[Type text] Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn) ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN CHUYÊN ĐỀ: BẤT ĐẲNG THỨC I. Một số ghi nhớ *Định nghĩa: 0 baba . * cacbba  , * cbcaba  * dbcadcba  , * bcaccba  0, * bcaccba  0, * bdacdcba  0,0 * 00,  bdacdcba * Nnbaba nn  0 * nNnbaba nn , lẻ * mnaaa mn 1 * mnaaa mn  10 * NnRaa n  ,,0 2 , dấu = xảy ra khi a=0 * Rbaabba  ,,4)( 2 , dấu = xảy ra khi ba  (tương ứng) * Rbababa  ,,0 22 , dấu = xảy ra khi 0 ba * Raaa  ,|| , dấu = xảy ra khi 0a hoặc 0a (tương ứng) * Rbababa  ,|,||||| , dấu = xảy ra khi 0ab hoặc 0. ba (tương ứng) * Rbababa  ,||,|||||| , dấu = xảy ra khi 0ab hoặc 0. ba (tương ứng) * 1|cos|,1|sin|  xx * bababa       ,|,|||||  dấu = xảy ra khi 0,  kbka   . * bababa       ,|,|||||  dấu = xảy ra khi 0,  kbka   . * bababa       ,||,||||||  dấu = xảy ra khi 0,  kbka   . * bababa       ,||,||||||  dấu = xảy ra khi 0,  kbka   . * Bất đẳng thức Côsi Cho n số không âm n aaa , ,, 21 khi đó ta có n nn aaanaaa 2121  ; dấu "=" xảy ra khi n aaa  21 . * Bất đẳng thức Bunhiacôpxki Cho hai dãy số n aaa , ,, 21 và n bbb , ,, 21 khi đó ta có ) )( () ( 22 2 2 1 22 2 2 1 2 2211 nnnn bbbaaabababa  ; dấu "=" xảy ra khi n n b a b a b a  2 2 1 1 . Trường hợp đặc biệt: với mọi số thực x, y, z ta có *   2 22 2 2222 22 1.1.)11)((           yxyx yxyx [Type text] Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn) dấu "=" xảy ra khi yx  . *   2 222 2 222222 33 1.1.1.)111)((           zyxzyx zyxzyx dấu "=" xảy ra khi zyx  . II. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức 1.Phương pháp sử dụng định nghĩa Để chứng minh ba  ta chứng minh 0ba . Ví dụ 1: Với mọi số thực x, y, z. Chứng minh rằng: a. zxyzxyzyx  222 b. zxyzxyzyx 222 222  c. )(23 222 zyxzyx  d. )( 444 zyxxyzzyx  Hướng dẫn giải: Ta xét hiệu a. .,,0])()()[( 2 1 )222222( 2 1 222 222222 Rzyxxzzyyx zxyzxyzyxzxyzxyzyx   Dấu “=” xảy ra khi zyx  . b.Ta xét hiệu Rzyxzyxzxyzxyzyx  ,,0)(222 2222 . Dấu “=” xảy ra khi zyx  . c.Ta xét hiệu Rzyxzyxzyxzyx  ,,)1()1()1()(23 222222 . Dấu “=” xảy ra khi 1 zyx . d.Ta xét hiệu   0])()()[( 2 1 )()()( 2 1 222222 2 1 )( 222222222222222 222444 222444444           xzzyyxxyzxzyyzx xyzzxyyzxzyx xyzzxyyzxzyxzyxxyzzyx với mọi số thực x, y, z. Dấu “=” xảy ra khi zyx  . Ví dụ 2: Với mọi số thực a, b, c, d. Chứng minh rằng: [Type text] Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn) )1(1 2222  dcbadcba . Hướng dẫn giải: Ta xét hiệu 0])2()2()2()2[( 4 1 )]1(444444[ 4 1 )1(1 2222 22222222   adacaba dcbadcbadcbadcba Với mọi số thực a, b, c, d. Dấu “=” xảy ra khi 1,2  dcba . 2.Phương pháp biến đổi tương đương Chứng minh bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với một bất đẳng thức đúng. Ví dụ 3: Với mọi số thực a, b, c, d, e. Chứng minh rằng: a. baabba  1 22 b. )( 22222 edcbaedcba  c. ))(())(( 4488221010 babababa  Hướng dẫn giải: a. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức 0])1()1()[( 2 1 01 22222  bababaabba . Bất đẳng thức trên luôn đúng, dấu “=” xảy ra khi 1ba . b. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức 0 2222 0)( 2222 22222                              e a d a c a b a edcbaedcba Bất đẳng thức trên luôn đúng, dấu “=” xảy ra khi edcba 2222  . c. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức 0)()( 0))((0)()( 00))(())(( 422422222 66222222282228 84482102104488221010    bbaababa bababaababbaba babaabbababababa Bất đẳng thức trên luôn đúng, dấu “=” xảy ra khi ba  hoặc ba  hoặc 0a hoặc 0b . Ví dụ 4: Với các số thực x, y thỏa mãn các điều kiện yxxy  ,1 . Chứng minh rằng: 22 22    yx yx . Hướng dẫn giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức [Type text] Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn) 0)2( 02)2(222202)2(2222 022220 2222 022 2 222222 22 2222         yx xyyxyxyxyx yxyx yx yxyx yx yx Bất đẳng thức trên luôn đúng, dấu “=” xảy ra khi         yx xy yx 1 02 hay            2 62 2 62 y x hoặc            2 62 2 62 y x . Ví dụ 5: Với mọi số thực dương x, y, z . Chứng minh rằng: 21        xz z zy y yx x . Hướng dẫn giải: Ta có yxz z xz z zyx y zy y zyx x yx x        ;; . Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta suy ra 1      xz z zy y yx x . Bạn đọc dễ dàng chứng minh được yxz xz xz z zyx xy zy y zyx zx yx x           ;; Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta suy ra 2      xz z zy y yx x . 3.Phương pháp dùng bất đẳng thức Côsi Ví dụ 6: Với mọi số thực a, b, c không âm. Chứng minh rằng: abcaccbba 8))()((  . Hướng dẫn giải: Sử dụng bất đẳng thức Côsi cho từng cặp hai số không âm ta được abba 2 bccb 2 acca 2 [Type text] Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn) Nhân vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta suy ra đpcm. Dấu “=” xảy ra khi a=b=c. Ví dụ 7: Giải phương trình 2 3 42 1 12 4 14 2       xxx x x x . Hướng dẫn giải: Đặt              2 0, 4 2 ab ba b a x x . Phương trình trên trở thành 2 31 11       baa b b a . Vế trái của phương trình . 2 3 3 ))(1)(1( 1 .3.))(1)(1(.3 2 1 3) 1 1 1 1 1 )](()1()1[( 2 1 3) 1 1 1 1 1 )(1( 3)1 1 ()1 1 ()1 1 ( 1 11 3 3                             baba baba baab baba baab ba baa b b a baa b b a Như vậy, vế trái  vế phải. Dấu “=” xảy ra khi 01 1          x ba b a . Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=0. Ví dụ 8: Với số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x+y+z=1. Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức 111       z z y y x x P . Hướng dẫn giải: Ta có ) 1 1 1 1 1 1 (3 1 11 1 11 1 11                zyxz z y y x x P . Vì x+y+z=1 nên   . 4 9 )2)(2)(2( 1 .3.)2)(2)(2(.3. 4 1 ) 2 1 2 1 2 1 ).()2()2()2( 4 1 ) 111 ).(( ) 1 1 1 1 1 1 ).(( 1 1 1 1 1 1 3 3                           yxzzxyzyx yxzzxyzyx yxzzxyzyx yxzzxyzyx yxzzzxyyzyxx zyx zyx zyx zyx [Type text] Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn) Vì vậy, . 4 3 4 9 3 P Suy ra GTLN của P là 4 3 , đạt được khi x=y=z=1/3. Ví dụ 9: Với mọi bộ ba số a, b, c là ba cạnh của một tam giác. CMR: .3      cba c bca b acb a Hướng dẫn giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta được 3 ))()(( .3 cbabcaacb abc cba c bca b acb a        . Ta lại có 2 2 2 ))(( a bcacba bcacba          , tương tự 2 ))(( bcbaacb  , 2 ))(( cbcaacb  . Từ đó, suy ra .))()(( abcbcacbaacb  Vì vậy, 3.3 3       abc abc cba c bca b acb a . Dấu “=” xảy ra khi a=b=c. 4.Phương pháp dùng bất đẳng thức Bunhiacôpxki Ví dụ 10: Với mọi số thực x. CMR: . 8 1 sincos 88  xx Hướng dẫn giải: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho hai bộ số )sin,(cos 44 xx và (1, 1), ta có   . 2 )sin(cos sincossincos)11)(sin(cos 244 88 2 442288 xx xxxxxx   Lại áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho hai bộ số )sin,(cos 22 xx và (1, 1), ta được   . 2 1 sincos1sincos)11)(sin(cos 44 2 222244  xxxxxx Vì vậy, . 8 1 sincos 88  xx Dấu “=” xảy ra khi . 24 02cossincos 22  k xxxx  Ví dụ 11: Với mọi bộ bốn số thực a, b, c, d. CMR: .)()( 222222 dcbadbca  [Type text] Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn) Hướng dẫn giải: Bình phương hai vế, 2222 2222222222 2)()( dcbabdac dcdcbabadbca   Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho hai bộ số (a, b); (c, d) ta suy ra đpcm. Dấu “=” xảy ra khi . d b c a  Ví dụ 12: Giải hệ phương trình: . 532 532 22      yx yx Hướng dẫn giải: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho hai bộ số )3;2( yx và )3;2( ta suy ra   532)32(32)32(25 22222  yxyxyx . Hệ phương trình trên chỉ có nghiệm khi .1 3 3 2 2  yx yx 5.Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số Ví dụ 13: Với hai số thực không âm x, y thỏa mãn điều kiện: x+y=1. Tìm GTNN và GTLN của biểu thức: 33 2yxP  . Hướng dẫn giải: Ta có y=1-x, suy ra 33 )1(2 xxP  . Xét hàm số 33 )1(2)( xxxf  trên [0, 1]. Có )22)(22(3)1(63)( 22   xxxxxf . Hàm số đồng biến trên khoảng )1,22(  và nghịch biến trên khoảng )22,0(  . .1)1(,)12(2)22(,2)0( 2  fff Vậy 2 )12(2min P tại )21,22(  yx , và 2max P tại )1,0(  yx . Ví dụ 14: Với hai số thực x, y lớn hơn e thỏa mãn x>y. CMR: y x y x  ln ln . Hướng dẫn giải: Bất đẳng thức trên tương đương với y y x x lnln  . Xét hàm số t t tf ln )(  trên khoảng ),( e . Ta có .0 ln1 )( 2 et t t tf     Vậy, )(tf là hàm số nghịch biến trên khoảng ),( e . Suy ra )()( yfxf  (đpcm). 6.Phương pháp sử dụng bất đẳng thức véc tơ [Type text] Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn) Ví dụ 15: Với mọi số thực a. CMR: 211 22  aaaa . Hướng dẫn giải: Xét hai véc tơ ) 2 3 ; 2 1 (), 2 3 ; 2 1 (  avau  . Khi đó, bất đẳng thức trên được viết thành |||||| vuvu   , luôn đúng. Dấu “=” xảy ra khi 0 2 3 2 3 2 1 2 1     a a a vku  . III. Giới thiệu một số bài toán trong các đề thi đại học từ năm 2003-2014 Bài 1 (ĐH-khối A năm 2003): Với x, y, z là ba số dương và 1 zyx . CMR: 82 111 2 2 2 2 2 2  z z y y x x . Hướng dẫn giải: Sử dụng bất đẳng thức về véc tơ và bất đẳng thức Côsi. Xét ) 1 ;(), 1 ;(,) 1 ;( z zc y yb x xa    . Khi đó, vế trái của bất đẳng thức trên là .8280162 80 111 )(18 )(80 111 )(81 111 )(|||||||| 2 2 2 2 2                               zyx zyx zyx zyx zyx zyx zyxcbacba      Dấu “=” xảy ra khi . 3 1  zyx Bài 2 (ĐH-khối A năm 2005): Với x, y, z là ba số dương và 4 111  zyx . CMR: 1 2 1 2 1 2 1       zyxzyxzyx . Hướng dẫn giải: Sử dụng bất đẳng thức Vì 0,), 11 ( 4 11 4)( 2    ba baba abba . [Type text] Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn) Suy ra,           ) 11 ( 4 1 2 1 4 1 ) 1 2 1 ( 4 1 2 1 zyxzyxzyx ,           ) 11 ( 4 1 2 1 4 1 ) 1 2 1 ( 4 1 2 1 zxyzxyzyx ,           ) 11 ( 4 1 2 1 4 1 ) 1 2 1 ( 4 1 2 1 yxzyxzzyx . Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta suy ra đpcm. Dấu “=” xảy ra khi 4 3  zyx . Bài 3 (ĐH-khối B năm 2005): CMR với mọi số thực x thì ta có xxxxxx 543) 3 20 () 4 15 () 5 12 (  . Hướng dẫn giải: Sử dụng bất đẳng thức Côsi. xxx 3.2) 4 15 () 5 12 (  , xxx 5.2) 3 20 () 5 15 (  , xxx 4.2) 3 20 () 5 12 (  . Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được đpcm. Bài 4 (ĐH-khối D năm 2005): CMR với mọi số thực dương x, y, z thỏa mãn 1xyz . 33 1 11 33 3333       zx xz yz zy xy yx . Hướng dẫn giải: Sử dụng bất đẳng thức Côsi. xy xy yx xyyx 3 1 31 33 33    , tương tự yz yz zy 3 1 33   , zx zx xz 31 33   . Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta suy ra 33 1 33 3331 11 3 33 3333       xyz zxyzxy zx xz yz zy xy yx . Dấu “=” xảy ra khi x=y=z=1. Bài 5 (ĐH-khối A năm 2006): Với mọi số thực khác 0 và thỏa mãn xyyxxyyx  22 )( . Tìm giá trị nhỏ nhất của 33 11 yx A  . Hướng dẫn giải: [Type text] Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn) Từ giả thiết ta suy ra xyyxyx 11111 22  . Đặt y b x a 1 , 1  thì abbaba  22 . Ta có 40 2 3)(3)( 2 2 22 2                  ba ba baabbaba ba ab . Ta lại có 16)())(( 11 22233 33  baabbababa yx A . Vậy, GTLN của A là 16 xảy ra khi a=b và a+b=4 hay x=y=1/2. Bài 6 (ĐH-khối B năm 2006): Tìm giá trị nhỏ nhất của |2|)1()1( 2222  yyxyxA . Hướng dẫn giải: Dùng phương pháp tọa độ và đạo hàm: Xét M(x-1; -y), N(x+1; y) ta có MNONOM  nên |2|44|2|)1()1( 22222 yyyyxyxA  . Xét hàm số |2|44)( 2  yyyf . TH1: Nếu 325244)(244)(2 22  yyfyyyfy . TH2: Nếu 32 1 12 )('244)(2 min 2 2 2     f y yy yfyyyfy . Vậy, GTNN của A là 32  xảy ra khi x=0 và 3 3 y . Bài 7 (ĐH-khối A năm 2007): Với mọi số thực dương x, y, z thỏa mãn 1xyz . Tìm giá trị nhỏ nhất của yyxx yxz xxzz xzy zzyy zyx P 2 )( 2 )( 2 )( 222          . Hướng dẫn giải: Sử dụng bất đẳng thức Côsi ta có: xxxyxzyx 22)( 22  , tương tự yyzxy 2)( 2  , zzyxz 2)( 2  . Đặt xxzzczzyybyyxxa 2,2,2  thì ta có 9 24 , 9 24 , 9 24 acb zz cba yy bac xx       . Suy ra, [...]... 2  y 2  z 2  2 , hay x=1, y=1, z=0 hoặc x=1, y=0, z=1 [Type text] Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn) Bài 23 (ĐH-khối B năm 2014): Với mọi số thực dương không âm a, b, c thỏa mãn a b c   (a  b)c  0 Tìm GTNN của biểu thức P  bc a  c 2(a  b) Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có a  b  c  2 a(b  c)  a 2a , tương tự ta có  bc abc... 2( P  6)k  P  2  0 TH1: Nếu k =-1 /6 thì P=0 TH2: Xét P  0 , để pt trên có nghiệm thì   2P2  6P  36  0  6  P  3 Vậy GTNN của P là -6 , GTLN của P là 3 Bài 10 (ĐH-khối D năm 2008) Với mọi số thực x, y không âm Tìm GTLN và GTNN ( x  y)(1  xy ) của: P  (1  x) 2 (1  y) 2 Hướng dẫn giải: [Type text] Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn) | ( x ...  1 4 [Type text] Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn) Vậy f(t) là hàm số đồng biến trên miền đang xét f (t )  f (1/ 4)  5 7 5 7 xảy ra khi x=4y và xy  y  1 hay (x=1/2;   P max   3 30 3 30 y=2) Bài 22 (ĐH-khối A năm 2014): Với mọi số thực dương không âm x, y, z thỏa mãn x2 yz 1  yz 2 2 2   x  y  z  2 Tìm GTLN của biểu thức P  2 x  yz  x... xảy ra khi x  P 3 6 9 36 36 [Type text] Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn) năm 2012): Với mọi số thực x, ( x  4)  ( y  4)  2 xy  32 Tìm GTNN của biểu thức P  x3  y3  3( xy  1)( x  y  2) Hướng dẫn giải: Vì ( x  4)2  ( y  4)2  2 xy  32  ( x  y)2  8( x  y)  0  0  x  y  8 Bài 19 (ĐH-khối 2 D y thỏa mãn 2 3 P  ( x  y)3  3( x ... 0, 1) Bài 15 (ĐH-khối A năm 2011): Với mọi số thực x, y, z nằm trong đoạn [1; 4] thỏa mãn x  y, x  z Tìm GTNN của biểu thức x y z P   2x  3y y  z z  x Hướng dẫn giải: 1 1 1 P   y z x 23 1 1 x y z 1 1 2   Bạn đọc dễ chứng minh được (*) với ab  1, a, b  0 Dấu “=” 1  a 1  b 1  ab xảy ab=1 hoặc a=b [Type text] Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và... hay (a, b)=(1, 2) a b hoặc (a, b)=(2, 1) Bài 17 (ĐH-khối A năm 2012): Với mọi số thực x, y, z thỏa mãn x  y  z  0 Tìm GTNN của biểu thức P  3| x  y|  3| x  y|  3| x  y|  6( x 2  y 2  z 2 ) Hướng dẫn giải: Trước hết ta chứng minh 3t  t  1, t  0 Thật vậy, xét hàm số [Type text] Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn) f (t )  3t  t  1, t ... ra 2 Bài 13 (ĐH-khối D năm 2009): Với mọi số thực không âm x, y thỏa mãn x  y  1 Tìm GTNN và GTLN của biểu thức A  (4 x2  3 y)(4 y 2  3x)  25 y Hướng dẫn giải: A  (4 x 2  3 y)(4 y 2  3x)  25 xy  16 x 2 y 2  12( x3  y 3 )  9 xy  25 xy  16 x 2 y 2  12[( x  y)3  3xy ( x  y)]  34 xy  16 x 2 y 2  2 xy  12 Đặt t  xy , ta được A  16t 2  2t  12 [Type text] Bộ môn Toán Khoa CNTT... x  y) 2  2 xy  3( x  y)   x 32 x3 32 y 3 y     8   8  Suy ra  y  3 x  3   ( y  3)3 ( x  3)3 xy  3( x  y)  9     [Type text] Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn) Thay xy= 3-( x+y) vào ta dẫn đến 3  ( x  y )2  2 xy  3( x  y )  32 x3 32 y 3   ( x  y  1)3   8 3 3   ( y  3) ( x  3) xy  3( x  y )  9   Suy ra P ...[Type text] Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn) 2  4c  a  2b 4a  b  2c 4b  c  2a  P     9 b c a  2 c a b a b c    4(   )  (   )  6  9 b c a b c a  2  4.3  3  6  2 9 Vậy, GTNN của P là 2 xảy ra khi x  y  z  1 Bài 8 (ĐH-khối B năm 2007): Với mọi số thực dương x, y, z Tìm giá trị... của P là -1 /4 , GTLN của P là 1/4 Bài 11 (ĐH-khối A năm 2009): CMR với mọi số thực dương x, y, z và thỏa mãn x( x  y  z)  3xy , ta có ( x  y)3  ( x  z )3  3( x  y)( x  z )( y  z )  5( y  z )3 Hướng dẫn giải: Đặt a  x  y, b  x  z, c  y  z Từ giả thi t ta suy ra c2  a 2  b2  ab , 3 1 suy ra c 2  (a  b)2  3ab  (a  b)2  (a  b)2  (a  b)2  a  b  2c (*) 4 4 Bất đẳng thức cần . [Type text] Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn) ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN CHUYÊN ĐỀ: BẤT ĐẲNG THỨC I. Một số ghi nhớ *Định nghĩa:. a. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức 0])1()1()[( 2 1 01 22222  bababaabba . Bất đẳng thức trên luôn đúng, dấu “=” xảy ra khi 1ba . b. Bất đẳng thức. rằng: 22 22    yx yx . Hướng dẫn giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức [Type text] Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn) 0)2( 02)2(222202)2(2222 022220 2222 022 2 222222 22 2222         yx xyyxyxyxyx yxyx yx yxyx yx yx