SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI BÌNH Đ Ề THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM 2015-2016 MÔN THI: TOÁN (Dành cho tất cả thí sinh) Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1 (3,0 điểm). Cho biểu thức: xxx xx xx xx x x P + + − − − + + = 2 122 ( ) .1;0 ≠> xx a) Rút gọn biểu thức P. b) Tính giá trị của thức P khi 223−=x c) Chứng minh rằng: với mọi giá trị của x để biểu thức P có nghĩa thì biểu thức P 7 chỉ nhận một giá trị nguyên. Bài 2 (2,0 điểm). Cho phương trình x 2 – 2mx + (m – 1) 3 = 0 (m là tham số). a) Giải phương trình khi m = –1. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng bình phương nghiệm còn lại. Bài 3 (1,0 điểm). Giải phương trình: .01 92 29 2 2 =− + + x x x Bài 4 (3,5 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Đường tròn đường kính AH, tâm O, cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại E và F. Gọi M là trung điểm của cạnh HC. a) Chứng minh AE.AB = AF.AC. b) Chứng minh rằng MF là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH. c) Chứng minh HAM = HBO d) Xác định điểm trực tâm của tam giác ABM. Bài 5 (0,5 điểm). Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng: 2 3 1 1 1 1 1 1 222 ≥ + + + + + cba Hết Họ và tên thí sinh: ………………………………………………………………………… SỞ GD-ĐT THÁI BÌNH KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM 2015-2016 DỰ THẢO HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN CHUNG CÂU NỘI DUNG ĐIỂM 1a 2 2 1 1x x x x x P x x x x x + − + = + − − + 0,25 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 1 1 x x x x x x x x x x x x − + + + − + + = + − − + 0,5 ( ) ( ) 1 1 2 2 x x x x x x x x + + − + + = + − 0,5 2 2 2 2 2 2 x x x x x + + + = + = 0,25 1b Ta có 3 2 2 2 1x x= − ⇒ = − 0,25 Thay vào biểu thức ( ) 2 2 2 1 2 2 1 P = − + + − 0,25 Tính được kết quả 4 2 2P = + 0,25 1c Đưa được 7 7 2 2 2 x P x x = + + 0,25 Đánh giá 2 2 2 6x x x+ + > , suy ra 7 7 0 6 2 2 2 x x x < < + + 0,25 Vậy 7 P chỉ nhận một giá trị nguyên đó là 1 khi 4 2 7 2 2 2 2 5 2 1 1 4 2 x x x x x x x x x  =  =   = + + ⇔ − + ⇔ ⇔   = =    0,25 2a Khi 1m = − ta có phương trình 2 2 8 0x x+ − = 0,5 Giải phương trình ta được hai nghiệm: 1 2 2; 4x x= = − 0,5 2b Tính được ( ) 3 2 ' 1m m∆ = − − 0,25 Để phương trình có hai nghiệm phân biệt ( ) 3 2 1 0 (*)m m⇔ − − > 0,25 Gọi 1 2 ;x x là hai nghiệm của phương trình, theo Viet ta có ( ) 1 2 3 1 2 2 (1) 1 (2) x x m x x m + =    = −   Giả sử ( ) 2 1 2 x x= thay vào (2) ta được ( ) 2 2 1 1; 1x m x m= − = − 0,25 Thay hai nghiệm 1 2 ;x x vào (1) ta được ( ) ( ) 2 2 0 1 1 2 3 0 3 m m m m m m m =  − + − = ⇔ − = ⇔  =  Khẳng định hai giá trị m vừa tìm được thỏa mãn điều kiện (*), kết luận 0,25 3 Điều kiện: 0x ≠ , đưa phương trình trở thành: 2 2 2 2 9 2 3 0 2 9 x x x x + + − = + 0,25 Đặt ẩn phụ: 2 2 9 x t x = + , phương trình trở thành: ( ) ( ) 3 2 2 1 2 3 1 0 1 2 1 0 1 2 t t t t t t t =   − + = ⇔ − − − = ⇔  =  0,25 Trường hợp: 1t = ta có 2 2 9x x= + (vô nghiệm) 0,25 Trường hợp: 1 2 t = − ta có 2 2 0 3 2 2 9 2 2 2 9 x x x x x <  + = − ⇔ ⇔ = −  =  0,25 4a Xét hai tam giác: AEF và ACB có góc A chung 0,25 Ta có · · · · ;AEF AHF AHF ACB= = suy ra · · AEF ACB= (hoặc · · · · ;AFF AHE AHE ABC= = suy ra · · AFE ABC= ) 0,25 Suy ra hai tam giác AEF và ACB đồng dạng 0,25 Từ tỷ số đồng dạng AE AF AC AB = ta có AE.AB = AC.AF 0,25 4b Xét hai tam giác OHM và OFM có OM chung, OF = OH. 0,25 Có MF = MH (vì tam giác HFC vuông tại F, trung tuyến FM) 0,25 Suy ra OHM OFM ∆ = ∆ (c.c.c) 0,25 Từ đó · 0 90MFO = , MF là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH 0,25 4c Xét hai tam giác AHM và BHO có · · 0 90AHM BHO= = 0,25 Trong tam giác vuông ABC, đường cao AH có 2 . .2 .2 AH HM AH HB HC AH OH HB HM HB HO = ⇒ = ⇒ = 0,25 Suy ra HBO HAM ∆ ∆ : 0,25 Suy ra · · HAM HBO= 0,25 4d Gọi K là giao điểm của AM với đường tròn Ta có · · · HBO HAM MHK= = , suy ra BO // HK 0,25 Mà HK AM⊥ , suy ra BO AM ⊥ , suy ra O là trực tâm của tam giác ABM 0,25 5 Giả sử a b c≥ ≥ , từ giả thiết suy ra 1ab ≥ . Ta có bất đẳng thức sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 2 0 1 1 1 1 1 1 a b ab a b ab a b ab − − + ≥ ⇔ ≥ + + + + + + (luôn đúng). Vậy ta cần chứng minh: 2 2 1 3 1 1 2ab c + ≥ + + 0,25 2 2 2 2 3 3 3 3c ab abc c ca bc abc a b c abc⇔ + − ≥ ⇔ + + ≥ ⇔ + + ≥ Bất đẳng thức hiển nhiên đúng vì ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 9 3 a b c ab bc ca ab bc ca abc  + + ≥ + + =   + + ≥   hay 3 3a b c abc+ + ≥ ≥ . Dấu bằng xảy ra khi 1a b c= = = 0,25 Cho các số dương , ,a b c thỏa mãn 3a b c+ + = .Chứng minh rằng: 2 2 2 3 2 3 3 3 ab bc ca c a b + + ≤ + + + 5 Ta có ( ) 2 3 3 a b c ab bc ca ab bc ca + + ≥ + + ⇒ + + ≤ 0,25 Ta có ( ) ( ) 2 2 1 1 2 3 ab ab ab ab a c b c a c b c c c ab bc ca   ≤ = ≤ +  ÷ + +   + + + + + + ( ) 1 1 3 2 2 2 ab ab bc ca ca VT a b c a c b c c a c b a b   ≤ + + + + = + + =  ÷ + + + + +   (đpcm) Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1 0,25 . GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI BÌNH Đ Ề THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM 2015-2016 MÔN THI: TOÁN (Dành cho tất cả thí sinh) Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1 (3,0 điểm). Cho. cba Hết Họ và tên thí sinh: ………………………………………………………………………… SỞ GD-ĐT THÁI BÌNH KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM 2015-2016 DỰ THẢO HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN CHUNG CÂU NỘI DUNG. ta có 2 2 9x x= + (vô nghiệm) 0,25 Trường hợp: 1 2 t = − ta có 2 2 0 3 2 2 9 2 2 2 9 x x x x x <  + = − ⇔ ⇔ = −  =  0,25 4a Xét hai tam giác: AEF và ACB có góc A chung 0,25 Ta có · ·