Sở giáo dục và đào tạo hà nam đề chính thức Đáp án và hớng dẫn chấm Đề thi chọn HSG năm 2010-2011 Môn tO N H C 9 Bi 1 1.(3 im) (6 im) a)(1,5 im) ( ) 2 2 6 2 3 1 6 2 5 (2 3 1) 6 2 4 2 3 A 3 1 3 1 3 1 + + + + = = = + + + 1,0 ( ) 2 3 1 6 2( 3 1) 1 3 1 3 1 + + = = = + + 0,5 b)(1,5 im): Thay A = 1 vo phng trỡnh ó cho ta c 2 4 3 2 y x x x x 1= + + + + Khi x 0 y 1= = 0,25 Khi x 0 Ta cú: 2 2 2 2 2 2 4y (2x x) 3x 4x 4 (2x x)= + + + + > + (1) 0,25 Li cú 2 2 2 2 2 2 4y (2x x 2) 5x (2x x 2)= + + < + + (2) T (1) v (2), suy ra 2 2 2 2 2 (2x x) 4y (2x x 2)+ < < + + 2 2 2 4y (2x x 1) = + + 4 3 2 2 2 2 x 1 4(x x x x 1) (2x x 1) x 2x 3 0 x 3 = + + + + = + + = = 0,25 0,25 2 2 Khi x 1 y 1 y 1 Khi x 3 y 121 y 11 = = = = = = 0,25 Kt lun: Vy phng trỡnh ó cho cú cỏc nghim nguyờn (x; y) l (0; 1), (0; -1), (-1, 1), (-1, -1), (3; 11), (3; -11) 0,25 2.(3 im) a.(1,5 im): 2 1 2 m 1 m m 2 d // d m 1 m 2 3m 2 4 m 2 = + = = = + 1,5 b.(1,5 im): + x, y R, ta luụn cú 2 (2x y 3m 2) 0 + + v 2 2 (m m)x y 4 0 + nờn 2 2 2 (2x y 3m 2) (m m)x y 4 0 , x, y R + + + + 0,5 Xột h phng trỡnh: 2 2 2x y 3m 2 0 y 2x 3m 2 (1) (m m)x y 4 0 y (m m)x 4 (2) + + = = + + + = = + (I) Phương trình (1), (2) chính là phương trình các đường thẳng d 1 , d 2 -Với m = 1 1 2 d // d⇒ . Khi đó: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 9 9 1 B 2x y 5 2x y 4 t t , t 2x y 2 2 2 81 81 2t , t 2 2     = − + + − − = + + − = − +  ÷  ÷     = + ≥ ∀ 0,25 min B = 81 1 khi t 0 hay 2x y 0 2 2 = − + = 0,25 - Với m = - 2 1 2 d d⇒ ≡ ⇒ Hệ (I) có nghiệm nên minB = 0 0,25 - Với 1 2 m 1 d ,d m 2 ≠  ⇒  ≠ −  cắt nhau nên hệ (I) có nghiệm nên min B = 0 Vậy 81 Khi m 1 min B ; Khi m 1 min B 0 2 = ⇒ = ≠ ⇒ = 0,25 Bài 2 1.(3 điểm): Điều kiện: x 2≥ − 0,5 (6 điểm) Pt đã cho 2 2 2(x 2x 4) 2(x 2) 3 (x 2)(x 2x 4) (1)⇔ − + − + = + − + 0,5 Đặt 2 u x 2x 4 v x 2  = − +   = +   , Điều kiện u 0 v 0 ≥   ≥  Pt (1) trở thành 2 2 2u v 0 2u 3uv 2v 0 (2u v)(u 2v) 0 u 2v 0 + =  − − = ⇔ + − = ⇔  − =  1,0 + Với 2 2 u 2v 0 x 2x 4 2 x 2 x 6x 4 0 x 3 13− = ⇔ − + = + ⇔ − − = ⇔ = ± 0,5 + Với 2 2u 0 x 2x 4 0 2u v 0 v 0 x 2 0  =  − + =  + = ⇔ ⇔   =  + =   Hệ pt vô nghiệm Vậy phương trình có 2 nghiệm x 3 13= ± 0,5 2.(3 điểm) Pt đã cho 2 2 4 3 2 m (2x 3x 1)m x 3x x x 0⇔ − + − + + + − = (1) Pt(1) là pt bậc hai ẩn m có 2 (x 1)∆ = − nên 2 2 2 2 2x 3x 1 (x 1) m x 2x m 1 0 (2) 2 (1) 2x 3x 1 (x 1) x x m 0 (3) m 2  + − + − =   + − − =  ⇔ ⇔   + − − − + − =   =   ` 1,0 Giả sử 0 x là nghiệm chung của 2 pt (2), (3) 2 0 0 0 2 0 0 x 2x m 1 0 x 1 m 2 x x m 0  + − − = =   ⇒ ⇔   = + − =    Ngược lại, với m = 2 thì 2 pt (2) và (3) có nghiệm chung 1,0 Pt(1) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ các phương trình (2), (3) cùng có 2 nghiệm phân biệt và không có nghiệm chung 1 ( m 1) 0 1 m 1 4m 0 4 m 2 m 2 − − − >   > −   ⇔ + > ⇔     ≠ ≠   1,0 Bài 3 (1 điểm) Điều kiện: x 1 y 1 ≥   ≥  0,25 Hệ đã cho 2 2 3 3 2x y 1 2y x 1 x y x y 24  − + − = +  ⇔  + =   Theo Côsi, ta có: 2 (x 1).1 (x 1) 1 2y x 1 xy− ≤ − + ⇔ − ≤ Tương tự, ta được: 2x y 1 xy− ≤ 2x y 1 2y x 1 2xy⇒ − + − ≤ (1) 0,25 Mặt khác, Theo Côsi, ta có: 2 2 x y 2xy+ ≥ (2) Từ (1) và (2) 2 2 2x y 1 2y x 1 x y⇒ − + − ≤ + Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x y 2= = . 0,25 Dễ thấy x = y = 2 thoả mãn pt còn lại. Vậy hệ có nghiệm duy nhất x = y = 2 0,25 Bài 4 (6 điểm) 2.(2,5 điểm) Tứ giác AEOF nội tiếp · · AEF AOF⇒ = 1,0 1,0 0,5 Tứ giác AOIF nội tiếp · · AOF AIF⇒ = Do đó, · · AIF AEF= Mặt khác, · · · · 1 EE'F EOF AOF AEF 2 = = = Nên · · AIF EE'F EE'// BC= ⇒ hay tứ giác BCE’E là hình thang 3.(1 điểm)Gọi D là giao điểm của EF với AC. Tứ giác ONDI nội tiếp. Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ONI, ta có: KD KI = . Lại có, 2 AD AN AN.AO AF AB.AC ADN AOI AD AO AI AI AI AI ∆ ∆ ⇒ = ⇒ = = =: không đổi D⇒ cố định. Vậy K luôn nằm trên đường trung trực của đoạn ID 0,5 0,5 E F C B O N I D E’ A Bài 5 (1 điểm) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và C xuống AM. Gọi K là giao điểm của AM với BC Ta có: AM.BC AM(BK CK) AM(BE CF)= + ≥ + hay ( ) ABM ACM AM.BC AM.BE AM.CF 2 S S ≥ + = + Tương tự, ta được ( ) ( ) BMA BMC CMA CMB BM.CA 2 S S CM.AB 2 S S ≥ + ≥ + Từ đó, ta được: ABC AM.BC BM.CA CM.AB 4S+ + ≥ Đẳng thức xảy ra AM BC BM AC M CM AB ⊥   ⇔ ⊥ ⇔   ⊥  là trực tâm tam giác ABC. 0,5 0,25 0,25 A B C M E K F . Sở giáo dục và đào tạo hà nam đề chính thức Đáp án và hớng dẫn chấm Đề thi chọn HSG năm 2010 -2011 Môn tO N H C 9 Bi 1 1.(3 im) (6 im) a)(1,5 im) ( ) 2 2 6 2 3 1 6 2. đó: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 9 9 1 B 2x y 5 2x y 4 t t , t 2x y 2 2 2 81 81 2t , t 2 2     = − + + − − = + + − = − +  ÷  ÷     = + ≥ ∀ 0,25 min B = 81 1 khi t 0 hay 2x y 0 2 2 = − + = 0,25 -. · · · · 1 EE'F EOF AOF AEF 2 = = = Nên · · AIF EE'F EE'// BC= ⇒ hay tứ giác BCE’E là hình thang 3.(1 điểm)Gọi D là giao điểm của EF với AC. Tứ giác ONDI nội tiếp. Gọi K là