Chương I: Phương trình lượng giác số phương trình lượng giác thường gặp Để giải PTLG , nói chung ta tiến hành theo bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa Các điều kiện bao hàm điều kiện để có nghĩa,phân số có nghĩa, biểu thức log arit có nghĩa Ngồi PTLG có chứa biểu thức chứa tan x va cot gx cần điều kiện để tan x cot gx có nghĩa Bước 2: Bằng phương pháp thích hợp đưa phương trình cho phương trình Bước 3: Nghiệm tìm phải đối chiếu với điều kiện đặt Những nghiệm khơng thoả mãn điều kiện bị loại 1.1-Phương trình lượng giác 1.1.1- Định nghĩa: Phương trình lượng giác phương trình chứa hay nhiều hàm số lượng giác 1.1.2- Các phương trình lượng giác a) Giải biện luận phương trình sin x = m (1) Do sin x ∈ [ −1;1] nên để giải phương trình (1) ta biện luận theo bước sau Bước1: Nếu |m|>1 phương trình vơ nghiệm Bước 2: Nếu |m| phương trình vô nghiệm Bước 2: Nếu m ≤ ta xét khả năng: -Khả 1: Nếu m biểu diễn qua cos góc đặc biệt, giả sử góc α Khi phương trình có dạng  x = α + k 2π cos x = cos α ⇔   x = −α + k 2π ,k ∈¢ -Khả 2: Nếu m khơng biểu diễn qua cos góc đặc biệt  x = α + k 2π đặt m = cos α Ta có: cos x = cos α ⇔   x = −α + k 2π Như ta kết luận phương trình có họ nghiệm Ví Dụ Minh Hoạ Ví dụ 1: Giải phương trình sau: cos x = − Giải: ,k ∈¢ π 2π = − nên Do cos(π − ) = cos 3 2π π cos x = − ⇔ cos x = cos ⇔ x = ± + k 2π (k ∈ ¢ ) 3 Vậy phương trình có họ nghiệm Ví dụ 2: Giải phương trình: 3cos(2 x + π ) =1 Giải: 3cos(2 x + Vì π π ) = ⇔ cos(2 x + ) = 6 1 ∈ [ −1;1 ] không giá trị cung đặc biệt nên tồn góc 3 α ∈ [ 0;π ] cho cos α = π π Ta có: cos(2 x + ) = cos α ⇔ x + = ±α + k 2π 6 ⇔ 2x = − π π α ± α + k 2π ⇔ x = − ± + kπ (k ∈ ¢ ) 12 Vậy phương trình có hai họ nghiệm c) Giải biện luận phương trình lượng giác tan x = m (c) Ta biện luận phương trình (c) theo bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện cos x ≠ ⇔ x ≠ π + kπ , k ∈ ¢ Bước 2: Xét khả -Khả 1: Nếu m biểu diễn qua tan góc đặc biệt , giả sử α phương trình có dạng tan x = tan α ⇔ x = α + kπ , k ∈ ¢ -Khả 2: Nếu m không biểu diễn qua tan góc đặc biệt , đặt m = tan α ta tan x = tan α ⇔ x = α + kπ , k ∈ ¢ Nhận xét: Như với giá trị tham số phương trình ln có nghiệm Ví Dụ Minh Hoạ: Ví dụ 1: Giải phương trình tan x = Giải : Do = tan π π π nên ta có: tan x = ⇔ tan x = tan ⇔ x = + kπ 6 k∈ ¢ Vậy phương trình có họ nghiệm Ví dụ 2: Giải phương trình tan( π − x) = Giải: π π π Điều kiện: cos( − x) ≠ ⇔ − x ≠ + kπ 5 Do biểu diễn qua tan góc đặc biệt nên ta đặt tan α = Từ ta có tan( π π π π − x) = ⇔ tan( − x) = tan α ⇔ − x = α + kπ ⇔ x = − α − kπ (k ∈ ¢ ) 5 5 Vậy phương trình có họ nghiệm d) Giải biện luận phương trình lượng giác cot x = m Ta biện luận theo m Bước1: Đặt điều kiện sin x ≠ ⇔ x ≠ kπ k ∈ ¢ Bước 2: Xét khả (d ) -Khả 1: Nếu m biểu diễn qua cot góc đặc biệt , giả sử α phương trình có dạng cot x = cot α ⇔ x = α + kπ , k ∈ ¢ -Khả 2: Nếu m khơng biểu diễn qua cot góc đặc biệt , đặt m = cot α ta cot x = cot α ⇔ x = α + kπ , k ∈ ¢ Nhận xét: Như với giá trị tham số phương trình (d) ln có nghiệm Ví Dụ Minh Hoạ: Ví dụ 1: Giải phương trình sau: cot( π − x) = (1) Giải: π π π Điều kiện cos( − x) ≠ ⇔ − x ≠ kπ ⇔ x ≠ − kπ k ∈ ¢ (*) 4 Ta có: (1) ⇔ cot( π π π π π − x) = cot ⇔ − x = + kπ ⇔ x = − − kπ 4 12 k ∈¢ Họ nghiệm thoả mãn điều kiện (*) Vậy phương trình có họ nghiệm Ví dụ 2: Giải phương trình cot(4 x + 35o ) = −1 Giải: Ta nhận thấy cot( −45o ) = −1 nên ta có cot(4 x + 35o ) = −1 ⇔ cot(4 x + 35o ) = cot(−45o ) x + 35o = −45o + k180o ⇔ x = −80o + k180o x = −20o + k 45o (k ∈ ¢ ) Vậy phương trình có họ nghiệm Lưu ý: Không ghi hai loại đơn vị ( radian độ ) cơng thức 1.2- Một số phương trình lượng giác thường gặp 1.2.1- Phương trình bậc hai hàm số lượng giác Dạng 1: a sin x + b sin x + c = (a ≠ 0; a, b, c ∈ ¡ ) (1) Cách giải: Đặt t = sin x , điều kiện | t | ≤ Đưa phương trình (1) phương trình bậc hai theo t , giải tìm t ý kết hợp với điều kiện giải tìm x Dạng 2: a cos x + b cos x + c = (a ≠ 0; a, b, c ∈ ¡ ) (2) Cách giải: Đặt t = cos x điều kiện | t | ≤ ta đưa phương trình (2) phương trình bậc hai theo t , giải tìm t tìm x Dạng 3: a tan x + b tan x + c = (a ≠ 0; a, b, c ∈ ¡ ) Cách giải: Điều kiện cos x ≠ ⇔ x ≠ Đặt t = tan x ( t ∈¡ ) (3) π + kπ , k ∈ ¢ ta đưa phương trình (3) phương trình bậc hai theo t , ý tìm nghiệm x cần thay vào điều kiện xem thoả mãn hay không Dạng 4: a cot x + b cot x + c = (a ≠ 0; a, b, c ∈ ¡ ) (4) Cách giải: Điều kiện sin x ≠ ⇔ x ≠ kπ k ∈ ¢ Đặt t = cot x (t ∈ ¡ ) Ta đưa phương trình (4) phương trình bậc hai theo ẩn t Ví Dụ Minh Hoạ: Ví dụ 1: Giải phương trình 2cos x − 3cos x + = (1) Giải:  x = k 2π cos x = ⇔ Phương trình (1) ⇔  π  x = ± + k 2π cos x =   Vậy phương trình có họ nghiệm ,k ∈¢ Ví dụ 2: Giải phương trình: cot x − tan x + 4sin x = sin x Giải: Điều kiện sin x ≠ ⇔ x ≠ kπ ,k ∈¢ Ta có: cos x sin x − + 4sin x = sin x cos x sin x 2 cos x − sin x ⇔ + 4sin x = sin x.cos x sin x 2cos x ⇔ + 4sin x = ⇔ cos x + 2sin 2 x = sin x sin x cos x = ⇔ 2cos x − cos x − = ⇔  ( *) cos x = −  (2) ⇔ Ta thấy cos x = không thoả mãn điều kiện Do (*) ⇔ 2π π cos x = − ⇔ x = + k 2π ⇔ x = ± + kπ 3 k ∈¢ Vậy phương trình có họ nghiệm Bài tập: Bài 1: Giải phương trình: 5sin x − 4sin x − = Bài Giải phương trình: cos x − 3cos x − = =0 Bài 3: Giải phương trình: 3tan x − 3tan x − Bài 4: Giải phương trình: cos(4 x + 2) + 3sin(2 x + 1) = Bài 5: Giải phương trình: tan 3x − 3tan 3x + = Bài 6: Giải phương trình: cos x + 6cos 2 x = 25 16 (2) sin x π 2cos x − 2sin Bài 7: Giải phương trình: 2 = tan x Bài 8: Giải phương trình + 2sin x − sin x + sin x =1 2sin x.cos x − Bài 9: Giải phương trình cot x + = 25 sin x 1.2.2- Phương trình bậc sin x,cos x a)Định nghĩa: Phương trình a sin x + b cos x = c (1) a, b, c∈ ¡ a + b > gọi phương trình bậc sin x,cos x b) Cách giải Ta lựa chọn cách sau: Cách 1: Thực theo bước Bước 1:Kiểm tra -Nếu a + b < c phương trình vơ nghiệm -Nếu a + b ≥ c để tìm nghiệm phương trình ta thực tiếp bước Bước 2: Chia vế phương trình (1) cho a a + b2 a Vì ( a +b a a +b 2 b sin x + )2 + ( = cos α , a2 + b2 b a +b 2 c a + b2 )2 = nên tồn góc α cho b a +b cos x = a + b , ta = sin α Khi phương trình (1) có dạng sin x.cos α + sin α cos x = c a2 + b2 ⇔ sin( x + α ) = c a + b2 Đây phương trình sin mà ta biết cách giải Cách 2: Thực theo bước x Bước 1: Với cos = ⇔ x = π + k 2π (k ∈ ¢ ) thử vào phương trình (1) xem có nghiệm hay khơng? x Bước 2: Với cos ≠ ⇔ x ≠ π + k 2π ( k ∈ Z ) Đặt t = tan x 2t 1− t2 , cos x = suy sin x = 1+ t2 1+ t2 Khi phương trình (1) có dạng 2t 1− t2 a +b = c ⇔ (c + b)t − 2at + c − b = (2) 2 1+ t 1+ t Bước 3: Giải phương trình (2) theo t , sau giải tìm x * Dạng đặc biệt: sin x + cos x = ⇔ x = − sin x − cos x = ⇔ x = π + kπ ( k ∈ ¢ ) π + kπ ( k ∈ ¢ ) Chú ý: Từ cách ta có kết sau − a + b ≤ a sin x + b cos x ≤ a + b từ kết ta áp dụng tìm GTLN GTNN hàm số có dạng y = a sin x + b cos x , y= a sin x + b cos x phương pháp đánh giá cho số phương trình lượng c sin x + d cos x giác Ví Dụ Minh Hoạ: Ví Dụ 1: Giải phương trình: sin x − 3cos x = (1) Giải : Cách 1: Chia hai vế phương trình (1) cho 12 + 32 = 10 ta 10 2.8- Biện luận phương trình lượng giác chứa tham số Cũng phương trình có chứa tham số khác ,việc giải biện luận PTLG có chứa tham số quan trọng chương trình tốn phổ thơng đề thi Đại Học.Thường tốn lượng giác chứa tham số yêu cầu tìm điều kiện tham số để phương trình có nghiệm tìm điều kiện tham số để phương trình có n nghiệm thuộc khoảng D Để có nhìn tổng quan phương pháp giải phương trình ta xét dạng Dạng 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x∈ D Cho phương trình Q(m , x) = (1) phụ thuộc vào tham số m , x ∈ D Tìm m để phương trình có nghiệm Cách 1: Phương pháp đạo hàm Bước 1: Đặt ẩn phụ t = h( x) h( x) biểu thức thích hợp phương trình (1) Bước 2: Tìm miền giá trị (điều kiện) t tập xác định D Gọi miền giá trị t D1 Bước 3: Đưa phương trình (1) phương trình f ( m , t ) = Bước 4: Lập bảng biến thiên hàm số f ( m , t ) miền D1 Bước 5: Căn vào bảng biến thiên kết bước mà định giá trị m Cách 2: Phương pháp tam thức bậc hai ( áp dụng đưa Q( m , x ) dạng tam thức bậc hai ) Bước 1: Đặt ẩn phụ t = h( x) h( x) biểu thức thích hợp phương trình (1) Bước 2: Tìm miền giá trị (điều kiện) t tập xác định D Gọi miền giá trị t D1 79 Bước 3: Đưa phương trình (1) phương trình f ( m , t ) = at + bt + c = Bước 4: Giải tìm điều kiện để tam thức f ( m, t ) có nghiệm t ∈ U Bước 5: Kết luận  π Ví dụ 1: Tìm m để phương trình có nghiệm x∈ 0; ÷  4 m cos x − 4sin x.cos x + m − = (1) Giải:  π Với x∈ 0; ÷ ⇒ cos x ≠  4 Chia hai vế phương trình cho cos x ≠ ta m − tan x + ( m − 2) (1 + tan x) = ⇔ ( m − 2) tan x − tan x + 2m − = (2)  π Đặt t = tan x x∈ 0; ÷ nên t∈ ( 0; 1) ta  4 (m − 2) t − t + 2m − = ( 3)  π Khi (1) có nghiệm x∈ 0; ÷ (3) có nghiệm t∈ ( 0; 1)  4 Ta lựa chọn hai cách sau 80 Cách 1: +) Với m − = ⇔ m = 2, (3) có dạng −4t +2 = ⇔ t = ∈ ( ; 1) Vậy m = thỏa mãn đề +)Với m − ≠ ⇔ m ≠ (3) có nghiệm t∈ ( 0; 1) ⇔ (3) có nghiệm ∈ ( 0; 1) (3) có nghiệm ∈ ( 0; 1) (3m − 8)(2m − 2) <  f (1) f (2) <     −2 m + m ≥  ∆ ' ≥  (3m − 8)(m − 2) >  af (1) >  ⇔  ⇔  ⇔1 < m <   (m − 2)(2m − 2) >  af (0) >   0 < S <  0 < thoả mãn điều kiện toán 88  3π  Ví dụ 3: Biện luận theo m số nghiệm ∈ 0;  phương trình   m sin x + cos x = 2m (1) Giải: cos x =m − sin x Số nghiệm phương trình số giao điểm đường thẳng y = m Biến đổi phương trình (1) dạng cos = m(2 − sin x) ⇔ Với đồ thị hàm số y = Xét hàm số y = Đạo hàm y ' = cos x  3π  D = 0;  − sin x   cos x  3π  Miền xác định D = 0;  − sin x   − sin x(2 − sin x) + cos x.cos x − 2sin x = (2 − sin x) (2 − sin x) π  x=  y ' = ⇔ − 2sin x = ⇔ sin x = với x ∈ D ta có   x = 5π   Bảng biến thiên: x π y' y 5π − + + Kết luận:Với m > − phương trình vơ nghiệm Với m = ± 3π 1 < m < phương trình có nghiệm ∈ D 89 Với − 1 < m ≤ ≤ m < phương trình có nghiệm ∈ D 3 Nhận xét chung: Khơng có phương pháp giải cụ thể cho toán lượng giác Vì việc nắm phương trình lượng giác số phương trình lượng giác thường gặp điều cần thiết, đồng thời ta phải nắm vững phương pháp giải số phương trình lượng giác khơng mẫu mực để có hướng đắn cho toán Bài tập củng cố: Giải phương trình sau π sin ( + x) + sin x − + = π 8cos ( x + ) = cos3 x 3 cot x = tan x + + 2tan x = 3.4 sin x π sin( − x ) cos x log sin x log sin x = ( 3sin x − 2sin x ) log sin x.cos x = log 2 7− x2 7− x π π   sin  x − ÷ = 5sin  x − ÷+ cos3 x 3 6   π 6 32sin  x + ÷− sin x = 4  π π   sin  x − ÷ = sin x.sin  x + ÷ 4 4   10 18cos x + 5(3cos x + )+ +5=0 cos x cos x 90 11 cos x + − 4cos x + cos x − 4cos x = 12 sin x − cos x + 4sin x = tan x = 13 14 ( − cos x − sin x 7+4 ) +( sin x 15 log (3sin 17 2log3 ) =4 cot 2log x = log cos x 16 7−4 sin x x − 2) ( cos x +1) = 3cos x = 2cos x 18 cos x − cos6 x + 4(3sin x − 4sin x + 1) = 19 20 3sin x − −2sin x − 4cos x + = 4sin x + sin 3 x = 4sin x.sin x 21 x − x cos xy − 2sin xy + = 22 sin x + sin y + sin z + = 23 sin x + sin x + sin x = 24 cot x + cot x + ( + sin x + + sin y + + sin z =0 sin x.sin x.sin x 25 cos x − sin x − sin x − cos x + = 26 x − x sin xy + = 4 27 sin x + cos x + 1 sin y + =8+ 4 sin x cos x 81  3x  3x −3 x  −3 x  28  sin + sin ÷+  cos + cos ÷ = cos x 2  2  29 cos x + − 4cos x + cos x − 4cos x = 30 sin x + cos x + + sin x + 2cos x = 91 ) 31 8cos x = 32 + sin x cos x 1 + tan x tan x + = cos x − cos x cos x cos3 x sin x 33 sin 2008 x + cos 2008 x = sin x + cos6 x 3cos x − cos x − cos x 34 sin x + cos x − sin x cos x = − ln sin x + sin x + cos x + sin x cos x 35 sin x + 3log2 = (sin x)log2 37 Cho phương trình m cos x − 2cos x − cos x =  π π Xác định m để phương trình có nghiệm x ∈  − ; ÷  2 38 Cho phương trình 4(cos x − sin x) + sin x = m Tìm m để phương trình vơ nghiệm 39 Cho phương trình m sin x + (3m − 4)sin x cos x + (3m − 7)sin x cos x + ( m − 3)cos x =  π  Xác định m để phương trình có nghiệm phân biệt thuộc  − ;0    40 Cho phương trình m sin x + ( m + 1)cos x = m cos x a Xác định m để phương trình có nghiệm b Giả sử m giả thiết làm cho phương trình có nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1 + x2 ≠ π + kπ Tính cos 2( x1 + x2 ) theo m 41 Cho phương trình (cos x − 2) + (1 − cos x) = m Xác định m để phương trình có nghiệm 92 42 Cho phương trình sin x = m tan x Xác định m để phương trình có nghiệm x ≠ kπ (k ∈ ¢ ) 43 Cho phương trình sin x − m cos x − ( m + 1)sin x + m = 0(1)  π Xác định m để phương trình (1) có nghiệm x ∈  0; ÷  2 44 Cho phương trình (m − 1) tan x − + 2m = cos x Xác định giải thiết m để phương trình có nhiều nghiệm  π x ∈  0; ÷  2 45 Cho phương trình cos x − 2(m − 1)sin x + 3m − =  π π Xác định m để phương trình có nghiệm x ∈  − ; ÷  3 Xin chân thành cảm ơn thầy Trần Anh Tuấn hỗ trợ 93 ... đồng thời phải sử dụng đẳng thức cách linh hoạt 2.4- Biến đổi phương trình lượng giác thành phương trình tích Có nhiều cách đưa phương trình lượng giác phương trình tích ta sử dụng phép biến đổi... pháp giải phương trình nêu có phương trình giải phương pháp khác tuỳ thuộc vào toán để giải cho cách giải nhanh ,khoa học Ví Dụ 3: Giải phương trình: − tan x = + sin x + tan x (3) Giải : π ... số phương pháp giải phương trình lượng giác Đứng trước PTLG lạ, điều mà làm ta băn khoăn làm để giải nó, vấn đề nảy sinh phải đưa phương trình phương trình mà ta biết cách giải Và để giải phương