SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NGHỆ AN Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài : 120 phút(không kể thời gian giao ñề) Câu 1. (2,5 ñiểm) Cho biểu thức 1 1 : 1 1 1 x A x x x   = −     − − +   a) Tìm ñiều kiện xác ñịnh và rút biểu thức A b) Tìm tất cả các giá trị của x ñể 0 A < . Câu 2. (1,5 ñiểm) Một ô tô và một xe máy ở hai ñịa ñiểm A và B cách nhau 180 km, khởi hành cùng một lúc ñi ngược chiều nhau và gặp nhau sau 2 giờ. Biết vận tốc của ô tô lớn hơn vận tốc của xe máy 10 km/h. Tính vận tốc của mỗi xe. Câu 3 . (2,0 ñiểm) Cho phương trình 2 4 2 2( 1) 2 0 x m x m m + + − + = (m là tham số) a) Giải phương trình khi m = 1. b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Câu 4. (3,0 ñiểm) Cho ñiểm A nằm bên ngoài ñường tròn (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với ñường tròn ñó (B, C là các tiếp ñiểm). Gọi M là trung ñiểm của AB. Đường thẳng MC cắt ñường tròn (O) tại N (N khác C). a) Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp b) Chứng minh 2 . MB MN MC = c) Tia AN cắt ñường tròn (O) tại D ( D khác N). Chứng minh:   MAN ADC = Câu 5. (1,0 ñiểm) Cho ba số thực dương , ,z x y thỏa mãn x y z + ≤ . Chứng minh rằng: ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 27 2 x y z x y z   + + + + ≥     Hết Họ và tên thí sinh Số báo danh HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1. a). Điều kiện 0 1 x x ≥   ≠  ( )( ) ( )( ) 1 1 1 1 1 : . 1 1 1 1 1 1 1 x x x A x x x x x x + − + = = = + − + − + − b) A <0 thì: <=> 1 1 x − < 0 => x - 1 < 0 => x < 1 => x < 1 Kết hợp ĐK: ñể A < 0 thì 0 ≤ x < 1 Câu 2: Gọi vận tốc của ô tô là x (km/h) vân tốc của xe máy là y (km/h) ( Đk: x > y> 0, x > 10) Ta có phương trình : x – y = 10 (1) Sau 2 giờ ô tô ñi ñược quãng ñường là 2x (km) Sau 2 giờ xe máy ñi ñược quãng ñường là: 2y (km) thì chúng gặp nhau, ta có phương trình: 2x + 2y = 180 hay x + y = 90 (2) Từ (1), (2) ta có hệ phương trình : 10 50 90 40 x y x x y y − = =   ⇔   + = =   (T/M ĐK) Vậy vận tốc của ô tô là 50 km/h và vận tốc của xe máy là: 40 km/h Câu 3. a). Khi m = 1 phương trình trở thành: x 2 + 4x – 1 = 0 ∆ ’ = 2 2 +1 = 5 >0 => Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: 1 2 2 5; 2 5 x x= − − = − + b). Ta có: 2 2 4 4 2 2 2 1 1 1 1 ' 2m 2 1 2 2 2 2 2 2 0, 2 2 2 2 m m m m m m m m     ∆ = + + = − + + + + = − + + ≥ ∀         Nếu: 2 1 0 2 ' 0 1 0 2 m m  − =   ∆ = ⇔   + =   vô nghiệm Do ñó ' 0, m ∆ > ∀ . Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Câu 4. D N M C B O A a). Xét tứ giác ABOC có :   90 90 180 ABO ACO+ = + = o o o nên tứ giác ABOC nội tiếp b). Xét ∆MBN và ∆MCB có :  M chung   MBN MCB = (cùng chắn cung BN) => ∆MBN ∼ ∆MCB (g-g) nên 2 . MB MN MB MN MC MC MB = ⇔ = c). Xét ∆MAN và ∆MCA có góc  M chung. Vì M là trung ñiểm của AB nên MA MB = . Theo câu b ta có: 2 . MA MN MC = MA MC MN MA ⇔ = Do ñó : ∆MAN ∼ ∆MCA (c-g-c) =>    MAN MCA NCA = = (1) mà:   NCA NDC = ( cùng chắn cung NC) (2) Từ (1) và (2) suy ra:   MAN NDC = hay   MAN ADC = . Câu 5. Ta có: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 3 x y x y VT x y z z x y z z x y y x     + = + + + + = + + + + +         Áp dụng bất ñẳng thức Cô si cho hai số dương ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . 2 x y x y y x y x + ≥ = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 15 1 1 5 16 16 16 x z y z z VT z x z y x y       ≥ + + + + + +             Lại áp dụng bất ñẳng thức Cô si ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 . 16 16 2 x z x z z x z x + ≥ = 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 . 16 16 2 y z y z z y z y + ≥ = Và 2 2 2 2 1 1 2 2 8 ( ) 2 x y xy x y x y + ≥ ≥ = + +       nên 2 2 2 2 2 2 15 1 1 15 8 15 15 . 16 16 ( ) 2 2 z z z x y x y x y     + ≥ = =     + +     (vì x y z + ≤ ) Suy ra : 1 1 15 27 5 2 2 2 2 VT ≥ + + + = . Đẳng thức xảy ra khi 2 z x y = = . Vậy ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 27 2 x y z x y z   + + + + ≥     . . SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NGHỆ AN Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài : 120 phút(không kể thời gian giao ñề) Câu 1. (2,5 ñiểm) Cho biểu thức 1 1 : 1 1. MC MN MA ⇔ = Do ñó : ∆MAN ∼ ∆MCA (c-g-c) =>    MAN MCA NCA = = (1) mà:   NCA NDC = ( cùng chắn cung NC) (2) Từ (1) và (2) suy ra:   MAN NDC = hay   MAN ADC = . Câu 5. Ta. 2 2 1 1 1 27 2 x y z x y z   + + + + ≥     Hết Họ và tên thí sinh Số báo danh HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1. a). Điều kiện 0 1 x x ≥   ≠  ( )( ) ( )( ) 1