Nguyên hàm – tích phân hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án GV: Nguyễn Trần Quang Vinh 1 BẢNG NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP ĐẠO HÀM NGUYÊN HÀM 1.   / 1x  1. dx x C  1. kdx kx C  2.   / 1 .xx     2. 1 1 x x dx C        2. 1 1 ( ) () 1 ax b ax b dx C a            3.   / 1 lnx x  3. 1 lndx x C x   3. 1 ln dx ax b C ax b a      4.   / xx ee 4. xx e dx e C  4. ( ) ( ) 1 ax b ax b e dx e C a    5.   / .ln xx a a a 5. ln x x a a dx C a   5. () () 1 ln mx n mx n a a dx C ma       6.   / sin cosxx (SIN THÌ CÓ) 6. sin cosxdx x C    6. 1 sin( ) cos( )ax b dx ax b C a       7.   / cos sinxx (CÓ THÌ KHÔNG SIN) 7. cos sinxdx x C  7. 1 cos( ) sin( )ax b dx ax b C a      8.   / 2 1 tan cos x x  8. 2 tan cos dx xC x   8. 2 1 tan( ) cos ( ) dx ax b C a ax b      9.   / 2 1 cot sin x x   9. 2 cot sin dx xC x     9. 2 1 cot( ) sin ( ) dx ax b C a ax b       CÔNG THỨC HẠ BẬC 2 1 cos2 sin 2     2 1 cos2 cos 2     2 1 cos2 tan 1 cos2       CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG       1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 a b a b a b        1 sin .sin cos( ) cos( ) 2 a b a b a b       1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 a b a b a b Cos nhân cos bằng ½ cos cộng cos Sin nhân sin bằng -½ cos trừ cos Sin nhân cos bằng ½ sin cộng sin Vòng tròn ma thuật Hằng đẳng thức   2 22 2a b a ab b      2 22 2a b a ab b      3 3 2 2 3 33a b a a b ab b       3 3 2 2 3 33a b a a b ab b     Công thức lũy thừa 1. 1 n n a a   2. . m n m n a a a   3. m mn n a a a   4. ( . ) ( ) m n n m m n a a a 5. ( . ) . n n n a b a b 6. a b n n n a b     7. m n m n aa Nguyên hàm – tích phân hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án GV: Nguyễn Trần Quang Vinh 2 TÍCH PHÂN Định nghĩa tích phân: Cho   fx là hàm số liên tục trên đoạn   ;ab . Giả sử   Fx là một nguyên hàm của hàm số   fx trên đoạn   ;ab . Khi đó:         b b a a f x dx F x F b F a    Chuyên đề 1. Các phương pháp tính tích phân Ta có 3 phương pháp tính tích phân cơ bản: 1) Tính trực tiếp bằng định nghĩa 2) Đổi biến số 3) từng phần. Sau đây chúng ta sẽ đi vào nghiên cứu từng phương pháp. PP 1. Tính bằng định nghĩa. Nhận dạng: - Biểu thức là tổng, hiệu của các hàm cơ bản. - Biểu thức là dạng tích (nhân phân phối đưa về các dạng cơ bản) - Biểu thức có dạng A B A B x x x      Các tính chất của tích phân: Tính chất 1: . ( ) . ( ) bb aa k f x dx k f x dx  . Tính chất 2:   ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx      . Tính chất 3: , ( )( ) ( ) ( ) b c b a a c f x dx f x dx f x dx a c b       . Ví dụ 1. Tính các tích phân sau: a/   1 3 0 4I x x dx  b/ 4 32 2 1 42x x x I dx x    c/   1 2 2 0 1 I x x dx  (TN-2010) Lời giải a/     1 11 5 3 4 3 4 00 0 6 44 55 x I x x dx x x dx x              b/            3 44 3 2 2 2 2 2 2 2 11 4 2 2 4 x x x x x x I dx dx x x x x                           4 11 4 22 1 1 2 4 1 8 2ln 5 2ln 4x dx x x x x c/   1 2 2 0 1 I x x dx      11 2 2 4 3 2 00 2 1 2x x x dx x x x dx      1 5 4 3 0 5 2 3 x x x        1 30  PP 2. Đổi biến số 1. ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 1 (Đặt   t u x ) : Bước 1: (Đổi biến) Đặt ( ) ( ) .t u x dt u x dx     Bước 2: (Đổi cận) : () () x b t u b x a t u a          Bước 3: Thay tất cả theo biến t, tính ra kết quả.     b a I f x dx g t dt     Ví dụ 1. Tính tích phân sau: 1 2 3 0 3 . 1 x I dx x    Lời giải Đặt 32 1 2 .t x dt x dx    0,25 Nguyên hàm – tích phân hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án GV: Nguyễn Trần Quang Vinh 3 Đổi cận 12 01 xt xt          0,25 Suy ra I 2 2 1 1 ln dt t t   0,25 Vậy I ln2. 0,25 Ví dụ 2. Tính   ln2 2 0 1 . xx I e e dx  Lời giải CÁCH 1: ĐỔI BIẾN Đặt 1. xx t e dt e dx    0,25 Đổi cận ln2 1 00 xt xt          0,25 Suy ra I 1 1 3 2 0 0 3 t t dt  0,25 Vậy I 1 . 3  0,25 CÁCH 2: TRỰC TIẾP   ln2 2 0 1 xx I e e dx    ln2 2 0 21 x x x e e e dx    0,25   ln2 32 0 2 x x x e e e dx  0,25 ln2 3 2 0 3 x xx e ee        0,25 Vậy I 1 . 3  0,25 Ví dụ 3. Tính 1 0 3 1 .I x dx  Lời giải Đặt 2 3 1 3 1 2 3 .t x t x tdt dx       0,25 Đổi cận 12 01 xt xt          0,25 Suy ra I 2 2 3 2 1 1 22 3 3 3 t t dt  0,25 Vậy I 14 . 9  0,25 Ví dụ 4. Tính: 1 4 5ln . e x I dx x    Lời giải Đặt 2 5 4 5ln 4 5ln 2 .t x t x tdt dx x        0,25 Đổi cận 3 12 x e t xt          0,25 Suy ra I 3 3 3 2 2 2 22 5 5 3 t t dt  0,25 Vậy I 38 . 15  0,25 Ví dụ 5. Tính tích phân sau: 3 0 . 1 x I dx x    Lời giải Đặt 2 1 1 2 .t x t x tdt dx       Đổi cận 32 01 xt xt          0,25 Suy ra I   2 2 1 21t dt  0,25 2 3 1 2 3 t t      0,25 Vậy I 8 . 3  0,25 Ví dụ 6. (D-2009) Tính tích phân: 3 1 1 . 1 x I dx e    Lời giải Đặt . xx t e dt e dx   Đổi cận 3 3 1 x t e x t e            0,25 Nguyên hàm – tích phân hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án GV: Nguyễn Trần Quang Vinh 4 Suy ra I     3 3 3 3 1 11 1 e e e x xx e e e e dx dt dt dt t t t t ee           0,25 33 ln 1 ln ee ee tt   0,25 Vậy I   2 ln 1 2.ee    0,25 2. ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2 (Đặt ()x u t ) Bước 1: Đặt ( ) ( ) .x u t dx u t dt     Bước 2: Đổi cận : x b t x a t      Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được   () b a I f x dx g t dt     (tiếp tục tính tích phân mới)  Chú ý:  Nếu hàm số có dạng 22 -ax thì đặt x = a.sint  Nếu hàm số có dạng 22 -xa thì đặt x = sin a t  Nếu hàm số có dạng 22 1 ax thì ta đặt x = a.tant Ví dụ 1. Tính tích phân sau: I = 1 2 0 1 . 1 dx x  Lời giải Đặt x tan , 22 tt         .    2 2 1 1 tan cos dx dt t dt t    . Đổi cận 1 4 00 xt xt             Khi đó I =   2 44 4 2 0 00 1 tan 1 tan t dt dt t t       = 4   PP 3. tích phân từng phần Công thức . bb b a aa udv u v vdu  Tính () b a I f x dx  theo các bước sau: Bước 1: Đặt '( ) () () () du u x dx u u x v v x dx dv v x dx                .(trên đạo – dưới nguyên) Bước 2: Khi đó:        ( ) . b b b b a a a a I f x dx udv u v vdu Bước 3: Tính tiếp b a vdu  để được kết quả. NGUYÊN TẮC ĐẶT U TRONG TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN THEO THỨ TỰ ƯU TIÊN lnx  Đa thức  x e (hoặc x a )  sinx (hoặc cosx ) Nhất “Lô” Nhì “Đa” Tam “Em” Tứ “Giác” Nhận dạng Dạng nguyên hàm Đặt u Đặt dv () ax b P x e dx   ()u P x ax b dv e dx     ( )cosP x ax b dx  ()u P x   cosdv ax b dx   ( )sinP x ax b dx  ()u P x   sindv ax b dx   ( )lnP x ax b dx    lnu ax b ()dv P x dx   ln 2 x dx x     lnux 1 dv dx x   Đặc biệt   ( ) 2 1 x P x e dx  thì cũng đặt ()u P x và   2 1 . x dv e dx ( )cos2P x xdx  thì cũng đặt ()u P x và cos2dv xdx ( 1 sin 2 2 vx ). Chú ý dạng tích phân từng phần lập (xem Ví dụ 1, b) Nguyên hàm – tích phân hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án GV: Nguyễn Trần Quang Vinh 5 Ví dụ 1. Tính: a/ 2 0 cosI x xdx    Lời giải a/ Đặt cos sin u x du dx dv xdx v x       Ta có:       22 2 0 00 cos sin sinI x xdx x x xdx                           2 0 sin 0sin0 cos cos cos0 1 2 2 2 2 2 x b/ 2 0 cos . x I e xdx    (từng phần lập) Đặt cos sin xx u e du e dx dv xdx v x         . Khi đó 2 0 cos x I e x dx      2 2 2 0 0 sin sin xx e x e xdx e J         Với 2 0 sin x J e xdx    Đặt sin cos xx u e du e dx dv xdx v x           . Khi đó     2 22 00 0 cos cos cos x x x J e x e xdx e x I          Suy ra   2 22 0 cos 1 x I e e x I e I         Vậy 2 1 1. 2 Ie       Ví dụ 2. (TN-2013) Tính tích phân sau   2 0 1 cos .I x xdx    Lời giải Đặt 1 cos sin u x du dx dv xdx v x         0,25 Do đó I   2 2 0 0 1 sin sinx x xdx       0,25 2 0 1 cos 2 x      0,25 Vậy I . 2   0,25 Ví dụ 3. Tính tích phân sau:   1 0 1 x I e xdx  Lời giải Đặt   1 x x ux du dx dv e dx v x e              0,25 Do đó I     1 1 0 0 xx x x e x e dx     0,25 1 2 0 1 1 1 1 2 x x e e e e e                 0,25 Vậy I 3 2  0,25 Ví dụ 4. Tinh tích phân sau: 2 3 1 . lnx I dx x   Lời giải Đặt 3 2 ln 1 2 dx ux du x dx dv v x x               0,25 Khi đó I 2 2 22 1 1 ln 22 x dx xx     0,25 2 2 1 ln2 1 8 4x    0,25 Nguyên hàm – tích phân hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án GV: Nguyễn Trần Quang Vinh 6 Vậy I 3 2 ln 2 16   0,25 Ví dụ 5. (Khối D - 2012): Tính tích phân sau:   4 0 . 1 2 .I x sin x dx    Lời giải I            2 4 4 4 4 0 0 0 2 sin2 sin2 2 x xdx x xdx x xdx     2 4 0 sin2 32 x xdx 0,25 Đặt 1 sin2 cos2 2 du dx ux dv xdx vx             0,25 Khi đó       44 4 0 00 11 sin2 cos2 cos2 22 x xdx x x xdx    4 0 1 cos2 2 xdx 4 0 11 sin2 . 44 x   0,25 Vậy I 2 1 32 4     0,25 Chuyên đề 2. Tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối * Định lí: Nếu f(x) liên tục và không đổi dấu trên   ;ab thì: ( ) ( ) bb aa f x dx f x dx  . Phương pháp tính tich phân: () b a f x dx   Giải pt   0fx , tìm các nghiệm 0 x nằm trong   ;ab  Sau đó chia thành các khoảng nhỏ để tính. 0 0 ( ) ( ) ( ) x bb a a x f x dx f x dx f x dx    Ví dụ 1. Tính các tích phân sau: a) 3 0 2 xdx  b/ 2 2 0 I x x dx  (Khối D - 2003) Lời giải a/ 3 0 2 xdx  Ta có:   2 0 2 0;3xx     khi đó         3 2 3 0 0 2 2 (2 ) (2 )xdx x dx x dx                      23 22 02 5 22 2 2 2 xx xx b/ 2 2 0 I x x dx  (Khối D - 2003) Ta có 2 00x x x    hoặc 1x  thuộc   0;2     2 1 2 2 2 2 0 0 1 x x dx x x dx x x dx        12 3 2 3 2 01 1. 3 2 3 2 x x x x                      Chuyên đề 3. Tích phân hàm phân thức 2 Ax B dx ax bx c      Dạng 1. ax b dx cx d      PP: Chia đa thức ax b a A cx d c cx d    Dạng 2.    12 1 dx a x x x x     Nguyên hàm – tích phân hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án GV: Nguyễn Trần Quang Vinh 7 PP: Biến đổi    1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 ()a x x x x a x x x x x x          Dạng 3. 2 Ax B dx ax bx c      PP: Giải pt: 2 0ax bx c   * Nếu có hai nghiệm x 1 và x 2 thì 2 12 Ax B C D x x x x ax bx c     sau đó dùng đồng nhất thức để tìm C và D. * Nếu có 1 nghiệm kép x 0 thì 2 2 2 0 00 () ( ) ( ) Ax B Ax B C D xx ax bx c a x x x x          sau đó dùng đồng nhất thức để tìm C và D. Chú ý: nếu bậc tử lớn hơn bậc mẫu thì áp dụng phép chia đa thức sau đó áp dụng dạng 2 hoặc dạng 3. Ví dụ 1. Tính tích phân sau: 3 2 21 . 1 x dx x    Lời giải   33 3 2 22 2 1 1 2 2 ln 1 2 ln2. 11 x dx dx x x xx              Ví dụ 2. Tính tích phân sau:   3 1 1 . 1 dx xx  Lời giải   33 11 1 1 1 11 dx dx x x x x       33 33 11 11 1 1 3 ln ln 1 ln 12 dx dx x x xx          Ví dụ 3. Tính 1 2 0 1 . 1 xx I dx x     Lời giải Ta có 2 11 11 xx x xx    Nên         1 1 1 2 0 0 0 11 11 xx I dx xdx dx xx        1 2 1 0 0 1 ln 1 ln2. 22 x x Ví dụ 4. Tính tích phân sau:   4 2 3 4 dt t   Lời giải                  4 44 2 3 33 1 1 1 l 1 n 2 ln 2 2 2 4 4 4 dt dt t t tt t    4 3 12 ln 42 15 ln 43 t t Chuyên đề 4. Ứng dụng của tích phân tính diện tích, thể tích. Trước khi học bài này các em hãy xem lại các phương pháp tính tích phân và tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Dạng 1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi: () 0 ; ,( ) y f x y x a x b a b            Diện tích của hình phẳng (H) là: () b a S f x dx   Giải pt   0fx , tìm các nghiệm 0 x nằm trong   ;ab  Sau đó chia thành các khoảng nhỏ để tính. 0 0 ( ) ( ) ( ) x bb a a x S f x dx f x dx f x dx      Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2 43y x x   , trục hoành và hai đường thẳng 0, 2xx . Nguyên hàm – tích phân hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án GV: Nguyễn Trần Quang Vinh 8 Lời giải pt:     2 1 0;2 4 3 0 3 0;2 x xx x           . Diện tích hình phẳng cần tìm là: 2 1 2 2 2 2 0 0 1 4 3 4 3 4 3S x x dx x x dx x x dx                12 22 01 4 3 4 3x x dx x x dx       12 33 22 01 42 2 3 2 3 2. 3 3 3 3 xx x x x x                           (đvdt). Dạng 2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hai hàm số ()y f x và ()y g x  Diện tích của hình phẳng (H) là: ( ) ( ) b a S f x g x dx   Tìm a, b bằng cách giải pt: ( ) ( ) 0f x g x , tìm các nghiệm,  Nghiệm nhỏ nhất là a, nghiệm lớn nhất là b.  Sau đó chia ra thành các đoạn nhỏ để tính.     0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x bb a a x S f x g x dx f x g x dx f x g x dx         Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số : 2 ( ) 4f x x x   và 32 ( ) 3 2g x x x x   . Lời giải pt: 32 1 ( ) ( ) 0 4 4 0 1 4 x f x g x x x x x x                 . ()fx có đồ thị (C 1 ); ()gx có đồ thị (C 2 ) Diện tích hình phẳng cần tìm là: 4 32 1 44S x x x dx       14 3 2 3 2 11 4 4 4 4x x x dx x x x dx               14 3 2 3 2 11 4 4 4 4x x x dx x x x dx           14 4 3 2 4 3 2 11 4 4 253 44 4 3 2 4 3 2 12 x x x x x x xx                            Dạng 3. Thể tích khối tròn xoay quay quanh Ox: Cho hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số: ()y f x , trục Ox và 2 đường thẳng ; ( )x a x b a b   quay xung quanh Ox tạo thành khối tròn xoay có thể tích là: 2 () b a V f x dx    Ví dụ 1. Gọi D là hình phẳng được giới hạn bởi các đường: 2 1yx và trục hoành. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng D quanh trục hoành. Lời giải Ta có   11 2 2 2 4 2 11 ( 1) ( 2 1) b a V f x dx x dx x x dx              1 53 1 1 2 16 5 3 15 x x x            (đvtt) Nguyên hàm – tích phân hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án GV: Nguyễn Trần Quang Vinh 9 . - Biểu thức là tổng, hiệu của các hàm cơ bản. - Biểu thức là dạng tích (nhân phân phối đưa về các dạng cơ bản) - Biểu thức có dạng A B A B x x x      Các tính chất của tích phân: Tính.    4 3 12 ln 42 15 ln 43 t t Chuyên đề 4. Ứng dụng của tích phân tính diện tích, thể tích. Trước khi học bài này các em hãy xem lại các phương pháp tính tích phân và tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối m n m n aa Nguyên hàm – tích phân hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án GV: Nguyễn Trần Quang Vinh 2 TÍCH PHÂN Định nghĩa tích phân: Cho   fx là hàm