     = = ⇒ 2 1 0 x x Giải hệ (II) ta có: 2x 2 = -x  x(2x + 1) = 0     − = = ⇒ 2 1 0 x x Với x = 0 thay vào (P) ta được y = 0 Với x = 2 1 thay vào (P) ta được y = 2 1 Với x = - 2 1 thay vào (P) ta được y = 2 1 Vậy các điểm cách đều hai trục toạ độ là (0; 0), ( 2 1 ; 2 1 ), (- 2 1 ; 2 1 ) c) số giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình: 2x 2 = mx – 1 8 2 −=∆ m + ∆ > 0     −< > 22 2.2 m m ⇒ cắt nhau 10 [...]... + ≤ 2 4 4 1 1 Vậy Max P = ⇔ x = 4 4 c) Ta có P = -x + Bài 13: Chứng minh giá trị của biểu thức P= 2x 5 x +1 x + 10 + + x +3 x +2 x +4 x +3 x +5 x +6 Không phụ thuộc vào biến số x -GiảiĐK : x > 0 Ta có P = 2x 5 x +1 x + 10 + + ( x + 1)( x + 2) ( x + 1)( x + 3) ( x + 2)( x + 3) P= 2 x x + 12 x + 22 x + 12 ( x + 1)(2 x + 10 x + 12) = ( x + 1)( x + 2)( x + 3) ( x + 1)( x + 2)( x + 3) P= 2.( x + 2)( x +. .. -GIẢI- a) ĐK : x ≥ 0; x ≠ 1 x+2 x +1 x +1 + − P= ( x − 1)( x + x + 1) x + x + 1 ( x + 1)( x − 1) ( x + 2) + ( x − 1) − ( x + x + 1) x = ( x − 1)( x + x + 1) x + x +1 P= x với x ≥ 0; x ≠ 1 x + x +1 b)Ta có : x − 2 x + 1 > 0 với x ≥ 0; x ≠ 1 Vậy P = ⇔ x + x +1 > 3 x 1 x > 3 x + x +1 ⇔ Hay P < 1 3 Bài 12: Cho biểu thức 2  x −2 x + 2  1 − x   .  P= −  x −1 x + 2 x + 1  2     a) Rút gọn... 15 + 17 17 = −5 + = x +3 x +3 x +3 17 17 2 ≤ −5 + = Vì x ≥⇒ x + 3 ≥ 3 ⇒ −5 + 3 3 x +3 2 Vậy P ≤ (đpcm) 3 Ta có : Bài 5: Cho biểu thức 28 x +3 P= 3a + 9a − 3 a +1 a −2 − + a+ a −2 a + 2 1− a -G- a) Đk : a ≥ 0; a ≠ 1 P= P= 3a + 3 a − 3 − ( ( ( )( ( ) ( a−3 a +2 = a −1 a + 2 )( )( )( )( a −1 a −1 Vậy với a ≥ 0; a ≠ 1 thì P = b) a −2 =1a +2 P= ) ( ) a +1 a −1 − a + 2 a −1 a −2 ) ) a −2 = a +2 )( a −2 a +2 ... nghĩa ⇔  xy + y ≠ 0 ⇔  xy + x ≠ 0   xy > 0  x > 0  y > 0   Vậy với x > 0; y > 0 thì P có nghĩa b)P = ( x+ y( x + y) x+ y  x x+y y ) :  − x+ y  xy    xy ( x + y )  x − xy + y − x − y   = ( x + y ) : (-1) P= ( x + y ):    xy   Vậy P = - ( x + y ) c)Với x = 3 ⇒ x = 3 ; y = 4 -2 3 ⇒ y = 3 − 1 Thay vào ta được P = 1 - 2 3 Bài 11: Cho biểu thức x+2 x +1 x +1 + x x −1 x + x +1 x −1 P=... Bài 7: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng chữ số hàng chục hơn chữ số hàng đơn vị là 2 và số đó lớn hơn tổng bình phương các chữ số của nó là 1 Bài 8: Một lớp học chỉ có hai loại học sinh giỏi và khá Nếu có 1 học sinh giỏi chuyển đi thì học sinh còn lại là học sinh giỏi Nếu có 1 học sinh khá chuyển đi thì 1 số 6 1 số học sinh còn lại là học 5 sinh giỏi Tính số học sinh của lớp Bài 9: Có hai bình... +2 a −2 a +2 4 a +2 4 ∈ Z ⇒ 4 a + 2 a +2 a +2 =4 ⇒a =4 a + 2 = -4 (loại) ⇒ a +2 =2 ⇒a =0 a + 2 = -2 (loại) a + 2 = -1 (loại) a + 2 = 1 ⇒ a = −1 (loại) Vậy Với a = 0 hoặc a = 4 thì P ∈ Z Để P ∈ Z ⇒ Bài 6: Cho biểu thức M= x +1 − 2 x x + x + x −1 x +1 a) Tìm x để biểu thức M có nghĩa; b) Rút gọn M c) Với giá trị nào của x thì M < 1 a) Với x ≥ 0; x ≠ 1 thì M có nghĩa ( -G- ) ( x − 1) 2 x x +1 + = 2 x −1... 3 x − 9 x + 2 x + 6 − 2 x + 2 x − 3 x + 3 x −1 x + 3 )( ) − 5 x + 7 x − 2 ( x − 1)( 2 − 5 x ) P= ( x − 1)( x + 3) = ( x − 1)( x + 3) P= )( 15 x − 11 − 3 x − 2 x + 3 − 2 x + 3 x −1 x + 3 Vậy P = ( 2−5 x x +3 = 2−5 x x +3 Với x ≥ 0; x ≠ 1 b)Tìm các giá trị của x sao cho P = 1 2 1 2−5 x 1 ⇔ = ⇔ 4 − 10 x = 2 x +3 2 1 ⇔ 11 x = 1 ⇔ x = 121 2 c) Chứng minh rằng P ≤ 3 2 2 2−5 x ≤ Để P ≤ ⇔ 3 3 x +3 Với x ≥... : Cho phương trình x2 + mx + 1 = 0 Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình Hãy tính: a) x12 + x22 b) x13 + x23 18 -GiảiTheo vi et ta có : x1 + x2 = m ; x1.x2 = 1 a) Mà x12 + x22 = (x1 + x2 )2 – 2.x1.x2 = m2 - 2 b) x13 + x23 = (x1 + x2 )3 – 3x1.x2.(x1 + x2) = m3 – 3.m 4.Bài tập dạng tìm m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn một hệ thức: Cho phương trình : : ax2 + bx + c = 0 + Bước 1: Tìm ĐK để phương... Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) 15 + Nếu a + b + c = 0 th ì x1 = 1; x2 = c a + Nếu a – b + c = 0 th ì x1 = -1; x2 = −c a + Nếu có hai số x1, x2 sao cho x1 + x2 = S; x1.x2 = P ( v ới P2 – 4S ≥ 0) Thì x1, x2 là nghiệm của phương trình : X2 – SX + P = 0 Ví dụ : a) Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 17 và tích của chúng bằng 72 - Giải Gọi x1, x2 là hai số cần tìm Ta có: x1 + x2 = 17 x1 x2 = 72... bể Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì bao lâu đầy bể? 3 27 Phần 3: LỜI GIẢI – HƯỚNG DẪN – ĐÁP SỐ Bài 3: Rút gọn biểu thức P= x +1 x −1 2 − − ( x ≥ 0; x ≠ 0) 2 x −2 2 x +2 x −1 ( P= ) ( 2 x +1 − ) ( 2 ) x −1 − 4 x +1 2( x − 1) −4 x + 2 x +1 − x + 2 x −1 − 4 x − 4 = 2( x − 1) 2( x − 1) −2 P= ( với x ≥ 0; x ≠ 1 ) x −1 P= Bài 4: Cho biểu thức 15 x − 11 3 x − 2 2 x + 3 + − P= x +3 x + 2 x − 3 1- x a) Đk : . 5310 53 5310 53 + − − ++ + Bài 19: Rút gọn biểu thức a) A = 7474 − + b) B = 5210452104 + ++ + c) C = 532154154 −− ++ Bài 20: Tính giá trị biểu thức P = 123412724 − ++ ++ xxxx Với 2 1 . 30: Cho biểu thức P = xxx x xx x + + ++ + + + + + 1 1 11 11 11 11 a) Rút gọn P. b) So sánh P với 2 2 . Bài 31: Cho biểu thức P = 1 2 1 3 1 1 + + + − + xxxxx a) Rút gọn P. b) Chứng minh:. )       + + − − − + + −       − + − 5 2 2 5 25 25 :1 55 5 a a a a aa a aa aa M = 5 5 + − a : ( )( )       + + + 25 42525 aa aaa M = ( )( ) 2 5 4 25 . 5 5 + =         − + + − a a aa a