ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II Năm học 2010 -2011 Môn Toán – Khối 11 – Ban Tự nhiên Thời gian 90 phút ( Không kể thời gian phát đề ) *************** Câu I : ( 2 điểm ) a). Tìm giới hạn của hàm số 2 1 2 3 1 lim 1 x x x x → − + − b). Một cấp số nhân có 7 số hạng, số hạng thứ tư bằng 24 và số hạng thứ bảy gấp 32 lần số hạng thứ hai. Hãy tìm công bội q và số hạng đầu của cấp số nhân đó? Câu II : ( 1 điểm ) cho hàm số 2 2 5 3 voi x > 1 ( ) 1 2m - 1+3x voi x 1 x x f x x  − +  = −   ≤  . Tìm giá trị của m để hàm số liên tục tại x = 1 Câu III : ( 3,5 điểm ) 1). Tính đạo hàm của hàm số y = 2 3 2sin x + 2). Giải bất phương trình y’ ≤ 0 với y = 2 ( 1) 2 x x + + 3). Cho hàm số f(x) = sin 2 x – m cosx có đồ thị là (C ) . Tìm giá trị của m để hai tiếp tuyến của ( C ) tại các điểm có hoành độ x = 2 π − và x = 3 π song song hoặc trùng nhau. 4). Cho hàm số y = 1 3 1x + . Hãy tính y (n). Câu IV : ( 3,5 điểm ) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đường chéo AC’ = 2a ; AB = AA’ = a và AD = a 2 a). Chứng minh D’C ⊥ AC’ b). Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng ( ACD’) c). Xác định đường vuông góc chung của AC’ và CD’. Tính độ dài đường vuông góc đó . Hết LƯỢC GIẢI VÀ THANG ĐIỂM CHẤM Bài Lược giải Điểm Câu I 1 a Ta có 2 2 2 1 1 2 3 1 4 (3 1) lim lim 1 ( 1)(2 3 1) x x x x x x x x x x → → − + − + = − − + + 1 4 1 5 lim 8 ( 1)(2 3 1) x x x x x → + = = + + + 0.5 0.5 1b Gọi U 1 , U 2, … , U 7 là các số hạng của cấp số nhân Theo đề bài ta có U 7 = 32 U 2 hay 6 5 7 1 2 1 32 32 32 2 U U q q q U U q = ⇔ = ⇔ = ⇔ = Vì U 4 = 24 nên U 1 .q 3 = 24 ⇔ 1 3 24 24 3 8 U q = = = 0.5 0.5 Câu II TXĐ D= R Ta có 2 1 1 1 3 2( 1) 2 5 3 2 lim lim lim(2 3) 1 1 1 x x x x x x x x x x − − − → → →   − −  ÷ − +   = = − = − − − 1 lim(2m - 1+3x) 2 2 x m + → = − f(1)= 2m – 2 Để hàm số liên tục tại x = 1 thì 2m – 2 = – 1 ⇔ m = 1 2 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu III 1 Ta có y = 2 3 2sin x + 2 2 2 2 (3 2sin )' 4sin cos 2sin 2 ' 2 3 2sin 2 3 2sin 2 3 2sin x x x x y x x x + ⇒ = = = + + + 0,5 Câu III 2 Ta có y = 2 ( 1) 2 x x + + 2 2 4 3 ' ( 2) x x y x + + ⇒ = + Vì y’ ≤ 0 nên 2 2 2 4 3 0 4 3 0 ( 2) x x x x x + + ≤ ⇔ + + ≤ + ⇔ -3 ≤ x ≤ - 1 Vậy tập nghiệm của bpt là S = [-3 ; -1] 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu III 3 Ta có f(x) = sin 2 x – m cosx ⇒ f’(x) = sin2x + msinx Theo đề bài thì ' ' 2 3 f f π π     − =  ÷  ÷     2 sin( ) sin sin sin 2 3 3 m m π π π π       ⇔ − + − = +  ÷  ÷  ÷       ⇔ 3 3 . 2 2 m m − = + 3 2 3 m − ⇔ = + 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu III 4 Ta có y = 1 3 1x + 2 1.3 ' (3 1) y x − = + 2 3 1.2.3 '' (3 1) y x = + 3 4 1.2.3.3 ''' (3 1) y x − = + 4 (4) 5 1.2.3.4.3 (3 1) y x = + 0.5 do đó ( ) 1 ( 1) . !.3 (3 1) n n n n n y x + − = + 0.5 Câu IV a Do AB = AA’ nên DCC’D’ là hình vuông nên D’C ⊥ DC’ Vì AC = AD’ nên ∆CAD’ cân tại A. Gọi I là giao điểm của CD’ và C’D do đó D’C ⊥ AI ⇒ D’C ⊥ ( ADC’) Vậy D’C ⊥ AC’ 0.25 0.5 0.25 b Trong ( ADC’) Vẽ DH ⊥ AI do D’C ⊥ ( ADC’) nên D’C ⊥ DH ⇒ DH ⊥ ( ACD’) Do đó DH là khoảng cách từ D đến (ACD’) Ta có 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 'DH DA DI DA DD DC = + = + + = 2 2 2 2 1 1 1 5 2 ( 2) a a a a + + = 10 5 a DH ⇒ = 0.25 0.25 0.25 0.25 c Từ I hạ IJ ⊥ AC’ từ câu a ta được D’C ⊥ IJ Vậy IJ là đường vuông góc chung của AC’ và D’C Ta có ' 1 . ' 2 AIC S IJ AC ∆ = vì ' ' 1 2 AIC ADC S S ∆ ∆ = 1 . ' . ' 2 . ' 2. 2 2. ' 2.2 2 IJ AC AD DC AD DC a a a IJ AC a ⇒ = ⇔ = = = 0.25 0.25 0.25 0.25 I A A' D D' B B' C D H J Hình vẽ 0.5 . 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0 ,25 Câu III 1 Ta có y = 2 3 2sin x + 2 2 2 2 (3 2sin )' 4sin cos 2sin 2 ' 2 3 2sin 2 3 2sin 2 3 2sin x x x x y x x x + ⇒ = = = + + + 0,5 Câu III 2 Ta có y = 2 ( 1) 2 x x + + 2 2 4. U 7 = 32 U 2 hay 6 5 7 1 2 1 32 32 32 2 U U q q q U U q = ⇔ = ⇔ = ⇔ = Vì U 4 = 24 nên U 1 .q 3 = 24 ⇔ 1 3 24 24 3 8 U q = = = 0.5 0.5 Câu II TXĐ D= R Ta có 2 1 1 1 3 2( 1) 2 5 3 2 lim lim. ' 1 . ' 2 AIC S IJ AC ∆ = vì ' ' 1 2 AIC ADC S S ∆ ∆ = 1 . ' . ' 2 . ' 2. 2 2. ' 2. 2 2 IJ AC AD DC AD DC a a a IJ AC a ⇒ = ⇔ = = = 0 .25 0 .25 0 .25 0 .25 I A A' D D' B B' C D H J Hình