Chuyên đề : PT bậc hai và hệ thức Vi-et *) x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2 ) 2 2x 1 x 2 = S 2 2p *) (x 1 x 2 ) 2 = (x 1 + x 2 ) 2 4x 1 x 2 = S 2 4p *) x 1 3 + x 2 3 = (x 1 + x 2 ) 3 3x 1 x 2 (x 1 + x 2 ) = S 3 3Sp 1 1 2 2 x x x x+ *) x 1 4 + x 2 4 = (x 1 2 + x 2 2 ) 2 2x 1 2 x 2 2 *) 21 21 21 11 xx xx xx + =+ = p S *) 21 2 2 2 1 1 2 2 1 xx xx x x x x + =+ = p pS 2 2 *) (x 1 a)( x 2 a) = x 1 x 2 a(x 1 + x 2 ) + a 2 = p aS + a 2 *) 2 21 21 21 2 ))(( 2 11 aaSp aS axax axx axax + = + = + (Chú ý : các giá trị của tham số rút ra từ điều kiện cho trớc phải thoả mãn điều kiện 0 ) B . Bài tập áp dụng Bài 1: Giải và biện luận phơng trình : x 2 2(m + 1) +2m+10 = 0 Giải. Ta có / = (m + 1) 2 2m + 10 = m 2 9 Kết kuận: Với m = 3 thì phơng trình có nghiệm x = 4 Với m = - 3 thì phơng trình có nghiệm x = -2 Với m < - 3 hoặc m > 3 thì phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x 1 = m + 1 - 9 2 m x 2 = m + 1 + 9 2 m Với -3< m < 3 thì phơng trình vô nghiệm Bài 2: Giải và biện luận phơng trình: (m- 3) x 2 2mx + m 6 = 0 Kết luận: Với m = 3 phơng trình có nghiệm x = - 2 1 Với m = 2 phơng trình có nghiệm x 1 = x 2 = -2 Với m > 2 và m 3 phơng trình có nghiệm x 1,2 = 3 23 m mm Với m < 2 phơng trình vô nghiệm Bài 3: Cho phơng trình bậc hai, với tham số m: 2x 2 (m+3)x + m = 0 (1). 1. Giải phơng trình (1) khi m = 2. 2. Tìm các giá trị m để phơng trình (1) có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn: x 1 + x 2 = 5 2 x 1 x 2 . 3. Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm của pt (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 1 2 x x Cho phng trỡnh: (1) a. Chng minh rng phng trỡnh (1) luụn luụn cú 2 nghim phõn bit. b. Gi l 2 nghim ca phng trỡnh (1). Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc c. Tỡm h thc gia v khụng ph thuc vo m. phơng trình x 2 - (5m - 1)x + 6m 2 - 2m = 0 (m là tham số) a) Chứng minh phơng trình luôn có nghiệm với mọi m. b) Gọi x 1 , x 2 là nghiệm của phơng trình. Tìm m để x 1 2 + x 2 2 =1 Cho phng trỡnh bc hai n s x: x 2 - 2(m + 1)x + m - 4 = 0. (1) a/ Chng minh phng trỡnh (1) luụn luụn cú hai nghim phõn bit vi mi giỏ tr ca m. b/ Gi x 1 , x 2 l hai nghim phõn bit ca phng trỡnh (1). Tỡm m 3( x 1 + x 2 ) = 5x 1 x 2 . Cho phng trỡnh bc hai: x 2 - 2(m-1)x + 2m 3 = 0. (1) a) Chng minh rng phng trỡnh (1) cú nghim vi mi giỏ tr ca m. b) Tỡm m phng trỡnh (1) cú hai nghim trỏi du. Cho phơng trình (ẩn x): 2 2 x 2(m 1)x m 1 0 + + = . Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm 1 2 x ,x thỏa mãn 2 2 1 2 1 2 x x x x 8+ = + . Cho phng trỡnh: x 2 - 2x + (m 3) = 0 (n x) a) Gii phng trỡnh vi m = 3. b) Tớnh giỏ tr ca m, bit phng trỡnh ó cho cú hai nghim phõn bit x 1 , x 2 v tha món iu kin: x 1 2 2x 2 + x 1 x 2 = - 12 Cho phơng trình: (m+1)x 2 -2(m - 1)x + m - 2 = 0 (1) (m là tham số) a/ Giải phơng trình (1) với m = 3. b/ Tìm các giá trị của m để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2 thỏa mãn 1 2 1 1 3 2x x + = Cho phng trỡnh bc hai : X 2 - 2(m + 1) x + m - 4 = 0 (1) a, Gii phng trỡnh ( 1 ) khi m = 1. b, Chng minh rng pt (1 ) luụn cú hai nghim phõn bit vi mi m ? c , Gi x 1 , x 2 l hai nghim ca pt (1)ó cho . CMR Biu thc : K = x 1 (1- x 2 )+ x 2 (1-x 1 ) khụng ph thuc vo giỏ tr ca m Cho phng trỡnh : 2x 2 - 6x + m = 0 (1) a, Gii Pt (1) khi m = 4 . b, Tỡm m pt (1) cú 2 nghm dng ? c, Tỡm m pt (1) cú 2 nghin x 1 , x 2 sao cho : + = 3 Cho phng trỡnh: x 2 - 2x + (m 3) = 0 (n x) 1. Gii phng trỡnh vi m = 3. 2. Tớnh giỏ tr ca m, bit phng trỡnh ó cho cú hai nghim phõn bit x 1 , x 2 v tha món iu kin: x 1 2 2x 2 + x 1 x 2 = - 12 Bi 3: (2,0 im) Cho phng trỡnh x 2 +2 (m+3) x +m 2 +3 = 0 1/ Tỡm m phng trỡnh cú nghim kộp ? Hóy tớnh nghim kộp ú. 2/ Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim x 1 , x 2 tha x 1 x 2 = 2 Cho phng trỡnh x 2 4x m 2 + 6m 5 = 0 vi m l tham s a) Gii phng trỡnh vi m = 2 b) Chng minh rng phng trỡnh luụn cú nghim c) Gi s phng trỡnh cú hai nghim x 1 ; x 2 , hóy tỡm giỏ tr bộ nht ca 3 3 1 2 P x x= + Cho phơng trình x 2 + 2(m+1)x + m 2 + 4m + 3 = 0 (với x là ẩn số, m 1- Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt . 2- Đặt A = x 1 .x 2 2(x 1 + x 2 ) với x 1 , x 2 là hai nghiệm phân biệt của phơng trình trên. Chứng minh : A = m 2 + 8m + 7 Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tơng ứng Cho phơng trình: (n + 1)x 2 - 2(n - 1)x + n - 3 = 0 (1), với n là tham số. a) Tìm n để phơng trình (1) có một nghiệm x = 3. b) Chứng minh rằng, với mọi n - 1 thì phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. *** Cho phng trỡnh: 2 2 2( 1) 2 0x m x m- + + + = (n x) 1) Gii phng trỡnh ó cho vi m =1. Tỡm giỏ tr ca m phng trỡnh ó cho cú hai nghim phõn bit x 1 , x 2 tho món h thc: 2 2 1 2 10x x+ = Bài 5: Gọi x 1 , x 2 là các nghịêm của phơng trình : x 2 3x 7 = 0 a) Tính: 1 1 2 2 x x x x+ A = x 1 2 + x 2 2 B = 21 xx C= 1 1 1 1 21 + xx D = (3x 1 + x 2 )(3x 2 + x 1 ) a) lập phơng trình bậc 2 có các nghiệm là 1 1 1 x và 1 1 2 x Giải ; Phơng trình bâc hai x 2 3x 7 = 0 có tích ac = - 7 < 0 , suy ra phơng trình có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 . Theo hệ thức Viét ,ta có : S = x 1 + x 2 = 3 và p = x 1 x 2 = -7 a)Ta có + A = x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2 ) 2 2x 1 x 2 = S 2 2p = 9 2(-7) = 23 + (x 1 x 2 ) 2 = S 2 4p => B = 21 xx = 374 2 = pS + C = 1 1 1 1 21 + xx = 9 1 1 2 )1)(1( 2)( 21 21 = + = + Sp S xx xx + D = (3x 1 + x 2 )(3x 2 + x 1 ) = 9x 1 x 2 + 3(x 1 2 + x 2 2 ) + x 1 x 2 = 10x 1 x 2 + 3 (x 1 2 + x 2 2 ) = 10p + 3(S 2 2p) = 3S 2 + 4p = - 1 b)Ta có : S = 9 1 1 1 1 1 21 = + xx (theo câu a) p = 9 1 1 1 )1)(1( 1 21 = + = Spxx Vậy 1 1 1 x và 1 1 2 x là nghiệm của hơng trình : X 2 SX + p = 0 X 2 + 9 1 X - 9 1 = 0 9X 2 + X - 1 = 0 Bài 6 : Cho phơng trình : x 2 ( k 1)x - k 2 + k 2 = 0 (1) (k là tham số) 1. Chứng minh phơng trình (1 ) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k 2. Tìm những giá trị của k để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu 3. Gọi x 1 , x 2 là nghệm của phơng trình (1) .Tìm k để : x 1 3 + x 2 3 > 0 2. Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu p < 0 - k 2 + k 2 < 0 - ( k 2 2. 2 1 k + 4 1 + 4 7 ) < 0 -(k - 2 1 ) 2 - 4 7 < 0 luôn đúng với mọi k.Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu với mọi k 3. Ta có x 1 3 + x 2 3 = (x 1 + x 2 ) 3 3x 1 x 2 (x 1 + x 2 ) Vì phơng trình có nghiệm với mọi k .Theo hệ thức viét ta có x 1 + x 2 = k 1 và x 1 x 2 = - k 2 + k 2 x 1 3 + x 2 3 = (k 1) 3 3(- k 2 + k 2)( k 1) = (k 1) [(k 1) 2 - 3(- k 2 + k 2)] = (k 1) (4k 2 5k + 7) = (k 1)[(2k - 4 5 ) 2 + 16 87 ] Do đó x 1 3 + x 2 3 > 0 (k 1)[(2k - 4 5 ) 2 + 16 87 ] > 0 k 1 > 0 ( vì (2k - 4 5 ) 2 + 16 87 > 0 với mọi k) k > 1 Bài 7: Cho phơng trình : x 2 2( m + 1) x + m 4 = 0 (1) (m là tham số) 1. Giải phơng trình (1) với m = -5 2. Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm x 1 , x 2 phân biệt với mọi m 3. Tìm m để 21 xx đạt giá trị nhỏ nhất (x 1 , x 2 là hao nghiệm của phơng trình (1) nói trong phần 2.) 1. Vì phơng trình có nghiệm với mọi m ,theo hệ thức Viét ta có: x 1 + x 2 = 2( m + 1) và x 1 x 2 = m 4 Ta có (x 1 x 2 ) 2 = (x 1 + x 2 ) 2 4x 1 x 2 = 4( m + 1) 2 4 (m 4) = 4m 2 + 4m + 20 = 4(m 2 + m + 5) = 4[(m + 2 1 ) 2 + 4 19 ] => 21 xx = 2 4 19 ) 2 1 ( 2 ++m 4 19 2 = 19 khi m + 2 1 = 0 m = - 2 1 Vậy 21 xx đạt giá trị nhỏ nhất bằng 19 khi m = - 2 1 Bài 8 : Cho phơng trình (m + 2) x 2 + (1 2m)x + m 3 = 0 (m là tham số) 1) Giải phơng trình khi m = - 2 9 2) Chứng minh rằng phơng trình đã cho có nghiệm với mọi m 3) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp ba lần nghiệm kia. Giải: 1) Thay m = - 2 9 vào phơng trình đã cho và thu gọn ta đợc 5x 2 - 20 x + 15 = 0 phơng trình có hai nghiệm x 1 = 1 , x 2 = 3 2) + Nếu: m + 2 = 0 => m = - 2 khi đó phơng trình đã cho trở thành; 5x 5 = 0 x = 1 + Nếu : m + 2 0 => m - 2 .Khi đó phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có biệt số : = (1 2m) 2 - 4(m + 2)( m 3) = 1 4m + 4m 2 4(m 2 - m 6) = 25 > 0 Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt x 1 = )2(2 512 + + m m = 1 42 42 = + + m m x 2 = 2 3 )2(2 )3(2 )2(2 512 + = + = + m m m m m m Tóm lại phơng trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m 3)Theo câu 2 ta có m - 2 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.Để nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia ta sét 2 trờng hợp Trờng hợp 1 : 3x 1 = x 2 3 = 2 3 + m m giải ra ta đợc m = - 2 9 (đã giải ở câu 1) Trờng hợp 2: x 1 = 3x 2 1= 3. 2 3 + m m m + 2 = 3m 9 m = 2 11 (thoả mãn điều kiện m - 2) Bài 9: Cho phơng trình : mx 2 2(m-2)x + m 3 = 0 (1) với m là tham số . 1. Biện luận theo m sự có nghiệm của phơng trình (1) 2. Tìm m để (1) có 2 nghiệm trái dấu. 3. Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm thứ hai. Giải Vậy : m > 4 : phơng trình (1) vô nghiệm m = 4 : phơng trình (1) Có nghiệm kép x = 2 1 0 m < 4 : phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt: x 1 = m mm 42 + ; x 2 = m mm 42 ++ m = 0 : Phơng trình (1) có nghiệm đơn x = 4 3 2. (1) có nghiệm trái dấu a c < 0 m m 3 < 0 > < < > 0 03 0 03 m m m m > < < > 0 3 0 3 m m m m Trờng hợp < > 0 3 m m không thoả mãn Trờng hợp > < 0 3 m m 0 < m < 3 3. *)Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có hai nghiệm / 0 0 m 4 (*) (ở câu a đã có) - Thay x = 3 vào phơng trình (1) ta có : 9m 6(m 2) + m -3 = 0 4m = -9 m = - 4 9 - Đối chiếu với điều kiện (*), giá trị m = - 4 9 thoả mãn *) Cách 2: Không cần lập điều kiện / 0 mà thay x = 3 vào (1) để tìm đợc m = - 4 9 .Sau đó thay m = - 4 9 vào phơng trình (1) : - 4 9 x 2 2(- 4 9 - 2)x - 4 9 - 3 = 0 -9x 2 +34x 21 = 0 có / = 289 189 = 100 > 0 => = = 9 7 3 2 1 x x Vậy với m = - 4 9 thì phơng trình (1) có một nghiệm x= 3 Bài 10: Cho phơng trình : x 2 + 2kx + 2 5k = 0 (1) với k là tham số 1.Tìm k để phơng trình (1) có nghiệm kép 2. Tim k để phơng trình (1) có 2 nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn điều kiện : x 1 2 + x 2 2 = 10 1.Phơng trình (1) có nghiệm kép / = 0 k 2 (2 5k) = 0 Vậy có 2 giá trị k 1 = 2 335 hoặc k 2 = 2 335 + thì phơng trình (1) Có nghiệm kép. 2.Có 2 cách giải. Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có nghiệm: / 0 k 2 + 5k 2 0 (*) Ta có x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2 ) 2 2x 1 x 2 Theo bài ra ta có (x 1 + x 2 ) 2 2x 1 x 2 = 10 Với điều kiện(*) , áp dụng hệ trức vi ét: x 1 + x 2 = - = a b - 2k và x 1 x 2 = 2 5k Vậy (-2k) 2 2(2 5k) = 10 2k 2 + 5k 7 = 0 (Có a + b + c = 2+ 5 7 = 0 ) => k 1 = 1 , k 2 = - 2 7 Để đối chiếu với điều kiện (*) ta thay lần lợt k 1 , k 2 vào / = k 2 + 5k 2 + k 1 = 1 => / = 1 + 5 2 = 4 > 0 ; thoả mãn + k 2 = - 2 7 => / = 8 29 4 87049 2 2 35 4 49 = = không thoả mãn Vậy k = 1 là giá trị cần tìm Baứi 2 : Cho phơng trình: 2x 2 5x + 1 = 0. Tính 1 2 2 1 x x x x+ (với x 1 , x 2 là hai nghiệm của phơng trình). Baứi 3 : Cho phơng trình bậc hai: x 2 2(m + 1)x + m 2 + 3m + 2 = 0 1) Tìm các giá trị của m để phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt. 2) Tìm giá trị của m thoả mãn x 1 2 + x 2 2 = 12 (trong đó x 1 , x 2 là hai nghiệm của phơng trình). Baứi 4 : Cho phơng trình: x 2 2mx + 2m 5 = 0. 1) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. 2) Tìm điều kiện của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu. 3) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x 1 và x 2 , tìm các giá trị của m để: x 1 2 (1 x 2 2 ) + x 2 2 (1 x 1 2 ) = -8. Baứi 5 : Cho phơng trình: x 2 2(m + 1)x + 2m 15 = 0. 1) Giải phơng trình với m = 0. 2) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x 1 và x 2 . Tìm các giá trị của m thoả mãn 5x 1 + x 2 = 4. Baứi 6 : Cho phơng trình: x 2 + 4x + 1 = 0 (1) 1) Giải phơng trình (1). 2) Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm của phơng trình (1). Tính B = x 1 3 + x 2 3 . Baứi 7 : Cho phơng trình : x 2 - (m + 4)x + 3m + 3 = 0 (m là tham số). a) Xác định m để phơng trình có một nghiệm là bằng 2. Tìm nghiệm còn lại. b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn x 1 3 + x 2 3 0. Baứi 8 : Cho phơng trình: (m 1)x 2 + 2mx + m 2 = 0 (*) 1) Giải phơng trình khi m = 1. 2) Tìm m để phơng trình (*) có 2 nghiệm phân biệt. Câu9. Cho phơng trình (2m-1)x 2 -2mx+1=0 Xác định m để phơng trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1,0) Câu 10: Phơng trình: ( 2m-1)x 2 -2mx+1=0 Xét 2m-1=0=> m=1/2 pt trở thành x+1=0=> x=1 Xét 2m-10=> m 1/2 khi đó ta có , = m 2 -2m+1= (m-1) 2 0 mọi m=> pt có nghiệm với mọi m ta thấy nghiệm x=1 không thuộc (-1,0) với m 1/2 pt còn có nghiệm x= 12 1 + m mm = 12 1 m pt có nghiệm trong khoảng (-1,0)=> -1< 12 1 m <0 < >+ 012 01 12 1 m m => < > 012 0 12 2 m m m =>m<0 Vậy Pt có nghiệm trong khoảng (-1,0) khi và chỉ khi m<0 . 3x 1 x 2 (x 1 + x 2 ) = S 3 3Sp 1 1 2 2 x x x x+ *) x 1 4 + x 2 4 = (x 1 2 + x 2 2 ) 2 2x 1 2 x 2 2 *) 21 21 21 11 xx xx xx + =+ = p S *) 21 2 2 2 1 1 2 2 1 xx xx x x x x + =+ = p pS 2 2 *). Chuyên đề : PT bậc hai và hệ thức Vi-et *) x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2 ) 2 2x 1 x 2 = S 2 2p *) (x 1 x 2 ) 2 = (x 1 + x 2 ) 2 4x 1 x 2 = S 2 4p *) x 1 3 + x 2 3 = (x 1 + x 2 ) 3 . = x 1 + x 2 = 3 và p = x 1 x 2 = -7 a)Ta có + A = x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2 ) 2 2x 1 x 2 = S 2 2p = 9 2( -7) = 23 + (x 1 x 2 ) 2 = S 2 4p => B = 21 xx = 374 2 = pS +