ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC Tự NHIÊN LƯU VĂN N G Â N V Ề K H O Ả N G C Á C H K O B A Y A SH I C Ủ A M IỀ N T R O N G cn C huyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH M ã số : 60 46 01 LU Ậ N VĂN T H Ạ C s ĩ K H O A H Ọ C N G Ư Ờ I H Ư Ớ N G D ẪN K H O A H Ọ C P G S .TS . N G U Y Ễ N Đ ÌN H SA N G H à N ội - N ăm 2012 Lời cảm ơn 1 Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của Thầy PG S. TS. N guyễn Đình Sang. Nhăn dip này, tôi xin được gửi tới thầy lời cảm chân thành và sâu sắc nhất. Tôi củng xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Thầy TS. N inh Văn T hu đã bỏ công sức đọc bản thảo và cho tôi nhiều ý kiến chỉnh sứa quý báu để tôi có thể hoàn thành tốt hơn bản luận văn này. Tôi xin được bày tỏ lòng biết, ơn đến các thầy cô giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin học thuộc trường DH KHTN - DH QGHN đã chỉ bảo tận tình trong suốt thời gian tôi học tập tại trường. Nhãn dip này, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã cổ vũ, động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện khoả luận này. Do thời gian có hạn và trình độ còn hạn chế nên luận văn của tôi không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn để luận văn của tôi được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn. Hà Nội, tháng 12 năm 2012 Học viên Lưu Văn N gân D anh m ụ c các kí hiệu 9 Danh mục các kí hiệu c n không gian phức n - chiều c (/, z°) tập dinh của f tại z° Kohdisto (o, b) khoảng cách Kobayashi giữa hai (liểm a, I) E D FSII (íì) không gian các hàm đa điều hòa dưới trẽn Í2 Rrỉ không gian thực n - chiều ■ kết thúc chứng minh hoặc ví dụ. Mục lục Lời cảm ƠI1 1 D anh mục các kí h i ệ u 2 Lời nói đ ầ u 4 ] M ộ t số kiến thức chuẩn bị 6 1.1 Hàm chỉnh h ì n h 6 1.2 Hàm đa điều hòa 7 1.3 Giả khoảng cách Kobayashi 7 1.4 Miền giả lồi 9 1.5 Hàm p e a k 12 2 ướ c lượng khoảng cách Kobayashi của các m iền tro n g c ri 13 2.1 Dịa phương hóa của khoảng cách Kobayashi 13 2.2 Ước lượng khoảng cách Kobavashi trong miền giả lồi chặt 20 2.3 Các ví dụ 25 Kết l u ậ n 28 Tài liệu th a m k h ả o 29 3 Lời nói dầu 4 Lời nói đầu Một định lý cổ điển của Carathéodory phát biểu rằng: mọi ánh xạ song chỉnh hình f ■ D1 —> D'2 giữa hai miền trong mặt phẳng phức c, bị chặn bởi những dường cong .Iordan đóng đều có thể mở rộng được đến một đẳng cấu từ D\ lên D‘2 Có nhiều mở rộng cho kết quả của định lý trên lên những miền khác nhau của cn. Nếu D 1, D2 là những miền giả lồi bị chặn của € n với biên lớp c 2 và nếu khoảng cách Kobayashi không bị chặn trên D‘2. tăng nhanh gần biên của D‘2 , {Kd2 (x: X) — đ(~^bD' Y V(^ £ ^ (0)1)) thì mọi ánh riêng chỉnh hình f : D 1 —» Dọ đều mở rộng được tới một ánh xạ Holder liên tục từ D 1 lên £>2- Kết quả này thỏa mãn nói riêng nếu D2 là miền giả lồi chặt hoặc nếu nó là miền giả lồi với biên giải tích thực. Kết quả như vậy cũng nhận được nếu D-i chỉ nhẵn từng mảnh và giả lồi mạnh. Các kết quả khác trong những trường hợp ngoại lệ như trên những khối cầu, miền Reinhardt, miền đối xứng, những miền Hartogs giải tích bị chặn trong c 2, những ánh xạ song chỉnh hình giữa m ột vài dạng của những miền không giả lồi với biên giải tích thực. Bên cạnh đó là các kết quả liên quan đến mở rộng nhẵn của những ánh xạ riêng chỉnh hình của những miền giả lồi bị chặn nhẵn. Mục đích của luận văn là trình bày sự mở rộng cho kết quả của định lý trên lốn một miền trong cn, đó là miền giả lồi chặt nhờ việc ước lượng xấp xỉ liên quan đến tính địa phương hóa của khoảng cách Kobayashi không bị chặn gần biên. Cụ thể luận văn gồm hai chương: Chương I: “Một số kiến thức chuẩn b ị’. Trong chương này ta trình bày một số kiến thức về hàm chỉnh hình, hàm đa điều hòa, hàm điều hòa dưới: giả khoảng cách Kobayashi; miền giả lồi. miền giả lồi chật; hàm peak. Lời nói (tầu 5 Chương II: “Ước lượng khoảng cách Kobayashi của miền miền trong cn”. Trong chương này ta phát biểu và chứng minh các định lý về sự mở rộng của định lý có điển Caratheodory trong miền giả lồi chặt và các ví dụ. Vì trình độ còn hạn chế nên luận vãn không thể tránh khỏi những sai sót, tỏi hy vọng sẽ nhận được nhiều V kiến đóng góp từ các thầy cô giáo và bạn đọc để luận văn được hoàn chỉnh hơn. Hà Nội, thúnq 12 năm 2012 Học viên Lưu Văn N gân Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm chỉnh hình Giả sử Q là tập mở trong cn, ta có thể đồng nhất c n với R2n. Xét hàm / : n -> c, / G c 1 (fi), Zj = Xj 4- ÍỊjj, j = 1 , 2 , n. Đ ịnh nghĩa 1.1.1. Giả sử f (z) = u(x,y) + iv(x,y), z = X + iy xác định trong n với x,y £ M". Khi đó, hàm / được gọi là R2n - khả vi tại Z() = XQ + iyo nếu các hàm u (x, y) và V (x, y) k hả vi tại (xo, yo). Đ ịnh nghĩa 1.1.2. Hàm / được gọi là cn - khả vi tại Zo € ỉl nếu / là M2,í - khả vi tại ZQ và thoả mãn phương trình Cauchy - Rieman: Đ ịnh nghía 1.1.3. Hàm /' được gọi là chỉnh hình tại Zị) E íỉ nếu nó là C" - khả vi trong lân cận nào đó của Z(). f ỡ / . = E ! dz> + E t u '-'1 1 Ư ^ 1 7 - 1 7 .7 = 1 7 trong đó 6 1.2. Hàm da điều hòa Hàm /' được gọi là chỉnh hình trẽn íì nếu nó chỉnh hình tại mọi Zị) € 0. Hàm f được gọi là chính hình trên tập compact /\ c íĩ nếu tồn tại tập mở U) sao cho K c u c iì và f chỉnh hình trcn UJ. 1.2 Hàm đa điều hòa Đ ịnh nghĩa 1 .2.1 . Giả sử X là không gian tô pô. Hàm u : X —> [— oc. + 30) được gọi là nửa liên tạc trên trẽn X nếu với mỗi a £ E tập x a = {x € X : u(x) < a} là mở trong X. Hàm V : X —>• (— DC, + oc] được gọi là nửa liên tục dưới trên X nếu — V là nửa liên tục trên trẽn X. Đ ịnh nghĩa 1.2.2. (H àm điều hòa dưới) Giả sử Q là tập mở trong c. Hàm u : —> [— oo, + oo) được gọi là diều hòa dưới trẽn Q nếu nó nửa liên tục trên trên íỉ và thỏa mãn bất đẳng thức dưới trung bình trên Q, nghĩa là với mọi Ld E Q, tồn tại p > 0 sao cho với mọi 0 < r < ọ ta có 1 r2n u (cư) < _ / u (uj + re ) dt. 2tt J0 Đ ịnh nghĩa 1.2.3. (H àm đa điều hòa dưới) Giả sử íl là tập mở trong C", u : rỉ —> [— 00, + oo) là hàm nửa liên tục trên, không đồng nhất bằng — oc trên mọi thành phần liên thông của Q. Hàm u được gọi là đa điều hòa dưới trên Q (viết u € P S H {Q)) nếu với mọi cặp điểm a € Q, b 6 c n, hàm À I y u (a + Ab) là điều hòa dưới hoặc bằng — (X) trên mọi thành phần liên thông của tập {A G c : a + Ai) 6 QỊ. 1.3 Giả khoảng cách Kobayashi Đ ịnh nghĩa 1.3.1. (K hoảng cách) Khoảng cách d trên tập X là một hàm d : X X X -» K (x\ y) H-> d (x, y) t.hoả mãn các diều kiện san với mọi X, y. z thuộc X: i) d y) > 0, (l y) > 0 V./; Ỷ //• 1.3. Giả khoảng cách Kobayashi 8 ii) d(x, y) = d iii) d y) < d (x, z) + d(z, ỳ). Nếu d chí thoả mãn ii), iii) và d (x, y) > 0 thì d được gọi là giả khoảng cách trên X. Đ ịnh nghĩa 1.3.2. (Khoảng cách B ergm an - Poincare) Gọi A = {z 6 c : \z\ < 1} là đĩa đơn vị mở trong mặt phẳng phức c. Trên A ta xét p(0, z) = log 1 — \z\y z <= A. 1 - 1^1 Khi đó, p (0. z) được gọi là khoảng cách Bergman - Poincare. Đ ịnh nghĩa 1.3.3. (Giả khoảng cách K obayashi) Giả sử X là một không gian phức; p,q là hai điểm tuỳ ý của X. Khi đó, ta gọi một dâv chuyền chỉnh hình 7 nối p với q là tậ p hợp {ai, «2, an 6 A; /i, / 2, fn € Hoi (A, X)} sao cho /1 (0) = p, fi {di) = fi+1 (0), fn (a„) = q, ở đó, Hoi (A, X)) là không gian các ánh xạ chỉnh hình từ A vào X được trang bị tôpô compact-mở. Ta đặt Ly — 5ZỈ=1 p (^) ai) nghĩa dỵ (p, q) = m/z>7, ớ đó iníìmum lấy theo tất cả các dâv chuyền chỉnh hình 7 nối p với q. Khi đó, dỵ ■ X X X —» [0, + 00) được gọi là giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức X. Sau đây là một số tính chất cơ bản của giả khoảng cách Kobavashi T ín h ch ất 1.2.1 i) (N guyên lý giảm khoảng cách) Giả sử / : X —)■ Y là ánh xạ chỉnh hình giữa hai không gian phức. Khi dó: đỵ (p, q) > dY (/ {p) , / (ợ)), Vp, q e X. Từ (ló, ta suy ra rằng nếu f : X —» Y là song chỉnh hình thi đỵ (p, q) = dY (./' (p) , / ((/)), Vp, q € X. ii) Đối với một không gian phức tuy ý. hàm í/ỵ là licn tục trên X X X. ỉ .ị . M iền giả lồi 9 Chứng minh. Giả sứ {(/>„. 7„)} c X X X và {(pn, (Ịn)} —> (/), ợ) theo tô pố của X X X . Từ bất đẳng thức tam giác, ta có: \dx (Pn, <7,1) - (p, q)\ < dx (Pn, p) + dx {qn, q) Do đó, việc chứng minh lim dỵ (])„, qn) = dV (p, ợ) thực chất là đưa n —> -f DO về việc chứng minh dỵ (Pn, p) —>• 0 khi pn —>• p. Giả sử Ư là một lân cận của p. Do dx < du trong ư nên ta chỉ chứng tỏ rằng dự (pn, p) —> 0 khi pn —> p trong ư. Nếu p là điểm chính quy của X thì ta có thể coi ư = An và phép chứng minh được suy ra ngav từ tính chất i). Ta xét trường hợp p là điểm kì dị của X: giả sử tồn tại ố > 0 sao cho du (Pn, p) > ổ vói mọi n > 0. Xét giải kỳ kì dị 7T : u —» u. Giả sử qn c ư sao cho 7T (qn) — pn, Vn > 1. Do 7T là ánh xạ riêng nên bằng cách lấy dãy con nếu cần thiết ta có thể sử rằng dãy {qn} hội tụ tới q G u . Vì 7T là ánh xạ liên tục nên 7T (ợ) = p. Giả sử V là lân cận đa đĩa của q trong ư. Do nguyên lý giảm khoảng cách và do dy liên tục nên ta suv ra rằng du (Pn, p) = dự (ĩT (qn) , 7T (q)) < dy (qn, q) -> Okhi n +00 Điều này trái với giả sử ban đầu của ta. Vậv dỵ là hàm liên tục trên X X X . □ iii) Giả khoảng cách Kobayashi trên ctĩa đơn vị trùng với khoảng cách Bergman - Poincare. iv) Giả khoảng cách Kobavashi trên miền D lồi mạnh, bị chặn là đầv đủ tức là với mọi p thuộc D, ta có k]j (p, z) —> +00 khi và chỉ khi 2 —y dD. 1.4 Miền giả lồi Đ ịnh nghĩa 1.4.1. (Bao đa điều hòa dưới) Giả sử Q là miền trong c rỉ còn K compact trong 0. Tập K n — Ị - € ũ'. (f(z) < supip,Wip E P (n ) gọi là bao đa điều hòa dưới của K trong Vt. Bâv giờ ta giả sử ồ' là hàm liên tục tùy ý trên C" sao cho ò > 0 trừ tại 0 và S(tz) = ị/ịố ^ ) , [...]... 12 H àm peak Đ ịn h n g h ĩ a 1.5.1 Cho íì là miền giả lồi trong C '\ A là đại số các hàm trên Q Ta nói, điểm p € íì là điểm peak của A nếu có một hàm f E A thỏa m ãn f (P ) = 1 và \f {z)\ < 1, V z € Í Ì \ { P } Khi đó, hàm / được gọi là h à m p e a k t ạ i A Chương 2 Ước lượng khoảng cách Kobayashi của các miền trong 2.1 cn Đ ịa phương hóa của khoảng cách K obayashi Cho A (a, r) = { z € c n : \z... hàm f liên tục trong một miền của không gian Euclide VỚI biên đủ nhẵn, điều hoà ở phần trong và giá trị của hàm f tại một điểm X trên biên lớn hơn các giá trị xung quanh nó (ở bên trong miền đó) thì đạo hàm theo hướng của vectơ pháp tuyến hướng ra phía ngoài tại X là dương thục sự 2.2 Ước lượng khoảng cách K obayashi tron g m iền giả lồi chặt Cho / : D\ — C 'V là một ánh xạ liên tục trên miền D\ c C"... trìn h bày và thu được : - Mở rộng kết q u ả của định lý Carathóodory cổ điển lẽn m ột miền trong C 7 (ĩó là miền giả lồi chặt nhờ việc ước lượng xấp xỉ liên quan đến tính \ địa phương hỏa của khoảng cách Kobayashi không bị chặn gần biên - Cho / : Dị — D) là một ánh xạ riêng điều hòa từ miền Dị c c n > lẽn miền D 2 c c n (n > 1 ), đâu là yêu cầu tối thiểu của d D ‘2 để / có thể mở rộng liên tục được... thuộc phần trong tương đối của d D \ n ỜD, tồn tại một lân cận Ư của p và một hằng số K sao cho K o b d isto iz; D \ D l ) > - l 2 o g d{z) K, z e u n Dị (2.5) 2 1 17 Đ ịa phương hóa của khoảng cách Kúbayciòhi chúng minh Từ bổ đề 2.1.1 và định lý 2.1.1, ta có thổ chọn Do c D 1 sao cho điểm p là điểm trong tương đối của dDo n OD và ước lượng ( 2 2 ) thỏa mãn Gọi Ư là một lân cận đủ nhỏ của p, Ư n Dị... được đến vi phôi từ bao đóng của cư đến K > 1 và ớ 6 ( — 1 ; l ì sao cho mọi c € đĩa đơn vị sao cho T (0) — 1 và lớp c 1+£, ta SUV ra T mở rộng đĩa đơn vị đóng Do đó, tồn tại ( 0 , 3Ị)) m a x (ớ 1 — K c) < T (c) < 1 —— K Nhắc lại rằng, khoảng cách Kobayashi giữa hai điểm X < 1 trong đĩa đơn vị bằng I ^log — log X và X , — 1 < X < Do T là phép rời hình với khoảng cách Kobayashi nên ta được: KobdistJJ... ánh xạ chỉnh hình giữa các miền D i, />2 thì theo bổ » đề Schwarz-Pick ta có K o b d is to ! (a, 6) > K o b d is to 2 ( f ( a ) , / ( 6) ) , tt, í) G Di, X ) > K lh Ụ (z) ■ f (z) x ) , z € D ,, , X e T ;C" Ta xem D là một miền bị chặn của C" và Do c D\ làtập con mở của 1) sao cho mỗi điểm z E tồn tại một lân cận mở ư z trong C" mà 13 2.1 Vz 11 Đ ịa phương hóa của khoảng cách K obayashỉ n Dị — U :... D], f (z) = w } , w € D 2 , với p : Dị —• ( — 00 , 0) như trong điều kiện (P) > Bước 2 được chứng minh trong mệnh đề 2.1.1 Phần còn lại là chứng minh đổ nhận được ước lượng ở bước 1 G iả sử tồn tại những hàm peak chỉnh hình tại những điểm A G dDo trong một lân cận của w° T a chứng minh một ước lượng liên quan đến địa phương hóa của khoảng cách Kobayashi gần w° (định lý 2.1.1 và bổ đề 2.1.1) Ước lượng... ước htợng khoảng cách K obayashi tronq m iền giả lồi chặt 23 Nếu f mở rộng liên tực được đến một điểm 2° 6 c)Dị, thỏa mãn điều kiện (P) và nếu dỉ)ọ giả lồi chặt gần w° — f ( 20) thì giả thiết của định lý 2.2.1 cũng thỏa mãn cho mọi điểm 2 G d D \ đủ gần 2° Do đó, f mở rộng liên tục được đến một lân cận Ư của z° trong Dị H ệ q u ả 2 2 1 Cho D) là miền bị chặn trong c n (n > 1) sao cho nó là miền giả... 2 2 2 Cho Dị c C ” là miền giả lồi bị chặn với biên lớp c 2 và cho f : D ị — [)> là ánh xạ riêng chỉnh hình từ miền D 1 lên miền bị » chặn, giả lồi chặt D -2 c C A với biên lớp c 2 (N > n) Giả sử rằng tập dính toà n cục c ( / ) được chứa trong hợp của m ộ t tập con dóng, không hoàn toàn liên thông E c c)D‘2 và một đa tạp con dóng M lớp c 2 của tập ,1.2 ước htợvq khoảng cách K obayashi trovq m iề... ( 0 , r) và A = A (1) Cho D là m ột miền của c n, ta kí hiệu K o (z, X ) là độ dài Kobavashi cực nhỏ của vecto tiếp xúc X G TzC n tại điểm z £ D : K d { z , X ) = i n / { - > 0 : 3 h : A — D chỉnh hình, h (0) = z, h' (0) = r X) Nếu » 7 : [0, 1] -Ạ D là một dường cong lớp c 1 trong D thì độ dài Kobayashi c ủ a n ó là Id (7) = J K d ( i (í) ; í (í)) dt Khoảng cách Kobayashi giữa hai điểm a, b £ D là . điều hòa dưới: giả khoảng cách Kobayashi; miền giả lồi. miền giả lồi chật; hàm peak. Lời nói (tầu 5 Chương II: “Ước lượng khoảng cách Kobayashi của miền miền trong cn . Trong chương này ta. Giả khoảng cách Kobayashi 7 1.4 Miền giả lồi 9 1.5 Hàm p e a k 12 2 ướ c lượng khoảng cách Kobayashi của các m iền tro n g c ri 13 2.1 Dịa phương hóa của khoảng cách Kobayashi 13 2.2 Ước lượng khoảng. lượng khoảng cách Kobayashi của các miền trong cn 2.1 Địa phương hóa của khoảng cách Kobayashi Cho A (a, r) = {z € c n : z — a < r} , A (r) = A (0, r) và A = A (1). Cho D là một miền của