Trường THPT Phạm Phú Thứ- Năm học 2010-2011 Ôn tập HK2- Lớp 11 Chuẩn ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ 2 LỚP 11 A- GIẢI TÍCH Chương IV: GIỚI HẠN I. Ôn lại lý thuyết về: 1. Giới hạn dãy số: a. Dãy số có giới hạn 0. b. Dãy số có giới hạn hữu hạn. c. Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn. d. Dãy số có giới hạn vô cực. 2. Giới hạn của hàm số. a. Giới hạn của hàm số tại 1 điểm: giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực, giới hạn tại vô cực và các định lý. b. Giới hạn một bên . c. Quy tắc tìm giới hạn vô cực. 3. Hàm số liên tục. a. Hàm số liên tục tại một điểm. b. Hàm số liên tục trên khoảng, trên đoạn. c. Định lý về hàm số liên tục. d. Áp dụng định lý về giá trị trung gian để chứng minh phương trình có nghiệm. II. Bài tập: Dạng 1: Tìm giới hạn của dãy số và của hàm số: Bài 1: Tính các giới hạn sau: a. 2 2 4n n 1 lim 3 2n − − + b. 2 2 3n 1 n lim 1 2n + + − c. + − + 3 2 4 n n 2 lim n 1 d. 3 2 lim( n 3n 2)− − − e. n n n n 3 4 1 lim 2.4 2 − + + Bài 2 :Tính các giới hạn sau: a) 4 45 lim 2 4 + ++ −→ x xx x b) 2 2 1 2 3 lim 2 1 x x x x x → + − − − c) 1 lim >−x 23 1 2 2 +− − xx x D 4 3 2 2 16 lim 2 x x x x →− − + e) 2 2 lim 7 3 x x x → − + − f) 2 x 2 4x 1 3 lim x 4 → + − − g) x 4 x 5 2x 1 lim x 4 → + − + − h) x 0 x 1 x 4 3 lim x → + + + − Bài 3: Tính các giới hạn sau: a) 12 3 lim − +− −∞→ x x x b) 3 3 2 2 3 4 lim 1 x x x x x →+∞ + − − − + c) 12 5 lim 2 − +− −∞→ x xx x d) 2 3 2 lim 3 1 x x x x x →−∞ − + − Bài 4: Tính các giới hạn sau: a) 3 2 lim ( 1) x x x x →−∞ − + − + b) )32(lim 24 −− ∞−→ xx x c) )322(lim 23 −+−− +∞→ xxx x d) 2 lim 3 5 x x x →−∞ − Dạng 2: Hàm số liên tục. Bài 5: Xét tính liên tục trên R của hàm số sau: a) 2 4 2 ( ) 2 4 2 x khi x f x x khi x  − ≠−  = +   − =−  b)      − − = 2 2 1 1 )( x x x xf 1, 1, ≥ < x x 1 Trường THPT Phạm Phú Thứ- Năm học 2010-2011 Ôn tập HK2- Lớp 11 Chuẩn Bài 6: Cho hàm số f(x) = 2 2 2 . 2 2 2 x x khi x x x m khi x  + − ≠ −  +   + = −  Với giá trị nào của m thì hàm số liên tục tại x = - 2 Dạng 3: Chứng minh phương trình có nghiệm: Bài 7: Chứng minh rằng phương trình a. 5 x 3x 7 0− − = có nghiệm. b. 4 5 3 2 0x x + − = có nghiệm. c. 3 2x 10x 7 0− − = có ít nhất hai nghiệm. Chương V : ĐẠO HÀM I. Lý thuyết 1. Định nghĩa và ý nghĩa đạo hàm: a. Qui tắc : Tính đạo hàm bằng định nghĩa Bước 1: Giả sử x∆ là số gia của đối số tại o x . ∆ = + ∆ − o o Tênh y f (x x) f (x ) . Bước 2: y Lápû tèsäú x ∆ ∆ Bước 3: x 0 y Tênhgiåiï haûn lim x ∆ → ∆ ∆ . Kết luận đạo hàm nếu tồn tại. b. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số. Định lý 1: Nếu hàm số y f (x)= có đạo hàm tại o x thì nó liên tục tại điểm đó. c. Ý nghĩa hình học : Định lý 2: Đạo hàm của hàm số y f (x)= tại điểm o x là hệ số góc của tiếp tuyến o M T của (C) tại điểm o o o M (x ;f (x )) . • Phương trình tiếp tuyến: Định lý 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y f (x)= tại điểm o o o M (x ;f (x )) là : − = − o o o y y f '(x )(x x ) với ( ) 0 0 .y f x= d. Ý nghĩa vật lý của đạo hàm: e. Đạo hàm trên một khoảng: 2. Quy tắc tính đạo hàm: a. Đạo hàm của hàm số thường gặp: n n 1 * (x )' n.x x R,n N ,n 1. − = ∀ ∈ ∈ ≠ 1 ( x )' x 0 2 x = ∀ > (x)' 1 x R= ∀ ∈ (c)' 0 våïiclaì hàòngsäú= b. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương: Giả sử u u(x),v v(x)= = là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có: (u v)' u' v'± = ± (u.v)' u'.v u.v'= + Nếu k là hằng số thì (k.u)' k.u'= ' 2 u u'.v u.v' (v v(x) 0) v v −   = = ≠  ÷   ' 2 1 v' (v v(x) 0) v v   = − = ≠  ÷   c. Đạo hàm của hàm hợp: • Hàm hợp • Đạo hàm của hàm hợp Định lý: ' ' ' x u x y y .u= 2 Trường THPT Phạm Phú Thứ- Năm học 2010-2011 Ôn tập HK2- Lớp 11 Chuẩn 3.Đạo hàm của hàm số lượng giác: a. Giới hạn sin x x : Định lý: x 0 sinx lim 1 x → = Chú ý: o x x sinu lim 1 u → = (với u=u(x)). Khi o x x→ thì u(x) 0→ ) b.Đạo hàm của hàm số y sinx, y=cosx, y=tanx vaì y cot x= = : Định lý : (sinx)'=cosx x R (cosx)'=-sinx x R∀ ∈ ∀ ∈ 2 1 (tanx)'= x k ,k Z 2 cos x π ∀ ≠ + π ∈ 2 1 (cot x)' x k ,k Z sin x = − ∀ ≠ π ∈ . Chú ý: Với u=u(x) , ta có : (sinu)'=u'.cosu (cosu)'=-u'.sinu 2 u' (tanu)'= cos u = − 2 u' (cot u)' sin u Xem bảng đạo hàm : SGK trang 168. 4. Vi phân: • =dy y'.dx với ( ) =y f x . • Công thức tính gần đúng ( ) ( ) ( ) + ∆ ≈ + ∆ 0 0 0 f x x f x f ' x . x 5. Đạo hàm cấp hai: • ( ) ( ) ( ) =f '' x f ' x ' . • Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai: Đạo hàm cấp hai ( ) f '' t là gia tốc tức tức thời của chuyển động ( ) =s f t . II. Bài tập: Dạng 1: Tính đạo hàm của hàm số bằng định nghĩa. Bài 1: Cho 2 f(x) 3x 4x 4= + − . Tính f '(1) Dạng 2: Tính đạo hàm của hàm số bằng quy tắc Bài 2: Tìm đạo hàm các hàm số sau: 1) 12 3 +−= xxy 2) xxxy 322 24 +−= 3) )35)(( 22 xxxy −+= 4) 3 ( 2)( 1)y x x= + + 5) )23)(12( +−= xxxy 6) 32 )3()2)(1( +++= xxxy 7) 32 )5( += xy 8) y = (1- 2x) 10 9) y = (x 3 +3x-2) 20 10) 7 2 y (x x)= + 11) 2 y x 3x 2 = − + 12) 76 24 ++= xxy 13) 2 32 − − = x x y 14) 42 562 2 + +− = x xx y 15) 1 2 2 − = x x y 16) 32 )1( 3 ++ = xx y 2 3 2 1 17. 2 3 − + = − x x y x 18) y = 2 3 2 2 x x x - - + 19) y= x 2 1 x+ 20) 21 ++−= xxy 21) x x y 6 3 −= 22) 432 6543 xxx x y −+−= 23) 32 43 2 2 ++ +− = xx xx y 24) 3 3 6 1       −+= x x xy 25) 1 x y 1 x + = − 26) xxy = 27) 1 y x x = 28) 1)1( 2 +++= xxxy 3 Trường THPT Phạm Phú Thứ- Năm học 2010-2011 Ôn tập HK2- Lớp 11 Chuẩn 29) 22 2 ax x y + = , ( a là hằng số) 30) y = aaxx 23 2 +− , ( a là hằng số) Bài 3: Tìm đạo hàm các hàm số sau: a) y = sin2x – cos2x b) 1 sin(2 1) y x = + c) 1 sin 2 sin x y x + = − d) 12sin += xy e) xy 2sin= f) xxy 3cos.2sin2= g) 2 )cot1( xy += h) y = x.cotx i) y= sin(sinx) k) y = cos( x 3 + x -2 ) l) 2 y sin (cos3x)= m) y 1 2tanx = + n) xxy 32 cossin += o) 3 y cot (2 x ) 4 π = + p) x 1 y tan 2 + = q) sinx x y x sinx = + Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong: Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị các hàm số sau: a. = − + 3 y 2x 4x 2 tại điểm M(-1;-2). b. x 1 y 2x 1 + = − tại điểm có hoành độ o x 1= . c. y x 3= + tại điểm có tung độ o y 2= . Bài 5: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): 3 2 y x 3x 2= − + , biết rằng: a. Tiếp tuyến có hệ số góc k 3= − . b. Tiếp tuyến song song với đường thẳng :y 2∆ = c. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ':x 9y 3 0∆ + − = . Dạng 4: Vi phân Bài 6: Tìm vi phân của các hàm số: 1) 12 3 +−= xxy 2) 3 2 2 5 +−= x xy 3) )1)(2( 3 ++= xxy 4) 1 2 2 − = x x y 5) 76 2 ++= xxy 6) xxy 3sin.sin3 2 = 7) 2 )cot1( xy += 8) 2 )cot1( xy += Bài 7: Tính gần đúng giá trị của 4,01 . Dạng 5: Đạo hàm cấp hai Bài 8: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số: 1) 12 3 +−= xxy 2) 3 2 2 5 +−= x xy 3) sinxy = 4) cos2y x= Dạng 6: Các bài toán liên quan đến đạo hàm: Bài 9: Chứng minh rằng: a) 32)( 35 −−+= xxxxf thoả mãn: )0(4)1(')1(' fff −=−+ b) 3 4 x y x − = + thoả mãn ( ) 2 2 ' 1 ''y y y= − c) 5 3 f (x) x x 2x 3 = + − − thoả mãn f '(1) f '( 1) 4f (0) + − = − 4 Trường THPT Phạm Phú Thứ- Năm học 2010-2011 Ôn tập HK2- Lớp 11 Chuẩn B-HÌNH HỌC Chương III: VEC-TƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN. I. Lý thuyết 1.Vec-tơ trong không gian: a. Ôn lại định nghĩa và các phép toán về vec-tơ trong không gian: phép cộng, phép trừ, quy tắc hình hộp và phép nhân vec-tơ với một số. b. Điều kiện để 3 vec-tơ đồng phẳng. c. Tích vô hướng của hai vec-tơ trong không gian. d. Phương pháp xác định góc giữa hai đường thẳng. 2.Các vấn đề về vuông góc: a. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. b. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc. c. Xác định góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng. 3. Dựng và tính được khoảng cách giữa các đối tượng trong hình học không gian. Dựng đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau trong không gian. II.Bài tập: Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, tâm O và AB = SA = a, BC = 3a , SA ⊥ (ABCD) a. Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông. b. Gọi I là trung điểm của SC. Chứng minh IO ⊥ (ABCD) c. Tính góc giữa SC và (ABCD). Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh bằng 1 và các cạnh bên bằng nhau và bằng 2 . a. Chứng minh (SBD) ⊥ (SAC) b. Tính độ dài đường cao của hình chóp. c. Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy. Bài 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, SA = AB = AC = a . SA ⊥ (ABC). a. Gọi I là trung điểm BC. Chứng minh BC ⊥ (SAI) b. Tính SI c. Tính góc giữa (SBC) và mặt đáy. Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA ⊥ (ABCD) . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD. a. Chứng minh BC ⊥ (SAB), BD ⊥ (SAC) b. Chứng minh SC ⊥ (AHK) c. Chứng minh HK ⊥ (SAC) Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, tâm O và SA = SC, SB = SD. a. Chứng minh SO ⊥ (ABCD) b. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh IK ⊥ SD Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O, SA = a và SA ⊥ (ABCD) . a. Tính khoảng cách từ A đến (SBD). b. Chứng minh (SBC) ⊥ (SAB) c. Tính khoảng cách từ C đến (SBD). Bài 7. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng a, khoảng cách từ S đến cạnh BC bằng a/2.Gọi M trung điểm BC. a) CMR: BC vuông góc với (SAM) b) Tính chiều cao của hình chóp c) Dựng và tính đoạn vuông góc chung của SA và BC. 5 Trường THPT Phạm Phú Thứ- Năm học 2010-2011 Ôn tập HK2- Lớp 11 Chuẩn Bài 8. Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, AB = 2a, BC = 3a , SA vuông góc với (ABC), SA = 2a.Gọi M là trung điểm của AB. a)Tính góc giữa (SBC) và (ABC). b)Tính đường cao AK của tam giác AMC c)Tính góc giữa (SMC) và (ABC). d)Tính khoảng cách từ A đến (SMC) C- MỘT SỐ ĐỀ THI THAM KHẢO ĐỀ 1 (HKII PHẠM PHÚ THỨ 2009-2010) Bài 1: (2,0 điểm) Tính các giới hạn sau : a./ 3 3 2 2 1 lim 3 4 n n n − − − b./ 2 2 lim 7 3 x x x → − + − Bài 2: (1,0 điểm) Cho hàm số 2 9 3 ( ) 3 2 3  − ≠ −  = +   − = −  x våiï x f x x x våiï x . Xét sự liên tục của hàm số ( ) f x trên ¡ . Bài 3: (1,0 điểm) CMR phương trình 6 4 3 15 2 7 1 0− − − − = x x x x luôn có nghiệm . Bài 4: (1,0 điểm). Tính đạo hàm của các hàm số sau: a./ 1 2 5 − = + x y x b./ ( ) 4 cos3= − y x x . Bài 5: (1,5 điểm). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 1= + y x a./ Tại điểm có hoành độ 0 2x = . b./ Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 3 2010 0− − = x y . Bài 6: (3,5 điểm). Cho hình chóp . S ABC có đáy là tam giác vuông tai C. Cho ( )⊥ SA ABC , 3SA AB a= = và 2= BC a . a./ Chứng minh ( ) ⊥ BC SAC và ( ) ( ) ⊥ SBC SAC . b./ Gọi H là hình chiếu của A lên SC. Chứng minh ( ) ⊥ AH SBC . c./ Tính góc giữa hai mặt phẳng ( ) ABC và ( ) SBC . d./ Gọi I là trung điểm của AC. Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( ) SBC . ĐỀ 2 (HKII PHẠM PHÚ THỨ 2008-2009) Bài 1: (2,0 điểm) Tính các giới hạn sau : a./ 2 2 3 1 lim 2 3 + − + n n n b./ 3 6 3 lim 3 → + − − x x x . Bài 2: (1,0 điểm) Cho hàm số 2 4 2 ( ) 2 2 x våiï x y f x x x a våïi x  − ≠  = = −   − =  . Tìm các giá trị của tham số a để hàm số ( ) y f x = liên tục tại 2 x = . Bài 3: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình 3 2 3 1 0 x x − + = luôn có nghiệm . Bài 4: (1,0 điểm). Tính đạo hàm của các hàm số sau: a./ 2 3 4 x y x − = + b./ 3 (3 sin 2 ) y x = − . 6 Trường THPT Phạm Phú Thứ- Năm học 2010-2011 Ôn tập HK2- Lớp 11 Chuẩn Bài 5: (1,5 điểm). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2 y x x = − : a./ Tại điểm (2;4) M . b./ Biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng 3 y x = − góc 0 45 . Bài 6: (3,5 điểm). Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. ( ) SA ABCD ⊥ và SA a = . a./ Chứng minh ( ) BC SAB ⊥ và ( ) CD SAD ⊥ . b./ Chứng minh ( ) ( ) SAC SBD ⊥ . c./ Gọi H là trung điểm của SB.Chứng minh AH SC ⊥ . d./ Tính góc giữa hai mặt phẳng ( ) SBC và ( ) SCD . ĐỀ 3 (HKII SỞ GD-ĐT ĐÀ NẴNG 2007-2008) Bài 1: Tìm các giới hạn sau: a. 1 1 1 lim(1 ) 2 4 2 + + + + n b. 2 lim ( )+ − →−∞ x x x x c. 2 (n 1)(n 2) lim 2n 1 − + − d. 2 4 lim 2 x 2 − − → x x Bài 2: a. Cho hàm số 2 x 3x 2 nãúu x 1 y f (x) x 1 x a nãúu x 1  − + ≠  = = −   + =  Tìm các giá trị của tham số a để hàm số y= ( )f x liên tục tại 1=x . b. Cho hàm số 2 g(x) x 2x= − . Giải bất phương trình g'(x) g(x)≤ . Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông ở A và B, AD=2a, AB=BC=a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A lên SC và SD. a. Chứng minh · · o SBC ACD 90= = b. Chứng minh SD vuông góc với mặt phẳng (ABK) và SD vuông góc với AH ĐỀ 4 Bài 1: Tìm các giới hạn sau: a. 2 3 7 lim 3 1 − + − n n n b. 2 2 lim 2 2 − − → − x x x x c. 1 2 lim 3 x 3 + − − → x x Bài 2: Cho hàm số 2 x 16 nãúu x 4 y f (x) x 4 a nãuú x 4  −  ≠ = =  −  =  (a: tham số) Tìm a để ( )f x liên tục tại 4=x . Bài 3: Chứng minh rằng phương trình 5 x 3x 7 0− − = có nghiệm. 7 Trường THPT Phạm Phú Thứ- Năm học 2010-2011 Ôn tập HK2- Lớp 11 Chuẩn Bài 4: Cho 3 3 4= −y x x có đồ thị (C) . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 3 1= +y x Bài 5: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a tâm O, các cạnh bên SA=SB=SC=SD= 3 2 a . Gọi I,J là trung điểm AD và BC. a. Chứng minh ( )⊥SO ABCD . b. Chứng minh ( ) ( )⊥SAC SBD . c. Tính các cạnh của tam giác SIJ. Chứng minh ( )⊥SI SBC . d. Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy; góc giữa mặt bên và mặt đáy. e. Tính khoảng cách từ O đến (SBC). ĐỀ 5 Bài 1:Tìm các giới hạn sau: a. 2 1 lim( ) 3 + n n b. 2 5 6 lim 3 5 1 4 − + → + − x x x x Bài 2: Cho hàm số 2 x nãúu x 1 y f (x) x a nãúu x 1  ≤  = =  − + >   Tìm các giá trị của tham số a để hàm số y= ( )f x liên tục tại 1=x . Bài 3: Chứng minh phương trình 3 2 x 3x 2 0− + = có 3 nghiệm phân biệt. Bài 4: Cho hàm số 2 f(x) x 3= + có đồ thị (C). a. Chứng minh rằng [ ] f (x).f '(x) ' 1= . b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến này vuông góc với đường thẳng y 2x= − . Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, SA=SC, SB=SD=a góc giữa SB và (ABCD) bằng 60 o . a. Chứng minh SO (ABCD)⊥ . b. Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD). c. Hạ OH SD (H SD)⊥ ∈ . Chứng minh SD (ACH)⊥ . d. Tính khoảng cách giữa AC và SD. CHÚC CÁC EM THI TỐT! 8 . − 4 Trường THPT Phạm Phú Th - Năm học 201 0-2 011 Ôn tập HK 2- Lớp 11 Chuẩn B-HÌNH HỌC Chương III: VEC-TƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN. I. Lý thuyết 1.Vec-tơ trong không gian: . Trường THPT Phạm Phú Th - Năm học 201 0-2 011 Ôn tập HK 2- Lớp 11 Chuẩn ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ 2 LỚP 11 A- GIẢI TÍCH Chương IV: GIỚI HẠN I. Ôn lại lý thuyết về: 1. Giới hạn. BC. a) CMR: BC vuông góc với (SAM) b) Tính chiều cao của hình chóp c) Dựng và tính đoạn vuông góc chung của SA và BC. 5 Trường THPT Phạm Phú Th - Năm học 201 0-2 011 Ôn tập HK 2- Lớp 11 Chuẩn Bài