Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng A ĐẶT VẤN ĐỀ 1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Toán học là một khoa học tự nhiên, toán học ra đời từ rất sớm nhằm đáp ứng nhu cầu đo đạc ruộng đất và xây dựng nhà cửa Càng ngày xã hội loài người càng tiến dần lên ở mức độ cao hơn và đến nay đang đang ở trình độ cao nhất từ mà loài người chưa từng có Do đó toán học củng không nằm ngoài quy luật phát triển từ sơ khai đến hiện đại Toán học nghiên cứu rất nhiều, rất đa dạng và phong phú Trong đó các bài toán về bất đẳng thức là những bài toán khó , để giải được các bài toán về bất đẳng thức, bên cạnh việc nắm vững khái niệm và các tính chất cơ bản của bất đẳng, còn phải nắm được các phương pháp chứng minh bất đẳng thức Có nhiều phương pháp để chứng minh bất đẳng và ta phải căn cứ vào đặc thù của mỗi bài toán mà sử dụng phương pháp cho phù hợp Mỗi bài toán chứng minh bất đẳng thức có thể áp dụng được nhiều phương pháp giải khác nhau , cũng có bài phải phối hợp nhiều phương pháp một cách hợp lí mới giải được Bài toán chứng minh bất đẳng thức được vận dụng nhiều vào các dạng bài toán giải và biện luận phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đặc biệt , tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức và đề thi học sinh giỏi huyện, thành phố, tuyển sinh vào lớp 10 thường có bài toán bất đẳng thức, trong khi đó sách giáo khoa phổ thông lại trình bày Vì vậy học sinh cần thiết phải nắm được những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức 1 Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Trong thực tế ở trường THCS và THPT, học sinh gặp nhiều khó khăn khi giải các bài toán liên quan về bất đẳng thức , vì các bài toán chứng minh bất đẳng thức thường không có cách giải mẫu, không theo một phương pháp nhất định nên học sinh không xác định được hướng giải bài toán Mặt khác vì nhận thức của học sinh THCS Và THPT còn có nhiều hạn chế và khả năng tư duy chưa tốt do đó học sinh còn lúng túng nhiều và không biết vận dụng kiến thức vào giải các dạng bài tập khác Trong nội dung của đề tài này xin được tập trung giới thiệu các tính chất cơ bản, một số phương pháp hay được sử dụng khi chứng minh bất đẳng thức như : dùng định nghĩa , biến đổi tương đương , dùng các bất đẳng thức đã biết , phương pháp phản chứng, tam tức bậc hai …., một số bài tập vận dụng và các ứng dụng của bất đẳng thức nhằm giúp học sinh bớt lúng túng khi gặp các bài toán về chứng minh hay vận dụng bất đẳng thức , giúp học sinh có thể tự định hướng được phương pháp chứng minh, giải các bài toán liên quan và hứng thú hơn khi học về bất đẳng thức nói riêng và bộ môn Toán nói chung Qua đề tài (một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức ) tôi muốn giúp học học sinh có thêm một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đó là lý do tôi chọn đè tài này, khi nghiên cứu không tránh khỏi những sai sot mác phải rất mong được sự góp ý của các thày cô giáo, các bạn để đề tài được hoàn thiện hơn, tôi xin chân thành cảm ơn! 2 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU - kỹ năng giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức 2 Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng - kỹ năng vận dụng bất đẳng thức để giải các bài toán: Tìm giá trị lớn nhất-nhỏ nhất, giải hệ phương trình, phương trình nghiệm nguyên, phương trình vô tỉ 3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU - Học sinh trung học cơ sở - Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của nó 4- PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU : Qua quá trình học tập từ trước đến nay, tham khảo tài liệu, thu thập tài liệu, đúc rút, tổng kết kinh nghiệm, kiểm tra kết quả kiểm tra chất lượng học sinh, nghiên cứu hồ sơ giảng dạy, điều tra trực tiếp thông qua các giờ học, thể hiện trên nhiều đối tượng học sinh khác nhau : Học sinh giỏi, khá và học sinh trung bình về môn Toán 5 PHẠM VI NGHIÊN CỨU Giới hạn ở phần chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng của bất đẳng thức ở chương trình toán trung học cơ sở B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ PHẦN I CƠ SỞ LÝ LUẬN Để giải được bài toán đòi hỏi mổi người phải đọc kỹ bài toán xem bài toán yêu cầu cái gì, phải sử dụng những phương pháp nào để giải, đã gặp bài toán nào đã giải có dạng tương tự như bài toán đó hay không để từ đó có thể tìm ra cách giải Đối với học sinh trung học cơ sở việc vận dụng khiến thức lý thuyết, nhận dạng bài toán để tìm ra cách giải chưa được rèn luyện nhiều đôi lúc trình bày vấn đề này còn sơ sài 3 Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Khi nghiên cứu về bất đẳng thức ta thấy rằng nó thật sự có tác dụng rèn luyện và phát huy khả năng tư duy để giải toán không chỉ riêng gì bất đẳng thức mà còn giải các dạng toán khác bởi muốn giải được nó đòi hỏi phải thật sự có một kiến thức toán học rất lớn Phương pháp để giải các bài toán bất đẳng thức không ở đâu xa xôi ngoài chương trình của các em học sinh trung học cơ sở Nhưng việc các em vận dụng nó như thế nào đó là vấn đề cốt lỏi Muốn làm được điều đó đòi hỏi học sinh phải thật sự nắm vững kiến thức, phải có lập luận lôgic, xét đầy đủ các mặt khác nhau của bài toán, nhận dạng được bài toán Đặc biệt các học sinh khá giỏi phải linh hoạt, sáng tạo không chỉ giải được bài toán mà còn phải khái quát được dạng của nó để đua ra phương pháp chung cho các bài toán khác tuơng tự Khi giảng dạy cho học sinh các giáo viên phải rèn luyện cho các em nắm chắc phần lý thuyết, đưa ra các ví dụ minh hoạ cụ thể, các bài tập vận dụng, nên chú ý tạo cho các em cách nhìn nhận một bài toán để giải không nên giải tắt, làm tắt tạo cho học sinh khó hiểu thậm chí không hình thành được lôgic của toán học Thời lượng chương trình dành cho bất đẳng thức ở phổ thông cơ sở là hạn chế Do đó việc học tập và vận dụng thành thao cho các em sẻ khó khăn đói với các em có học lực trung bình, khá PHẦN 2 NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI I> CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý 1) Định nghĩa bất đẳng thức + a nhỏ hơn b , kí hiệu a < b 4 Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng + a lớn hơn b , kí hiệu a > b , + a nhỏ hơn hoặc bằng b , kí hiệu a ≤ b, + a lớn hơn hoặc bằng b , kí hiệu a ≥ b , 2) môt số tính chất của bất đẳng thức: a) Nếu a > b và b > c thì a > c (tính chất bắc cầu) b) Nếu a > b và c bất kì thì a + c > b + c Tức là: Khi cộng vào 2 vế của bất đẳng thức với cùng một số bất kì thì bất đẳng thức không đổi chiều c) Nếu a > b + c thì a − b > c Tức là: Ta có thể chuyển một số hạng của bất đẳng thức từ vế này sang vế kia và phải đổi dấu số hạng đó d) Nếu a > b và c > d thì a + c > b + d Tức là: Nếu cộng vế với vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều ta được một bất đẳng thức cùng chiều Chú ý: Không được cộng vế với vế của 2 bất đẳng thức ngược chiều e) Nếu a > b và c < d thì a − c > b − d Tức là: Nếu trừ vế với vế của 2 bất đẳng thức ngược chiều ta được một bất đẳng thức cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ Chú ý: Không được trừ vế với vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều f) Nếu a > b và c > 0 thì ac > bc Nếu a > b và c < 0 thì ac < bc Tức là: Nhân 2 vế của một bất đẳng thức với cung một số dương thf bất đẳng thức không đổi chiều Nhân 2 vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm thì bất đẳng thức đổi chiều 5 Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng g) Nếu a > b > 0 và c > d > 0 thì ac > bd Tức là: Nếu ta nhân vế với vế hai bất đẳng thức cùng chiều có các vế đều dương thì ta được một bất đẳng thức cung chiều Chú ý: Không được nhân vế với vế của hai bất đẳng thức ngược chiều h) Nếu a > b > 0 thì 1 1 > >0 b a Tức là: Nếu nhân 2 vế của bất đẳng thức đều dương thì phép lấy nghịch đảo dổi chiều của bất đẳng thức k) Nếu a > b > 0 và n nguyên dưong thì a n > b n Nếu a > b và n nguyên dưong thì a n + > b n +1 3 Một số bất đẳng thức thông dụng 2 + A ≥ 0( A = 0 ⇔ A = 0); A = A 2 + A ≤ B ⇔ − B ≤ A ≤ B (B ≥ 0) A ≥ B + A ≥B⇔   A ≤ −B + A + B ≤ A + B Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A, B Cùng dấu + A − B ≤ A − B Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A ≥ B ≥ 0 hoặc A≤B≤0 + A > B ⇔A >B 2 2 + a ≥ 0 (a = 0 ⇔ a = 0) 2 2 6 Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng + a 2 + b 2 ≥ 2ab (Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b ) + a b + ≥ 2 (Với a, b cùng dấu) b a Chú ý: Để chứng minh một bất đẳng thức có nhiều cách, tuỳ thuộc vào từng dạng của bài toán Sau đây là một số cách thường dùng II> CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 1 Pương pháp sử dụng định nghĩa Để chứng minh A ≥ B (hoặc A > B ) ta chứng minh A − B ≥ 0 (hoặc A − B > 0 ) - Lưu ý : A2 ≥ 0 với mọi A ; dấu '' = '' xảy ra khi A = 0 - Ví dụ : Bài toán 1.1 Chứng minh bất đẳng thức Côsi đối với hai số thực không âm ( còn gọi là bất đẳng thức Ơclit ) a + b ≥ ab a,b ∈ R* 2 Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi a = b Thật vậy, a + b ≥ ab ⇔ a + b − 2 ab ≥ 0 ⇔ ( a − b)2 ≥ 0 2 Với mọi a,b ≥ 0 Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi a = b Bài toán 1.2 hoctoancapba.com a 2 + b 2 + c2 ≥  a + b + c  a, b, c Chứng minh  3 3 ÷ với mọi số thực   2 7 Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Phân tích: Đây là một đẳng thức khá quen thuộc, ta có thể giải bằng cách xét hiệu vế trái và vế phải Lời giải: Xét hiệu a 2 + b 2 + c2 3  a + b + c  3a 2 + 3b2 + 3c2 − (a + b + c)2 − 3 ÷= 9   2 2 2 2 = (a − b) + (b − c) + (c − a) ≥ 0 9 a 2 + b 2 + c2 ≥  a + b + c   3 3 ÷   2 Vậy Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c a 2 + b 2 + c2 ≥  a + b + c   3 3 ÷   2 Do đó Khai thác bài toán: - Bằng phương pháp xét dấu của hiệu A − B ta xét được sự đúng đắn của bất đẳng thức A ≥ B Để ý rằng với 2 số thực bất kì u, v ta củng có: u 2 + v2 ≥  u + v  2  2 ÷ 2   - tương tự như chứng minh trên ta có thể chứng minh bài toán sau Bài toán 1.3 Với mọi số : x, y, z chứng minh rằng : x2 + y2 + z2 +3 ≥ 2(x + y + z) Lời giải: Ta xét hiệu : H = x2 + y2 + z2 +3 - 2( x + y + z) 8 Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng = x2 + y2 + z2 +3 - 2x - 2y - 2z = (x2 - 2x + 1) + (y2 - 2y + 1) + (z2 - 2z + 1) = (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 Do (x - 1)2 ≥ 0 với mọi x (y - 1)2 ≥ 0 với mọi y (z - 1)2 ≥ 0 với mọi z => H ≥ 0 với mọi x, y, z Hay x2 + y2 + z2 +3 ≥ 2(x + y + z) với mọi x, y, z Dấu bằng xảy ra x = y = z = 1 Khai thác bài toán: Tương tự ta có thể chứng minh bài toán sau: Cho a, b, c, d, e là các số thực : Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a(b + c + d + e) Bài toán 1.4 Chứng minh rằng: a + b ≥ 2 với mọi a, b cùng dấu b a Lời giải: 2 2 2 a + b − 2 = a + b − 2ab = (a − b) Ta có: b a ab ab a, b cùng dấu Vậy ⇒ ab > 0 (a − b) 2 ⇒ ab ≥0 a + b ≥ 2 dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a − b = 0 hay a = b b a Khai thác bài toán: 1.4.1 Chứng minh tương tự như trên ta có thể chứng minh được bài 9 Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Toán sau Chøng minh r»ng víi mäi x tho¶ m·n 1 ≤ x ≤ 5, ta cã : 5 - x + x − 1 ≥ 2 Hướng dẩn: 5- x + x −1 ≥ 2 ⇔ ( ) 5 - x + x − 1 ≥ 2 ≥ 4 ⇔ 4 + 2 ( 5 − x )( x − 1) ≥ 4 2  x = 5   ⇔ 2 ( 5 − x )( x − 1) ≥ 0  § óng dÊu b»ng khi   x = 1    1.4.2 Chứng minh bất đẳng thức: ab + bc + ca < c với a ,b là cạnh 2 2 góc vuông của tam giác ABC, còn c là cạnh huyền Hướng dẩn: Ta có : ab + bc + ca < 2.c2 hay ab + bc + ca < a2 + b2 + c2 Xét: a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca = 1 ( 2a 2 + 2b2 + 2c2 − 2ab − 2bc − 2ca ) = 2 1 2 ( a − b ) + (b − c) 2 + (c − a)2 > 0 2 ( ) Bài toán 1.5 Chứng minh rằng nếu a.b ≥ 1 thì: 1 + 1 ≥ 2 1+ a 2 1+ b2 1+ ab 10 Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Cộng vế với vế của 3 bất đẳng thức trên ta được  x2 y  1 1 4 4 3 + 3 4 + 3.x + 3.y ≥ 4  + 2 + xy 2 ÷ = 12 ⇒ ≥ 3 dÊu b»ng khi x = y = z = 1 z P  z z  VËy Pmax = 1 khi x = y = z = 1 3 80> Hướng dẩn: (x P= 3 + y3 ) − ( x 2 + y 2 ) ( x − 1) ( y − 1) x 2 ( x − 1) + y 2 ( y − 1) x2 y2 = = + ≥ y −1 x −1 ( x − 1) ( y − 1) 2xy ( x − 1) ( y − 1) x2 y2 x −1 +1 x dÊu b»ng khi = l¹i cã ( x-1) 1 ≤ = dÊu b»ng khi x = 2 y −1 x −1 2 2 y −1+1 y = dÊu b»ng khi y = 2 ( y − 1) 1 ≤ 2 2 2xy ⇒P≥ = 8 dÊu b»ng khi x = y = 2 x y 2 2 VËy Pmin = 8 khi x = y = 2 81> Hướng dẩn: Ta f ( x ) = 2x 2 + 5x + 2 + 2 x + 3 − 2x = Áp dụng Côsi cho 2 số không âm có ( x + 2 ) ( 2x + 1) + 4 ( x + 3 ) − 2x ( x + 2 ) vµ ( 2x + 1) Ta có 127 Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng x + 2 + 2x + 1 3x + 3 = 2 2 dÊu d¼ng thøc khi: x + 2 = 2x + 1 ⇔ x = 1 ( x + 2 ) ( 2x + 1) ≤ Áp dụng Côsi cho 2 số không âm 4 vµ ( x + 3) Ta có ⇒ 4+x +3 x +7 = 2 2 DÊu d¼ng thøc khi : 4 = x + 3 ⇔ x = 1 4 ( x + 3) ≤ ( x + 2 ) ( 2x + 1) + 4 ( x + 3) − 2x ≤ 3x + 3 x + 7 + − 2x = 5 2 2 dÊu d¼ng thøc khi x = 1 VËy: f ( x ) min = 5 khi x = 1 128 Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng 82> Hướng dẩn: 2 Ta có T = ( x + y ) ( x + z ) = x + xz + xy + yz = x ( x + y + z ) + yz Tõ: ( x + y + z ) xyz = 1 ⇒ x ( x + y + z ) = T= 1 thay vµo T ta cã: yz 1 + yz ≥ 2 dÊu d¼ng thøc khi yz = 1 yz 83> Lời giải 1  x10 y10  4 4 12 12 Ta có  y 2 + x 2 ÷ ≥ x y Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y 2  1 16 ( x + y16 ) ≥ 1 x8 y8 dÊu b»ng khi x16 = y16 4 2 2 2 1 1 1 ⇒ Q ≥ x 8 y8 + x 4 y 4 − ( 1 + x 2 y 2 ) = ( x 8 y8 + 2x 4 y 4 + 1) − ( 1 + x 2 y 2 ) − 2 2 2 2 2 1 1 = ( x 4 y 4 + 1) − ( x 2 y 2 + 1) − 2 2 2 l¹i cã: ( 12 + 12 ) ( x 2 y 2 ) + 12  ≥ ( x 2 y 2 + 1)   hay 2 ( x 4 y 4 + 1) ≥ ( x 2 y 2 + 1) dÊu b»ng khi x 2 y 2 = 1 2 84> Hướng dẩn: Ta có 1 2 1 1 2 a 2  1 1  3a 2  1 1  2 2 1 2 P = 2 ( b + c ) + a  2 + 2 ÷ = 2 ( b + c ) +  2 + 2 ÷+  + ÷ a b c  a 4  b c  4  b2 c2   129 Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng 1 2 a2  1 1  1 2 a2  1 1  2 2 ( b + c ) + 4  b2 + c 2 ÷≥ 2 a 2 ( b + c ) 4  b2 + c2 ÷ a2     Có 1 2 a2 4 1 2 a2  1 1  2 2 ≥ 2 2 (b +c ) 2 = 2 dÊu b»ng khi 2 ( b + c ) =  2 + 2 ÷ a 4 b + c2 a 4 b c  ⇔ 4b 2 c 2 = a 4 ; b 2 = c 2 a2  1 1  a2 4 = 3 dấu “=” xảy ra khi và chỉ Lại có 3  2 + 2 ÷ ≥ 3 2 4 b c  4 b + c2 khi b 2 = c 2 a2 a2 2 2 ⇒ P ≥ 5 dÊu b»ng khi b = c = VËy Pmin = 5 khi b = c = 2 2 2 2 85> Hướng dẩn: x +1 = x3 − x 4 ( x 2 − 1) + 2x 2 2 x ( x 2 − 1) x2 − 1 2x = + 2 ≥2 2 x x −1 86> Hướng dẩn: Áp dụng bất đẳng thức : a2 + b2 + c2 + d 2 ≥ (a + c)2 + (b + d)2 A = x 2 + 12 + (1 − x) 2 + 22 ≥ ( x + 1 − x) 2 + (1 + 2) 2 = 10 min A = 10 ⇔ 1− x 1 =2 ⇔ x= x 3 87> a) Điều kiện : x ≥ 1, y ≥ 2 Bất đẳng thức Cauchy cho phép làm giảm một tổng : 130 Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng a+b ≥ ab 2 Ở đây ta muốn làm tăng một tổng Ta dựng bất đẳng thức : a + b ≤ 2(a 2 + b 2 ) A = x − 1 + y − 2 ≤ 2(x − 1 + y − 3) = 2 x − 1 = y − 2  x = 1,5 max A = 2 ⇔  ⇔  x + y = 4  y = 2,5 Cách khác : Xét A2 rồi dùng bất đẳng thức Cauchy b) Điều kiện : x ≥ 1, y ≥ 2 Bất đẳng thức Cauchy cho phép làm trội một tích : Ta xem các biểu thức ab ≤ a+b 2 x − 1 , y − 2 là các tích : x − 1 = 1.(x − 1) , y − 2 = Theo bất đẳng thức Cauchy : 2(y − 2) 2 x − 1 1.(x − 1) 1 + x − 1 1 = ≤ = x x 2x 2 y−2 2.(y − 2) 2 + y − 2 1 2 = ≤ = = y 4 y 2 2y 2 2 2 M ax B = x − 1 = 1 x = 2 1 2 2+ 2 + = ⇔  ⇔  2 4 4 y − 2 = 2 y = 4 88> Hướng dẩn: 131 Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Điều kiện x ≤ 2 2 2 − x = y ≥ 0, ta có : y = x − 2 Đặt 2 1 9 9 9 1 7  a = 2 − y 2 + y = −  y − ÷ + ≤ ⇒ max A = ⇔ y = ⇔ x = 2 4 4 4 2 4  89> Hướng dẩn Áp dụng | A | + | B | ≥ | A + B | min A = 2 ⇔ 1 ≤ x ≤ 2 Áp dụng các bất đẳng thức đả biết Áp dụng xét hiệu 90> Hướng dẩn − x 2 + 4 x + 12 ≥ 0 ( x + 2)(6 − x) ≥ 0  ⇔  ⇔ − 1 ≤ x ≤ 3{ Tập xác định :  2 − x + 2 x + 3 ≥ 0 ( x + 1)(3 − x) ≥ 0  } (1) Xét hiệu : (- x2 + 4x + 12)(- x2 + 2x + 3) = 2x + 9 Do (1) nên 2x + 9 > 0 nên A > 0 Xét : A2 = ( ) 2 ( x + 2)(6 − x) − ( x + 1)(3 − x) Hiển nhiên A2 ≥ 0 nhưng dấu “ = ” không xảy ra (với A > 0) Ta biến đổi A2 dưới dạng khác : A2 = (x + 2)(6 – x) + (x + 1)(3 – x) - 2 ( x + 2)(6 − x)( x + 1)(3 − x) = = (x + 1)(6 – x) + (6 – x) + (x + 2)(3 – x) – (3 – x) - 2 ( x + 2)(6 − x)( x + 1)(3 − x) = (x + 1)(6 – x) + (x + 2)(3 – x) – 2 ( x + 2)(6 − x)( x + 1)(3 − x) + 3 = ( ( x + 1)(6 − x) − ( x + 2)(3 − x) A2 ≥ 3 Do A > 0 nên min A = ) 2 + 3 3 với x = 0 132 Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng 91> Lời giải: Trước hết ta chứng minh : a + b ≤ Áp dụng (*) ta có : S = 2(a 2 + b 2 ) (*) (a + b ≥ 0) x − 1 + y − 2 ≤ 2(x − 1 + y − 2) = 2 3  x=  x − 1 = y − 2  2 maxS = 2 ⇔  ⇔ x + y = 4 y = 5   2 • Có thể tính S2 rồi áp dụng bất đẳng thức Cauchy 92> Lời giải: A = 3x + 3y ≥ 2 3x.3y = 2 3x + y = 2 34 = 18 min A = 18 với x = y = 2 93 Lời giải: Không mất tính tổng quát, giả sử a + b ≥ c + d Từ giả thiết suy ra : b+c≥ A= a+b+c+d 2 b c b+c  c c  a +b+c+d c+d c+d  + = − − − − ÷≥ ÷ c+d a +b c+d c+d a+b 2(c + d) c+d a +b Đặt a + b = x ; c + d = y với x ≥ y > 0, ta có : A≥ x+y y y x 1 y  x y 1 x y 1 1 − + = + −1+ =  + ÷− ≥ 2 − = 2− 2y y x 2y 2 x  2y x  2 2y x 2 2 min A = 2 − Chẳng hạn khi 1 ⇔ d =0 , x = y 2 , b+c≥a +d ; 2 a = 2 + 1,b = 2 − 1,c = 2,d = 0 133 Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng II GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 94> Hướng dẩn : a Tóm tắt : ( 2 x − 3 + ⇔ 5 − 2x )2 2 x − 3 + 5 − 2x ≤ 2(2x - 3 + 5 - 2x) = 4 ≤ 2 => MaxL = 2 khi x = 2 b TXĐ : (*) ⇔ 3 5 ≤x≤ 2 2 2 x − 3 + 5 − 2x = x2 - 4x + 6 VP = (x - 2)2 + 2 ≥ 2 , dấu '' = '' xảy ra khi x = 2 => với x = 2 ( thoả mãn TXĐ ) thì VT = VP = 2 => phương trình (*) có nghiệm x = 2 95> Hướng dẩn: TXĐ : -2 ≤ x ≤ 6 VP = (x - 3)2 + 4 ≥ 4 Dấu '' = '' xảy ra khi x = 3 VT2 = ( 6 − x 1 + x + 2 1)2 => VT ≤ 4 , dấu '' = '' xảy ra khi ≤ (6 - x + x + 2)(1 + 1) = 16 6− x = x+2  x=2 => không có giá trị nào của x để VT = VP => Phương trình vô nghiệm 96> Hướng dẩn: 3 x 2 − 12 x + 16 ≥ 2; y 2 − 4 y + 13 ≥ 3 => VT ≥ 5 x − 2 = 0 x = 2 Dấu '' = '' xảy ra khi :   y − 2 = 0 y = 2 => phương trình có nghiệm : x = 2 ; y = 2 134 Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng c KẾT LUẬN Các bài tập về bất đẳng thức thường là tương đối khó đối với học sinh , nhưng khi hướng dẫn học sinh xong đề tài (một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức ), học sinh sẽ thấy rằng việc làm bài toán về bất đẳng thức sẽ rễ hơn Đồng thời đứng trước bài toán khó cho dù ở dạng bài tập nào học sinh cũng có hướng suy nghĩ và tập suy luận , các em sẽ có tự tin hơn Chuyên đề còn có thể còn nhiều thiếu sót , rất mong được sự ủng hộ của các Thầy, Cô giáo Và các bạn để đề tài ngày càng hoàn thiện hơn Nhân đây, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu nhà trường, ban chủ nhiệm Khoa Toán – Tin, đặc biệt là giảng viên.Th.S.NCS.Nguyễn Quang Hoè đã tạo điều kiện và trực tiếp hướng dẫn , giúp đỡ tôi hoàn thành đề tài này Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương MỤC LỤC MỤC LỤC 135 ************************************************************ TÀI LIỆU THAM KHẢO 1> Đại số sơ cấp và thực hành giải toán Hoàng Kỳ( chủ biên) 2> Bài tập cơ bản và nâng cao đại số 8 135 Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng (Phan Văn Đức-Ngyễn TháI Hoà - Nguyễn Thế Thựơng Nguyễn Anh Dũng) 3> Bài tập toán chọn lọc về BĐT (GS: Phan Huy Khải) 4> Nâng cao và phát triển toán 8 (Vũ Hữu Bình) 5> Toán nâng cao đại số 8 (Nguuyễn Vĩnh Cận) 6> Bất đẳng thức (Trần Đức Huyên) 7> Toán nâng cao và các chuyên đề đại số 8 (Vũ Dương Thụy: Chủ biên) Nguyễn Ngọc Đạm 8> Nâng cao và phát triển toán 8 Vũ Hữu Bình) 136 Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 ... Toán – Tin K48 Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức ứng dụng Và thu đựơc bất đẳng thức cần chứng minh Cịn A = a1 = a = = a n bất đẳng thức cần chứng minh hiển nhiên Cuối ta thấy dấu “=” bất đẳng thức. .. K48 Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức ứng dụng nhiên bất đẳng thức đơn giản bất đẳng thức A ≥ B Sau khẳng định tính đắn bất? ?ẳng thức C ≥ D ta kết luận bất đẳng thức A ≥ B - Một số đẳng thức thường... tài: Chứng minh bất đẳng thức ứng dụng Ta dùng phương pháp quy nạp theo n : • Với n =2 bất đẳng thức đả chứng minh (bất đẳng thức Ơclit) hoctoancapba.com • Để chứng minh bất đẳng thức tổng quát,