tài liệu luyện thi vào lớp 10 môn toán

54 166 0
  • Loading ...
1/54 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 23/06/2015, 11:14

WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net ? LUYỆN THI VÀO LỚP 10 WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net Trang 1 WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net Chuyên đề 1: Biến đổi đẳng thức - Phân tích đa thức thành nhân tử A. biến đổi đẳng thức I. Các hằng đẳng thức cơ bản và mở rộng (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 a 2 - b 2 = (a + b)(a - b) (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2 ) a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab +b 2 ) (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc (a - b - c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 - 2ab - 2ac + 2bc a n - b n = (a - b)(a n-1 + a n-2 b + + ab n-2 + b n-1 ), mọi n là số tự nhiên a n + b n = (a + b)(a n-1 - a n-2 b + - ab n-2 + b n-1 ), mọi n lẻ II. Bài tập Bài 1 So sánh hai số A và B biết: A = 2004.2006 và B = 2005 2 Giải Ta có A = (2005 - 1)(2005 + 1) = 2005 2 - 1 < 2005 2 =B. Vậy A < B. Bài 2 So sánh hai số A và B biết: A = (2 + 1)(2 2 +1)(2 4 + 1)(2 8 + 1)(2 16 + 1) và B = 2 32 Giải Ta có A = (2 - 1)(2 + 1)(2 2 +1)(2 4 + 1)(2 8 + 1)(2 16 + 1) = 2 32 -1 < 2 32 = B. Vậy A < B. Bài 3 So sánh hai số A và B biết: A =(3 + 1)(3 2 +1)(3 4 + 1)(3 8 + 1)(3 16 +1) và B =3 32 -1 Giải Ta có 2A = (3 - 1)(3 + 1)(3 2 +1)(3 4 + 1)(3 8 + 1)(3 16 +1) = 3 32 - 1 = B. Vậy A < B. Bài 4 Chứng minh rằng: (m 2 + m - 1) 2 + 4m 2 + 4m = (m 2 + m + 1) 2 , với mọi m. Giải VT: (m 2 + m - 1) 2 + 4m 2 + 4m = m 4 + m 2 + 1 + 2m 3 - 2m 2 - 2m + 4m 2 + 4m = m 4 + 2m 3 + 3m 2 + 4m + 1. VP: (m 2 + m + 1) 2 = m 4 + m 2 + 1 +2m 3 + 2m 2 + 2m = m 4 + 2m 3 + 3m 2 + 2m +1. Bài 5 Chứng minh rằng: a 3 + b 3 + c 3 -3abc = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 - ab -ac -bc). Giải Ta có a 3 + b 3 = (a + b) 3 - 3ab(a + b) thay vào VT VT = (a + b) 3 - 3ab(a + b) + c 3 -3abc = [(a + b) 3 + c 3 ] - 3ab(a + b +c) = (a + b +c)[(a + b) 2 + c 2 - c(a + b) -3ab] = (a + b +c)(a 2 + b 2 + c 2 + 2ab - ac - bc - 3ab) = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 - ab - ac - bc) = VP. Bài 6 Cho ab = 1. Chứng minh rằng: a 5 + b 5 = (a 3 + b 3 )(a 2 + b 2 ) - (a + b) Giải (a 3 + b 3 )(a 2 + b 2 ) - (a + b) = a 5 + a 3 b 2 + a 2 b 3 + b 5 - (a - b)= a 5 + b 5 +a 2 b 2 (a + b) - (a - b) = a 5 + b 5 Bài 7 Cho a 2 + b 2 + c 2 - ab - ac - bc = 0. Chứng minh rằng: a = b = c WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net Trang 2 WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net Hỡng dẫn Từ: a 2 + b 2 + c 2 - ab - ac - bc = 0 2a 2 + 2b 2 + 2c 2 - 2ab - 2ac - 2bc = 0 (a - b) 2 +(a - c) 2 + (b - c) 2 = 0 a = b = c.(đpcm) Bài 8 Cho a, b, c đôi một khác nhau, thoả mãn: ab + bc + ca = 1. CMR + + + = + + + 2 2 2 2 2 2 (a b) (b c) (c a) 1 (1 a )(1 b )(1 c ) Hỡng dẫn Ta có: 1 + a 2 = ab + bc + ca +a 2 = b(a + c) + a(a + c) = (a + c)(a + b). Tơng tự: 1 + b 2 = (b + a)(b + c). 1 + c 2 = (c +a)(c + b). Thay vào trên suy ra (đpcm). Bài 9 Cho a > b > 0, thoả mãn: 3a 2 + 3b 2 =10ab. Chứng minh rằng: = + a b 1 a b 2 . Giải Đặt P = ba ba + thì P > 0 nên P = 2 P . Ta có P 2 = + + = = = + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 a b 2ab 3a 3b 6ab 10ab 6ab 1 a b 2ab 3a 3b 6ab 10ab 6ab 4 . Vậy P = 1/2. Bài 10 Cho a + b + c = 1 và + + = 1 1 1 0 a b c . Chứng minh rằng: a 2 + b 2 + c 2 =1. Giải Từ: a + b + c = 1 a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab + ac + bc) = 1 a 2 + b 2 + c 2 = 1- 2(ab + ac + bc) . Mặt khác: + + + + = = + + = 1 1 1 ab ac bc 0 0 ab ac bc 0 a b c abc . Vậy: a 2 + b 2 + c 2 =1. Bài 11 Cho + + = 1 1 1 2 a b c (1) và a + b + c = abc. Chứng minh rằng: + + = 2 2 2 1 1 1 2 a b c Giải (1) + + + + + + + = + + + = 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a b c 2( ) 4 2( ) 4 a b c ab ac bc a b c abc . Thay a + b + c = abc vào ta có + + + = + + = 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 4 2 a b c a b c . Bài 12 Cho + + = x y z 1 a b c (1) , và + + = a b c 1 x y z (2) . CMR: = + + = 2 2 2 2 2 2 x y z A 1 a b c Giải + + + + + + + = = + + = 2 2 2 2 2 2 x y z xy xz yz xy xz yz cxy bxz ayz 2( ) 1 A 1 2( ) 1 2( ) a b c ab ac bc ab ac bc abc WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net Trang 3 WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net (2) : + + = cxy bxz ayz 0 xyz . Vậy A = 1. Bài 13 Cho + + = 1 1 1 0 a b c . (1) Chứng minh rằng: + + = 3 3 3 1 1 1 3 a b c abc . Giải . (1) = + = + + + = + + 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( 3 ( ) [ 3 ( )] a b c a b c bc b c a b c bc a Vậy + + = 3 3 3 1 1 1 3 a b c abc . Bài 14 Cho a + b + c = 0 và a 2 + b 2 + c 2 =14. Chứng minh rằng: a 4 + b 4 + c 4 = 98. Giải Từ: a + b + c = 0 a = -(b + c) a 2 = (b + c) 2 a 2 = b 2 + c 2 +2bc a 2 - b 2 - c 2 = 2bc (a 2 - b 2 - c 2 ) 2 = 4b 2 c 2 a 4 + b 4 + c 4 - 2a 2 b 2 - 2a 2 c 2 + 2b 2 c 2 = 4b 2 c 2 a 4 + b 4 + c 4 = 2a 2 b 2 + 2b 2 c 2 + 2a 2 c 2 2(a 4 + b 4 + c 4 ) = a 4 + b 4 + c 4 + 2a 2 b 2 - 2b 2 c 2 + 2a 2 c 2 2(a 4 + b 4 + c 4 ) = (a 2 + b 2 + c 2 ) 2 = 14 2 =196. Vậy a 4 + b 4 + c 4 = 98. Bài 15 Cho xyz = 1, Chứng minh rằng: + + = + + + + + + 1 1 1 1. 1 x xy 1 y yz 1 z zx Giải Ta có: + + = + + = + + + + + + + + + + + + 1 1 1 z x 1 1 x xy 1 y yz 1 z zx z xz xyz x yx xyz 1 z zx = + + + + = + = + + + + + + + + + + + + + + + z x 1 z 1 x z 1 xz z xz 1 x yx 1 1 z zx 1 x xz x xy 1 1 x xz xz xyz z + + + = + = = + + + + + + z 1 xz z 1 xz 1. 1 x xz xz 1 z 1 x xz B. Phân tích đa thức thành nhân tử Bài 1 Phân tích tam thức bậc hai x 2 - 6x + 8 thành nhân tử. Giải Cách 1: Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử rồi đa đa thức về dạng hiệu của hai bình phơng. x 2 - 6x + 8 =(x - 3) 2 - 1 = (x - 3 - 1)(x - 3 + 1) = (x - 4)(x - 2). Cách 2: Tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử rồi dùng phơng pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung. x 2 - 6x + 8 = x 2 - 2x - 4x + 8 = x(x - 2) - 4(x - 2) = (x - 2)(x - 4). Bài 2 Phân tích đa thức x 3 + 3x 2 - 4 thành nhân tử. Giải WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net Trang 4 WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net Nhẩm thấy x = 1 là nghiệm đa thức chứa nhân tử x - 1 ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử x - 1. C 1 : x 3 + 3x 2 - 4 =x 3 -x 2 +4x 2 - 4=x 2 (x - 1)+4(x 2 -1)=(x-1)(x 2 + 4x + 4)=(x-1)(x+2) 2 . C 2 : x 3 +3x 2 - 4 =x 3 -1+3x 2 - 3 = (x-1)(x 2 +x+1)+ 3(x-1)(x+1) = (x-1)(x 2 + 4x + 4). Bài 3 Phân tích đa thức (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15 thành nhân tử. Giải (x +1)(x +3)(x +5)(x +7) +15 = [(x +1)(x +7)][(x +3)(x +5)] +15 = (x 2 +8x+7)(x 2 +8x +15) +15 Đặt: t = x 2 +8x+7 x 2 +8x+15 = t + 8 ta có: t(t + 8) +15 = t 2 + 8t +15 =(t + 4) 2 - 1 = (t + 4 + 1)(t + 4 - 1) = (t + 5)(t + 3). Vậy: (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = (x 2 + 8x + 12)(x 2 + 8x + 10) = (x 2 + 6x + 2x + 12)(x 2 + 8x +10) = (x + 6)(x + 2)(x 2 + 8x + 10). BTVN. Bài 1 Cho x > y > 0 và 2x 2 + 2y 2 = 5xy, Tính: x y P x y + = . (tơng tự bài 9) Bài 2 Cho x + y + z = 0, Chứng minh rằng: x 3 + y 3 + z 3 = 3xyz. (tơng tự bài 13) Bài 3 Cho a + b + c = 0, Chứng minh rằng: a 4 + b 4 + c 4 = 2 1 (a 2 + b 2 + c 2 ) 2 . (tơng tự bài 14) Bài 4 Cho a, b, c khác không và a + b + c = 0. Chứng minh rằng: + + = + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 0. a b c b c a a c b Từ: a + b + c = 0 a = - (b + c) a 2 = (b + c) 2 a 2 =b 2 + c 2 + 2bc b 2 + c 2 - a 2 = - 2bc Bài 5 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử. a/ 4x 2 - 3x - 1 b/ x 3 + 6x 2 + 11x +6 c/ (x-y) 3 + (y-z) 3 + (z-x) 3 Hỡng dẫn: x + y + z = 0 x 3 + y 3 + z 3 = 3xyz WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net Trang 5 WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net Chuyên đề 2: Bất đẳng thức - Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất A. Bất đẳng thức I. Một số tính chất của bất đẳng thức 1/ a > b và b > c a > c (t/c bắc cầu) 2/ a > b a + c > b + c (t/c cộng vào hai vế cùng một số) 3/ a > b > > < < ac bc nếu c 0 ac bc nếu c 0 (t/c nhân hai bđt với một số âm, dơng) 4/ a > b và c > d a + c > b + d (t/c cộng hai bất đẳng thức cùng chiều) 5/ > > > > > a b 0 ac bd c d 0 (t/c nhân hai bất đẳng thức dơng cùng chiều) 6/ a > b > 0 > > n n n n a b a b (n nguyên dơng) 7/ + > + + + a a a,b, c R a b a b c 8/ + + > > > + a c a a c c a,b,c,d R b d b b d d 9/ Nếu a, b, c là 3 cạnh của tam giác thì ta có: */ a > 0, b > 0, c > 0. */ b - c < a < b + c; a - c < b < a + c; a - b < c < a + b */ Nếu a > b > c thì A > B > C II. Bài tập Bài 1 Cho 5 số a, b, c, d, e bất kỳ. CMR: a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 a( b + c + d + e) (1) . Giải (1) 4a 2 + 4b 2 + 4c 2 + 4d 2 + 4e 2 - 4ab - 4ac - 4ad - 4ae 0 (a - 2b) 2 + (a - 2c) 2 + (a - 2d) 2 + (a - 2e) 2 0. (đpcm) Bài 2 Cho a + b = 1,Chứng minh rằng: a/ a 2 + b 2 1/2, b/ a 3 + b 3 1/4, c/ a 4 + b 4 1/8 Giải a/ Từ (a - b) 2 0 a 2 + b 2 2ab 2(a 2 + b 2 ) a 2 + b 2 + 2ab = (a + b) 2 = 1. Vậy a 2 + b 2 1/2. b/ Ta có a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2 ) = a 2 - ab + b 2 2(a 3 + b 3 ) = 2a 2 - 2ab + 2b 2 = (a - b) 2 + a 2 + b 2 a 2 + b 2 mà a 2 + b 2 1/2 2(a 3 + b 3 ) 1/2 a 3 + b 3 1/4. (đpcm) c/ Từ (a 2 - b 2 ) 2 0 a 4 + b 4 2a 2 b 2 2(a 4 + b 4 ) a 4 + b 4 + 2a 2 b 2 = (a 2 + b 2 ) 2 a 4 + b 4 1 2 (a 2 + b 2 ) 2 (1) . WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net Trang 6 WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net Mặt khác: (a - b) 2 0 a 2 + b 2 2ab 2(a 2 + b 2 ) a 2 + b 2 + 2ab = (a + b) 2 = 1 a 2 + b 2 1/2 (a 2 + b 2 ) 2 1/4 thay vào (1) ta có a 4 + b 4 1 8 . Bài 3 Cho a,b > 0, và a + b = 1. Chứng minh rằng: a/ + + 1 1 (1 )(1 ) 9 a b ; b/ + + + 1 1 4 a 1 b 1 3 Giải a/ + + + + + + + + 1 1 a 1 b 1 ab a b 1 2 (1 )(1 ) 9 ( )( ) 9 9 1 9 a b a b ab ab 1 4ab (a + b) 2 4ab đúng (đpcm). b/ + + + 1 1 4 a 1 b 1 3 3(a + 1 + b +1) 4(a + 1)(b + 1) 9 4(ab + a + b + 1) 9 4ab + 8 1 4ab (a + b) 2 4ab đúng (đpcm) Bài 4 Cho a, b, c R + . Chứng minh rằng: < + + < + + + a b c 1 2 a b b c c a Giải > + + + > + + + > + + + a a a b a b c b b b c a b c c c c a a b c + + > + + + a b c 1 a b b c c a . Mặt khác: + < < + + + + + < < + + + + + < < + + + + a c a a c a b c a b a b c b a b b a b c a b c a b c c b c b c c a b c a a b c + + < + + + a b c 2 a b b c c a . Vậy: < + + < + + + a b c 1 2 a b b c c a Bài 5 Cho a, b, c, d R + . CMR: < + + + < + + + + + + + + a b c d 1 2 a b c b c d c d a d a b Giải WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net Trang 7 WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net < < + + + + + + < < + + + + + + < < + + + + + + < < + + + + + + a a a a b c d a b c a c c c c 1 a b c d c d a c a b b b 2 a b c d b c d b d d d d a b c d d a b d b < + + + < + + + + + + + + a b c d 1 2 a b c b c d c d a d a b Bài 6 Cho a,b,c là 3 cạnh tam giác, CMR: ab + bc + ca a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ca) Giải */ CM: ab + bc + ca a 2 + b 2 + c 2 , nhân cả hai vế với 2 ta có: 2ab + 2bc + 2ca 2a 2 + 2b 2 + 2c 2 (a-b) 2 + (a-c) 2 + (b-c) 2 0, đúng (đpcm) */ CM: a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ca), Do a, b, c là ba cạnh tam giác nên ta có: a < b + c a 2 < ab + ac b < a + c b 2 < ab + bc c < a + b c 2 < ac + bc a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ca). Vậy: ab + bc + ca a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ca). Bài 7 Chứng minh rằng: + 4 2 ab ab a b với a > 0, b > 0. Giải ( ) + + + 2 4 4 4 4 4 2 1 2 ab a b 0 a b 2 ab ab a b ab a b . III/ Bất đẳng thức Côsi (trung bình cộng lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân) */ Với 2 số thực a, b không âm ta có: + a b ab 2 , dấu bằng xảy ra a = b. */ Với 3 số thực a, b, c không âm ta có: + + 3 a b c abc 3 , dấu bằng xảy ra a = b = c. */ Với n số thực a 1 , a 2 , a n không âm ta có: + + + 1 2 n n 1 2 n a a a a a a n , dấu bằng xảy ra a 1 = a 2 = = a n . IV/ Bất đẳng thức Bunhiacôpxki */ với 4 số thực a, b, c, d ta có: (ab + cd) 2 (a 2 + c 2 )(b 2 + d 2 ), dấu bằng xảy ra = a c b d . */ Với 6 số thực a, b, c, d, e, f ta có: WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net Trang 8 WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net (ab + cd + ef) 2 (a 2 + c 2 + e 2 )(b 2 + d 2 + f 2 ), dấu bằng xảy ra = = a c e b d f . */ với n cặp số thực a 1 , a 2 , a n , b 1 , b 2 , b n ta có: (a 1 b 1 +a 2 b 2 + + a n b n ) 2 (a 1 2 + a 2 2 + + a n n )(b 1 2 + b 2 2 + + b n n ). Dấu bằng xảy ra = = = 1 2 n 1 2 n a a a b b b . Bài 8 Cho x, y, z là các số dơng, Chứng minh rằng: a/ (x + y)(y + z)(z + x) 8xyz. b/ + + 1 1 4 x y x y . c/ + + + + 1 1 1 9 x y z x y z . Giải a/ + + + x y 2 xy y z 2 yz z x 2 xz (x + y)(y + z)(z + x) 8xyz. b/ + + + + 1 1 4 1 1 (x y)( ) 4 x y x y x y mà + + x y 2 xy 1 1 2 x y xy + + 1 1 (x y)( ) 4 x y . c/ + + + + + + + + 1 1 1 9 1 1 1 (x y z)( ) 9 x y z x y z x y z . (làm tơng tự) B/ Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất Bài 1 Tìm giá trị lớn nhất của: P = + + 2 2 2x 4x 5 x 2x 2 Giải Ta có: P = + + + = = + = + + + + + 2 2 2 2 2 2 2x 4x 5 2(x 2x 2) 1 1 1 2 2 x 2x 2 x 2x 2 x 2x 2 (x 1) 1 P lớn nhất + + 2 1 2 (x 1) 1 lớn nhất, muốn vậy (x - 1) 2 + 1 phải nhỏ nhất mà (x - 1) 2 + 1 1 (x - 1) 2 + 1 nhỏ nhất bằng 1 x = 1. Khi đó P = 3 Vậy P max = 3 x = 1. Bài 2 Cho x 2 + y 2 = 1, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: p = x + y Giải Từ (x - y) 2 0 x 2 + y 2 2xy 2(x 2 + y 2 ) x 2 + 2xy + y 2 = (x + y) 2 WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net Trang 9 WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net VËy 2 ≥ (x + y) 2 ⇔ − ≤ + ≤ 2 x y 2 ⇒ P max = 2 ⇔ x = y = 2 2 ; P min = - 2 ⇔ x = y = - 2 2 Bµi 3 Cho x, y > 0 vµ x + y = 1, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: P = − − 2 2 1 1 (1 )(1 ) x y Gi¶i P = − − − + − + + + − − = = = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 (x 1)(y 1) (x 1)(x 1)(y 1)(y 1) xy(x 1)(y 1) (1 )(1 ) x y x y x y x y = + + + + + + + = = = + 2 2 xy(x 1)(y 1) (x 1)(y 1) x y xy 1 2 1 x y xy xy xy . (thay x - 1 = - y, y - 1 = - x) ⇒ ta cã P nhá nhÊt ⇔ xy 2 nhá nhÊt ⇔ xy lín nhÊt. Mµ xy = x(1 - x) = - x 2 + x = -(x - 1/2) 2 + 1/4 ≤ 1/4 ⇒ xy lín nhÊt = 1/4 khi x = 1/2 ⇒ y = 1/2 VËy P min = + = 2 1 9 1 1 . 2 2 khi x = y = 1/2. Bµi 4 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: P = + + 2 2 4 (x 1) x 1 Gi¶i P = + + + = = + + + + 2 2 4 2 2 4 4 4 (x 1) x 2x 1 2x 1 x 1 x 1 x 1 Do (x 2 - 1) 2 ≥ 0 ⇒ x 4 + 1 ≥ 2x 2 ⇒ ≤ + 2 4 2x 1 x 1 ⇒ P ≤ 2 ⇒ P max = 2 ⇔ x = ± 1. Do 2x 2 ≥ 0, x 4 + 1 ≥ 1 ⇒ ≥ + 2 4 2x 0 x 1 ⇒ P ≥ 1 ⇒ P min = 1 ⇔ = + 2 4 2x 0 x 1 ⇔ x = 0. Bµi 5 Cho a, b > 0. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña; P = + + (x a)(x b) x , víi x > 0. Gi¶i Ta cã: P = + + + + + = = = + + ⇒ ≥ + + 2 (x a)(x b) x ax bx ab ab a b x P a b 2 ab x x x . VËy P min = + + a b 2 ab , dÊu b»n x¶y ra ⇔ = ⇔ = ab x x ab x . Bµi 6 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: P = + + + − + 2 2 1 4x 4x 4x 12x 9 Gi¶i WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net Trang 10 [...]... x + x + 1 Bài 6 Chứng minh rằng các biểu thức sau là một số nguyên = a/ A = b/ B = 4 + 5 3 + 5 48 10 7 + 4 3 ( 3 1) 6 + 2 2 3 2 + 12 + 18 128 c/ C = 2 3 + 5 13 + 48 6 2 Giải a/ Ta có: 7 + 4 3 = (2 + 3)2 10 7 + 4 3 = 10( 2 + 3) = 20 10 3 48 10 7 + 4 3 = 48 20 10 3 = 28 10 3 = (5 3)2 5 48 10 7 + 4 3 = 5(5 3) = 25 5 3 Vậy A = 4 +5 = 3 b/ Ta có: 18 128 = 18 8 2 = (4 2 )2 2 + 12 +... giá trị lớn nhất của: P = 5 - 8x - x2 b/ Tìm giá tị nhỏ nhất của: P = 4x2 - 4x + 11 c/ Tìm giá trị nhỏ nhất của: P = x - 5 + x- 10 Hỡng dẫn Ta có: P = x - 5 + x - 10 = x - 5 + 10 - x (x - 5) + (10 - x) = 5 áp dụng a + b = a + b ab 0 Vậy Pmin = 5 (x - 5) (10 - x) 0 5 x 10 Bài 2 Cho x, y R, Chứng minh rằng: x2 + y2 + 1 xy + x + y Bài 3 Cho a, b, c, d R+ Chững minh rằng : 2 < a +b b +c c +d d... mọi m thì phơng trình luôn có nghiệm b/ x = 2 thay vào phơng trình ta có: 5m = 5 m = 1 Khi đó phơng trình có dạng: x2 - 4 = 0 x = 2 x = -2 c/ x12 + x22 10 (x1 + x2)2 - 2x1x2 10 [2(m - 1)]2 + 2(m + 3) 10 4m2 -8m + 4 + 2m + 6 10 4m2 - 6m 0 m(2m - 3) 0 m 3/2 m 0 d/ P = x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = [2(m - 1)]2 + 2(m + 3) = 4m2 - 6m + 10 = (2m - 3/2)2 + 31/4 Pmin = 31/4 m = 3/4 Bài... có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: x12 + x22 = 10 d/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: x13 + x23 = 34 Giải a/ Khi m = 2 PT x2 - 4x + 3 = 0 do a + b + c = 0 x1 = 1, x2 = 3 b/ ' = 4 - m - 1 = 3 - m, phơng trình có nghiệm 3 - m 0 m 3 c/ Để phơng trình có 2 nghiệm thì phải có 0 m 3 Khi đó: x12 + x22 = 10 (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 10 16 - 2(m + 1) = 10 m = 2 d/ Để phơng trình có 2 nghiệm... ( 5 + 3)2 = 5 3 ( 5 + 3) = 2 3 c/ C = 4+ 7 4 7 = ( 7 + 1)2 ( 7 1)2 = = 2 2 d/ Do D > 0 nên D = 8+2 7 82 7 7 + 2 7 +1 7 2 7 +1 = 2 2 2 2 7 +1 2 7 1 2 = 2 D2 2 D = 4 + 10 + 2 5 + 4 10 + 2 5 = 8 + 2 (4 + 10 + 2 5 )(4 10 + 2 5 ) ữ 2 = 8 + 2 6 2 5 = 8 + 2 5 2 5 + 1 = 8 + 2 ( 5 1)2 = 8 + 2 5 2 = 6 + 2 5 Vậy: D = 6 + 2 5 = ( 5 + 1)2 = 5 + 1 e/ Ta có: 49 + 20 6 = 25 + 20 6 + 24 = (5 + 2... WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net Chuyên đề 7 Giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình I/ Các bớc để giải một bài toán bằng cách lập phơng trình, Hệ phơng trình B1: Lập phơng trình - Chọn ẩn và xác định điều kiện cho ẩn - Biểu thị các số liệu cha biết qua ẩn - Tìm mối liên hệ giữa các số liệu để lập phơng trình hoặc hệ phơng trình B2: Giải phơng trình hoặc giải hệ... x + 1 x b/ (5 2 6)x + (5 + 2 6)x = 10 Giải a/ 3x 2 + 2x = 2 x 2 + x + 1 x ĐK: x2 + x 0 x 0 x -1 PT 3x 2 + 3x 1 = 2 x 2 + x 3(x 2 + x) 1 = 2 x 2 + x Đặt: 2 x 2 + x = t (t 0) ta có: 3t - 2t - 1 = 0 t = 1 t = -1/3 (loại) t=1 x2 + x = 1 x2 + x 1 = 0 x = b/ Do: (5 2 6)(5 + 2 6) = 1 đặt: 1 5 2 (5 2 6)x = t (t > 0) PT 1 t + = 10 t t = 5 2 6 t 2 10t + 1 = 0 t = 5 + 2 6 Với t = 5... trình hoặc giải hệ phơng trình B3: Chọn kết quả thích hợp và trả lời Chú ý: - Quảng đờng = vận tốc x thời gian (toán chuyển động) - Sản lợng = năng suất x thời gian (toán năng suất) - Ngoài cách chọn ẩn trực tiếp đôi khi ta cần chọn ẩn gián tiếp để đợc phơng trình đơn giản hơn II/ Bài tập */ Toán chuyển động Bài 1 Một ca nô xuôi dòng từ A đến B với vận tốc trung bình là 30 km/h, sau đó lại ngợc từ B... x2)2 -3x1x2] =34 4[16 -3(m + 1)] =34 m +1 =10 m = 9 Bài 2 Cho phơng trình: x2 - 2(m - 1)x - 3 - m = 0 a/ Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi m Trang 22 WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net b/ Tìm để phơng trình có một nghiệm x = 2, tìm nghiệm kia c/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn x12 + x22 10 d/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x1 ,... a + a +1 a 1 2 1 WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net Rút gọn biểu thức chứa căn: a/ A = 15 6 6 + 33 12 6 b/ B = 8 2 15 8 + 2 15 c/ C = 4+ 7 4 7 d/ D = 4 + 10 + 2 5 + 4 10 + 2 5 e/ E = f/ F = Giải a/ A = 49 + 20 6 + 4 49 20 6 4 1 1+ 5 + 1 5+ 9 + 1 9 + 13 + + 1 2001 + 2005 15 6 6 + 33 12 6 = 9 6 6 + 6 + 9 12 6 + 24 = = (3 + 6 )2 + (3 2 6 )2 = 3 + 6 + 2 6
- Xem thêm -

Xem thêm: tài liệu luyện thi vào lớp 10 môn toán, tài liệu luyện thi vào lớp 10 môn toán, tài liệu luyện thi vào lớp 10 môn toán

Từ khóa liên quan

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay