1 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của cá nhân tôi dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Lê Anh Vũ. Các kết quả viết chung với tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả khi đưa vào luận án. Các kết quả của luận án là mới và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Tác giả Dương Quang Hòa 2 Mục lục Trang Lời cam đoan 1 Mục lục 2 Danh mục các ký hiệu 3 MỞ ĐẦU 5 Chương 1 – K-QUỸ ĐẠO CỦA CÁC MD(5,4)-NHÓM 1.1. Các MD-nhóm và MD-đại số 13 1.2. Phương pháp mô tả các K-quỹ đạo 19 1.3. Bức tranh hình học các K-quỹ đạo của các MD(5,4)-nhóm 22 Chương 2 – LỚP MD(5,4)-PHÂN LÁ 2.1. Phân lá 26 2.2. Tôpô phân lá 29 2.3. Phân lá đo được 30 2.4. Phân loại tôpô các MD(5,4)-phân lá liên kết với các MD(5,4)-nhóm 31 Chương 3 – K-LÝ THUYẾT ĐỐI VỚI CÁC MD(5,4)-PHÂN LÁ 3.1. C*-đại số Connes liên kết với phân lá 40 3.2. Phép đặc trưng các C*-đại số bằng phương pháp K-hàm tử 50 3.3. K-lý thuyết đối với phân lá 57 3.4. K-lý thuyết đối với các MD(5,4)-phân lá 59 KIẾN NGHỊ VÀ KẾT LUẬN 78 Danh mục các công trình của tác giả 80 Tài liệu tham khảo 81 Phụ lục 85 3 Danh mục các ký hiệu : Tổng trực tiếp ,  : Tích tenxơ và tích tenxơ ngoài ■ : Kết thúc một phép chứng minh Ad : Biểu diễn phụ hợp ad : Vi phân của biểu diễn phụ hợp AutG : Nhóm các tự đẳng cấu tuyến tính trên G  A A Gã : Tích xiên của A và G bởi tác động ,  : Trường số phức, trường số thực CX : C*-đại số các hàm phức liên tục trên X 0 CX : C*-đại số các hàm phức liên tục trên X triệt tiêu ở vô cùng  2 0 C  : Đơn vị hoá của C*-đại số 2 0 C  c CH : Không gian các hàm trơn trên H có giá compact, nhận giá trị phức 1/ 2 , c CH : Không gian các nửa mật độ trên H ( , )C V F : C*-đại số Connes liên kết với phân lá ( , )VF ( , ) c C G A : Không gian các ánh xạ liên tục có giá compact từ G vào A End(G) : Không gian các đồng cấu trên G exp : Ánh xạ mũ exp ( , )Ext B J : KK nhóm của Kasparov Lie GG : Đại số Lie của nhóm Lie G 4 G* : Không gian đối ngẫu của đại số Lie G 1 1 GL C S : Tập các ma trận cấp 1 khả nghịch với phần tử thuộc 1 CS 01 2 GL C S : 1 2 exp Mat C S – thành phần liên thông đường của ma trận đơn vị cấp 2 với phần tử thuộc 1 CS Index A : (Hệ) bất biến chỉ số của C*-đại số A () i KA : i K nhóm của C*-đại số A K : C*-đại số các toán tử compact trên không gian Hilbert vô hạn chiều tách được 2 1 2 , x LH : Không gian các nửa mật độ trên x H bình phương khả tích n Mat A : Tập hợp các ma trận vuông cấp n với phần tử thuộc A 2 2 P C S : 2 2 P M C S – tập các phần tử chiếu (projection) của C*- đại số các ma trận vuông cấp 2 với phần tử thuộc 2 CS n S : Mặt cầu đơn vị n-chiều TV : Phân thớ tiếp xúc của V ,VF : Không gian phân lá. /VF : Không gian các lá của phân lá ,VF F : Quỹ đạo Kirillov qua F 1/2 x xV : Phân thớ các nửa mật độ trên V F G : | X FXG : Độ đo hoành (đối với phân lá) 01 , : Cặp đồng cấu nối trong dãy khớp tuần hoàn 6 thành phần 5 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Xuất phát điểm của vấn đề mà chúng tôi quan tâm là bài toán “Đi tìm lớp các C*-đại số có khả năng đặc trưng được bằng phương pháp K-hàm tử”. Năm 1943, I. Gelfand và A. Naimark ([13]) đưa ra khái niệm C*-đại số. Các C*-đại số nhanh chóng tìm thấy nhiều ứng dụng trong Toán học và Vật lý. Tuy nhiên chính vấn đề mô tả cấu trúc các C*-đại số trong trường hợp tổng quát lại rất phức tạp và cho đến nay vẫn còn là một bài toán mở. Năm 1975, theo một gợi ý của A. A. Kirillov về việc “Đặc trưng (cấu trúc toàn cục) C*-đại số của một lớp các nhóm Lie giải được bằng các K-hàm tử đồng điều”, Đ. N. Diệp ([11]) đã thành công trong việc sử dụng các K-hàm tử đồng điều của Brown-Douglas-Fillmore (còn gọi là K-hàm tử BDF) để đặc trưng C*-đại số C*(Aff  ) của nhóm các phép biến đổi affine trên đường thẳng thực  . Năm 1976, J. Rosenberg ([18]) đã sử dụng phương pháp tương tự để đặc trưng C*-đại số C*(Aff  ) của nhóm các phép biến đổi affine trên đường thẳng phức  và C*-đại số của một vài nhóm Lie giải được khác. Trong công trình này, J. Rosenberg đã gọi phương pháp đặc trưng cấu trúc toàn cục của C*-đại số bằng các K-hàm tử BDF là phương pháp của Diệp (Diep’s method). Năm 1977, Đ. N. Diệp ([12]) đã cải tiến phương pháp của mình để đặc trưng các C*-đại số kiểu I bằng các mở rộng lặp nhiều tầng. Đến lúc này, các K-hàm tử BDF dường như không còn thích hợp với việc đặc trưng cấu trúc cho lớp các C*-đại số phức tạp hơn. Từ đó, một cách tự nhiên, nảy sinh hai vấn đề lớn như sau: 6 Vấn đề 1: Tổng quát hóa các K-hàm tử BDF theo cách nào đó để có thể đặc trưng được một lớp rộng hơn các C*-đại số. Vấn đề 2: Đi tìm và khảo sát lớp rộng hơn các C*-đại số hoặc lớp các nhóm Lie mà C*-đại số của chúng có khả năng đặc trưng được bằng các K-hàm tử mở rộng. Năm 1980, G. G. Kasparov ([14]) đã nghiên cứu vấn đề thứ nhất và thành công trong việc tổng quát hóa các K-hàm tử BDF thành các K-song hàm tử toán tử (còn gọi là các KK-hàm tử) vừa đồng điều vừa đối đồng điều. Như một áp dụng đầu tiên, Kasparov đã sử dụng các KK-hàm tử để đặc trưng thành công C*- đại số C*(H 3 ) của nhóm Heisenberg H 3 . Đối với hướng nghiên cứu thứ hai, cần lưu ý rằng phương pháp K-hàm tử thường thích hợp với các C*-đại số có cấu trúc phổ (tức là không gian các lớp tương đương unita của các biểu diễn bất khả quy với tôpô được cảm sinh từ tôpô Jacobson) không quá phức tạp. Đối với C*-đại số nhóm, phổ của nó có thể đồng nhất với đối ngẫu unita của nhóm (tức là không gian các lớp tương đương unita của các biểu diễn unita bất khả quy của nhóm). Đặc biệt đối với các nhóm Lie, phương pháp quỹ đạo Kirillov cho thấy rằng tập đối ngẫu unita của nhóm có liên hệ trực tiếp với không gian các K-quỹ đạo (hay quỹ đạo đối phụ hợp) của nó. Do đó, việc chọn lớp các nhóm Lie có không gian các K-quỹ đạo không quá phức tạp cho phép ta đặc trưng các C*-đại số nhóm của chúng bằng phương pháp K-hàm tử. Dựa trên ý tưởng đó, năm 1980, Đ. N. Diệp đã đề nghị xét lớp các C*-đại số của các MD-nhóm. Lớp này rất đơn giản về phương diện phân tầng các K-quỹ đạo nên nói chung C*-đại số của chúng có thể đặc trưng được nhờ các KK-hàm tử. 7 Giả sử G là một nhóm Lie thực giải được n chiều (n là một số nguyên dương). G được gọi là một MDn-nhóm nếu các K-quỹ đạo của nó hoặc là không chiều hoặc có chiều là một hằng số k (chẵn) nào đó không vượt quá n. Khi kn thì G còn được gọi là một MDn -nhóm. Đại số Lie(G) của mỗi MDn-nhóm (tương ứng MDn -nhóm) được gọi là một MDn-đại số (tương ứng MDn -đại số). Rõ ràng lớp MD là con của lớp MD. Đến đây, một bài toán lớn được đặt ra là: “Phân loại các MD-đại số đồng thời đặc trưng C*-đại số của các MD-nhóm tương ứng bằng phương pháp K-hàm tử”. Năm 1984, H. H. Việt ([35]) đã phân loại triệt để các MDn -đại số. Lớp này chỉ gồm các đại số Lie giao hoán n  , đại số Lie affine thực Lie(Aff  ) và đại số Lie affine phức Lie(Aff  ). Ngay sau đó, H. H. Việt đã dùng phương pháp K-hàm tử để đặc trưng C*  Aff của phủ phổ dụng  Aff đối với nhóm affine phức Aff  . Như vậy, cùng với các kết quả có trước của Đ. N. Diệp và J. Rosenberg, việc nghiên cứu lớp con các MD -đại số và MD -nhóm xem như đã được giải quyết triệt để. Bài toán tương tự đối với các MD-đại số và MD-nhóm vẫn còn là bài toán mở. Ngoài ra, cũng do sự phân tầng đơn giản của các K-quỹ đạo đối với lớp các MD-nhóm mà người ta nhận thấy rằng: đối với mỗi MD-nhóm, họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của nó tạo thành một phân lá đo được theo nghĩa của A. Connes ([8]). Các phân lá này được gọi là các MD-phân lá liên kết với các MD- nhóm đã xét. Đối với một phân lá ,VF tùy ý, một trong những bài toán quan trọng của “tôpô phân lá” là nghiên cứu không gian các lá (hay vắn tắt là không gian lá) của phân lá đó. Tuy nhiên, đáng tiếc là không gian các lá V F thường có tôpô 8 không Hausdorff, do đó ta không thể định nghĩa được K-lý thuyết đối với không gian các lá (theo nghĩa thông thường). Đây là một trở ngại lớn trong nghiên cứu tôpô phân lá. Để khắc phục hạn chế này, năm 1982, A. Connes ([8]) đã đề ra ý tưởng là thay 0 V C F bởi * ,C V F , mà từ đó Connes định nghĩa: * , , 0,1 . i i V K K C V F i F Như vậy, để nghiên cứu K-lý thuyết đối với không gian lá của phân lá (hay vắn tắt là K-lý thuyết đối với phân lá), ta cần phải tìm hiểu cấu trúc của C*- đại số Connes * ,C V F liên kết với phân lá (hay vắn tắt là C*-đại số của phân lá). Kể từ công trình [8] của A. Connes, việc nghiên cứu C*-đại số của phân lá và K-lý thuyết đối với phân lá trở thành một trong những hướng nghiên cứu quan trọng thuộc lĩnh vực Hình học không giao hoán do chính A. Connes khởi xướng vào cuối thập niên 70 của thế kỷ trước. Vấn đề đặt ra là: “Liệu C*-đại số của các phân lá có thích hợp với phương pháp K-hàm tử hay không?”. Đáng chú ý, năm 1985, A. M. Torpe ([22]) đã dùng các KK-hàm tử để đặc trưng thành công C*-đại số của phân lá Reeb trên xuyến 2 chiều và một số phân lá trên mặt cầu đơn vị S 3 . Kết hợp hai hướng nghiên cứu trên làm nảy sinh bài toán “Nghiên cứu K-lý thuyết đối với không gian lá của các MD-phân lá, đồng thời đặc trưng C*-đại số của các MD-phân lá này bằng phương pháp K-hàm tử”. Năm 1990, L. A. Vũ ([2]) đã thành công trong việc nghiên cứu bài toán trên lớp con các MD4-phân lá. Những kết quả ban đầu đạt được trên lớp MD-phân lá đã tạo nên những động lực cần thiết cho việc tiếp tục nghiên cứu sâu hơn. Trường hợp khả dĩ đầu tiên mà chúng tôi nghĩ đến là tiếp tục bài toán với số chiều cao hơn, để từ đó làm 9 cơ sở cho việc phát triển các công cụ cần thiết nhằm giải quyết bài toán trong trường hợp tổng quát. Ý tưởng đó đã dẫn đến đề tài “K-lý thuyết đối với không gian lá của một lớp các MD5-phân lá” của tác giả dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Lê Anh Vũ. 2. Mục đích của đề tài Mục đích chính của đề tài là “ “Nghiên cứu K-lý thuyết đối với không gian lá của một lớp các MD5-phân lá được tạo thành từ họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của một lớp con các MD5-nhóm, đồng thời đặc trưng C*-đại số của các phân lá này bằng phương pháp K-hàm tử”. Cụ thể như sau: 1. Trên cơ sở định lí phân loại các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán của L. A. Vũ và K. P. Shum, chúng tôi mô tả K-quỹ đạo của lớp con các MD(5,4)-nhóm, tức là các MD5-nhóm liên thông, đơn liên, bất khả phân mà MD5-đại số tương ứng của chúng có ideal dẫn xuất (giao hoán) 4 chiều. 2. Phân loại tôpô trên các MD(5,4)-phân lá tương ứng, tức là các MD-phân lá được tạo thành từ họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của mỗi MD(5,4)- nhóm được xét. 3. Nghiên cứu K-lý thuyết đối với không gian lá của các MD(5,4)-phân lá và đặc trưng C*-đại số của các phân lá này bằng phương pháp K-hàm tử. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đề tài chủ yếu tập trung nghiên cứu một lớp con của các MD5-phân lá được tạo thành từ họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của các MD5-nhóm tương ứng. Cụ thể, chúng tôi xét bài toán mô tả các K-quỹ đạo của mỗi MD(5,4)-nhóm liên thông, đơn liên, bất khả phân. 10 Tiếp theo, chúng tôi xem xét các MD(5,4)-phân lá liên kết với các MD(5,4)-nhóm được xét. Cuối cùng, chúng tôi xét C*-đại số Connes liên kết với phân lá và khảo sát bài toán đặc trưng C*-đại số của các MD(5,4)-phân lá bằng phương pháp K-hàm tử. 4. Phương pháp nghiên cứu Để nghiên cứu đề tài, chúng tôi đã áp dụng một số kỹ thuật và phương pháp như sau:  Trước hết, chúng tôi đã dùng một số kỹ thuật cơ bản trong phương pháp quỹ đạo của Kirillov ([15]), đặc biệt là phương pháp mô tả các K- quỹ đạo đã được L. A. Vũ ([2]) cải tiến cho phù hợp với lớp MD-nhóm.  Tiếp theo, chúng tôi dùng một số kỹ thuật của lý thuyết tôpô phân lá.  Cuối cùng, chúng tôi đã sử dụng các kỹ thuật cơ bản của K-lý thuyết đối với C*-đại số, đặc biệt là phương pháp đặc trưng C*-đại số của phân lá bằng các KK-hàm tử đã được nêu ra trong tài liệu [22] của A. M. Torpe và tài liệu [2] của L. A. Vũ với một vài cải tiến cho thích hợp. 5. Ý nghĩa khoa học của đề tài Đề tài góp phần chỉ ra lớp các C*-đại số thích hợp với phương pháp K- hàm tử (Vấn đề 2), đó chính là lớp các C*-đại số Connes liên kết với các MD- phân lá. Ngoài ra, các kết quả của đề tài còn là những đóng góp cho những thể hiện, minh họa của Hình học không giao hoán nói chung, của hướng nghiên cứu K-lý thuyết đối với không gian lá của phân lá nói riêng trên một lớp các phân lá cụ thể. Vì thế, các kết quả của đề tài là có ý nghĩa khoa học. [...]... vấn đề toàn cục của phân lá Chẳng hạn sự tồn tại lá compact, lá trù mật, điều kiện đồng phôi của các lá, … 2.2.1 Không gian các lá của phân lá Một vấn đề toàn cục khác của tôpô phân lá là việc xét không gian các lá của một phân lá Không gian các lá (hay vắn tắt là không gian lá) V F của một phân lá V , F là không gian thương của không gian tôpô V khi thu mỗi lá về một điểm Nếu phân lá V , F được cho... là phân bố xác định phân lá Số chiều (đối chiều) dim F (codim F) cũng được gọi là số chiều (đối chiều) của phân lá V , F Mỗi đa tạp con tích phân liên thông tối đại L của F được gọi là một lá của phân lá V , F Ta có dim L = dim F Họ các lá của một phân lá có các tính chất đặc trưng dưới đây Mệnh đề 2.1.4 (i) Họ các lá của phân lá lập thành một phân hoạch của đa tạp phân lá (ii) x V , tồn tại hệ tọa... thì không gian lá chính là đáy B của phân thớ xác định phân lá Còn khi V , F được cho bởi tác động của nhóm Lie G thì V F lại là không gian V G các G-quỹ đạo 2.2.2 Kiểu tôpô của các phân lá Hai phân lá V , F và V ', F ' được gọi là tương đương (tôpô) hay cùng kiểu tôpô (phân lá) nếu có một đồng phôi h : V V ' sao cho h chuyển mỗi lá của F thành mỗi lá của F ' Theo quan điểm của tôpô phân lá, ta không. .. một bản đồ phân lá của phân lá V , F Như vậy đa tạp phân lá V luôn có thể được phủ bởi một tập bản đồ (atlat) gồm các bản đồ phân lá Giả sử có một họ của V sao cho mỗi L các đa tạp con của đa tạp trơn V tạo thành phân hoạch đều là một đa tạp con tích phân liên thông tối đại của cùng một phân bố khả tích F trên V Khi đó V , F Ta thường đồng nhất ký hiệu F để chỉ họ chính là họ các lá của phân lá với. .. phương của phân thớ tiếp xúc sang các bất biến toàn cục của L (xem [8, p 523]) Vì vậy, khi nghiên cứu tôpô phân lá, một trong những điều người ta quan tâm là tìm cách “đếm số lượng” các lá compact, không compact trong không gian phân lá Để làm được điều này thì cần phải trang bị cho không gian các lá một độ đo thích hợp Năm 1982, A Connes đã đưa ra khái niệm độ đo hoành ([8]) đặc biệt thích hợp với không. .. kết với các MD(5,4) – nhóm Trong mục này, ta sẽ chỉ ra sự hình thành của lớp các MD(5,4)-phân lá, đồng thời cho ra một sự phân loại tôpô trên lớp các MD(5,4)-phân lá được xét 2.4.1 Các MD(5,4) – phân lá liên kết với các MD(5,4) – nhóm Nhắc lại rằng, các MD-nhóm (không giao hoán) về phương diện phân tầng các K-quỹ đạo là khá đơn giản Theo số chiều, mỗi nhóm chỉ gồm hai tầng các K-quỹ đạo: tầng các K-quỹ... 2.(i) Các MD(5,4)-phân lá thuộc kiểu F1 đều được cho bởi phân thớ với thớ liên thông trên mặt cầu đơn vị S 3 (ii) Các MD(5,4)-phân lá thuộc kiểu F2 và F3 đều là các phân lá được cho bởi các tác động của  2 trên đa tạp phân lá V Chứng minh  * 4 33 1 Để chứng minh phần đầu của Định lí 2.4.2, ta cần chỉ ra các đồng phôi của đa tạp phân lá V, chuyển lá thành lá, cho tất cả các phân lá trong cùng một. .. chiều cực đại của MD(5,4)-nhóm G5,4,3 32 2.4.2 Phân loại tôpô các MD(5,4) – phân lá đã xét Sau đây, ta sẽ trình bày chi tiết định lí phân loại tôpô trên 14 họ các MD(5,4)-phân lá đã xét, đồng thời đưa ra một mô tả chi tiết không gian các lá cho từng kiểu tôpô Định lí 2.4.2 (Phân loại tôpô và mô tả không gian lá của các MD(5,4)-phân lá) 1 Có đúng 3 kiểu tôpô trên 14 họ các MD(5,4)-phân lá được xét,... từ họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của các MD(5,4)-nhóm tương ứng Kết quả chính của chương này là Định lí 2.4.2 ở Mục 2.4 về phân loại tôpô và mô tả không gian các lá của các MD(5,4)-phân lá Kết quả này được công bố trong bài báo [26] Để độc giả tiện theo dõi, trước khi trình bày các kết quả chính, chúng tôi sẽ dành phần đầu của chương để giới thiệu về phân lá, tôpô phân lá, phân lá đo được và một số... , FG một độ đo hoành Đối với các MD(5,4)-nhóm, bằng phương pháp chứng minh hoàn toàn tương tự, ta có mệnh đề dưới đây Mệnh đề 2.4.1 Giả sử G là một MD(5,4)-nhóm bất kỳ, FG là họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của nó và VG  FG Khi đó, VG , FG là một phân lá đo / được Phân lá này được gọi là một MD(5,4)-phân lá liên kết với G Như vậy, ta cũng nhận được 14 họ các MD(5,4)-phân lá tương ứng với 14 họ các . với không gian lá của một lớp các MD5-phân lá của tác giả dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Lê Anh Vũ. 2. Mục đích của đề tài Mục đích chính của đề tài là “ “Nghiên cứu K-lý thuyết đối với không. minh họa của Hình học không giao hoán nói chung, của hướng nghiên cứu K-lý thuyết đối với không gian lá của phân lá nói riêng trên một lớp các phân lá cụ thể. Vì thế, các kết quả của đề tài. nghiên cứu K-lý thuyết đối với không gian lá của phân lá (hay vắn tắt là K-lý thuyết đối với phân lá) , ta cần phải tìm hiểu cấu trúc của C*- đại số Connes * ,C V F liên kết với phân lá (hay vắn