A. ĐẶT VẤN ĐỀ I. CƠ SỞ LÝ LUẬN Căn cứ vào nhiệm vụ và mục tiêu giáo dục, căn cứ vào thực trạng dạy và học toán hiện nay, cần có hướng đổi mới phương pháp dạy toán ở Tiểu học là tích cực hoá hoạt động học tập của HS, tập trung vào việc rèn luyện khả năng tự học, tự phát hiện và tự giải quyết vấn đề, nhằm hình thành ở HS tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo . Để đạt được điều đó, trong giảng dạy bộ môn Toán, người thầy phải giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo. Trong môn Toán 4, mảng kiến thức về phân số chiếm một vị trí hết sức quan trọng. Ở mảng kiến thức này có một số vấn đề HS sẽ mắc phải khó khăn trong đó có vấn đề "So sánh phân số". Vậy để khắc phục khó khăn phần nào cho HS ,trong quá giảng dạy tôi luôn rèn cho HS khả năng định hướng và tìm tòi, phát hiện cách giải bài toán, đồng thời giúp HS nhận dạng, phân loại bài tập. Trong mỗi dạng, mỗi bài toán, tôi cố gắng cung cấp cho HS một số phương pháp, cách thức nhất định để giải . II. CƠ SỞ THỰC TIỄN. 1. Với học sinh: Vướng mắc khi gặp: - Một số bài toán so sánh phân số không được quy đồng. - Một số bài toán so sánh phân số phức tạp mà việc so sánh bằng cách quy đồng mẫu số sẽ gặp khó khăn. - Một số bài toán yêu cầu học sinh so sánh bằng nhiều cách. - Một số bài toán cần so sánh nhiều phân số. - Một số bài tập yêu cầu lựa chọn cách làm hợp lí nhất. - Việc lựa chọn phương pháp nào để giải học sinh còn rất lúng túng. 2. Với giáo viên. Nhằm giúp cho HS có cách giải nhanh, gọn, hợp lý, đồng thời phát triển tư duy lôgíc cho HS. Từ đó nâng cao chất lượng môn Toán nên tôi đã mạnh dạn nghiên cứu và hoàn thiện sáng kiến kinh nghiệm " Nâng cao hiệu quả dạy so sánh phân số ở lớp 4". III. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 1 - Giúp GV dạy lớp 4 hệ thống được các phương pháp so sánh phân số. - Giải quyết những khó khăn, những lỗi cơ bản trong việc tiếp thu kiến thức về "So sánh phân số" của học sinh. - Rèn cho HS kĩ năng giải toán, tư duy lô gíc, khái quát hoá - Rèn cho HS các năng lực hoạt động trí tuệ, rèn tính cẩn thân, sáng tạo. - Rèn cho HS khả năng phân tích, xem xét bài toán. Mặt khác, khuyến khích HS tìm ra nhiều cách giải cho một bài tập để tập cho HS nhìn nhận một vấn đề theo nhiều khía cạnh khác nhau. IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU. Để hình thành và viết chuyên đề sáng kiến, tôi đã sử dụng một số phương pháp sau: - Phương pháp tra cứu tập hợp hồ sơ, tài liệu - Phương pháp tổng hợp so sánh, phân tích kết quả. - Phương pháp thực nghiệm. V. PHẠM VI NGHIÊN CỨU. - Thực hiện ở lớp 4A của trường. - Dạy toán 4 phần "So sánh phân số" B. PHẦN NỘI DUNG I. Tình hình nghiên cứu: Đối với HS phát huy triệt để tính tích cực học tập, hăng say khi giải các bài toán về so sánh phân số. Các em có nhu cầu tự tìm tòi, tự phát hiện cách giải (căn cứ vào cách phân dạng và phương pháp GV cung cấp) và nhờ đó tư duy sáng tạo phát triển rõ rệt. II. Nhiệm vụ của sáng kiến kinh nghiệm - Đưa ra một số phương pháp so sánh phân số. - Chọn ra các bài tập có hệ thống từ dễ đến khó phù hợp với từng trình độ của HS nhằm nâng cao hiệu quả dạy so sánh phân số ở lớp 4. CHƯƠNG I: NHỮNG KIẾN THỨC LIÊN QUAN 2 Trước khi bắt tay vào việc dạy học sinh các phương pháp so sánh phân số, tôi đã hệ thống, bổ sung cho các em các kiến thức có liên quan đến việc so sánh phân số. 1. Khái niệm về phân số. Phân số là số chỉ một hoặc một số nguyên phần đơn vị thường được viết dưới dạng b a ; a gọi là tử số, b gọi là mẫu số trong đó b # 0. Ví dụ: 2 1 ; 4 3 là những phân số. 2. Quy đồng mẫu số. Ví dụ: Quy đồng mẫu số các cặp phân số sau: a. 3 1 và 5 2 b. 3 2 và 6 5 Bài giải a. Ta có: 3 1 = 53 51 x x = 15 5 15 6 35 32 5 2 == x x = 35 34 x x = 15 12 b. Vì 6 : 3 = 2 nên 3 2 = 23 22 x x = 6 4 Kết luận: Quy đồng mẫu số là quá trình ta đưa 2 phân số khác mẫu số về hai phân số có cùng mẫu số. b a và d c (b, d # 0) b a = bxd axd d c = dxb cxb 3 . Quy đồng tử số. Ví dụ: Quy đồng tử số các cặp phân số sau: a. 7 3 và 9 2 b. 7 3 và 8 6 3 Bài giải: a. Ta có: 7 3 = 27 23 x x = 14 6 9 2 = 39 32 x x = 27 6 b. Vì 6 : 3 = 2 Nên 7 3 = 27 23 x x = 14 6 Kết luận: Quy đồng tử số là quá trình ta đưa hai phân số khác tử số về hai phân số có cùng tử số. b a và d c (b, d # 0) b a = bxc axc d c = dxa cxa 4 . Tính chất của phân số. Ví dụ: Viết phân số bằng phân số 14 6 bằng cách. a - Nhân cả tử và mẫu với 3 b - Chia cả tử và mẫu cho 2 a. 14 6 = 314 36 x x = 42 18 b. 14 6 = 2:14 2:6 = 7 3 Tính chất: Nếu ta nhân hay chia tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số tự nhiên khác 0 thì ta được một phân số mới bằng phân số đã cho. b a = bxc axc (b, c # 0) b a = cb ca : : (b, c # 0; cả a và b đều chia hết cho c) 5 . Rút gọn phân số: a . Rút gọn phân số là gì? Rút gọn phân số là đưa phân số đó về một phân số mới có tử số và mẫu số bé đi mà phân số mới ấy vẫn bằng phân số đã cho. Ví dụ: Rút gọn phân số : 2525 1313 Bài làm: 2525 1313 = 101:2525 101:1313 = 25 13 b . Cách làm: 4 - Xét xem tử số và mẫu số cùng chia hết cho số tự nhiên nào lớn hơn 1. - Chia tử số và mẫu số cho số đó. Cứ làm như thế cho đến khi nhận được phân số tối giản. CHƯƠNG II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH PHÂN SỐ Sau khi đã hệ thống các kiến thức liên quan tôi bắt tay vào việc dạy từng phương pháp phù hợp với các đối tượng học sinh. A . Học sinh đại trà 1. So sánh phân số bằng cách quy đồng mẫu số: a - So sánh hai phân số cùng mẫu số. Ví dụ 1: So sánh hai phân số 7 2 và 7 3 Bài giải: Ta thấy 2 < 3 nên 7 2 < 7 3 Quy tắc: Hai phân số có cùng mẫu số, phân số nào có tử số lớn hơn thì phân số đó lớn hơn và ngược lại. b a và b c (b # 0) - Nếu a > c ⇒ b a > b c - Nếu a < c ⇒ b a < b c - Nếu a = c ⇒ b a = b c b- So sánh hai phân số khác mẫu số. (thường dùng cho bài toán có mẫu số nhỏ). Ví dụ 2: So sánh các cặp phân số sau: a, 4 3 và 7 5 ; b, 12 5 và 6 4 Bài giải: a, Ta có: 4 3 = 74 73 x x = 28 21 ; 7 5 = 47 45 x x = 28 20 5 Vì 28 21 > 28 20 nên 4 3 > 7 5 b, Vì 12: 6 = 2 nên 6 4 = 26 24 x x = 12 8 ; ta thấy 12 8 > 12 5 nên 6 4 > 12 5 * Chốt kiến thức: Nếu hai phân số không cùng mẫu số, ta quy đồng mẫu số hai phân số đó rồi so sánh tử số của chúng với nhau. 2. So sánh hai phân số bằng cách quy đồng tử số: a - So sánh 2 phân số cùng tử số. Ví dụ 3: So sánh 2 phân số 8 3 và 11 3 Bài giải: 8 < 11 nên 8 3 > 11 3 . Quy tắc: Hai phân số cùng tử số, phân số nào có mẫu số bé hơn thì phân số đó lớn hơn và ngược lại. b a và d a (b, d # 0) + Nếu b > d ⇒ b a < d a + Nếu b < d ⇒ b a > d a + Nếu b = d ⇒ b a = d a b - So sánh hai phân số khác tử số. (Thường dùng cho các bài toán có tử số nhỏ) Ví dụ 4: So sánh các cặp phân số a, 7 3 và 8 5 ; b, 7 3 và 8 9 Bài giải :a, 7 3 = 57 53 x x = 35 15 ; 8 5 = 38 35 x x = 24 15 Vì 35 15 < 24 15 nên 7 3 < 8 5 b, 7 3 = 37 33 x x = 21 9 Vì 21 9 < 8 9 nên 7 3 < 8 9 6 Chốt kiến thức: Muốn so sánh hai phân số không cùng tử số ta có thể quy đồng tử số hai phân số đó rồi so sánh mẫu số của chúng với nhau. 3. So sánh phân số với đơn vị. Ví dụ 5: So sánh phân số sau với 1. a, 5 3 ; b, 2 7 c, 4 4 Bài giải: a, Ta thấy 5 3 < 5 5 mà 5 5 = 1 nên 5 3 < 1 b, Ta có: 2 7 > 2 2 mà 2 2 = 1 nên 2 7 > 1 c, Ta có 4 4 = 1 Kết luận: - Nếu phân số có tử số bé hơn mẫu số thì phân số bé hơn 1. b a nếu a < b thì b a < 1 - Nếu phân số có tử số lớn hơn mẫu số thì phân số lớn hơn 1. b a nếu a > b thì b a > 1 - Nếu phân số có tử số bằng mẫu số thì phân số bằng 1. b a nếu a = b thì b a = 1 4. So sánh các phân số dựa vào các tính chất cơ bản của phân số. Ví dụ 6: Trong các phân số sau, phân số nào lớn nhất, phân số nào nhỏ nhất: 507 307 ; 507507 307307 ; 507507507 307307307 Bài giải: Ta thấy 507507 307307 = 101507 1001307 x x = 507 307 7 507507507 307307307 = 1001001507 1001001307 x x = 507 307 Vậy 507 307 = 507507 307307 = 507507507 307307307 *Nhận xét: Gặp bài toán so sánh phân số, học sinh thường nghĩ xem phân số nào lớn hơn, phân số nào nhỏ hơn nên tìm mọi cách để so sánh. Nhưng điều bất ngờ là các phân số đó lại bằng nhau. Như vậy để so sánh phân số thì trước hết ta nên đưa các phân số đó về phân số tối giản (nếu có thể). Sau đó sẽ so sánh. B. Học sinh khá, giỏi 5. So sánh phân số dựa vào phân số trung gian. Ví dụ 7: So sánh các cặp số sau mà không quy đồng. a, 23 16 và 29 15 b, 9 2 và 12 5 c, 9 7 và 10 13 Bài giải: a, + Cách 1: Ta có: 23 16 > 29 16 và 29 16 > 29 15 nên 23 16 > 29 15 + Cách 2: Ta thấy 23 16 > 23 15 và 23 15 > 29 15 nên 23 16 > 29 15 b, + Cách 1: 9 2 < 9 3 ; 12 5 > 12 4 mà 9 3 = 12 4 = 3 1 Vậy 9 2 < 3 1 < 12 5 nên 9 2 < 12 5 + Cách 2: 9 2 < 8 2 mà 8 2 = 4 1 = 12 3 ; 12 3 < 12 5 nên 9 2 < 12 5 c, Ta có: 9 7 < 1 và 10 13 > 1 Vậy 9 7 < 1 < 10 13 hay 9 7 < 10 13 *Kiến thức cần nhớ: So sánh qua phân số trung gian là ta tìm một phân số trung gian sao cho phân số trung gian lớn hơn phân số này nhưng nhỏ hơn phân số kia. Lưu ý: Có 3 loại phân số trung gian 8 Loại 1: Phân số trung gian có tử số bằng tử số của một trong hai phân số đã cho, mẫu trùng với mẫu của phân số còn lại loại phân số trung gian này có hai cách chọn. Cách 1: Phân số trung gian có tử số là tử của phân số thứ nhất, mẫu là mẫu của phân số thứ hai. Cách 2: Phân số trung gian có mẫu số là mẫu của phân số thứ nhất, tử là tử của phân số thứ 2. Loại phân số trung gian này chỉ áp dụng với những bài toán so sánh hai phân số mà tử của phân số thứ nhất bé hơn tử của phân số thứ hai và mẫu của phân số thứ nhất lớn hơn mẫu của phân số thứ hai. (như ví dụ 7a). Loại 2: Phân số trung gian thể hiện mối quan hệ giữa tử và mẫu của hai phân số. (Ví dụ 7 phần b). Loại 3: Phân số trung gian là đơn vị (Ví dụ 7 phần c) áp dụng với các bài toán so sánh hai phân số mà trong đó một phân số lớn hơn đơn vị, phân số còn lại nhỏ hơn đơn vị. 6. So sánh hai phân số dựa vào so sánh phần bù đến 1 của mỗi phân số. Ví dụ 8: So sánh hai phân số: 1999 1998 và 2000 1999 Bài giải: Ta thấy: 1- 1999 1998 = 1999 1 ; 1- 2000 1999 = 2000 1 mà 1999 1 > 2000 1 nên 1999 1998 < 2000 1999 * Kết luận: Trong hai phân số nếu phân số nào có phần bù đến 1 lớn hơn thì phân số đó bé hơn và ngược lại. 1 - b a < 1 - d c thì b a > d c ; 1 - b a > 1 - d c thì b a < d c Nhận xét: Cách này thường áp dụng với những bài toán so sánh phân số mà mẫu số 2 phân số cùng lớn hơn tử số hai phân số một lượng như nhau. 7. Dùng cách nhân tử số của phân số này với mẫu của phân số kia, rồi so sánh hai tích. Ví dụ 9: So sánh hai phân số: 128 3 và 207 5 9 Bài giải: Ta thấy: 3 x 207 = 621 5 x 128 = 640 mà 621 < 640 nên 128 3 < 207 5 Kết luận: Muốn so sánh hai phân số ta có thể lấy tử số của phân số này nhân với mẫu của phân số kia nếu tích nào lớn hơn thì phân số đó lớn hơn và ngược lại. Thật vậy b a = bxd axd d c = dxb cxb (Với b, d # 0) b a < d c ⇔ bxd axd < dxb cxb ⇔ a x d < c x b b a > d c ⇔ bxd axd > dxb cxb ⇔ a x d > c x b b a = d c ⇔ bxd axd = dxb cxb ⇔ a x d = c x b Nhận xét: Cách so sánh này xây dựng trên cơ sở của việc so sánh 2 phân số bằng cách quy đồng mẫu số. Cách làm này được áp dụng với những bài so sánh phân số mà việc nhân hai mẫu số gặp phức tạp nhưng tử số của hai phân số không lớn nó sẽ làm cho ta giảm đi một bước là nhân hai mẫu số với nhau. 8. So sánh bằng phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng. Ví dụ 10: So sánh hai phân số 4 1 và 5 2 Bài giải: Ta có sơ đồ: Từ sơ đồ trên ta thấy 4 1 < 5 2 *Chốt kiến thức: Ta có thể so sánh hai phân số bằng việc biểu diễn từng phân số trên các đơn vị độ dài như nhau rồi so sánh độ dài biểu thị từng phân số với nhau. Phân số nào có độ dài biểu thị lớn hơn thì phân số đó lớn hơn. Lưu ý: Cách này chỉ dùng để so sánh các cặp phân số có tử và mẫu của mỗi phân số đều nhỏ đủ để có thể biểu thị trên sơ đồ. 10 [...]... đúng được 1 điểm) Cách 1: 2 2 x9 18 4 4 x7 28 18 28 2 4 = = và = = vì < nên < 7 7 x9 63 9 9 x7 63 63 63 7 9 Cách 2: 2 2 x4 8 4 4 x2 8 8 8 2 4 = = và = = Vì < nên < 7 7 x4 28 9 9x2 18 28 18 7 9 Cách 3: Ta thấy Cách 4: 1 Cách 5: 2 2 x2 4 4 4 2 4 = = Vì < nên < 7 7 x2 14 14 9 7 9 2 7−2 5 4 9 4 5 5 5 2 4 = = và 1 - = = Vì > nên < 7 7 7 9 9 9 7 9 7 9 2 2 2 1 4 3 3 1 2 1 4 2 4 < mà = và > mà = nên < < hay 1 ( lớn hơn tất cả các phân số khác vì các 8 phân số này đều nhỏ hơn 1) + Ta so sánh 4 phân số còn lại 1 2 2 = > 5 2 4 + 1 4 4 = < 2 8 7 + 1 5 5 = < (so sánh tử số) 2 10 9 + 4 5 36 35 > (quy đồng mẫu số > ) 7 9 63 63 Vậy ta xếp như sau: 9 4 ; ; 8 7 b 5 1 2 ; ; 5 9 2 5 5 >...9 So sánh nhiều phân số: Có những bài toán không chỉ so sánh 2 phân số mà yêu cầu so sánh 3; 4; 5 phân số Khi đó ta sẽ phối hợp nhiều phương pháp để giải Trên đây là một số phương pháp so sánh phân số có thể dùng cho học sính lớp 4 mà tôi đã nghiên cứu đưa vào thực nghiệm giảng dạy cho học sinh Tổng quát lại tôi dưa về các dạng điển hình sau: CHƯƠNG III BÀI TẬP ÁP DỤNG Dạng 1: Giải bài toán so sánh... 6: Ta có sơ đồ: Nhìn vào sơ đồ ta thấy 2 4 < 7 9 IV KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC Qua việc đi sâu vào nghiên cứu và vận dụng trực tiếp vào lớp 4A kết quả nhận thấy chất lượng lớp tôi cao hơn hẳn lớp 4B ( không được áp dụng cách dạy này ) Cụ thể là: Lớp Sĩ số Điểm 9-10 Điểm 7-8 Điểm 5-6 Điểm dưới 5 SL 4A 25 % SL % SL % SL % 12 48 ,0 9 36,0 4 16,0 0 0 17 4B 25 4 16,0 8 32,0 10 40 ,0 3 12,0 Qua bảng thống kê tôi thấy... CHUNG 1 Điều kiện để áp dụng kinh nghiệm sáng kiến Đây là một số kinh nghiệm về dạy so sánh phân số của môn toán ở lớp 4 tôi đã nghiên cứu và áp dụng vào việc giảng dạy ở lớp 4A, tôi thấy chuyên đề này có thể áp dụng vào việc dạy so sánh phân số lớp 4, nhất là với các lớp học 10 buổi/tuần như hiện nay và có thể áp dụng cho các lớp tiếp theo ở cấp học tiếp theo 2 Bài học kinh nghiệm Quá quá trình áp... bé nhất 4 ; 3 5 ; 4 7 ; 4 8 ; 9 9 9 Bài 2: ( 2 điểm ) So sánh phân số bằng cách nhanh nhất 197 198 và 198 199 Bài 3: ( 6 điểm ) So sánh phân số sau bằng nhiều cách 2 4 và 7 9 Đáp án biểu điểm: Bài 1:(2 điểm): Khoanh tròn vào phân số 8 9 16 Bài 2: ( 2 điểm) Ta thấy 11- 197 198 − 197 1 = = 198 198 198 198 199 − 198 1 1 1 197 198 = = mà > nên < 199 199 199 198 199 198 199 Bài 3: ( 6 điểm) (HS so sánh... 111 333 b, 333 999 999 999 = mà > vậy 332 996 996 997 c, Ta thấy d, 333 999 > 332 997 2 14 2 14 2 14 205 2 14 2 14 205 > nhưng > Vậy > > 315 321 321 321 315 321 321 705 705 705 705 < mà và đều < 1 1000 999 1000 999 Mà 105 105 705 705 > 1 Vậy > > 1 04 1 04 999 1000 Nhận xét: Như vậy một bài toán có thể có nhiều cách giải song ta cần phải biết quan sát, phân tích để chọn cách giải dễ dàng, hợp lí nhất Dạng 3: . hơn Hoa. Bài 3: so sánh các phân số. a, 25 4 và 25 7 b, 12 245 và 25 245 c, 48 12 và 24 9 d, 2006 2005 và 2005 20 04 Bài 4: So sánh các phân số sau với 1. 4 1 ; 4 3 ; 2 5 ; 3 7 . 47 42 x x = 28 8 và 9 4 = 29 24 x x = 18 8 Vì 28 8 < 18 8 nên 7 2 < 9 4 Cách 3: Ta thấy 7 2 = 27 22 x x = 14 4 Vì 14 4 < 9 4 nên 7 2 < 9 4 Cách 4: 1 - 7 2 = 7 27. dxa cxa 4 . Tính chất của phân số. Ví dụ: Viết phân số bằng phân số 14 6 bằng cách. a - Nhân cả tử và mẫu với 3 b - Chia cả tử và mẫu cho 2 a. 14 6 = 3 14 36 x x = 42 18 b. 14 6 = 2: 14 2:6