đề chính thức kì thi học sinh giỏi tỉnh thái nguyên năm học 2010-2011 Môn thi : toán học Lớp 11 Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề) ( thi gm cú 01 trang) Bi 1 (4) Cỏc dóy {a n } v {b n } c xỏc nh nh sau : a 1 > 0, b 1 > 0 v vi n = 1,2,3 thỡ 1 1 1 1 ; n n n n n n a a b b b a + + = + = + Chng minh : a 50 + b 50 > 20 Bi 2 (4) Chng minh : 2 1 1 1 3 3 1001 1002 2000 4 < + + + < Bi 3 (3) Cho hm s f(x) tha món: f(1) = 1, f(4) = 7, 2 ( ) 2 ( ) ( ) 3 3 a b f a f b f + + = Hóy tớnh f(1999). Bi 4 (3) Trong ng trũn tõm O dng dõy BC khụng qua O. Vi mi im A trờn cung ln BC v ng trũn ni tip tam giỏc ABC, ng trũn ny tip xỳc vi AB, AC ln lt ti K v L. Chng minh KL luụn tip xỳc vi mt ng trũn c nh. Bi 5 (3) Trong khai trin ca 1 1 2011 3 6 6 ( )a b b a + , cú s hng no m ly tha ca a v b bng nhau hay khụng ? Nu cú hóy xỏc nh s hng ú. Bi 6 (3) Tớnh gii hn ca dóy s cú s hng tng quỏt u n = 5 os n c n Ht H v tờn : S bỏo danh HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 11 Thi Học sinh giỏi năm học 2010-2011 1. Các dãy {a n } và {b n } được xác định như sau : a 1 > 0, b 1 > 0 và với n = 1,2,3… thì 1 1 1 1 ; n n n n n n a a b b b a + + = + = + Chứng minh : a 50 + b 50 > 20 LG: Đặt c n = (a n + b n ) 2 . Khi đó : 2 2 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 2( )( ) 4 2( ) 8 n n n n n n n n n n n n n n n n n c a b a b a b a b a b a b c c b a + = + + + > + + + + = + + + ≥ + Từ đó : 3 2 4 2 50 8 1.8; 16 2.8; 48.8c c c c c≥ + = ≥ + = ≥ .(1) Mặt khác : 2 2 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 16c a b a b   = + + + ≥     (2) Từ (1) và (2) có c 50 ≥ 50.8 => đpcm 2. Chứng minh : 2 1 1 1 3 3 1001 1002 2000 4 < + + + < LG: a. 2000 1001 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 1001 2000 1002 1999 3001 3001 500.3001 3 1001.2000 1002.1999 1001.2000 4 k S k = = = + + + + = + + < < ∑ b. 2000 1001 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 1001 1500 1501 2000 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1001 1500 1002 1499 1501 2000 1502 1999 2501 2501 3501 3501 ( 1001.1500 1250.1251 1501.2000 1750.1751 k S k = = = + + + + +     = + + + + + + + + +            = + + + + +      ∑ 2501 3501 2500 3500 .250 .250 1250.1251 1750.1751 5.1251 7.1751 1 1 1501000 2 500.( ) 1251 1751 2190501 3     > + > + = + = > 3.Cho hàm số f(x) thỏa mãn: f(1) = 1, f(4) = 7, 2 ( ) 2 ( ) ( ) 3 3 a b f a f b f + + = Hãy tính f(1999). LG: Từ các cặp (1;4) và (4;1) tính được f(2) = 3 và f(3) = 5. Ngoài ra : 0 2.3 (0) 2 (3) ì 2 ê (2) (0) 1 3 3 f f V n n f f + + = = => = − . Ta có sự phân tích sau : 1999 2.1 (1999) 2 (1) (667) ( ) 3 3 667 2.1 (667) 2 (1) (223) ( ) 3 3 223 2.1 (223) 2. (1) (75) ( ) 3 3 75 2.3 (75) 2. (3) (27) ( ) 3 3 27 2.0 (27) 2 (0) (9) ( ) 3 3 9 2.0 (9) 2 (0) (3) ( ) 3 3 f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f + + = = + + = = + + = = + + = = + + = = + + = = Với các giá trị đã tính được ta sẽ có : f(9) = 17; f(27) = 53; f(75) = 149; f(223) = 445; f(667) = 1333 và f(1999) = 3997 4.Trong đường tròn tâm O dựng dây BC không qua O. Với mỗi điểm A trên cung lớn BC vẽ đường tròn nội tiếp tam giác ABC, đường tròn này tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại K và L. Chứng minh KL luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định. LG: Gọi điểm tiếp xúc của đường tròn nội tiếp tam giác ABC với BC là N. Hạ BI và CJ vuông góc với KL, ta có tứ giác BCJI là hình thang và: .cos . os . os 2 2 .cos . os . os 2 2 A A BI BK KBI BK c BN c A A CJ CL LCJ CL c CN c = = = = = = Mặt khác, nếu gọi M là trung điểm BC và gọi P là chân đường vuông góc hạ từ M xuống KL thì ( ) . os . os 2 2 2 2 2 BI CJ BN CN A BC A MP c c + + = = = Vậy đường thẳng KL tiếp xúc với đường tròn cố định có tâm M là trung điểm BC, bán kính không đổi r = . os 2 2 BC A c 5.Trong khai triển của 1 1 2011 3 6 6 ( )a b b a − − + , có số hạng nào mà lũy thừa của a và b bằng nhau hay không ? Nếu có hãy xác định số hạng đó. LG: Ta có số hạng tổng quát của khai triển là (2011 ) ( 2011) (4022 3 ) (4 2011) 6 3 6 6 6 2 2011 2011 k k k k k k k k b a a b a b C C − − − − − = . Để lũy thừa của a và b bằng nhau thì cần có 4022 3 4 2011k k k N − = −   ∈  . Hệ này vô nghiệm nên không có số hạng nào mà lũy thừa của a và b bằng nhau. 6.Tính giới hạn của dãy số có số hạng tổng quát u n = 5 os n c n π − LG: os n os n 1 1 5 os 5 (1 )(*). à lim 0 5 5 5 5 os n os n lim 0 à lim(1 ) 1 0(**) 5 5 n n n n n n n n n c c u c n Do v c c v π π π π π = − = − ≤ = ⇒ = − = > Mặt khác lim5 n = +∞ (***) Từ (*), (**), (***) ta có giới hạn cần tính bằng +∞ (Áp dụng định lý 2 SGK ĐS&GT lớp 11 chuẩn trang 119) Chú ý: Học sinh làm đúng theo cách khác vẫn cho điểm tối đa. . 3501 ( 1001.1500 1250.1251 1501.2000 1750.1751 k S k = = = + + + + +     = + + + + + + + + +            = + + + + +      ∑ 2501 3501 2500 3500 .250 .250 1250.1251 1750.1751. đề chính thức kì thi học sinh giỏi tỉnh thái nguyên năm học 2010-2011 Môn thi : toán học Lớp 11 Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề) ( thi gm cú 01 trang) Bi. 2.0 (9) 2 (0) (3) ( ) 3 3 f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f + + = = + + = = + + = = + + = = + + = = + + = = Với các giá trị đã tính được ta sẽ có : f(9) = 17; f(27) = 53; f(75)