Bài tập tự động hóa quá trình sản xuất(trang 12ữ17) 1.1.2 Các khái niệm có liên quan đến hệ thống động học (tiếp theo) Một phơng trình vi phân cổ điển bao gồm các số hạng phụ thuộc vào biến số và tổng ,hiệu đạo hàm của chúng tạo thành phơng trình hàm số đầu vào. Đáp ứng của hệ có thể đúng với điều kiện ban đầu hay sự biến thiên đầu vào. Một ví dụ về dạng phơng trình vi phân cổ điển dới đây : )( 0 2 2 tfa dt dx dt xd =++ x(0 - ) = x 0 (1.1) dt dx (0 - ) = x 0 Trong công thức trên x(t) là biến đáp ứng, a i là các hằng số phụ thuộc các tham số của hệ. Hàm f(t) chứa các tác động bên ngoài (có thể là ngoại lực ) và x 0 , x mô tả trạng thái ban đầu và tốc độ ban đầu của hệ ngay tại thời điểm t=0. Chúng ta tính toán hàm x(t) nhằm mô tả đáp ứng của hệ. Chú ý một biến số có dấu chấm ở phía trên miêu tả việc lấy vi phân theo thời gian, do đó phơng trình trên có thể đợc viết lại theo dạng sau xaxax 01 ++ = f(t) (1.2) Ký hiệu 0 - không thờng đợc hay dùng tuy nhiên nó là điều kiện quan trọng để xác định điều kiện ban đầu và giá trị đầu vào, ta coi đó là những gia trị ngay trớc và sau thời điểm t = 0. Chúng ta cũng có thể sử dụng toán tử lấy đạo hàm D để miêu tả vi phân theo thời gian (xem lại 1.6) : D= dt d (1.2) Theo đó : Dx= `dt dx - 1 - D 2 x= 2 2 dt yd Sử dụng toán tử lấy vi phân ,chúng ta có thể viết lại phơng trình 1.2 nh sau : [D 2 + a 1 D + a 0 ]x(t) = f(t) (1.4) Thông thờng chúng ta hay miêu tả biến đáp ứng của hệ theo dạng chuẩn thông qua đầu vào cũng nh tỷ lệ giữa đầu ra - đầu vào. Với hệ tuyến tính, hàm truyền của nó đợc định nghĩa là tỷ lệ giữa đầu ra với đầu vào của hệ với điều kiện biên ban đầu đã đợc xác định qua biến đổi LapLace phơng trình của hệ. Biến đổi Laplace (xem phụ lục F) của phơng trình 1.2 với điều kiện không ban đầu là : [s 2 + a 1 s + a 0 ].X(s) = F(s) (1.5) Biến đổi Laplace sẽ chuyển đổi phơng trình của hệ từ một phơng trình với biến thời gian là độc lập thành một phơng trình có biến s là biến độc lập. Kết quả mô tả thông qua biến s sẽ tiện lợi hơn khi mô tả theo biến thời gian . Giải phơng trình (1.5) với tỷ lệ đầu ra - đầu vào cho ta hàm truyền của hệ : 01 2 1 )( )( asassF sX ++ = (1.6) Tỷ lệ đầu ra - đầu vào cũng có thể đợc viết thông qua ký hiệu theo biến thời gian và sử dụng toán tử lấy vi phân D, sắp xếp lại phơng trình (1.4) ta đ- ợc : 01 2 1 )( )( aDaDtf tx ++ = (1.7) Trong biểu thức biến đổi Laplace thì phơng trình (1.6) đợc sử dụng để định nghĩa hàm truyền, ở công thức trên chúng ta tìm hàm truyền theo biến thời gian sẽ thuận lợi hơn. Nếu vi phân của hàm f(t) xảy ra ở vế phải của ph- ơng trình vi phân thì tử số của hàm truyền cũng chứa biến s (hay D) và chúng ta thờng xem đó là tỷ lệ giữa hai đa thức biến s ( D). Phơng trình vi phân trong không gian là tập hợp đồng thời của các ph- ơng trình vi phân bậc nhất. Biến trạng thái là các biến phụ thuộc vào từng ph- - 2 - ơng trình vi phân bậc nhất và mô tả đáp ứng động học của hệ thống. Một ví dụ về phơng trình vi phân trong không gian đợc định nghĩa nh sau : x = a 1 x + a 2 y +f(t) (1.8a) y = a 3 .x.y.sin(x) + g(t) (1.8b) z = a 4 .x.z + a 5 e -yt h(t) (1.8c) x(0) = x 0 y(0) = y 0 z(0) = z 0 Bậc của phơng trình vi phân hay hệ động học là số đạo hàm độc lập của hệ. Trong một phơng trình vi phân thông thờng, bậc là hiệu của vi phân cấp cao nhất với vi phân cấp thấp nhất trong phơng trình. Phơng trình (1.2) là ph- ơng trình bậc hai . Trong tập hợp phơng trình của một hệ, bậc của nó là số đạo hàm riêng của tất cả các phơng trình. Từ phơng trình (1.8a) đến phơng trình (1.8c) mô tả một hệ ba bậc . Hàm số tuyến tính là hàm số có hai đặc điểm sau : Nếu bạn nhân đối số của hàm với một hằng số thì giá trị của hàm số sẽ đợc nhân lên bởi chính hằng số đó : F(a.x) = a.F(x) (1.9) Tổng giá trị hàm số đối với các biến bằng giá trị hàm số đối với tổng các biến đó : F(x 1 +x 2 ) = F(x 1 ) + F(x 2 ) (1.10) Chúng ta có thể kết hợp hai đặc tính trên nh sau : F(a 1 x 1 +a 2 x 2 ) = a 1 .F(x 1 ) + a 2 .F(x 2 ) (1.11) Theo đó chỉ có hàm số tuyến tính là một đờng thẳng đi qua gốc toạ độ; Dạng y = m.x +b không phải là hàm tuyến tính tuân theo các điều kiện trên . Một tổ hợp tuyến tính của các biến số đợc tạo ra từ tổng các tích của chúng. Ví dụ, L = ax+by, ở đây a, b là các hằng số, là một tổ hợp tuyến tính của các biến x và y. Một phơng trình tuyến tính đợc tạo ra từ một tổ hợp tuyến tính và các đạo hàm của nó. Một phơng trình vi phân tuyến tính là một phơng trình đợc tạo ra từ một tổ hợp tuyến tính của các đạo hàm của các biến - 3 - hệ thống. Ví dụ ,L = ax +b x + c x , ở đây a,b và c là các hằng số, là phơng trình vi phân tuyến tính, và các phơng trình (1.1), (1.2), (1.8a) là các phơng trình vi phân tuyến tính hệ số hằng . Một hệ tuyến tính đợc miêu tả bởi phơng trình đại số tuyến tính và ph- ơng trình vi phân tuyến tính. Trái lại một hệ phi tuyến bao gồm tổ hợp không tuyến tính của các biến và đạo hàm. Ví dụ về các hàm phi tuyến là tích của các biến số nh bình phơng, lập phơng của các biến. Phơng trình (1.8b) và (1.8c) là ví dụ về phơng trình vi phân không tuyến tính. Nghiệm giải tích của phơng trình vi phân là biểu thức toán học của các biến số nh một hàm phụ thuộc thời gian và có thể chứa các hàm mũ, hàm l- ợng giác sin (cos) hay bất kì hàm nào khác. Giải một phơng trình vi phân theo phơng pháp giải tích đòi hỏi phải có kiến thức về điều kiện ban đầu và đầu vào, nó nh là hàm hiện của thời gian. Nghiệm giải tích đợc tìm bằng cách tận dụng các kĩ thuật giải phơng trình vi phân cổ điển hay sử dụng kỹ thuật biến đổi Laplace (Xem phụ lục E và F để nắm bắt các phơng pháp trên) . Việc tìm nghiệm phơng trình vi phân tuyến tính có thể dễ dàng và các nghiệm giải tích của chúng có thể dễ dàng tìm đợc bằng cách ứng dụng rộng rãi các phơng pháp đã đợc thừa nhận và đợc giới thiệu ở phần phơng trình vi phân cơ bản. Ngợc lại với hệ phi tuyến, loại trừ các hệ bậc một ,chỉ xét tới các hệ có bậc từ hai trở lên không thể giải bằng phơng pháp giải tích. Nếu phơng pháp giả tích là không khả thi với hệ phi tuyến thì nghiệm số gần đúng của phơng trình vi phân không tuyến tính có thể tìm đợc bằng các ph- ơng pháp giả thiết gần đúng. Chúng ta gọi sự gần đúng là cách giải có sử dụng máy điện toán . Một đáp án có dùng tới máy điện toán của phơng trình vi phân có thể tìm ra bằng cách tích phân có sử dụng máy tính số. Tích phân số là một quá - 4 - trình sử dụng tin học để tính một nghiệm gần đúng về một số nguyên của một hàm số có chứa đạo hàm bằng phơng pháp số. Phơng pháp phổ biến để tìm nghiệm phơng trình vi phân là sử dụng số gia nhỏ theo thời gian. Theo đó nghiệm của phơng trình vi phân chỉ là những khoảng thời gian rời rạc. Ph- ơng pháp có sử dụng máy điện toán nói chung là tận dụng để mô tả trạng thái không gian của phơng trình vi phân. Nói chung tính toán đáp ứng của một hệ thống động học theo cách này gọi là mô phỏng số (phơng pháp số) . Trong cách tính tơng tự thì phơng trình vi phân đợc mô tả bởi một mối quan hệ tuyến tính hay phi tuyến của các thành phần điện và máy tích phân điện tử (tính toán khuyếch đại các thông tin phản hồi). Từ đó phơng trình điều khiển hệ thống điện cũng nh các phơng trình điều khiển hệ thống động học đều đợc xem xét kĩ lỡng, khi có một tín hiệu tơng tự đợc thiết lập giữa hai hệ thống. Máy tích phân điện tử có thể giải đợc phơng trình vi phân bằng cách thực hiện các hoạt động động học về điện tơng ứng để cho hệ thống có thể hiểu đợc. Rất nhiều hệ thông có thể mô phỏng bằng cách tạo ra tín hiệu t- ơng tự giữa tín hiệu hiển thị là Vol(v) của một máy tính tơng tự và nghiệm của phơng trình vi phân đợc giải . 1.2 Mô hình hoá hệ thống động học 1.2.1 Các bớc trong quá trình mô hình hoá và mô tả hệ thống động học Hình 1.5 minh hoạ một vài giai đoạn liên quan đến mô hình hoá hệ thông động học. Bớc đầu tiên là quan tâm tới hệ thông động học thực tế. Nó phải có tất cả các đáp ứng động học tiêu biểu tơng ứng một cách chính xác với hoạt động của hệ tuyến tính hay phi tuyến và các quan hệ động học mặc nhiên xuất hiện của hệ thống .Hệ thống thực tế, tất nhiên là phải có những đáp ứng thực tế mà chúng ta cần xác định . Bớc hai là sự nhận thức của ngời thiết kế về hệ thống và các thành phần động học tiêu biểu của nó. Mô hình này có thể bỏ qua một số các thành phần - 5 - phi tuyến hay các thành phần động học bậc cao nhằm đơn giản hoá. Tuy nhiên hệ thống thực phải chứa tất cả các tác động và các bộ phận cấu thành. Về việc này sự nhận thức của ngời thiết kế có thể không miêu tả đúng một hệ thống thực. Bớc ba là mô hình hoá toán học hệ thống bằng phơng trình vi phân nhận đợc từ việc bảo toàn các đặc tính theo một quy tắc phù hợp. Nếu hệ là tuyến tính thì việc phát triển mô hình toán học phù hợp là khá dễ dàng. Tuy nhiên nếu hệ là phi tuyến thì mô hình toán học sẽ chứa các phép xấp xỉ nhằm đơn giản hóa thuật toán. Về điều này phơng trình có thể miêu tả không chính xác nhận thức của ngời thiết kế về hệ thống hiện tại . Bớc bốn là tính toán đáp ứng của hệ thống .Đáp ứng của hệ mô tả bằng phơng pháp giải tích là lời giải chính xác của ph- ơng trình. Dù vậy vẫn tồn tại một vài lỗi nhỏ giữa đáp ứng đợc tìm theo phơng pháp số hay phơng pháp tơng tự và nghiệm thực của phơng trình Bớc thứ năm liên quan đến việc phân tích quá trình thực hiên của hệ thống đợc thể hiện qua những đại lợng đo l- ờng đặc trng. Điều này bàn đến phơng pháp phân tích tần số và thời gian của hệ để đánh giá hoạt động của hệ . Một trong những trách nhiệm quan trọng nhất của ngời thiết kế là quá trình kiểm tra sự kết hợp các trị số của các thành phần xác định hoạt động của hệ và điều khiển trị số của các thành phần cho tới khi đạt đợc hoạt động mong muốn. Các thủ tục giảm và kiểm tra có thể đợc thực hiện bằng cách lắp ráp phần cứng hay bằng mô hình toán. Cái thuận lợi của mô hình hoá và phân tích toán học là thờng nhanh hơn và không đắt bằng thử nghiêm với các phần cứng. Theo đó quá trình lặp lại ở hình (1.5) trong đó hệ thống đợc chỉnh sửa lại là một phần quan trọng của quá trình thiết kế . Một điều quan trọng cần chú ý rằng vì mô hình hoá có thể đơn giản (bằng cách bỏ đi các thành phần phi tuyến và bậc cao) hay xấp xỉ, việc tính toán đáp ứng hệ thống từ nghiệm giải tích của phơng trình vi phân có thể bỏ qua trong quá trình tính đáp ứng của hệ. Nếu mô hình toán học có chứa phép - 6 - Vật thể có thật Hệ thống động học Mô hình của sự nhận thức về hệ thống Biểu diễn toán học Tính toán đáp ứng Phân tích hoạt động Hình 1.5 xấp xỉ thì tìm nghiệm giải tích là hai bớc đã đợc thực hiện trong quá trình xác định đáp ứng của hệ thống hiện tại . Khi đáp ứng đợc tìm bằng mô phỏng số hay mô phỏng tơng tự thì đã thực hiện đợc ba bớc trong đáp ứng của hệ thống hiện tại, từ đây có thể có một vài sai lệch trong việc tính tích phân hay các đáp ứng điện và mô hình toán học có thể không chứa các hệ thống có bậc cao hơn . Khi ta nói đến hệ thống tức là đề cập đến hệ thống có thực hay mô hình toán học của hệ thống đó. Thông thờng khi đề cập đến đáp ứng của hệ thống có nghĩa là ta nói tới đáp ứng của hệ thống thực hay sự tính toán hoặc mô phỏng đáp ứng của hệ thống. Chúng ta cần phải chú ý tới sự khác biệt trên . Mô hình hoá hệ thống ,tính toán đáp ứng của hệ ,phân tích hoạt động của hệ thống và thiết kế lại hệ thống cho phù hợp là các phần trong chu trình hoàn thành một công cụ khoa học. Trừ các phần lí thuyết trìu tợng, không có bớc đơn lẻ nào có giá trị nếu không hoàn thành theo chu trình đó. Sau khi quá trình trên hoàn tất nêu đáp ứng của hệ thống không hiển thị đợc thì hệ và mô hình của nó cần phải sửa chữa và các thành phần đang tồn tại cũng phải điều chỉnh lại theo đầu ra của hệ thống . 1.2.2 Tiện ích của việc mô phỏng và mô hình hoá hệ thống Thuận lợi chủ yếu của mô hình hoá một hệ thống và phân tích đáp ứng của nó là cho phép ta biết trớc hoạt động của nó trớc khi tạo ra nó. Điều này đôi khi gọi là nguyên mẫu thực. Chúng ta cũng có thể phân tích hoạt động của một hệ thống đã tồn tại nhằm cải tiến những hoạt động tĩnh hay động của hệ thống hay chúng ta có thể xác định điều gì xảy ra với hệ khi điều đầu vào khác thờng hoặc xác định những điều kiện không làm cho hệ thống thực bị nguy hiểm . Ví dụ nếu chúng ta đang thiết kế một hệ thống mới và muốn có đợc mức độ hoạt động chính xác, chúng ta có thể lựa chọn những thành phần có kích thớc chính xác để cho ta kết quả mong muốn. Mặt khác nếu hệ thống đã tồn tại và ta muốn cải tiến hoạt động của nó ,mô hình hoá và phân tích sẽ giúp ta xác định những thành phần nào có thể thay đổi và khoảng thay đổi cần thiết. Nếu chúng ta muốn giảm các thành phần tiêu biểu của hệ, mô hình hoá không chỉ giúp ta biết đợc thành phần nào ảnh hơng đến mà còn chỉ cho ta biết làm nh nào để thay đổi chúng sao cho đạt đợc kết quả mong muốn. Nếu chúng ta đã tìm hiểu về những gì sẽ xảy ra đối với hệ thống khi đầu vào hay điều kiện khác thờng nh sự không hoạt động của động cơ thuỷ lực phụ trên hệ thông điều khiển của máy bay hay một phơng tiện đờng không sau đó mô hình hoá và phân tích nó sẽ không làm cho chúng ta mất nhiều triệu $ khi rủi ro trong việc xác định trạng thái hoạt động của hệ thống . Một mô hình toán học tốt của hệ thống động học là có thể cung cấp ngay cho chúng ta hoạt động của các bộ phận cấu thành nên hệ thống và các - 7 - thành phần động học tiêu biểu mà không phải phân tích nhiều. Nếu chúng ta gặp những thành phần động học tiêu biểu quen thuộc thì ta có thể đoán nhận đợc đáp ứng của hệ thống, đủ truyền đạt những gì cần biết của chúng ta về đáp ứng của hệ, hay ta muốn tính toán tần số và đáp ứng thời gian của hệ để cung cấp thêm những hiểu biết rõ về nó . Tất nhiên nghiệm của phơng trình vi phân có thể không mô tả chính xác hệ thống thực tế một cách rõ ràng, mặc dù vậy thì việc mô phỏng cũng chỉ ra đợc phơng hớng của đáp ứng để chúng ta có thể biết đợc thành phần nào thay đổi đợc hay xấp xỉ chúng nh thế nào để cho ta kết quả mong muốn . - 8 - . Bài tập tự động hóa quá trình sản xuất(trang 12ữ17) 1.1.2 Các khái niệm có liên quan đến hệ thống động học (tiếp theo) Một phơng trình vi phân cổ điển bao gồm các. trình. Phơng trình (1.2) là ph- ơng trình bậc hai . Trong tập hợp phơng trình của một hệ, bậc của nó là số đạo hàm riêng của tất cả các phơng trình. Từ phơng trình (1.8a) đến phơng trình (1.8c). Vol(v) của một máy tính tơng tự và nghiệm của phơng trình vi phân đợc giải . 1.2 Mô hình hoá hệ thống động học 1.2.1 Các bớc trong quá trình mô hình hoá và mô tả hệ thống động học Hình 1.5 minh hoạ