đề thi thử vào 10 toán chuyên khoa học tự nhiên lần 1 năm 2015 (có đáp án)

2 726 2
đề thi thử vào 10 toán chuyên khoa học tự nhiên lần 1 năm 2015 (có đáp án)

Đang tải... (xem toàn văn)

Thông tin tài liệu

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỀ KIỂM TRA KIẾN THỨC LỚP 9 NĂM 2015 TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề M«n: to¸n (To¸n chuyªn) Câu I. 1) Giải phương trình   − 8− 3 +6 √ 2+ 3=0. 2) Giải hệ phương trình    + 2  1 − =3 2 +  1 − =1.  Câu II. 1) Tìm các cặp số nguyên  sao cho  ( + 2 ) là lũy thừa của 2. 2) Với mỗi số nguyên dương  ta đặt   =2 + √ 3  + 2 − √ 3  . Chứng minh rằng   là số nguyên dương với mọi  nguyên dương và   không chia hết cho 2016. Câu III. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H với D, E, F lần lượt thuộc các đoạn BC, CA, AB. CH cắt (O) tại G khác C. GD cắt (O) tại K khác G. a) Chứng minh rằng AK đi qua trung điểm M của DE. b) Gọi N là trung điểm DF. AN cắt (O) tại L khác A. Chứng minh rằng M, N, L, K cùng thuộc một đường tròn. Câu IV. Các số nguyên dương từ 1 đến  được viết lên bảng theo thứ tự tăng dần từ trái sang phải (≥2). A và B chơi một trò chơi luân phiên như sau: A đi trước; đến lượt ai đi, người đó xóa hai số liên tiếp bất kỳ trên bảng và thay thế bằng tổng hoặc tích của chúng. Hai bạn chơi cho đến khi còn lại một số. Nếu số còn lại là số lẻ thì A thắng, trái lại thì B thắng. Tìm tất cả các số nguyên dương  mà A có cách chơi để chắc chắn thắng. HẾT ĐÁP ÁN Toán chuyên (tóm tắt) Câu I. 1) Đk ≥−3. Ta có (   − 2−3 ) − 6   − √ 2 +3  =0 Với =−1 không thỏa mãn Với ≠−1 khi đó nhân liên hợp ta có (   − 2 − 3 )  1 −   √   =0 TH1.   − 2− 3=0⟹=3. TH2. + √ 2+ 3= 6⟹=3. Cách 2. = √ 2+ 3⟹   − 22  + 24 + 45=0⟹=3. 2) Đặt =  1 −  ta có hệ    + 2=3 2 − 2  + =1.  hay    + 2=3 2  − =1  Suy ra   + 2 − 3 ( 2  −  ) =0 hay ( −  )(  +6 ) =0. TH1. =⟹== 1 ℎ = 1,=0. TH2. =−6⟹=   √  , =−  √  ⟹=   . Câu II. 1) Vì (+ 2) là lũy thừa của 2 nên tồn tại hai số tự nhiên < sao cho =2  ,+ 2= 2  ⟹2  − 2  =2 hay 2   2  − 1  =2 vì 2  − 1 lẻ nên 2  = 2,2  − 1=1⟹=1,=2 nên =2. 2) Do   +   = (   +   )(  +  ) − (   +   ) , chọn =2+ √ 3,=2 − √ 3. Ta có ngay   =4  −   , mà   =4,  =14. Do đó   là số nguyên với mọi . Khi đó ta có   +   ⋮4 mà   chia 4 dư 2 nên   chia 4 dư 2 với mọi . Tương tự   +   ⋮8 mà   chia 8 dư 4 nên   chia 8 dư 4 với mọi  nên   không chia hết cho 8 nên cũng không chia hết cho 2016. Câu III. a) Ta thấy các tứ giác AEDB, BFHD nội tiếp nên ∠ AED = 180ᵒ – ∠ ABD = ∠ FHD và ∠ DFH = ∠ DBH = ∠ DAE. Từ đó △  ~ △ . Dễ thấy G là đối xứng của H qua BC suy ra   =   suy ra   =  / hay   =   . Từ đó △ HGD ̴ △ EAM. Suy ra ∠ EAM = ∠ HGD = ∠ CAK suy ra ≡. b) Gọi BH cắt (O) tại P khác B . Tương tự phần a) suy ra LD đi qua P . Dễ thấy P là đối xứng của H qua CA suy ra AG = AH = AP suy ra GP ⊥ OA ⊥ EF. Từ đó GP ‖ EF ‖ MN . Gọi AL cắt GP tại Q . Ta có ∠ MNA = ∠ AQP = ∠ AGQ + ∠ QAG = ∠ APG + ∠ QAG = ∠ AKG + ∠ GKL = ∠ AKL. Suy ra tứ giác MKNL nội tiếp. Câu IV. Nếu  lẻ thì A đi bước cuối thì dù bước trước B thế nào thì A vẫn chọn được cách để thu được số chẵn nên chắc chắn thắng. Nếu  chắn. Thay dãy trên bảng bởi dãy 1, 0, 1, 0, . . . , 1, 0. Bước 1, A chọn 2 số cuối cùng tạo thành số 1 và được dãy 1, 0, 1, 0, . . . , 0, 1. Ta gọi những dãy như thế này là “có lợi cho A”. Đến lượt B đi và bước tiếp theo A sẽ có cách tạo ra được dãy có lợi cho mình.Thật vậy, B phải chọn hai số cạnh nhau là 0 và 1 nên chỉ có thế tạo thành số 0 hoặc 1, bước tới A sẽ đi như sau: Nếu sau khi B đi có 2 số 0 cạnh nhau thì A chọn 2 số này để lấy tổng của chúng thì thu được 1 số 0 và dãy còn lại là dãy có lợi; nếu sau khi B đi có hai số 1 cạnh nhau thì A kết hợp một số 1 với một số 0 cạnh nó để có được số 0 và dãy thu được vẫn là dãy có lợi. Như vậy sau một số bước sẽ thu được dãy 1, 0, 1 và đến lượt B đi, kết quả của B chỉ có thể là 0, 1 hoặc 1, 0 hoặc 1, 1 thì A luôn có cách chuyển về số 1 và A thắng. . thắng. Nếu  chắn. Thay dãy trên bảng bởi dãy 1, 0, 1, 0, . . . , 1, 0. Bước 1, A chọn 2 số cuối cùng tạo thành số 1 và được dãy 1, 0, 1, 0, . . . , 0, 1. Ta gọi những dãy như thế này là “có lợi. ĐÁP ÁN Toán chuyên (tóm tắt) Câu I. 1) Đk ≥−3. Ta có (   − 2−3 ) − 6   − √ 2 +3  =0 Với = 1 không thỏa mãn Với ≠ 1 khi đó nhân liên hợp ta có (   − 2 − 3 )  1 −   √   =0. KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỀ KIỂM TRA KIẾN THỨC LỚP 9 NĂM 2 015 TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN Thời gian làm bài: 12 0 phút, không kể thời gian phát đề M«n: to¸n (To¸n chuyªn) Câu I. 1) Giải phương trình

Ngày đăng: 28/06/2015, 16:16

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan