Đạo hàm và các ứng dụng của đạo hàm,giới hạn hàm số

40 468 0
Đạo hàm và các ứng dụng của đạo hàm,giới hạn hàm số

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

I/Đạo hàm và các ứng dụng của đạo hàm A- Các kiến thức cơ sở: 1- Định nghĩa: Cho HS y = f(x) XĐ trên khoảng (a;b); x 0 ( ) ba; ∈ . Giới hạn hữu hạn của tỉ số 0 0 )()( xx xfxf − − khi x dần tới x 0 gọi là đạo hàm của HS đã cho tại điểm x 0 , kí hiệu là f ’ (x 0 ), nghĩa là ( ) ( ) x y xx xfxf xf xxx ∆ ∆ = − − = →∆→ 00 0 0 0 0 ' limlim)( . 2- Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của HS tại một điểm chính là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị HS tại điểm đó. 3- PTTT tại điểm ( )( ) 000 ; xfxM có PT là: y = ( )( ) ( ) 000 ' xfxxxf +− 4- Ý nghĩa cơ học, vật lí của đạo hàm: v(t) = S ’ (t); a(t) = ( ) tS '' 5- Một số công thức đạo hàm các HS thường gặp: ( ) ( ) x yxxy xnynNnxy yxy yay nn 2 1 0 .2; 1 0 ' 1' ' ' =⇒>= =⇒≥∈= =⇒= =⇒= − 6- Các qui tắc tính đạo hàm: ( ) ( ) ( ) ''' 2 '' ' '' ' '' ' . xu ufxg v vuvu v u vuvuvu vuvu = − =       += ±=± 7- Đạo hàm của các HS lượng giác: ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x xx xx 2 ' 2 ' ' ' sin 1 cot cos 1 tan sincos cossin − = = −= = 8- Đạo hàm cấp cao: ( ) ( ) [ ] ' 1− = nn ff với 2; ≥∈ nNn B- Bài tập áp dụng Bài1: Cho hàm số y = 2x 2 + 3x – 3 . tính hệ số góc của cát tuyến AB a) A(1; 2) ; B(1 + yx ∆+∆ 2; ) với x∆ lần lượt bằng 0,001; 0,01; 0,2 b) A(-1; -4) ; ( ) ¦ 4;1 yxB ∆+−∆+− với x ∆ lần lượt là 0,001; 0,01; 0,2. Bài2: Tính đạo hàm các hàm số sau bằng định nghĩa: a) y = 3x 2 - 2x + 2 tại x 0 = 1; x 1 = 4 b) y = 2 54 +− + x x tại x 0 = 5 ; x 1 = 0. c) y = 3 2 ++ xx tại x 0 = 2. Bài3: cho chuyển động có PT s= 3t 3 +2t – 4 a) Tính vận tốc trung bình trong khoảng thời gian 1,0;01,0 =∆=∆ tt b) Tính vận tốc của chuyển động tại thời điểm t= 1s, t= 4s, t= 10s c) Tính thời điểm vận tốc đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. d) Tính thời điểm gia tốc đạt giá trị bằng 5m/s 2 , Bài4: Tính các đạo hàm của các HS sau bằng định nghĩa: a) y = 2x 2 + 3x – 3 h) y = -3x 3 – 3x +2 b) y = x 4 + 3x 2 – 2 k) y = 5x 5 + x 3 c)y = 23 1 +x f) y = 2 54 +− + x x d)y = 1 32 2 − +− x xx i) y = 5 − x e)y = 53 2 ++ xx j) y = sin3x g)y = cos(2x - 3 π ). Bài5: Tính đạo hàm các hàm số sau: a) y = 3x 3 + 6x -2 g) y = ( ) 5 2 133 −+ xx b) y = 1 5 4 3 2 2 234 −+− xxx h) y = ( )( ) 22 351 xx −+ c) y =x(2x -1)(3x +2)(5 – 4x) k) y = ( ) ( )( ) 531 32 −++ xxx d) y = ( )( ) ( ) 32 13422 +−+ xxx i) y = 35 45 + − x x e) y = 5 133 2 + +− x xx ị) y = 43 1 2 +− − xx x f)y = 1 4 2 2 +− +− xx xx Bài6: Tính đạo hàm các HS sau: a) y = 23 2 +− xx b) y = 4. 2 ++ xxx c) y = 22 ax x − d) y = 48 52 − + x x b) y = 1 2 2 + ++ x xx e) y = ( ) 41 22 ++ xx c) y = 1 1 2 + x h) y = 1 43 2 2 +− +− xx xx k) y = x + 1 i) y = x + 1 2 + x j) y = 1 2 ++ xx m) y = ( ) 11 2 +−+ xxx Bài7: Tính đạo hàm các hàm số sau: a) y = 3sin(3x 2 +2x-1) b) y = 3.sin 2 x. sin3x c) y = sin 2 x. cos 3 x d) y = sin 2 x – cos 3 3x f) y = xx xx cossin cossin + − e) y = ( ) 3 cossin xx + g) y = x4sin1 + h) y = tan 3 x – 4tan 2 x +5tanx -1 k) y = sin 4 2 x i) y = ) 4 2(tan 3 π +x j) y = 12sin2 3 − x n) y = x x x x sin sin + m) y = sin 2 1 x+ p) y = ( ) x3cossin 2 q) y = x xx tan1 sin. + l) y = tan 2 1 2 + x Bài8: CMR các HS sau có đạo hàm không phụ thuộc vào x: a) y = xxxx 2266 cos.sin3cossin ++ b) y = xxxxx 22222 sin2 3 2 cos 3 2 cos 3 cos 3 cos −       ++       −+       ++       − ππππ Bài9: Giải PT f ’ (x) = 0 biết f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x Bài 10: Tính đạo hàm cấp cao của mỗi hàm số sau: a) f(x) = ( ) 6 2 10 + x ( ) xf '' b) f(x) = cos 2 x f (4) (x) c) f(x) = x + 1 1 f (n) (x) d) f(x) = ( ) 1 2 + xx f (n) (x) e) f(x) = sinax f (n) (x) g) f(x) = sin 2 x f (n) (x) h) f(x) = 23 35 2 +− − xx x f (n) (x) k) f(x) = . 1 2 x x − f (30 ) (x) i) f(x) = x x − + 1 1 f (100) (x) j) f(x) = 12 23 2 2 −+ +− xx xx f (n) (x) p) f(x) = 187 942 24 23 +− −−+ xx xxx f (n) (x) Bài 11: CMR mỗi HS sau đây sau đây thoả mãn hệ thức tương ứng đã cho: a) f(x) = 4 3 + − x x thì ( ) ( ) '' 2 / 1.2 yyy −= b) f(x) = 2 2 xx − thì 01. ''3 =+ yy c) f(x) = x.sinx thì xy – 2(y ’ - sinx) +x.y ’’ d) f(x) = x.tanx thì ( ) ( ) 012 22''2 =++− yyxyx e) f(x) = x x 2 2 sin1 cos + thì 3 44 3 ' =       +       − ππ ff Bài 12: Dùng ĐN tính đạo hàm của HS sau a) f(x) =    <−− ≥− 11 13 2 khixx xkhixx tại x = 1 b) f(x) =      >−+− ≤− 286 22 2 2 khixxx xkhixx tại x = 2 c) f(x) =      = ≠ − 00 0 cos1 khix khix x x tại x = 0 d) f(x) =        = ≤≠ −− 0 2 1 1;0 11 khix xkhix x x CMHS liên tục tại x = 0, tính f ’ (0) e) f(x) = x x + 1 tại x = 0 f)f(x) =      = ≠ − 00 0 cos1 khix khix x x tại x = 0 g) f(x) =      = ≠ 00 0 1 sin 2 khix khix x x tại x = 0 h) f(x) =      = ≠ − 10 1 1 sin 2 khix khix x x π tại x =1 i)f(x) =      = ≠ − 00 0 2 cos2cos khix khix x xx tại x = 0 j)f(x) = 1 2 −+ xx tại x= 1 k) f(x) =      = ≠ 00 0 sin 2 3 khix khix x x π tại x = 0 Bài 13: Xác định b, c để HS sau có đạo hàm a) f(x) =      >++− ≤ 1 1 2 2 ckhixbxx khixx tại x = 1 b) f(x) =      >++ ≤≤−− 1 122 2 2 ckhixbxx xkhix tại x = 1 Bài 14: a) CMR với mọi cách chọn p, q hàm số sau không thể có đạo hàm tại điểm x = 0 f(x) =    >++ ≤+ 01 1sincos khixqpx xkhixqxp b) CMHS sau liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại đó f(x) = 1 + x x Bài 15: Cho HS y = f(x) = x 2 – 2x +3 (c). Viết PTTT với đồ thị (c) a) Tại điểm M(1; 2) b) Tại điểm có hoành độ x 0 = 1 c) Tại điểm có tung độ y 0 = 3 d) Tại giao điểm của đồ thị với trục oy e) Tại giao điểm của đồ thị với đường thẳng y = 2 f) Biết tiếp tuyến có hệ số góc k = -1 g) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 4x – 2y + 5 = 0. h) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x + 4y = 0 i) Biết tiếp tuyến tạo với chiều dương trục ox góc 45 0 j) Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1;1) Bài16: Cho HS y = f(x) = 4x 3 -3x ( C). Viết PTTT với đồ thị ( C) a) Tại điểm M(1; 1) b) Đi qua điểm có hoành độ x 0 = 2 c) Đi qua điểm có tung độ y 0 = 0 d) Tại giao điểm của đồ thị với trục ox và oy. e) Biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 3 f) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = 2x – 5 g) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: y = 2x – 5 h) Biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng d góc 45 độ i) Biết tiếp tuyến đi qua điểm M(1; 1) j) Tìm điểm trên đồ thị mà từ đó có thể kẻ được duy nhất một tiếp tuyến tới đồ thị. k) Tìm điểm trên đường thẳng y = 1 mà từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến tới đồ thị. Bài17 : Cho HS y = f(x) = 4 4 −x ( C) Viết PT đường thẳng d đi qua điểm A(2; 0) và có hệ số góc k. Biện luận theo k số giao điểm của đường thẳng d và đồ thị (c) . Từ đó suy ra PTTT của ( C) xuất phát từ A. Bài18 : Cho Hs y = f(x) = 1 2 − − x x a) M là điểm có hoành độ a 1−≠ , và thuộc đồ thị. Viết PTTT của đồ thị tại điểm M. b) Tính khoảng cách từ điểm I(-1; 1) đến tiếp tuyến đó. Xác định a để khoảng cách này lớn nhất. Bai 19 : Cho HS y = f(x) = x x 1 2 + (H) Viết PTTT của đồ thị (H) kẻ từ điểm A(-2 ; 0). Kiểm nghiệm rằng hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. Bài20 : Cho Hs y = f(x) = x 3 – 4x 2 + 4x ( C) a) Tiếp tuyến của ( C) tại gốc toạ độ cắt ( C) tại điểm A. Tính toạ độ A b) Biện luận theo k vị trí tương đối giữa ( C) và đường thẳng y = kx c) Tìm các tiếp tuyến của ( C) đi qua điểm B(3; 3) Bài 21: Cho HS y = f(x) = 1 4 2 +− − x x ( C) a) CMR đường thẳng y = kx luôn cắt ( C) tại 2 điểm phân biệt M, N. Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn MN khi k thay đổi. b) Xác định k sao cho các tiếp tuyến của ( C) tại hai điểm M và N vuông góc với nhau. Bài22 : Cho HS y = x 3 + 3x 2 + 3x + 5 a) CMR trên đồ thị không tồn tại hai điểm sao cho hai tiếp tuyến tại đó vuông góc với nhau. b) Xác định k để trên đồ thị có ít nhất một điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng y = kx. Bài23 : Cho HS y = x – 1 + 1 1 + − x m Tìm ĐK cần của m để trên mặt phẳng toạ độ tồn tại ít nhất một điểm sao cho từ đó kẻ được hai tiếp tuyến tới đồ thị và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. Bài 24: Cho HS y = x 3 – 3x 2 + 2 Tìm trên đường thẳng y = -2 các điểm từ đó có thể kẻ đến đồ thị 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau. Bài25: CMR: Nếu Sin n x + cos n x =1 với mọi x thì n = 2 Giải: Đặt f(x) = sin n x + cos n x . do f(x) = 1 với mọi x nên f ’ (x) = n. sinx.cosx(sin n-2 x –cos n-2 x ) = 0 với mọi x, suy ra sin n-2 x= cos n-2 x với mọi x <-> tan n-2 x = 1 với mọi x <-> n =2. Bài 26: CMR: tanx + 2tan2x + 4tan4x + 8tan8x = cotx với mọi x. Giải: Xét f(x) = tanx- cotx + 2tan2x + 4tan4x + 8tan8x. Ta có f ’ (x) = xxxxx 8sin 64 4sin 16 2cos 4 sin 1 cos 1 22222 −+++ = 0 suy ra f(x) = c -hằng số, mà f( 0) 16 = π nên f(x) = 0 với mọi x. Bài 27: CMR: a) xxxx ∀=       −+       ++ 2 3 3 2 cos 3 2 coscos 222 ππ b) xxxx sin 8 5 3sin 16 5 5sin 6 1 sin 5 +−= c) f(x) = (x-a)(x-b)(x-c) với a < b < c . CMR: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ' '' ' '' ' '' =++ cf cf bf bf af af Bài 28: a) Tìm a, b sao cho a(cosx – 1) + b 2 + cos(a.x +b 2 )=0 với mọi x b) f(x) = abxx bxax ++ ++ 2 2 1 không đổi với mọi x Bài 29: Sử dụng đạo hàm để tính các giới hạn sau: a) Cho f(x) = x(x-1)(x-2)….(x- 19994) . Tính f ’ (0) Giải: Ta có f ’ (0) = ( ) ( ) ( )( ) ( ) 19994 21lim 0 0 lim 00 −−−= − − →→ xxx x fxf xx = (-1)(-2)…(-19994)= 19994! b) Tìm giới hạn: N = x xx x sin 112 lim 3 2 0 +−+ → Đặt f(x) = ⇒+−+ 3 2 112 xx f(0) = 0, khi đó ta có N = ( ) 0 sin lim: 0 )0()( lim sin : 0 )0()( lim ' 000 f x x x fxf x x x fxf xxx = − − =       − − →→→ Ta có : ( ) ( ) ( ) 110 13 2 12 1 ' 3 2 2 ' =⇒=⇒ + − + = Nf x x x xf c) Tính: N = 1sin2 1tan lim 2 3 4 − − → x x x π Đặt f(x) = ( ) 0 44 1sin.2;1tan 2 3 =       =       ⇒−=− ππ gfxxgx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 2: 3 2 2sin2; cos 1 .tan. 3 1 4 : 44 4 lim: 4 4 lim ' 2 3 2 ' '' 44 =       =⇒==             = −       − −       − = − →→ Nxxg x xxf gf x gxg x fxf N xx ππ π π π ππ 3 3 0 3 0 3 3 2 2 0 2 3 0 2 3 2 1 3cos.2cos.cos1 3cos.2cos.cos1 lim) 13sin1.2sin1 lim) 8 3252 lim) 243 sin121 lim) 3121 lim) 1 75 lim) xxx xxx i x xx k x xxx h xx xx g x xx e x xx d x x x x x x − − −++ − ++−+ −−+ ++− +−+ − +−− → → → → → → Bài 30: [...]... ) = 0 b) Cho y = f(x) = 3 ’’ 2 x + x 2 CMR: y y + 1 = 0 c) Cho f(x) = sin32x; g(x)= 4cos2x – 5sin4x GPT: f’(x) = g(x) Bài 31: a) 1 − 2x Tìm y =f(x) thoả mãn f(0) = 1 và f(x).f (x) = f ( x ) với mọi ’ x Bài 32: Sử dụng đạo hàm để tính các tổng sau: a) 2 3 n −1 Tính tổng: p(x) = 1 + 2 x + 3x + 4 x + + n.x Xét f(x) = x + x 2 + x 3 + + x n ⇒ f ' ( x ) = p ( x ) ( ) mặt khác f ( x ) = x 1 + x + x 2 +... ⇒ lim S n 2 2 2 2 2  2 Bài5: Tính các giới hạn sau: sin x x − sin x x = 1 vì sin x ≤ 1 ; lim 1 = 0 a ) lim = lim x →+∞ x + sin x x →+∞ X →+∞ x sin x x x 1+ x x 2 + 2004 7 1 − 2 x − 2004 9x 3 b) lim d ) lim X →0 X →0 x − sin x x 3 x − 1 + x 4 − 3x 3 + x 2 + 3 x + 2 + x 2 + 2x c) lim e) lim X →2 X →−1 2x − 2 x + 2 + x2 − x − 3 1− ( ) E/ Giới hạn hàm sơ cấp giới hạn dạng: 1∞ Công thức cơ sở: ln (1 +... y = sin(lnx) + cos(lnx) CMR: x.y’+ 1= ey CMR: x.y’ = (1 – x2).y CMR: x.y’= y(y.lnx- 1) CMR: y’- y = eX CMR: y(4)+ 4y = 0 GPT: y’(x)= 0 CMR: y + x.y’+x2.y’’=0 Chuyên đề: Giới hạn A-Giới hạn vô định dạng: 0 0 Bài1: Tính các giới hạn sau: x +a −3 a k ) lim X →0 x x 3 − 3x − 2 f ) lim X→ 1 x −1 x2 − 4 i ) lim X →−2 2 + 3 3x − 2 3 1+ x2 − 1 a) lim X →0 x x+ 2 −1 b) lim X → −1 x+5−2 1+ x2 − 1 X→0 x2 3 4x... + 1 4 ( ( )( )( )( ) ) ( ( )( ) ) Bài3: Tính các giới hạn một bên sau: a ) lim X→ 0 3x 2 + x 4 = A có 2x x 3 + x2 lim = lim+ X→ + 0 X→ 0 2x − 3 + x2 − 3 = ⇒ không ∃ lim X→ 0 X→ 0 2x 2 x 2 − 3x + 2 x 3 −1 b) lim− c ) lim+ X→ 2 X→ 1 2 −x x 2 −1 lim− x 2 + 3x + 2 d) lim X → − )+ ( 1 x +1 e) lim X→ − 2 (x x2 −4 2 3x 2 + x 4 2x +1)( 2 − x ) Bài4: Tính các giới hạn sau: a) Cho f(x) = x(x-1)(x-2)….(x- 19994)... −5 i) lim = lim X → −∞ X → −∞ 1 1− x −1 x Bài2: Tính các giói hạn sau: a) lim x + x2 + x b) x + 10 X → −∞ x + x2 + x lim x + 10 X → +∞ 2+ 1 3 5 3     x2  x 2 x + x  = lim  − 2 x + x  = − lim c) lim = − 2 5 2  X → −∞  x 5 − x 2 + 3  X → −∞  X → −∞ 1 3  x − x + 3   1− + x3 x5 d) lim ( x + 1) X → −∞ 2x + 1 x3 + x+ 2 Bài3: Tính các giới hạn một bên sau: x −2 x −2 a ) lim+ = lim+ = lim+1 =1...  2 XD a đê ∃ lim f ( x ) X →0 x + a + 2 khi x ≥ 0  x + 5a khi x ≤ −1 e) f ( x ) =  2 XD a đê ∃ lim f ( x ) X →−1 x + x + a + 3 khi x > −1  sinx =1 x →0 x D/ Giới hạn dạng vô định hàm lượng giác:CT cơ sở: lim Bài1: Tính các giới hạn sau: sin 5 x a) lim x →0 x sin 5 x b) lim x →0 sin 3 x 1 − cos ax c) lim x →0 x2 1 − cos ax d ) lim x →0 1 − cos bx 1 − cos ax + sin ax e) lim x →0 1 − cos bx + sin... 2kπ ⇒ T = 1 + 2 + + n = d) n( n + 1) 2 CMR: S = 2 3 n 2.1.C n + 3.2.C n + + n( n − 1) C n = n( n − 1) 2 n − 2 0 1 2 n Xét HS: f(x) = (1 + x ) = C n + C n x + C n x 2 + + C n x n n Lấy đạo hàm 2 vế: n.(1 + x ) Lấy đạo hàm lần 2: n( n − 1)(1 + x ) n−2 n −1 1 2 n = C n + 2.C n x + + n.C n x n −1 2 3 n = 2.1.C n + 3.2.C n x + + n( n − 1) C n x n − 2 Thay x= 1 suy ra ĐPCM e) Tính tổng: S = 1 − 3 x 2 +... sin 2  2 2 2 2  Bài3: Tính các giới hạn sau: 1 1 a) lim (1 + sin 2 x ) x = lim (1 + sin 2 x ) sin 2 x X →0 X →0  3x + 5  b) lim   X → +∞ 3 x − 1   d ) lim X sin X →0 2x 1 =0 X sin 2 x 2 2x = e2 c) lim ( sin x ) X→ vì x sin π  e) A = lim  − x  tan x π X→  2  2 1 X →1 x −1 π  h) lim tan 2 x tan − x  π X→ 4  g ) lim( x − 1) sin 2 4 Bài4: Tính các giới hạn sau: đăt tan x π 2 1 ≤ x... x− x− x   3 ) i ) lim X → −∞  2+ x − 4+ x   j ) lim 2 − 2 X → 1 x − 5 x + 4 3( x − 3x + 2)    f ) lim x 1+ ( X → +∞ 3 x 3 + 3x 2 + x 2 − 2 x ) 9x 2 + x + 1 − 4x 2 + 2x + 1 x+1 Bài3: Cho các hàm số sau:  x 2 + 2 khi x ≥ 1 a ) f ( x) =   2 x + 3 khi x < 1 Ta có: b) lim+ f ( x ) = lim+ ( x 2 + 2) = 3 X →1  3x 2 + x  g ( x) =  x 1  X →1 khi x ≠ 0 khi x = 0 lim f ( x) ; lim− f ( x ) ;... 7 x + 9 − 2 x+9 −2 x+9 −2   27 x 3 + 1 − 4 81x 4 + 1 n) lim = X →0 x −1 3  1 + 4x − 1 3 1 + 6x − 1  1 + 4x − 3 1 + 6x  = t ) lim = lim  − 2 2 2  X →0 X → 0 x x x   B- Giới hạn dạng: ∞ ∞ Bài1: Tính các giới hạn sau: 2 x 3 − 3x 2 + 4 x − 1 a ) lim 4 X →+∞ x − 5 x 3 + 2 x 2 − x + 3 − 6x5 + 7x3 − 4x + 3 b) lim X →−∞ 8 x 5 − 5 x 4 + 2 x 2 − 1  3x 2 ( 2 x − 1) 3x 2 + x + 2  c) lim  −  X →+∞ . I /Đạo hàm và các ứng dụng của đạo hàm A- Các kiến thức cơ sở: 1- Định nghĩa: Cho HS y = f(x) XĐ trên khoảng (a;b); x 0 ( ) ba; ∈ . Giới hạn hữu hạn của tỉ số 0 0 )()( xx xfxf − − . là đạo hàm của HS đã cho tại điểm x 0 , kí hiệu là f ’ (x 0 ), nghĩa là ( ) ( ) x y xx xfxf xf xxx ∆ ∆ = − − = →∆→ 00 0 0 0 0 ' limlim)( . 2- Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của. ) tS '' 5- Một số công thức đạo hàm các HS thường gặp: ( ) ( ) x yxxy xnynNnxy yxy yay nn 2 1 0 .2; 1 0 ' 1' ' ' =⇒>= =⇒≥∈= =⇒= =⇒= − 6- Các qui tắc tính đạo hàm: ( ) (

Ngày đăng: 19/06/2015, 16:38

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan