Đ I H C S PH M HÀ N IẠ Ọ Ư Ạ Ộ Đ THI TH Đ I H C – CAO Đ NG 2011Ề Ử Ạ Ọ Ẳ KHOA TOÁN-TIN MÔN: TOÁN- KH I AỐ Th i gian làm bài: 180 phútờ ( không k th i gian giao đ )ể ờ ề A. PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m )Ầ Ấ Ả ể Câu I: (2,0 đi m) ể Cho hàm s : ố 2 1 1 x y x − = − (C). 1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C).ả ự ế ẽ ồ ị 2. G i I là giao đi m c a hai ti m c n, M là m t đi m b t kì trên (C), ti p tuy n c a (C) t i M c t các ti mọ ể ủ ệ ậ ộ ể ấ ế ế ủ ạ ắ ệ c n t i A, B. Ch ng minh r ng di n tích tam giác IAB không đ i khi M thay đ i trên (C).ậ ạ ứ ằ ệ ổ ổ Câu II: (2,0 đi m)ể 1. Gi i ph ng trình ả ươ 3 3 sin .sin 3 os .cos3 1 8 tan .tan 6 3 x x c x x x x π π + = −     − +  ÷  ÷     2. Gi i ph ng trình ả ươ ( ) ( ) 3 3 2 2 1 1 1 1 2 1x x x x   + − + − − = + −     . Câu III. (1,0 đi m) ể Tính tích phân ( ) 1 2 0 ln 1I x x x dx= + + ∫ . Câu IV. (1,0 đi m) ể Cho hình h p đ ng ABCD.A’B’C’D’ có ộ ứ AB AD a= = , 3 AA ' 2 a = , góc BAD b ng ằ 0 60 . G i M, N l n l t là trung đi m c a c nh A’D’ và A’B’. Ch ng minh AC’ vuông góc v i m t ph ng (BDMN) vàọ ầ ượ ể ủ ạ ứ ớ ặ ẳ tính th tích kh i đa di n AA’BDMN theo ể ố ệ a . Câu V. (1,0 đi m) ể Ch ng minh r ng v i m i s th c d ng ứ ằ ớ ọ ố ự ươ , ,a b c th a mãn ỏ 2 2 2 1a b c+ + = , ta có: 5 3 5 3 5 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 a a a b b b c c c b c c a a b − + − + − + + + ≤ + + + . B. PH N RIÊNG (3,0 ĐI M):Ầ Ể Thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n (ph n A ho c B)ỉ ượ ộ ầ ầ ặ I. Theo ch ng trình Chu nươ ẩ Câu VI.a (2,0 đi m)ể 1. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho hình ch nh t ABCD có di n tích b ng 12, tâm I là giao đi mặ ẳ ớ ệ ọ ộ ữ ậ ệ ằ ể c a hai đ ng th ng: dủ ườ ẳ 1 : x – y – 3 = 0, d 2 : x + y – 6 = 0. Trung đi m m t c nh là giao đi m c a dể ộ ạ ể ủ 1 và tia Ox. Tìm t a đ các đ nh c a hình ch nh t.ọ ộ ỉ ủ ữ ậ 2. Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho đi m I(1;1;1)ớ ệ ọ ộ ể và đ ng th ng d: ườ ẳ 14 5 4 1 2 x y z− + = = − . Vi tế ph ng trình m t c u (S) tâm I và c t d t i hai đi m A, B sao cho đ dài đo n th ng AB b ng 16.ươ ặ ầ ắ ạ ể ộ ạ ẳ ằ Câu VII.a (1,0 đi m)ể Tìm h s ch a xệ ố ứ 2 trong khai tri n: ể 4 1 2 n x x   +  ÷   , bi t n là s nguyên d ng th a mãn:ế ố ươ ỏ 2 3 1 0 1 2 2 2 2 6560 2 2 3 1 1 n n n n n n C C C C n n + + + + + = + + . II. Theo ch ng trình Nâng caoươ Câu VI.b (2,0 đi m)ể 1. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho hình vuông có đ nh là (-4; 8) và m t đ ng chéo có ph ng trình ặ ẳ ớ ệ ọ ộ ỉ ộ ườ ươ 7x – y + 8 = 0. Vi t ph ng trình các c nh c a hình vuông.ế ươ ạ ủ 2. Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho m t ph ng (P): ớ ệ ọ ộ ặ ẳ 1 0x y z+ + − = và hai đi m A(1;-3;0), B(5;-1;-2). ể Tìm t a đ đi m M trên m t ph ng (P) sao cho ọ ộ ể ặ ẳ MA MB− đ t giá tr l n nh t.ạ ị ớ ấ Câu VII.b (1.0 đi m) ể Cho h ph ng trình ệ ươ 2 3 3 3 2 1 log log 0 2 ,( ) 0 x y m R x y my  − =  ∈   + − =  . Tìm m đ h có nghi m.ể ệ ệ H t ế Thí sinh không đ c s d ng tài li u. Cán b coi thi không gi i thích gì thêmượ ử ụ ệ ộ ả . H và tên thí sinh: ; S báo danh: ọ ố ĐÁP ÁN – THANG ĐI MỂ Đ THI TH Đ I H C NĂM 2011Ề Ử Ạ Ọ Môn thi: TOÁN . Câu Ý Đáp án Đi mể I 1 1,0 • TXĐ : D = R\ { } 1 . • S bi n thiên: ự ế y’ = ( ) 2 1 0, 1 x D x − < ∀ ∈ − . Hàm s ngh ch bi n trên: ố ị ế ( ) ( ) ;1 à 1;v−∞ +∞ 0,25 Gi i h n: ớ ạ lim lim 2 x x→+∞ →−∞ = = ; ti m c n ngang: y = 2ệ ậ 1 1 lim , lim x x + − → → = +∞ = −∞ ; ti m c n đ ng: x = 1ệ ậ ứ 0,25 B ng bi n thiên: ả ế 0,25 • Đ th :ồ ị 0,25 2 1,0 G i M(m; ọ 2 1 1 m m − − ) Ti p tuy n c a (C) t i M: ế ế ủ ạ ( ) ( ) 2 1 2 1 1 1 m y x m m m − − = − + − − 0,25 A(1; 2 1 m m − ), B(2m-1; 2) 0,25 IA = 2 1 2 2 1 1 m m m − = − − , IB = 2 2 2 1m m− = − 0,25 1 . 2 2 IAB S IA IB ∆ = = . V y ậ di n tích tam giác IAB không đ i khi M thay đ i trên (C).ệ ổ ổ 0,25 II 1 1,0 Đi u ki n: ề ệ 6 2 k x π π ≠ + Ta có tan .tan tan .cot 1 6 3 6 6 x x x x π π π π         − + = − − = −  ÷  ÷  ÷  ÷         0,25 Ph ng trình t ng đ ng v i: ươ ươ ươ ớ 3 3 sin .sin 3 os .cos3x x c x x+ = 1 8 ( ) 1 os2 os2 os4 1 os2 os2 os4 1 . . 2 2 2 2 8 1 2 os2 os2 . os4 2 c x c x c x c x c x c x c x c x c x − − + + ⇔ + = ⇔ − = 0,25 3 1 1 os os2 8 2 c x c x⇔ = ⇔ = 0,25 Gv: Tr n Quang Thu n Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952ầ ậ Đ I H C S PH M HÀ N IẠ Ọ Ư Ạ Ộ =========================================================================== ( ) ai 6 , 6 x k lo k Z x k π π π π  = +  ⇔ ∈   = − +   . V y :ậ 6 x k π π = − + 0,25 2 1,0 Đk: -1 1x≤ ≤ Đ t u = ặ ( ) 3 1 x+ , v = 3 (1 )x− ; u,v 0≥ H thành: ệ 2 2 3 3 2 1 ( ) 2 u v uv u v uv  + =   + − = +   0,25 Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 uv uv u v uv u v u v u v u v vu u v uv + = + = + + = + + = − + + = − + 0,25 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 u v u u v  + =  ⇒ ⇒ = +  − =   0,25 2 2 x⇒ = 0,25 III 1,0 Đ t ặ ( ) 2 2 2 2 1 ln 1 1 2 x du dx u x x x x x dv xdx v +  =   = + +   + + ⇒   =    =   ( ) 1 2 3 2 2 0 1 1 2 2 ln 1 2 2 1 0 x x x I x x dx x x + = + + − + + ∫ 0,25 ( ) 1 1 2 2 1 0 2 0 0 1 1 1 3 ln 3 ln( 1) 2 2 4 4 1 3 3 ln 3 4 4 dx x x x x x x J − − + + + − + + = − ∫ 0,25 1 2 2 0 1 3 2 2 dx J x =     + +  ÷  ÷     ∫ . Đ t ặ 1 3 tan , ; 2 2 2 2 x t t π π   + = ∈ −  ÷   3 6 2 3 3 3 9 J dx π π π = = ∫ 0,25 V y I = ậ 3 ln 3 4 - 3 12 π 0,25 IV 1,0 G i O là tâm c a ABCD, S là đi m đ i x ng v i A qua A’ọ ủ ể ố ứ ớ ⇒ M, N l n l t là trungầ ượ đi m c a SD và SBể ủ AB = AD = a, góc BAD = 60 0 ⇒ ∆ ABD đ u ề ⇒ OA = 3 , 3 2 a AC a= SA = 2AA’ = a 3 3, ' AA ' 2 a CC = = 0,25 Gv: Tr n Quang Thu n Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952ầ ậ Đ I H C S PH M HÀ N IẠ Ọ Ư Ạ Ộ =========================================================================== ~ ' ' AO SA SAO ACC AC CC ⇒ = ⇒ ∆ ∆ ' ~ACC AIO ⇒ ∆ ∆ (I là giao đi m c a AC’ và SO)ể ủ 'SO AC⇒ ⊥ (1) M t khác ặ ( ' ') 'BD ACC A BD AC⊥ ⇒ ⊥ (2) T (1) và (2) ừ ⇒ đpcm 0,25 2 2 2 2 ' 1 3 3 3 2 4 1 3 3 3 2 4 2 32 SABD SA MN a V a a a a a V = =   = =  ÷   0,25 2 AA' ' 7 32 BDMN SABD SA MN a V V V= − = 0,25 V 1,0 Do a, b, c > 0 và 2 2 2 1a b c+ + = nên a, b, c ( ) 0;1∈ Ta có: ( ) 2 2 5 3 3 2 2 2 1 2 1 a a a a a a a b c a − − + = = − + + − BĐT thành: ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 3 3 a a b b c c− + + − + + − + ≤ 0,25 Xét hàm s ố ( ) ( ) 3 , 0;1f x x x x= − + ∈ Ta có: ( ) ax 0;1 M ( ) f x = 2 3 9 0,25 0,25 ( ) ( ) ( ) 2 3 3 f a f b f c⇒ + + ≤ ⇒ đpcm Đ ng th c x y ra ẳ ứ ả 1 3 a b c⇔ = = = 0,25 VI.a 1 1,0 I 9 3 ; 2 3    ÷   , M ( ) 3;0 0,25 Gi s M là trung đi m c nh AD. Ta có: AB = 2IM = ả ử ể ạ 3 2 . 12 2 2 ABCD S AB AD AD= = ⇒ = AD qua M và vuông góc v i dớ 1 ⇒ AD: x + y – 3 = 0 0,25 L i có MA = MB =ạ 2 T a đ A, D là nghi m c a h : ọ ộ ệ ủ ệ ( ) 2 2 3 0 2 1 3 2 x y x y x y + − =  =   ⇔   = − + =    ho c ặ 4 1 x y =   = −  0,25 Ch n A(2 ; 1) ọ ( ) ( ) ( ) 4; 1 7;2 à 5;4D C v B⇒ − ⇒ 0,25 2 1,0 G i H là trung đi m đo n AB ọ ể ạ 8HA ⇒ = 0,25 IH 2 = 17 0,25 IA 2 = 81 9R ⇒ = 0,25 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 : 1 1 1 81C x y z− + − + − = 0,25 VII.a 1,0 Gv: Tr n Quang Thu n Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952ầ ậ Đ I H C S PH M HÀ N IẠ Ọ Ư Ạ Ộ =========================================================================== Ta có: ( ) 2 2 3 1 0 1 2 0 2 2 2 2 1 2 3 1 n n n n n n n C C C C x dx n + + + + + = + + ∫ 0,25 1 1 3 1 6560 3 6561 7 1 1 n n n n n + + − ⇔ = ⇔ = ⇔ = + + 0,25 7 14 3 7 4 7 4 0 1 1 2 2 k k k x C x x −   + =  ÷   ∑ 0,25 S h ng ch a xố ạ ứ 2 ng v i k th a: ứ ớ ỏ 14 3 2 7 4 k k − = ⇔ = V y h s c n tìm là: ậ ệ ố ầ 21 4 0,25 VI.b 1 1,0 G i A(-4; 8) ọ ⇒ BD: 7x – y + 8 = 0 ⇒ AC: x + 7y – 31 = 0 0,25 G i D là đ ng th ng qua A có vtpt (a ; b)ọ ườ ẳ D: ax + by + 4a – 5b = 0, D h p v i AC m t góc 45ợ ớ ộ 0 ⇒ a = 3, b = -4 ho c a = 4, b = 3 ặ ⇒ AB: 3 4 32 0; : 4 3 1 0x y AD x y− + = + + = 0,25 G i I là tâm hình vuông ọ ⇒ I( 1 9 ; ) 2 2 − ( ) 3;4C⇒ : 4 3 24 0; : 3 4 7 0BC x y CD x y⇒ + − = − + = 0,25 KL: 0,25 2 1,0 Ta có: A, B n m khác phía so v i (P).G i B’ là đi m đ i x ng v i B qua (P)ằ ớ ọ ể ố ứ ớ ⇒ B’(-1; -3; 4) 0,25 ' 'MA MB MA MB AB− = − ≤ Đ ng th c x y ra khi M, A, B’ th ng hàng ẳ ứ ả ẳ ⇒ M là giao đi m c a (P) và AB’ể ủ 0,25 AB’: 1 3 2 x t y z t = +   = −   = −  0,25 M(-2; -3; 6) 0,25 VII.b 1,0 Đk: x ≠ 0, y > 0 ( ) ( ) 2 3 3 3 3 3 2 3 2 2 3 2 1 log log log log 0 2 0 0 , 1 , 2 0 x y x y x y ay x y my y x y x y y a y y ay   = − =   ⇔   + − =    + − =   =  =   ⇔ ⇔   + = + − =     0,25 H có nghi m khi (2) có nghi m y > 0ệ ệ ệ Ta có : f(y) = 2 y y+ >0 , ∀ y > 0 0,25 Do đó pt f(y) = a có nghi m d ng khi a>0ệ ươ 0,25 V y h có nghi m khi a > 0ậ ệ ệ 0,25 Gv: Tr n Quang Thu n Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952ầ ậ Đ I H C S PH M HÀ N IẠ Ọ Ư Ạ Ộ =========================================================================== . s d ng tài li u. Cán b coi thi không gi i thích gì thêmượ ử ụ ệ ộ ả . H và tên thí sinh: ; S báo danh: ọ ố ĐÁP ÁN – THANG ĐI MỂ Đ THI TH Đ I H C NĂM 2011Ề Ử Ạ Ọ Môn thi: TOÁN . Câu Ý Đáp án Đi. (7,0 đi m )Ầ Ấ Ả ể Câu I: (2,0 đi m) ể Cho hàm s : ố 2 1 1 x y x − = − (C). 1. Kh o sát s bi n thi n và v đ th (C).ả ự ế ẽ ồ ị 2. G i I là giao đi m c a hai ti m c n, M là m t đi m b t kì trên. Đ I H C S PH M HÀ N IẠ Ọ Ư Ạ Ộ Đ THI TH Đ I H C – CAO Đ NG 2011Ề Ử Ạ Ọ Ẳ KHOA TOÁN-TIN MÔN: TOÁN- KH I AỐ Th i gian làm bài: 180