CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TN THPTQG- ĐẠI HỌC MÔN TOÁN CHỦ ĐIỂM MỘT SỐ DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG HÀM SỐ VẤN ĐỀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI A PHƯƠNG PHÁP: Bài giảng B BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: 1) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số: x +1 y = f(x) = x+2 2) Từ (C) suy đồ thị hàm số: | x | +1 | x + 1| a) y = b) y = | x | +2 x+2 x +1 x +1 | c) y = | d) y = | x +2| x+2 Bài 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt: x + 3x + =m | x + 1| 2| x | Bài 3: 1) Hãy vẽ đồ thị (C1) hàm số: y = | x | −1 2) Dùng (C1) để biện luận theo m số nghiệm phương trình: (m – 2).|x| - m = đoạn [-1, 2] (ĐH QG TP HCM KD) Bài 4: Cho hàm số: y = 2x3 – 9x2 + 12x – (C) (ĐH KA – 2006) Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt: y = 2|x|3 – 9x2 + 12|x| = m VẤN ĐỀ 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA CÁC ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ A PHƯƠNG PHÁP: Bài giảng B BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 9x + 3m – a) Định m để đồ thị hàm số có điểm cực trị b) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị Bài 2: Cho hàm số: y = – x3 + 3mx2 +3(1 - m2)x + m3 - m2 (Cm) a) Định m để đồ thị hàm số có điểm cực trị b)Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị (Cm) (ĐH KA – 2002) Bài 3: Cho hàm số y = x3 – 3x2 - 9x + m a) Định m để đồ thị hàm số có điểm cực trị b) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị x + (m + 1)x − m + Bài 4: Cho hàm số y = x−m a) CMR với m, hàm số ln có CĐ, CT b) Tìm m để yCĐ.yCT > c) Viết phương trình qua hai điểm CĐ CT đồ thị VẤN ĐỀ 3: MỘT SỐ DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG ĐỒ THỊ CỦA HÀM BẬC BA A Phương pháp: Cho hàm số bậc 3: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (C), ta có tốn sau: >0 ∆ g cắt Ox điểm phân biệt ⇔  f (x) (C)  y max y < g cắt Ox điểm phân biệt có hđ dương ⇔ (C) ∆ f (x) >   y max y <   x max > 0, x > ad <  g cắt Ox điểm phân biệt có hđ âm ⇔ (C) ∆ f (x) >   y max y <   x max < 0, x < ad >  ' ' ' g cắt trục hoành điểm (sẽ có tiếp điểm: (C) tiếp (C) xúc với Ox) f (x) = ∆ f (x) >  ⇔ hay hệ  ' có nghiệm (Điều f (x) =  y max y =  kiện tiếp xúc) '  ∆ f (x) ≤  g cắt trục hoành điểm ⇔   ∆ f (x) > (C)   y y >   max gNgồi dựa vào đồ thị ta cịn có nhiều tốn khác… ' ' B BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: Tìm m để (Cm) tiếp xúc với hoành, biết: a) (Cm): y = x3 - mx + m – b) (Cm): y = 2x3 – 3(m + 3)x2 + 18mx – c) (Cm): y = 2x3 + 3mx2 - 2m + Bài 2: Cho (Cm): y = 2x3 – 3(m + 2)x2 + 6(m + 1)x – 3m + Tìm m để (Cm) cắt trục hoành điểm khác x3 m3 2 Bài 3: Cho (Cm): y = − mx + (m − 1)x − 3 Tìm m để (Cm) cắt trục hồnh điểm có hồnh độ dương Bài 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt: 4x3 3x + m = ĐS: -1< m < VẤN ĐỀ BÀI TỐN TÌM THAM SỐ (m, a,…) ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH F(x,m) CÓ N NGHIỆM A PHƯƠNG PHÁP: Biến đổi PT thành dạng f(x) = g(m) (1) dùng hai cách sau đây: • Số nghiệm phương trình số điểm chung đồ thị hàm (C): f(x) với đường thẳng (d): y = g(m) ( Chỉ cần lập BBT f(x) ) Đặc biệt: PT (1) có nghiệm m thuộc miền giá trị hàm số f(x) B BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x + m = m x +1 Bài 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 1) + x + − x − (3 + x )(6 − x ) = m 2) x + = m x + 3) x + x + − x − x + = m 4) x + x + m + x + x + m = 5) m( + x − − x + 2) = − x + + x − − x (ĐH KB – 2004) 6) x − + m x + = 24 x − KA – 2007) 7) x3 + 3x2 - x +3x + m -1 = (ĐH 8) x + − x = x − x + log (16m − 8) Bài 3: CMR với ∀ m > 0: PT sau có nghiệm thực phân biệt: x2 + 2x - = m.( x − 2) (ĐH K B – 2007) Bài 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực phân biệt: (ĐH K B – 2006) x + mx + = x + VẤN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ A PHƯƠNG PHÁP Cho (C): y = f(x) có đạo hàm D Viết phương trình tiếp tuyến (C) thoả mãn số điều kiện cho sẵn: Tiếp tuyến (C) điểm M0(x0,y0) thuộc (C) có phương trình là: y – y0 = f’(x0).(x – x0) (k = f’(x0): hệ số góc) ♦ Các dạng khác đề bài: • Cho x0: Tính y0 = f(x0) f’(x0) • Cho y0: Giải phương trình y0 = f(x0) để có x0 tính f’(x0) • Cho hệ số góc k tiếp tuyến: Giải phương trình f’(x0) = k để có x0 tính y0 = f(x0) Tiếp tuyến (C) qua (kẻ từ) điểm M(x1,y1) ( M(x1,y1) thuộc hay khơng thuộc (C) ) ♦ Cách 1: • Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(x1,y1) có hệ số góc k y – y1 = k(x – x1) ⇔ y = k(x – x1) + y1 (1) • (d) tiếp xúc với (C) điểm có hồnh độ x0 ⇔ x0 k f(x) = k(x − x1) + y1  nghiệm hệ phương trình:  ' f (x) = k  (I) ⇒ k thay vào (1) ♦ Cách 2: (Tìm hồnh độ tiếp điểm x0) • Phương trình tiếp tuyến (C) điểm (x0,y0) là: y – f(x0) = f’(x0).(x – x0) (1) (1): • Vì tiếp tuyến qua M(x1,y1) nên x1 y1 nghiệm y1 – f(x0) = f’(x0).(x1 – x0) (2) • Giải (2) ta có x0 x0 vào (1) ta phương trình tiếp tuyến cần tìm Chú ý tốn tìm tham số để từ M(x1; y1) kẻ n tiếp tuyến f(x) = k(x − x1) + y1  Phương pháp thông thường bắt hệ (I)  ' f (x) = k  có n nghiệm ⇔ f(x) = f ’(x)(x – x1) + y1 có n nghiệm ax + bx + c Chú ý tính chất hàm hữu tỉ y = (H) 'x + b' a Cho M ∈ (H), I giao hai tiệm cận (H): • Nếu tiếp tuyến M cắt hai tiệm cận A B thì: + M trung điểm AB + Tam giác AIB có diện tích khơng đổi • Tích khoảng cách từ M đến hai tiệm cận số B BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Cho hàm số y = f(x) = x3 (C) Viết phương trình tiếp tuyến (T) (C) trường hợp sau: 1) Tại điểm A(-2; 8), B(2; 8) 2) Biết hoành độ tiếp điểm -2 3) Biết tung độ tiếp điểm 27 4) Biết (T) vuông góc với đường thẳng (d): y = - x + 3 5) Biết (T) song song với đường thẳng (d): y = 9x - 6) Biết (T) qua (kẻ từ) điểm P(0, 1) Bài 2: Cho hàm số y = -2x3 + 6x2 – (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) kẻ từ (đi qua) A(-1; -13) (ĐH DB KB 2007) x + 3x + Bài 3: Cho hàm số y = (H) x+2 Viết phương trình tiếp tuyến với (H) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (d): 3y – x + = x + 2x + Bài 4: Cho hàm số y = (C), gọi I giao điểm hai x +1 tiệm cận (C) Chứng minh khơng có tiếp tuyến (C) qua điểm I (m − 1)x + m Bài 5: Cho (Cm): y = x−m Tìm m để tiếp tuyến với (Cm) điểm (Cm) có hồnh độ x0 = song song với đường phân giác thứ hai góc hệ trục tọa độ Bài 6: Cho hàm số y = 2x + (H) x −1 Gọi M điểm thuộc đồ thị I giao tiệm cận (H) 1) Khảo sát vẽ đồ thị (H) 2) Chứng minh rằng: a) Nếu tiếp tuyến M cắt tiệm cận A B M trung điểm AB tam giác AIB có diện tích khơng đổi, M thay đổi b) Tích khoảng cách từ M đến hai tiện cận số c) Tìm điểm (H) có tọa độ ngun x − 3x + Bài 7: Cho hàm số y = (H) x−2 Gọi M điểm thuộc đồ thị I giao tiệm cận (H) Nếu tiếp tuyến M cắt tiệm cận P Q Chứng minh rằng: 1) M trung điểm PQ 2) Tam giác AIB có diện tích khơng đổi 3) IQ.IP khơng đổi CHỦ ĐIỂM PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN VẤN ĐỀ ÁP DỤNG BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN VÀ CÁC TÍNH CHẤT A PHƯƠNG PHÁP: • Dùng cơng thức tách, cơng thức vi phân… để cách biến đổi hàm dấu tích phân cho sử dụng trực tiếp bảng nguyên hàm B BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: Tính tích phân sau: −x e x dx x 1 + e  dx x.3x +1dx 3) ∫ dx 1) ∫ e  2) ∫ 4) ∫ 2x ÷ x.ln x e −1 x2   Bài 2: Tính tích phân sau: x cos 2x x x  dx 1) ∫  sin − cos ÷ dx 2) ∫ sin dx 3) ∫ cos x.sin x 2  cos 2x dx 4) ∫ 5) ∫ cot g x dx 6) ∫ t g3 x dx sin x + cos x 7) ∫ sin x dx 8) ∫ cos3 x dx 9) ∫ sin x dx dx ln(ex) dx 10) ∫ t g x dx 11) ∫ 12) ∫ + x ln x sin x cos5 x π dx 13) I = ∫ π sin x 16) ∫ π π sin x − sin x cotgx dx 15) ∫ sin x π 14) ∫ dx cos x π dx π cos x.cos(x + ) 17) ∫ dx ln 2009 x 18) ∫ dx x π sin x.sin(x + ) 14 ( ) 15 ( − ) 17 (2.ln ) π Bài 3: Tính tích phân sau: dx  x + 2x + x + 3 1) ∫  x − 2) ∫ 3) ∫ dx dx ÷ x + x5 x2 + x + x  dx (3x + 1) x3 dx 4) ∫ 5) ∫ 6) ∫ dx (x + 1)3 x −2 x −x 2x dx dx 7) ∫ 8) ∫ 9) ∫ (4x − 4x + 1)5 dx x − − x +1 x + x −1 dx 3x + dx 10) ∫ (2x + 3) 2x + dx 11) ∫ 12) ∫ − 2x 2x − 4x − x−2 2x − 7x + dx 15) ∫ dx 13) ∫ 14) ∫ dx 2x − 7x + x − 3x + x−2 ĐS (TPXĐ): 13 ( ) VẤN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN A PHƯƠNG PHÁP Tính I = ∫ f (x)dx , ta có hai trường hợp sau: • TH1: I = ∫ f (x)dx = ∫ g[φ(x)].φ ' (x).dx Thì ta đặt: t = φ(x) ⇒ dt = φ' (x).dx ⇒ I = ∫ g(t)dt Tích phân dễ dàng tính (Tức ta thấy biểu thức f(x) có thừa số đạo hàm thừa số ta đặt t = thừa số này) • TH2: Theo mẫu học SGK hay đề hướng dẫn ta đặt x = φ(t) ⇒ dx = φ' (t).dt ⇒ I = ∫ f[φ(t)].φ ' (t).dt = ∫ g(t)dt Tích phân dễ dàng tính Các mẫu cần nhớ: Nếu tích phân có chứa: π π − 0, Δ < 0): Đặt u = α tgt với α +u 2 π π 2) α − u ( a < 0, Δ < 0): Đặt u = α sint với − ≤ t ≤ 2 α π 3) uα − ( a > 0, Δ > 0): Đặt u = với t∈(0,π)\{ } cos t dx π π VD: ∗ I = ∫ ta đặt x = sint với − < t < 2 x − x2 dx π π π ∗I= ∫