Phương Trình,Bất Phương Trình ,Hệ Phương Trình,Biến Đổi Đồng Nhất,Tam Thức Bậc Hai Định lý Vi-et, Số Học,Hàm Số,Tổ Hợp Câu I 3x + + − x = 1) Giải phương trình 1  x + y + x + y =  2) Giải hệ phương trình   +  x +  = xy +   4  y xy    Câu II 1) Giả sử a; b; c số thực khác thỏa mãn (a+b)(b+c)(c+a)=8abc Chứng minh a b c ab bc ca + + = + + + b + c b + c a + c ( a + b )( b + c ) ( b + c )( c + a ) ( c + a )( a + b ) 2) Có số nguyên dương có chữ số abcde cho abc − (10d + e ) chia hết cho 101? Câu I  x + y = + y − x + xy 1) Giải hệ phương trình  7 xy + x − y = 2) Giải phương trình x + + − x = x + + − x Câu II Giải phương trình nghiệm nguyên (x,y) : x + y = 20412 Câu IVGiả dụ dãy số thực có thứ tự x1 ≤ x ≤ x3 ≤ ≤ x192 Thỏa mãn điều kiện  x1 + x + x3 + + x n =   x1 + x + x3 + + x192 = 2013 Câu I 1) Giải phương trình Chứng minh x192 − x1 ≥ x + + 2012 x + = 2012 + 2013 96 ( x + 9)( x + 6) x + y + y = 2)Giải hệ phương trình  2 x + y + xy = Câu II Tìm tất cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn đẳng thức: ( x + y + 1)( xy + x + y ) = + 2( x + y ) Tìm Min,Max của C(X) Câu I  ( x − 1) y + x + y =  1) Giải hệ phương trình   ( y − 2) x + y = x +  2) Giải phương trình x+ x2 + = x 2( x + 1) Câu II 1) Chứng minh không tồn ba số nguyên ( x, y, z ) thỏa mãn đẳng thức x + y = z + 2) Tìm tất cặp số nguyên ( x, y ) thỏa mãn đẳng thức ( x + 1) − ( x − 1)4 = y 1) Giải phương trình ( x+3 − x )( ) 1− x +1 =  x2 + y = 2x2 y  2) Giải hệ phương trình  x + y + xy = x y )( ) (  Câu II 1) Với số thực a ta gọi phần nguyên a số nguyên lớn không vượt a ký hiệu2 [ a ] Chứng minh với số nguyên dương n , biểu thức  1 n + 3 n − +  không biểu diễn dạng lập phương số nguyên 27     dương Câu IV Giả sử A tập tập số tự nhiên Tập A có phần tử nhỏ 1, phần tử lớn 100 x thuộc A ( x ≠ 1) , tồn a, b thuộc A cho x = a + b ( a b ) Hãy tìm tập A có số phần tử nhỏ  3 x + y + 12 xy = 23 Câu IGiải hệ phương trình   x + y =  1) Giải phương trình x + + x − x + = + x + Câu II Tìm tất số nguyên không âm (x, y) thoả mãn đẳng thức (1 + x )(1 + y ) + xy + 2( x + y )(1 + xy ) = 25 2 1) Với số thực a, ta gọi phần nguyên số a số nguyên lớn không vượt a ký hiệu [a] Chứng minh với n nguyên dương ta có  n + n + 1 + +  =n n( n + 1)  1.2 2.3 Câu IGiải phương trình x + + 3x + = 5 x + y + xy = 26 3 x + ( x + y )( x − y ) = 11 1) Giải hệ phương trình  Câu IV Trong dãy số gồm 2010 số thực khác xếp theo thứ tự a1 , a , , a 2010 , ta đánh dấu tất số âm tất số mà tổng với số liên tiếp liền sau số dương (Ví dụ với dãy số -8,-4,-1,2,-1,2,-3, ,-2005 số đánh dấu a = −4, a = 4, a = −1, a5 = ) Chứng minh dãy số cho có số dương tổng tất số đánh dấu số dương Câu I.1) Giải phương trình x2 − x + = x2 − x +1  x − y + xy =  2) Giải hệ phương trình  3 x + y = y +  Câu II.1) Tìm chữ số tận chữ số 1313 + 6 + 2009 2009 Câu I.1) Giải phương trình 2) Chứng minh dương 14 x + 35 + x + = 84 + x + 36 x + 35 2n − n2 + + + = Với n nguyên + 14 + 34 + (2n − 1) 4n + Câu II 1) Tìm chữ số nguyên dương n cho tất số n + 1, n + 5, n + 7, n + 13, n + 17, n + 25, n + 37 Đều nguyên tố 2) Mỗi lần cho phép thay cặp số (a,b) thuộc tập hợp M = { (16,2), (4,32), (6,62), (78,8)} cặp số (a + c, b + d) cặp số (c, d) thuộc M Hỏi sau số hữu hạn lần thay ta nhận tập hợp cặp số M = { (2018,702), (844,2104), (1056,2176), (2240,912)} hay không? Câu 1: Câu 2: 2) Trên quãng đường AB dài 210 km, thời điểm, xe máy khởi hành từ A B ô tô khởi hành từ B A Sau gặp nhau, xe máy tiếp đến B ô tô tiếp 15 phút đến A Biết xe máy ô tô không thay đổi vận tốc suốt chặng đường Tính vận tốc xe máy tô Câu (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) : y = − x đường thẳng (d) : y = mx − n − (m tham số) Chứng minh m thay đổi, (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x, x Tìmmđể|x−x|= Câu : Cho Parabol (P) : y= x2 đường thẳng (d) y=mx - m2 + (m tham số ) Tính tất giá trị m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x 1; x2 Với giá trị m thỡ x1; x2 độ dài cạnh góc vng tam giác vng có độ dài cạnh huyền Câu Cho a= 2 2+ 1.Chứng minh − 8 4a + 2a − = Tính giá trị biểu thức S = a2 + a4 + a +1 Câu 1.Giải hệ phương trình xy  2 x + y + x + y =   x + y = x2 − y  Cho số hữu tỷ a,b thỏa mãn đẳng thức : a b + ab + 2a b + 2a + 2b + = Chứng minh 1-ab bình phương số hưũ tỷ Câu Tìm tất số nguyên tố p có dạng cho a4 + b4 + c4 p = a2 + b2 + c2 với a, b, c số nguyên dương chia hết cho p Câu Trong hộp có chứa 2011 viên bi màu ( viên bi có màu) ,trong có 655 viên bi màu đỏ ,655 viên bi màu xanh , 656 viên bi màu tím 45 viên bi cịn lại viên bi màu vàng màu trắng ( màu viên) Người ta lấy từ hộp 178 viên bi Chứng minh số viên bi lấy ln có 45 viên bi màu Nếu người ta lấy 177 viên bi kết tốn cịn khơng ? Câu 5: Các số thực x , y thoả mãn đẳng thức : (x + 1+ x2 )( y + ) 1+ y2 = Chứng minh x+y=0 Câu Các số thực x, y thoả mãn xy ≠  23 xy vào x, y P =   2 x y − + xy ≠ − Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc xy −  xy xy  −  xy + xy − 2 xy + 2  Câu 1) Cho phương trình x + bx + c = , cá tham số b c thoả mãn đẳng thức b + c = Tìm giá trị b c để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x cho x1 = x + x x y z  + 12 − =  Giả sử (x, y, z) nghiệm hệ phương trình:  Hãy tính giá trị A = x + y + z  x + y + z =1 10  Câu Ba số nguyên dương a, p, q thỏa mãn điều kiện: i) ii) ap + chia hết cho q aq + chia hết cho p Chứng minh a > pq 2( p + q ) Câu Một hình vng có độ dài chia thành 100 hình chữ nhật có chu vi (hai hình chữ nhật khơng có điểm chung) Kí hiệu P chu vi hình chữ nhật 100 hình chữ nhật 1) Hãy cách để chia P = 2,02 2) Hãy tìm giá trị lớn P   x +  x − x (4 x − 1) −    x + 29 x + 78  −  x − ÷ ÷ ÷  ÷ x +  x + x − x −    x + 12 x − 36  2  Câu 1: A =  Rút gọn biểu thức A Tìm tất giá trị nguyên x để biểu thức A có giá trị nguyên Câu 2: Cho hai đường thẳng (d1 ): y = (2m2 + )x + 2m – ,(d2): y = m2x + m – Tìm toạ độ giao điểm I d1 d2 theo m Với m tham số Khi m thay đổi, chứng minh điểm I thuộc đường thẳng cố định Câu : Giả sử cho ba số thực (x;y;z) thoả mãn hệ  x + = y + z (1)   xy + z − z + 10 = 0(2) Chứng minh x2 + y2 = -z2 + 12z – 19 Tìm tất số x,y,z cho x2 + y2 = 17 Câu 5: Giải phương trình : (x2 -5x + 1)(x2 - 4) = 6(x-1)2 1.Giả sử a b hai số dương khác thoả mãn a − b = − b − − a Câu 1: a2 + b2 = Chứng minh 2.Chứng minh số 2009 + 2009 2.2010 + 2010 số nguyên dương Câu 2: Giả sử số thực a , b, c, c, d đôi khác thoả mãn hai điều kiện sau Phương trình x − 2cx − 5d = có nghiêm a b ii) Phương trình x − 2ax − 5b = có nghiêm c d Chứng minh rằng: i) a – c = c – b = d - a a + b + c + d = 30 Câu Giả sử m n số nguyên dương với n>1 Đặt S = m n − 4m + 4n Chứng minh rằng: Nếu m>n ( mn −2 ) < n2S < m2n4 Nếu S số phương m=n Câu Trên bảng đen viết ba số ;2; Ta bắt đầu thực trò chơi sau : Mỗi lần chơi ta xố hai số ba số bảng ,giả sử a b viết vào vị trí vừa xố hai số a+b a−b đồng thời giữ nguyên số lại Như sau lần chơi bảng ln có ba số Chứng minh dù ta có chơi lần bảng khơng đồng thời có ba số 2 ; ;1 + Câu 1: (2điểm)Cho biểu thức A= 3   x2 − x2  3  +  x + x  : 2 + ( x ≠ 8; x ≠ −8; x ≠ 0) 2+3 x  2+3 x   x −  x + 23 x     8− x Chứng minh A không phụ thuộc biến số Câu : ( điểm) Cho phương trình bậc : x2-2(m+1)x+4m-m2 =0 ( tham số m) 1-Chứng minh PT có nghiệm phân biệt với m 2-Gọi x1;x2 nghiệm phương trình Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = x1 − x Câu 3: ( điểm)  x + y + 2( x + y + xy ) =   x + y + 4x − y + =  Giải hệ phương trình Câu ( 2,0 điểm )  Cho biểu thức P =   x  3+ x + 2x   x − − ÷:  9− x ÷  x −3 x x    ÷ ÷  1) Tìm điều kiện x để P có nghĩa rút gọn P 2) Tìm giá trị x để P = − Câu ( 2,0 điểm ) 1) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x2 + 4x + = y4  x + xy + y =  2) Giải hệ phương trình:   x + 3(y − x) =  Câu 2: Cho đa thức f(x) = ax3 + bx2 + cx + d với a số nguyên dương, biết: f(5) - f(4) = 2012 Chứng minh: f(7) - f(2) hợp số Câu 6: Trên mặt phẳng cho 2013 điểm tùy ý cho điểm tồn điểm mà khoảng cách điểm ln bé Chứng minh tồn đường trịn có bán kính chứa 1007 điểm( kể biên Bài (2,0 điểm) Cho phương trình: x − ( m + ) x + 6m + = với x ẩn, m tham số a/ Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m b/ Tìm điều kiện m để phương trình có hai nghiệm phân biệt lớn Bài (3,0 điểm)a/ Cho a, b hai số thực dương thỏa mãn a − ab − 6b = Tính giá trị biểu thức: P = a+b a + ab + b  x − 3y =  b/ Giải hệ phương trình:  9y − 8x =  Bài (2 điểm) 1) Cho a = + + 2+ Chứng minh a nghiệm phương trình a − 3a − = 2) Tìm số tự nhiên n để n3 − 4n − 2n + 15 số nguyên tố Bài (2 điểm) 1) Giải phương trình x + 10 − x =  x − y − xy + y − x =  2) Giải hệ phương trình  2  x − y + x + 12 =  Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x − xy + 3x − y − = Chứng minh rằng: x + Bài (1 điểm) hết cho − + > 0, ∀ x ≠ x2 x Cho số tự nhiên a, b, c thỏa mãn a + b + c = 2051 Chứng minh tích abc chia không chia hết cho 12 Câu (7,0 điểm).a) Giải phương trình: b) Giải hệ phương trình: ( x + + 1)(5 − x) = x  x − xy + x − y + =  2  y − x + xy + x − = Câu (3,0 điểm).Tìm số tự nhiên x y thoả mãn x + = y Bài I (2điểm)Với a ≠ ±b giải phương trình: (a4 – b4)x2 – 2(a3 – b3)x + a2 – b2 = Câu (2,0 điểm) a) Chứng minh n số nguyên dương ( 12013 + 22013 + + n 2013 ) chia hết cho n ( n + 1) b) Tìm tất số nguyên tố p, q thỏa mãn điều kiện p − 2q = Câu (1,0 điểm) Hỏi có hay khơng 16 số tự nhiên, số có ba chữ số tạo thành từ ba chữ số a, b, c thỏa mãn hai số chúng khơng có số dư chia cho 16? 2 Câu I: Cho phương trình: x − 4mx + m − 2m + = 0(1) với m tham số a) Tìm m cho phương trình (1) có hai nghiệm x1; x phân biệt Chứng minh rằng: x1; x trái dấu b) Tìm m cho: x1 − x = 3x + 2y + = 2z ( x + )   Caâu II: Giải hệ phương trình: 3y + 2z + = 2x ( y + )  3z + 2x + = 2y ( z + )  3 Câu III: Cho x, y hai số không âm thỏa mãn x + y ≤ x − y a) Chứng minh rằng: y ≤ x ≤ b) Chứng minh rằng: x + y3 ≤ x + y ≤ Caâu IV: Cho M = a2 + 3a + với a số nguyên dương a) Chứng minh ước M số lẻ Tìm a cho M chia hết cho Với giá trị a M lũy thừa Câu VI: Trong kỳ thi, 60 thí sinh phải giải toán Khi kết thúc kỳ thi, người ta nhận thấy rằng: với hai thí sinh có toán mà hai thí sinh giải Chứng minh rằng: a) Nếu có toán mà thí sinh không giải phải có toán khác mà thí sinh giải Có toán mà có 40 thí sinh giải Câu (2,0 điểm) a) Tìm tất số nguyên dương đồng thời Bài (2.0 điểm) x2 + y + z ( x; y; z ) thỏa mãn x + y 2013 số hữu tỷ, y + z 2013 số  x x −3 x + 10  x +7 − − a) Cho A =  Tìm x cho A < ÷: x − x + x + x x −8  x + x +  nguyên b) Tìm m để phương trình x − ( 2m + ) x + 3m + = có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x2 = x1 + Bài (2.0 điểm) a) Giải phương trình x − − x + 13 = x−7 2 x + xy = y − y +  b) Giải hệ phương trình  Bài (2.0 điểm) x − y =  a) Cho a, b hai số nguyên dương thỏa mãn a + 20 b + 13 chia hết cho 21 Tìm số dư phép chia A = 4a + 9b + a + b cho 21 b) Có thể phủ kín bảng 20 × 13 vng miếng lát có hai dạng (có thể xoay sử dụng đồng thời hai dạng miếng lát) cho miếng lát không chờm lên không? Câu Cho phương trình: x − 5mx + 4m = (1) a) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình Tìm m để biểu thức: m2 x2 + 5mx1 + 12m A= + đạt giá trị nhỏ x1 + 5mx2 + 12m m2 Bài 1: (2 điểm)  x + y − xy = 19 Giải hệ phương trình:  3  x + y + 19 = Bài 5: (2 điểm) a) Xét số thực x, y, z, t thỏa mãn đồng thời điều kiện: x + y + z + t = xy + xz + xt + yz + yt + zt = 18 Tìm giá trị nhỏ t b) Cho hình vng có độ dài cạnh tính mét n + 1, n + 2, n + 3, n + 4, n + 5, n + 6, n + 7, n + 8, n + 9, với n số nguyên dương Gọi S tổng diện tích hình vng Có hay khơng hình vng diện tích S có độ dài cạnh số nguyên mét? Bài 2: (2,0 điểm) a Tìm m để phương trình x2 + 2(m – 1)x – = có hai nghiệm x 1, x2 số nguyên b Giải phương trình: 2(x2 + 2) = x + Bài 3: (2,0 điểm) 2 a Cho biết A B giao điểm đường thẳng (d): y = x + parabol (P): y = x Xác định điểm M trục hoành cho chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ b Nhà trường tổ chức tham quan hè cho cán giáo viên ô-tô 12 chỗ ngồi Lúc đầu ban tổ chức xếp hết chỗ ngồi xe xe cuối chở người Sau đó, ban tổ chức xếp lại số người xe Bài 1: (2,0 điểm)Giải hệ  x2 + y2 = x + y +  phương trình:   x ( x − 1) y ( y − 1) = 12  Bài 2: (2,0 điểm) ( )( ) 2 Cho số thực u, v cho: u + u + v − + v − 2v + = Chứng minh: u + v + 3uv = Bài 4: (2,0 điểm) a) Tìm số nguyên dương lẻ x, y, z thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: x